Рациональные приближения непрерывных функций

Работа посвящена оценкам для наименьших равномерных заслонений выпуклых функций и функций с ограниченным изменение от рациональных функций.

Введем обозначения. Пусть j^(OC) — действительная непрерывная функция, заданная на отрезке А—[й, S] действительной оси, и R (x)~ рациональная функция от X, несократимая запись которой есть р p-t где CL^ и S^ - действительные числапричем Ct^ и отличны от нуля. Число fi^TJTlCiW^pyty}называется степенью (порядком) рациональной функции R CZ) .

Через Z?^ Д] =ff] будем обозначать наименьшее уклонение непрерывной функции, DCS, А, от рациональных функций степени не выше fl в чебышевской метрике С (А) :

R [fj^infifnax Ifcv-Rw)]}, где R пробегает все рациональные функции степени не выше fl. Беря здесь infimiiiV не по всем рациональным функциям R, а только по действительнозначным алгебраическим полиномам степени получим определение Еп Д] = Еп [f] - наименьшего уклонения функции на отрезке, А от полиномов степени не выше fl. Очевидно всегда Rn [Еп [f] .

Задачи оравномерном приближении функции на отрезке посредством полиномов и рациональных функций были поставлены одновременно. Это было сделано Пафнутием Львовичем Чебышевым в мемуаре [I], опубликованном в 1859 г. (см. [ij, стр. 152−236, [2J, стр. 199−291). С тех пор равномерные приближения называют также че (-бышевскими приближениями. Одним из основных результатов, изложенных в этом мемуаре было доказательство теоремы о единственности рациональной функции наилучшего приближения. Отсюда, в частности, вытекает единственность полинома наилучшего приближения для рассматриваемой непрерывной функции.

В 1877 году Е. И. Золотарев в мемуаре [3] получил замечательные результаты, касающиеся рациональных приближений. В частности, им была поставлена и решена задача (см. [3], 1У задача), которая может быть сформулирована следующим образом: из всех несократимых дробей данной степени найти ту, которая наименее уклоняется от функции SlCjtl Осна множестве Д (<!) — =[-l,-d] U, где ^ - заданное число,, и найти величину этого уклонения. В частности, им было найдено точное выражение для Rn [$Ijn X J Л (6)]: г /(Ч)' > (D где ft РР h/21-i у/Л, /1-/1.

Ж — полный эллиптический интеграл 1-го рода с модулемЯ, $П И — эллиптическая функция с модулем Л (см. [з] и [15] стр.

В 1884 году П. Л. Чебышев опубликовал краткую заметку ?4], а в 1889 году подробную статью «О приближениях квадратного корня переменной через простые дроби» ([5]). Задача, рассматриваемая П. Л. Чебышевым в этой работе, может быть сведена к задаче о приближении Sfl^tlSt, Хе Д (Ю, решенную Е. И. Золотаревым в [3] (см. Гб], стр. 410). Как указывает Н. И. Ахиезер [б], результаты статей П. Л. Чебышева и Е. И. Золотарева получили применение в теории электрических фильтров в работах В. Кауэра ([7] и [8]).

Вообще же задача о приближении функции $jCjtl на, А (§), как и задача о приближении функции 1%) на jr^jiJ является одной из узловых в теории рациональных приближений. В дальнейшем этими задачами и, в частности, уточнением неравенств для Rn [Sri^ft А (Д)] и Rn O^C'-MJJ занимались многие авторы (см. Ахиезер [9J-[12], £13], стр. 73−76, 319−320, [14Jстр. 158−159, [15], Д. Ньюман fl6], А. А. Гончар [17−20], А. П. Буланов [75], /138], Н. С. Вячеславов [ИЗ- 115^и др.) Хотя, как уже отмечалось, Е. И. Золотаревым было получено точное выражение для /?п Л (?)] (см* (I))" пользоваться им при больших Ц было весьма затруднительно. Грубо приближенные, но зато очень простые и удобные для применений оценки этой величины получил Д. Ньюман в 1964 г. С помощьюэтих оценок он получил неравенства j exp{'9ifn}< Rn [isel, КШ* Щ.

2).

В 1967 году А. А. Гончар показал, что более точные оценки можно извлечь из упомянутого результата Е. И. Золотарева. Последние результаты здесь принадлежат А. А. Гончару (слабая эквивалентность для R^lSlCjfl^&CS)]) и Н. С. Вячеславову (слабые эквивалентности для наименьших функций вида в метриках Lf $ =) .

