Развитие инструментария когнитивного моделирования для исследования сложных систем

В последнее десятилетие ученые рассматривают проблему разработки методологии моделирования и исследования функционирования сложных систем с учетом развития новых информационных технологий. К классу таких систем, можно отнести социально-экономические системы (СЭС), геополитические и геоинформационные системы, автоматизированные производственные комплексы и т. д. При моделировании таких систем важнейшей проблемой является знание количественных и качественных закономерностей, присущих данным системам. Одной из важнейших особенностей слабоструктурированных систем является то, что их модель может быть построена только на основании дополнительной информации, получаемой от человека, участвующего в решении проблемы. При этом исчезает почва для построения беспристрастных объективных моделей. Непонимание этого обстоятельства явилось причиной неудач в применении многих «объективных» математических моделей. Классические методы прикладной математики не всегда пригодны для моделирования сложных систем, сегодня популярным становится использовать комплексы, например: теорию нечетких игр, нечеткие множества и логику, знаковые модели в рамках иерархических систем.

информационный иерархический логика игра.

Теоретическая часть

На наш взгляд именно предлагаемый в данной статье подход позволит построить модель, которая объединит подсистемы различных показателей как по объекту исследования, так и по своей природе и позволит строить прогноз развития системы, как количественный, так и качественный.

Выбирая базовый аппарат для построения модели сложной системы, на примере СЭС, мы остановились на когнитивном подходе. Опишем семейство нечетких познавательных моделей, кратко их охарактеризуем и проанализируем.

Традиционное понятие когнитивной модели — Cognitive Maps (CM) введено и развивалось в виде знаковых ориентированных графов в работах Р. Аксельрода [1], прикладной характер подробно изложен в известном труде Робертса [2], в котором особое внимание уделяется описанию импульсных процессов для прогнозирования развития ситуаций по орграфу. Однако применять такие модели в сложных системах затруднительно в связи с требованием соответствия используемой информации теоремам об устойчивости.

Следующим шагом в развитии явились результаты научных изысканий Бартоломея Коско. Была исследована взаимосвязь нечеткой логики и теории нейронных сетей и доказана основополагающая FAT-теорема (Fuzzy Approximation Theorem), подтвердившая полноту нечеткой логики [3]. В своей знаменитой теореме Коско доказал, что любая математическая система может быть аппроксимирована системой, основанной на «нечеткой логике».

И наконец, в 80-х годах XX в. увидели свет изобретенные Б. Коско Fuzzy Cognitive Maps (FCMs)? нечеткие когнитивные карты (или модели), на которых базируется большинство современных систем динамического моделирования, в которых причинные связи (связи взаимовлияния), отражают «силу» влияния одного концепта на другой, и могут принимать значения из диапазона от 0 до 1, либо от -1 до +1. В настоящее время FCMs? это теоретическая основа описания поведения любых сложных систем в сфере: финансовые и политические анализы и прогнозы; социальные, биологические и экологические задачи; принятие стратегических решений на основе когнитивных карт и на нечетких моделях в четкой и нечеткой обстановке; ситуационное моделирование мировой политики и т. д.

На сегодняшний день семейство FCMs расширилось, опишем его, выделив основные классы.

Нечеткие когнитивные карты В. Силова [4], в них отношения между концептами рассматриваются как элементы нечеткой матрицы смежности для графа. А проблема обработки отрицательных влияний решается за счет удвоения мощности множества концептов и раздельной обработки положительных и отрицательных влияний.

Нечеткие продукционные когнитивные карты (Rules Based Fuzzy Cognitive Maps, RBFCMs) — это FCMs, основанные на правилах [5], для описания влияний между концептами используются нечеткие продукционные правила.

Обобщенные нечеткие продукционные когнитивные карты (Generalized Rules Based Fuzzy Cognitive Maps, BFCMs) [6], обобщают свойства нечетких продукционных когнитивных карт и реализуют расширенные возможности по анализу и моделированию сложных систем.

Нечеткие реляционные когнитивные карты (Relational Fuzzy Cognitive Maps, RFCMs) и FRM — Fuzzy Relational Maps [7], обеспечивают гибкость построения и анализа нечетких моделей слабоформализуемых систем и проблем за счет реляционного представления нечетких соотношений влияния между концептами.

Нейтрософские реляционные карты (NRMs — Neutrosophic Relational Maps) [8] в их основе которых лежит идея тройственности. Нейтрософской логика характеризует каждое логическое утверждение в 3D-нейтрософском пространстве, где каждое измерение пространства представляет соответственно истину (T), ложь (F) и неопределенность (I) рассматриваемого утверждения, а T, F, I соответственно являются стандартными или нестандартными вещественными подмножествами .

