Определение в отсутствии проскальзывания катка по наклонной плоскости

Для составления дифференциального уравнения, описывающего движение системы при качении без проскальзывания, используя теорему об изменении кинетической энергии системы :

dT = ?A.

а) Зависимость скорости центра масс трубы от её перемещения.

Кинетическая энергия системы :

T = T1 +T2.

Осевой момент инерции, так как масса трубы (2) равномерно распределена по ободу, имеет вид:

Угловая скорость цилиндра:

Точка E — мгновенный центр скоростей;

Кинетическая энергия катка при плоскопараллельном движении имеет вид:

Осевой момент инерции, так как каток один представляет собой однородный цилиндр весом Р2, имеет вид :

Так как трос не растяжим, то =; , так как точка B в 2 раза дальше от мгновенного центра скоростей, чем точка С1:

Выразим скорость центра масс катка через скорость трубы, учитывая, что r2 = r1:

Отсюда, кинетическая энергия катка:

Кинетическая энергия всей системы:

Пусть:

Силы приложенные к механической системе:

Вес P1 совершает отрицательную работу на перемещении, так как точка его приложения поднимается;

Вес P2 совершает положительную работу на перемещении, так как точка его приложения поднимается;

Реакция наклонной плоскости N работу не совершает, так как она перпендикулярна перемещению;

Сила сопротивления совершает отрицательную работу на перемещении ;

Сила трения Fтр в отсутствии проскальзывания работу не совершает, так как она приложена к неподвижной точке.

Элементарная работа внешних сил:

Пусть:

Из теоремы об изменении кинетической энергии следует уравнение:

б) Кинематическое уравнение движения центра масс катка.

Уравнение поделим на dt:

Или после преобразования:

Так как в начальный момент времени система покоилась, то начальное условие к нему имеет вид:

Интегрируя по времени получим:

в) Угловое ускорение трубы в зависимости от времени.

Из уравнения%.

г) Натяжение свободных участков троса в зависимости от времени.

Уравнение кинетического момента в проекции на ось z :