После того, как Вейерштрасс ([24J, Г 25 J) в 1885 году доказал, что En[f]—*0 при 17—ъ**3 для произвольной непрерывной функции f (0?), ХЕА «встал вопрос о связи между скоростью убывания величины Еп [f] и свойствами функции. Один из способов исследования этого вопроса содержится в доказательстве теоремы Вейеритрасса, предложенном Лебегом (см. [26] и [27 Jстр. 72). Любую непрерывную на отрезке [aj'j функцию f'(OC) Лебег сначала приближал Нзвенной кусочно-линейной функцией L^(ОС) (вписывая в кривую ij = flзвенную ломанную с уравнением ^ — L^COC)). Записывая, далее, L (.ОС) в виде 17.

3) tr J К где (Z< ^), он сводил исходную задачу к задаче о приближении/на Д. Эта задача, в свою очередь, сводится к приближению /х/ на отрезке[-J/-1]. (О приближении на [-1,/J полиномами см. работы f28j-[33]).

В начале 20-го века вопросам о приближении функций полиномами были посвящены многие работы Лебега, Валле-Пуссена, Д. Джексона и С. Н. Бернштейна ([26] -[30J, [33], [34]). Из этих работ, в частности, выяснилось, что скорость убывания.

Bn [fj Л ] при п —" -ч" существенно зависит от модуля непрерывности приближаемой функцииfCOC), ос <= Л, именно по теореме Джексона.

4) где и (4,f)-iup [if (ОС) — f (p |, эс, у ей,} х-р ± J}.

В дальнейшем теория приближений полиномами продолжала развиваться быстрее, чем теория приближения рациональными функциями. Однако, многие вопросы, решенные для полиномиальных приближений, ждали ответа и для приближений рациональными функциями.

В конце 50-х и начале 60-х годов теория рациональных приближений функций действительного переменного резко ускорило свое развитие благодаря результатам А. А. Гончара и Е.П.Должен-ко, устанавливающим связь между скоростью убывания/? [Аа]и свойствами функции что хотя никакая не обеспечивает каких-либо дифференциальных свойств функции jв наперед заданной точке ОС в, А, все же достаточно. высокая скорость этого убывания обеспечивает наличие у функции jнекоторых локальных гладкостных свойств почти в каждой точке ОС^Л — при этом исключительное множество точек, вообще говоря, зависит от функции^. Например, им показано, что если Rn CfjA] не превосходит С-П 1 ^.

— модуль непрерывности скорость убывания вообще говоря,.

С/ = то f (ос)существует почти всюду на Д ([35J, fa oi $.

1955 г.) — если же /?пй] < С tl «» к — целое неотрицательное, 0<Ы ±4, то сужения функции на некоторые множества по мере сколь угодно близкие к^, имеют непрерывную Ью производную, удовлетворяющую условию Липшица-Гёяьдера порядка («57^ 1959 г., доказательство см. в [58J). В этих условиях нельзя взять никакое J4^/?

Позже Е. П. Долженко ([59], I960 г., доказательство см. в [36J) обнаружил, что определенная скорость убывания Rn [fi д] обеспечивает наличие у функции ^ таких ее свойств в целом, как конечность полного изменения V (-f)" конечность ее ср — вариации, оо абсолютная непрерывность. Например, из условия ^ [^a J < 00.

Р п-1 следует абсолютная непрерывность функции 4, а значит и конечность ее полного измененияусловие это является неулучшаеыым.

За последние годы существенные результаты по теории рациональных приближений функций действительного переменного были получены А. А. Гончаром, Е. П. Долженко, П. Сюс и П. Тураном, Г. Фройдом, И. Сабадошом, А. Абдугаппаровым, Е. А. Севастьяновым, В. А. Поповым, В. Н. Гусаком, К. Н. Дунгу 9 А. Хатамовым, Н. С. Вячеславовым, В. П. Данченко, П. П. Петрушевым, А. А. Пекарским, С. Ташевым, Е. А. Ровбой, А-Р.К.Рамаза-новым, А. К. Рамазановым, и др.

Что касается зависимости между En[f~}9 то история здесь такова.

После того, как были построены функции^* (А.А.Гончар [35], 1955 г.), для которых ->• 0 сколь угодно медленно, а [jJj О сколь угодно быстро, возникла гипотеза о том, что и всегда, если не есть полином, то Rn [f] = с (Еп [f]) (п —s- ® .

При этом функция j может иметь модуль непрерывности наперед заданного порядка 60(?), т. е. и вообще иметь любую наперед заданную гладкость вплоть до аналитичности во всей плоскости 2 =.