Динамические когнитивные сети (DCNs) [9] используют аппарат дифференциальных уравнений для описания модели.

Более подробный анализ и развитие DCNs в сторону нечетких нейронных сетей проведен в [10], где авторами предложена классификация способов интеграции нечетких и нейронных сетей.

FCMs, основанные на нечетких реляционных уравнениях описываются в [11], в частности предлагается решение задачи подстройки весов FCMs с помощью параллельной реализации генетического алгоритма обучения модели когнитивной карты, основанной на нейронной модели.

Когнитивные карты (СМ), нечеткие когнитивные карты (FCMs), и динамические когнитивные сети (DCNs) являются комплексным инструментарием, позволяющим моделировать познание людей и строить машинные выводы. FCMs расширяют СМ, а динамические в свою очередь, расширяют FCMs. Недостатком DCNs является высокая сложность, а CMs/FCMs не достаточно адекватно отображают объект исследования. В работе [12] описывается упрощенная распределенная вычислительная сеть (sDCN), которая расширяет возможность моделирования FCMs/CM, при этом сохраняя относительную простоту. В статье доказывается, что существует теоретическая эквивалентность среди моделей в семье когнитивных карт СМ, FCMs, и sDCNs. Например, каждому sDCN, может соответствовать FCMs или СМ, и наоборот; точно так же каждая FCMs может быть представлена СМ, и наоборот. Т.о. СМ, FCMs, и sDCNs — это семейство познавательных моделей, которое отличается от многих расширенных моделей. Известен конструктивный подход к преобразованию одной модели CM в другие модели семейства.

Описание инструментария

Подчеркивая плюсы и минусы вышеописанных моделей, мы остановились на идее, заложенной в FCMs Б. Коско, но предлагаем развитие аппарата построения когнитивных карт в виде нечетких ориентированных графов 1-го и 2-го рода.

Нечеткие модели оперируют такими понятиями, как нечеткая переменная, нечеткое множество, лингвистическая переменная. Как известно нечетким множеством, А на множестве Х называется совокупность пар вида, где — функция принадлежности, принимающая значения в интервале [0, 1], т. е.. Когда Х непрерывно, то нечеткое множество, А может быть кратко описано как. В случае дискретного Х, нечеткое множество, А представляется как .

Введем понятие, FCMsэто нечеткий ориентированный граф (орграф) первого и/или второго рода. Нечетким ориентированным графом первого рода называется и через обозначается пара множеств, у которого — четкое множество вершин (или концептов), а — это нечеткое множество ребер (или дуг), где, а? это степень принадлежности ориентированного ребра нечеткому множеству ориентированных ребер. Нечетким ориентированным графом второго рода называется граф, где? множество вершин (или концептов) является нечетким множеством в некотором универсальном множестве A, т. е., ? нечеткое множество ориентированных ребер (или дуг) определяется как, , где X — носитель нечеткого множества [13].

Отметим, что нечеткий ориентированный граф 2-го рода при необходимости можно однозначно преобразовать в нечеткий ориентированный граф 1-го рода, как и наоборот, в последнем случае мы получим бесконечно много нечетких графов второго рода, что не оптимально.

Нечеткий орграф первого рода удобно задавать в виде, где, а — нечеткое многозначное отображение множества вершин X в себя, т. е., задаваемое в виде системы нечетких образов элементов при этом отображении, т. е., здесь — четкое множество образов вершины .

Нечеткий ориентированный путь из вершины xi в вершину xm есть и это направленная последовательность нечетких дуг, ведущая из вершины xi в вершину xm, в которой конечная вершина всякой дуги, отличной от последней, является начальной вершиной следующей дуги:

(1).

Для пути определим его конъюнктивную прочность следующим образом: [14].

В приведенных выше выражениях операции конъюнкции? & и дизъюнкции? v могут интерпретироваться в различных нечетких базисах, в дальнейшем будем под этими операциями подразумевать операции минимума и максимума соответственно.

Путем с минимальной прочностью будем называть ориентированный нечеткий путь между вершинами xi и xm, для которого величина минимальна. Естественно, что аналогичные определения могут быть даны с использованием выражений, и для нахождения путей с максимальной прочностью.