Таким образом, кроме тривиального соотношения /?л [f]6 [f'] и утверждения, что RQ [f] и Еп ff J—>0одновременно, других связей между ними нет, даже, если привлечь такую традиционную характеристику как модуль непрерывности. В связи с этим отпала необходимость искать оценку для Гулишь через модуль непрерывности функции, поскольку имеются неулучшаемые оценки для Е [f] типа неравенства Джексона (4). Этот результат показал также, что если мы хоуим для /^TfJ получить оценки по порядку лучше, чем оценки для Еп [f], то нужно выделять классы функций ^ посредством каких-то функциональных свойств, не находивших применение в теории полиномиальных приближений.

Еще до появления этой работы были получены первые оценки для приближения непрерывных функций, обладающих такими функс циональными свойствами как выпуклость j и конечность полного изменения j-. Относительно выпуклых функций класса Lip 1 это были результаты П. Сюс и П. Турана ([38j 1965 г.), относительно функций с конечным полным изменением — результаты Е. П. Долженко и А. А. Абдушппарова (доклад Е. П. Долженко на конгрессе математиков в Москве в 1966 году [49 ] - результат был также доложен на семинаре по теории функций в МГУ в конце 1965 года) и Г. Фройда ((1I8J, 1966 г.) Были также построены примеры, показывающие, что одна лишь конечность полного изменения непрерывной функцииj' не гарантирует какую-либо фиксированную скорость убывания /?л [f ] к нулю. Простой пример монотонной и абсолютно непрерывной функции^, для которой Rn Tf J стремятся к нулю произвольно медленно, построил Е. П. Долженко (см. об этом в работе А. А. Гончара [60] на стр. 335−336). Исходя из скорости роста функций в фиксированной внутренней точке отрезка, А. А. Гончар ([17J и [60]) построил непрерывную «шкалу препятствий», которая характеризует скорость рациональных приближений этих функций. В эту шкалу, в частности, вклады: вается оценка снизу для наилучших равномерных рациональных приближений таких канонических функций как, например,.

О, — или.

В 1969 году автор fl35J обнаружил, что выпуклость непрерывной функции уже сама по себе, без каких-либо дополнительных условий на jгарантирует определенную скорость убывания.

Rn [f-A] к нулю. В последовавших за этим работах А. Абдугаппарова, А. Хатамова, В. А. Попова, П. П. Петрушева, А. А. Пекарского, А. П. Буланова и др. это направление исследований развивалось. В работах[I37J и f 142] автор показал, что знание модуля непрерывности выпуклой функции позволяет существенно улучшить оценку для J • 0&trade-етим, что полученные.

Р (0С) = И неравенства для Rn [f^A] существенно сильнее, чем неулучшаемое неравенство для Ev if) А] «полученное при тех же условиях на.

Эта диссертация посвящена неравенствам для Rn [f^A] в случае выпуклых непрерывных функций J (гл. I и П) и в случае функций с конечным полным изменением (гл. Ш). Дальнейшая история вопроса излагается ниже параллельно с результатами диссертации.

Основное содержание работы сформулировано в шести теоремах. В первой главе доказывался теореиы I и 2 об оценках Д-Pffjcoo,-ветственно сверху и снизу в случае непрерывных выпуклых функций + без учета величин их модулей непрерывности СО (dt f). Отметим, что теоремы I и 2 приводились в кандидатской диссертации автора, защищенной в 1971 Г. Во второй главе доказываются теоремы 3 и 4 об оценках Rn [fj соответственно сверху и снизу, но уже в случае выпуклых функций с заданным модулем непрерывности. Эта глава является существенным развитием первой главы.

В главе Ш в основных теоремах 5 и 6 даются оценки Rn [f] также соответственно сверху и снизу для функцийf с ограниченным полным изменением и с заднным модулем непрерывности.

В теореме 7 дается оценка для Rn [f, A ] в случае «склеенных» в частности f кусочно-выпуклых функцийр — теорема 7а является многомерным аналогом теоремы 7.

В каждой главе доказаны две теоремы, которые решают по существу один вопрос: каков показатель степени Л в оценке f где iWpTtrnum берется по всем функциям из рассматриваемого там класса.

Остановимся несколько подробнее на содержании каждой главы.