Из вышеизложенного и предметных областей, которые представляются нечеткими ориентированными графами 1-го и 2-го рода, ясно, что при определении путей и их прочностей возможны самые различные комбинации нечетких операций и их интерпретаций в различных нечетких базисах. Предлагается в дальнейшем использовать минимаксный базис и конъюнктивную прочность пути, которую будем обозначать .

Моделирование на графовой модели проводится шагами, которые называют импульсами или элементарными возмущениями. Суть этого процесса заключается в следующем: одной из вершин задается возмущение, которое влечет за собой изменение показателей на всех остальных вершинах по цепочке, причем усиливаясь или затухая. Значения в вершинах будут меняться через каждый шаг имитации t. Подробно этот подход с иллюстративным примером изложен в [15].

Обозначая вершины орграфа совокупностью u1, u2, …, un, введем обозначения:? вектор исходных значений вершин;? вектор начальных импульсов;? вектор значений вершин в момент времени t, тогда:, где? вес дуги из вершины uj в вершину ui, принимающий значения -1, 0 или +1; pj (t)? изменение в вершине uj в момент времени t. Для модели CM известна следующая формула развития импульсного процесса: .

Для модели FCMs данный подход не работоспособен в виду природы нечеткого графа. Предлагается следующая интерпретация импульсного моделирования, вместо четких весов вводим в формулу нечеткий путь, описанный моделью (1), тогда:

(2).

Применение инструментария для решения задач На сегодняшний день сложился стандартный перечень задач когнитивного моделирования, некоторые из них решены предложенным подходом.

В [14] описаны следующие задачи: анализ путей и циклов; определение путей и их прочности между концептами FCMs; анализ связности и сложности системы; определение степени связности графа.

В работе [13] адаптирован метод анализа нечеткой базы и антибазы к решению задачи установления похожести (аналогии) социально-экономических систем, моделируемых различными нечеткими графами.

В работе [16] предложен подход, использующий нечеткие множества для моделирования силы управляющего воздействия при разных типах связей между предшествующей и последующей целями функционирования на различных слоях FCMs.

Как известно выбор управленческого решения в сложной системе с помощью метода анализа иерархий всегда сопровождается неопределенностью, которая в свою очередь может быть выражена в следующем виде:

• 1) точечные оценки с функциями распределения вероятностей,
• 2) интервальные оценки без вероятностного распределения,
• 3) нечеткие оценки в виде нечетких чисел

Один из видов нечеткости в графах как раз и предполагает, что вес над дугой определяется функцией принадлежности. Но в этом случае мы имеем, хоть и множество значений с достаточно большой степенью детализации, но все же единственное число, что возвращает нас к четким CM. Поэтому в качестве веса над дугой и более того, степени значимости вершины предлагается использовать нечеткие интервалы.

Для поиска решений в нечеткой иерархической системе управления, где отдельные вершины представлены нечеткими интервалами с границами на разных шкалах, неприменим подход, основывающийся на определении степени нечеткого равенства нечетких чисел. Поэтому предлагается применять подход, основанный на сравнении нечетких интервалов.

В [17] описывается применение аппарата нечеткой логики и нечетких множеств. Предложен способ нахождения переходов между эталонными ситуациями в многоуровневых сложных системах, основанный на сравнении нечетких интервалов, подробно изложен алгоритм сравнения нечетких множеств на единичном интервале.

В работе [18] используются нечеткие динамические графы для решения задачи нахождения максимального потока минимальной стоимости в нечеткой динамической системе. Особое внимание уделяется учету нечеткого характера основных параметров системы.

В [19] предлагается использование нечетких графов для моделирования и анализа функционирования сложных систем. Рассматриваются вопросы анализа сложной системы как нахождение живучести нечеткого ориентированного графа в случае, когда под живучестью понимается степень его сильной связности.

Заключение

С учетом современных тенденций, рассматривая любую сложную систему необходимо учитывать то, что главным действующим лицом ее является человек, поэтому неточность и субъективность в этой системе присутствует по природе. Вот почему, выбран нечеткий подход в виде FCMs, построенных как нечеткий орграф 1-го рода, к моделированию поведения динамических систем. С помощью предложенной модели (2) возможно построение прогнозных сценариев развития сложной системы, с учетом реакции на внешние воздействия.