В § I гл. I доказывается ряд лемм и две вспомогательные теоремы (теорема, А и теорема В), используемых на протяжении всей работы. Существенное внимание здесь уделено равномерному приближению функций bl J Л 'X на симметричной паре отрезков [-ij-dJiJ [($,{] ==&($) (см. теорему А). Отметим, что оценки, содержащиеся в некоторых леммах этого параграфа, можно было бы извлечь из упомянутых результатов Е. И. Золотарева [3J, однако конструкция Д. Ньюмана дает более простой путь для получения соответствующих неравенств. Основной результат этого параграфа теорема В, на которой основано доказательство теоремы б гл. Ш.

В 1964 году, используя представление Лебега (3) и неравенства Ньюмана (2), П. Сюс и П. Туран [38] показали, что если непрерывная функция j'(OC) выпукла на [-1,1], то для ее приближения на любом отрезке [-i+?^ i~8j при любом положительном (6) где не зависит от fl. Полиномы в этих условиях дают лишь.

С другой стороны, Д. Ньюман привел пример выпуклой и удовлетворяющей условию Липшица Lip l на отрезке, А функции^, для которой n 1 nfon этот результат приводится в [38]).

Как известно, всякая непрерывная и выпуклая на отрезке функция j (0C) является абсолютно непрерывной на Л, удовлетворяет условию Липшица г pi на любом отрезке.

0*1?* j * шеет почти всюду вторую производную и является «плохой» разве лишь на концах отрезка, А. Эти свойства и приведенный только что результат могли указывать на возможную справедливость неравенств типа.

Rnlf, A]4CriArc .с другой стороны, А. А. Гончар построил (см. [17 J, неравенство (24)) такие кусочно-выпуклые непрерывные функции f, для которых R [ f ] стремятся к нулю сколь угодно медленно. Это говорило в пользу возможного существования непрерывных выпуклых функций^, которые приближаются рациональными функциями сколь угодно медленно. На самом деле имеет место компромиссная ситуация:

Теорема I. Для любой выпуклой непрерывной функции fOC) t.

ЭсеД ,.

— п П J лп.

V|Jft 7 ' ' ' (7) где С — абсолютная постояннаяМ (f) = fr? QOC{lfOC)$Се .

Следует обратить внимание на то, что в оценке (7) ни прямо, ни косвенно не участвует модуль непрерывности СО (fyf) Теоремы такого типа в теории приближений ранее не встречалисьдля полиномиальных приближений такие теоремы вообще невозможны, что следует из неравенства Стечкина (см. [39 J, неравенство (2.5) на стр. 613, и в работе С. Б. Стечкина [40] теорему 8).

После опубликования этого результата в U35J он уточнялся (П.П.Петрушев [47], А. Хатамов [41]).

Недавно В. А. Попов и П. П. Петрушев [42] показали, что в условиях теоремы I ^ —Oft—• чт0 дальнейшее уточнении невозможно, вытекает из следующей теоремы:

Теорема2. Для любой положительной последовательности у.

0 существует выпуклая непрерывная функция j (ОС), Хе[В,{] «Для которой.

WJ> к * для некоторой последовательности f2- J***0 Р35]. А.

Во второй главе приводятся оценки наименьших уклонений для выпуклых функций с учетом величины их модуля непрерывности СО. Упомянутый выше результат П.Сюс. и П. Турана (6) можно сформулировать еще так: если функция^ выпукла и удовлетворяет условию Липшица на отрезке Л, то.

Rn[fhC (f).

Znn.

6).

А.А.Абдугаппаров [43 ] показал, что если выпуклая функция fetipot, Q.

В работе ff37j было получено неравенство.

RjfhC^znf {аы+м&ьфп-ед., (8> где С — абсолютная постоянная, выпуклая функция ^ имеет модуль непрерывности СО ($, f)? СО (S)} М = НПО ОС | ^(ОС) I • В частности, если «Q^-ol^i, то.

— гл., (9) а если Co (fij-f')^ (^jr) «т0 из ^ следует, что.

10).

Неравенство (8) дало для выпуклой feLipot, , окончательный показатель степени у 11- двойку. Если модуль непрерывности" очень плох", то, как следует из теоремы 2, нельзя надеяться на то, что rjfl=iP (i/nM), хотя бы при какомнибудь ?, 70, так что для таких функций [f J имеет, грубо говоря, порядок i/Tl и не лучше. Для «плохих» же модулей непрерывности оценка (8) не является окончательной в смысле величины показателя степени hi. В частности, не является окончательным показатель степени 3/2 в оценке (10).