• 1. Axelrod Robert M. Structure of decision: The Cognitive Maps of Political Elites [Text] / R. Axelrod — Princeton, NJ, Princeton University Press, 1976, 404 p.
• 2. Робертс Ф. С. Дискретные математические модели с приложением к социальным, биологическим и экологическим задачам [Текст] / Ф. С. Робертс — М.: Наука, 1986. — 496 с.
• 3. Kosko B. Fuzzy Thinking: The New Science of Fuzzy Logic [Text] / B. Kosko // Hyperion, Disney Books 1993,? 336 p.
• 4. Силов В. Б. Принятие стратегических решений в нечеткой обстановке [Текст] / В. Б. Силов? М.: ИНПРО-РЕС, 1995.? 228 с.
• 5. Carvalho J.P. Rule-based fuzzy cognitive maps and fuzzy cognitive maps — a comparative study [Text] // In Proceedings of the 18th international conference of the North American fuzzy information, 1999, by NAFIPS, p.115 — 119.
• 6. Федулов А. С., Борисов В. В. Обобщенные нечеткие когнитивные карты [Текст] // Нейрокомпьютеры: разработка, применение. — 2004. — № 4. — С. 3−21.
• 7. Федулов А. С. Нечеткие реляционные когнитивные карты [Текст] // Известия РАН. Теория и системы управления. — 2005. — № 1. — С. 120−133.
• 8. Смарандаке Ф. Сущность нейтрософии [Текст] / Ф. Смарандаке? США, Аризона: HEXIS Publishers, 2006.? 34 с.
• 9. Y. Miao, ChunYan Miao, XueHong Tao, ZhiQi Shen, ZhiQiang Liu. Transformation of cognitive maps [Text] // IEEE Transactions on Fuzzy Systems. Volume 18 Issue 1, February 2010 p.114−124.
• 10. Борисов В. В., Федулов А. С. Способы интеграции нейронных и нечетких сетей [Текст] // Нейрокомпьютеры: разработка, применение. — 2007. — № 1. — С. 5−11.
• 11. Аверкин А. Н., Паринов А. А. Параллельная реализация генетического алгоритма обучения нечетких когнитивных карт [Текст] // Труды 13-ой национальной конференции по искусственному интеллекту с международным участием КИИ-2012: Труды конференции. Т.2. Белгород: Изд-во БГТУ, 2012. С.323−329.
• 12. Y. Miao, ChunYan Miao, XueHong Tao, ZhiQi Shen, ZhiQiang Liu. Transformation of cognitive maps [Text] // IEEE Transactions on Fuzzy Systems. Volume 18 Issue 1, February 2010 p.114−124.
• 13. Боженюк А. В., Гинис Л. А. Об использовании нечетких баз и антибаз при анализе нечетких когнитивных карт [Текст]? Украина, Донецк, ИПИИ «Наука i освiта», 2004. — № 4 — С. 276−285.
• 14. Боженюк А. В., Гинис Л. А. О нахождении нечетких путей и компонент сильной связности между слоями иерархических познавательных карт [Текст].? Донецк, ИПИИ, «Наука i освiта», 2005 г. — № 3 — С. 336−347.
• 15. Горелова Г. В., Рябцев В. Н. Когнитивный подход к исследованию геополитических процессов в мировых регионах и когнитивное моделирование их развития (на примере Черноморско-Каспийского региона) [Электронный ресурс] // «Инженерный вестник Дона». — 2012. № 4−2 (Том 23)? Режим доступа: http://ivdon.ru/magazine/archive/n4p2y2012/1407 (доступ свободный)? Загл. с экрана. — Яз. рус.
• 16. Vovk S.P., Ginis L.А. Modelling and forecasting of transitions between levels of hierarchies in Difficult formalized systems [Text] // European Researcher.? 2012,? Vol. (20),? № 5−1,? с.541−545.
• 17. Вовк С. П., Гинис Л. А. Моделирование переходов между эталонными ситуациями в сложных системах в условиях неопределенности [Текст] // Известия ЮФУ. Технические науки.? Таганрог: Изд-во ТИ ЮФУ, 2013. № 2 (139). — 260 с. С. 116−122.
• 18. Боженюк А. В., Герасименко Е. М. Разработка алгоритма нахождения максимального потока минимальной стоимости в нечеткой динамической транспортной сети [Электронный ресурс] // «Инженерный вестник Дона». — 2013. № 1 (Том 24).? Режим доступа: http://ivdon.ru/magazine/archive/n1y2013/1583 (доступ свободный)? Загл. с экрана. — Яз. рус.
• 19. Боженюк А. В., Гинис Л. А. Применение нечетких моделей для анализа сложных систем [Текст] // Системы управления и информационные технологии. — Москва — Воронеж: Изд-во «Научная книга», 2013. № 1.1(51). — С.122−126.