В теореме 3 гл. П неравенство (8) уточняется следующим образом[1421 :

R пах [соЮвгЩуП-ьз,., {П) а в теореме 4 показывается, что неравенство (II) нельзя далее уточнять, если пренебречь множителями порядка вп? Т1, где постоянная. Из теоремы 3 в частности следует, что неравенство вида RnlfUC (f)^ «справедливое по (6) для выпуклых функций feLipl, распространяется не только на выпуклые функции из Гельдеровских классов Л^ЦрЫ, о/УО, но и на выпуклые функции с довольно «плохими» модулями непрерывности — такими, как OO (Sjf)* Именно, если jвыпукла и принадлежит классу.

2пЧг Па.

LipсК при некотором ol~70, то Rn[f]-C (f) с другой стороны, как еще в 1964 году показал Д. Ньюман (этот результат в работе [38]), существуют выпуклые функции класса 1.

Lip Lip Ы (0<оМ ?), для которых Rn Ц]>—— Если же | выпукла и Со jj*, то.

7~Z~ - с другой стороны, из теоремы 4 следует существование при каждом положительном rf-l такой выпуклой функции у, что СО (Jj-f) не превосходит (^fi —^^, a R [f]>n'~rm °4.

RJf]>-zpr (12) при 4 для некоторой последовательности fl*=*fl Sr .

Оценка (9) уточнялась за счет понижения степени логарифмического множителя (А.Абдугаппаров [44], В. А. Попов [45], А. Хатамов [41], [46]) и в настоящее время показано, что в ней ftvfl можно опустить (Р.П.Петрушев [47]).

Автор и А. Хатамов [ 76J заменили в оценке (II) множитель IfL^fl множителем in :

R max (6-а)<�г" ±е<�ё-а L в.

Отсюда получаем дляР из класса выпуклых функций с модулями i. V ^ п Q непрерывности О) (6- (£п jr) неравенство /?я [f] 6 C (f)f2.

11 в 2,3.,.) точное в смысле порядка по fl (см. неравенство (12)).

А.А.Гончар в 1974 году установил, что для аналитической на (о, а функции f (г)= (ln±)-*t, 0. справедливы неравенства.

1Гшуй7 4 Rn Wп Тс) 9 «-— - г (Щ)+г п п П где? — любое.

В теореме 4а доказывается неравенство а.

В случае эта оценка без доказательства приводится в работе А. А. Пекарского [117J .

Функция^, 0, имеет модуль непрерывности и выпукла кверху на. Несмотря на то, что эта функция еще и аналитична на (Q, i] > приближается она рациональными функциями почти с той же скоростью, что и любая выпуклая на [0,1] функция с модулем непрерывности СО-j-') < (fift^) ^.

О Г для которой теорема 3 дает оценку /? [jl ]? С ^ см. также неравенство (Па)). ^.

В главе Ш изучаются рациональные приближения непрерывных функций с конечным полным изменением. Этому вопросу посвящены тео ремы 5 и б и следствия из них.

Пусть непрерывная функцияf (.0C), Х£ А «имеет конечное полное изменение Y (f) и модуль непрерывности СО f). А. А. Абдугаппаров и Е. П. Долженко (доклад Е. П. Долженко на Международном конгрессе математиков в Москве в 1966 году) получили оценку для Rn [f J через и V (-f), а также через CJCtfjf) и фвариациюl^CfJ функции j (определение Ф — вариации см. в работе [д!]). Из их результатов следует, что если feLipo/ • olyQ, V (f) < ^ «то.

13) а если f имеет модуль j j1 е непрерывности СО f) — ~ J рО и V (f)<*°, то r [jhccfH ** п = • см).

Оценки (13) и (14) независимо и в том же 1966 году получил Г. Фройд [118] .

Заметим, что при получении этих результатов названные здесь авторы существенно использовали представление Лебега (I) и результат Д. Ньюмана (3),.

Следующая теорема содержит эти результаты (в классе функций с конечным полным изменением), и в случае" не слишком хороших" модулей непрерывности, например таких, как со (6) — 4)^iJyQ существенно усиливает оценку упомянутых авторов. Ниже со*и,) = inf (<:j9f)>si}.

Теорема 5. Пусть, хе Л «имеет модуль непрерывности 60 (S) f) и конечное полное изменение. Тогда а, (15) И.

IkRJf] i lk^/?n[f])l где С не зависит от fi .

Теорема 6. Для любой функции типа модуля непрерывности С0(д) и любой последовательности £пм Q существует функция с конечным полным изменением и модулем непрерывности 60 (S} -f)? СО (d) такая, что enna'(l?n[f]) П для некоторой последовательности номеров Ц ^fi^oo с = mui 7 0) [139].

В качестве следствий из этих теорем приведем оценки для Rn ff ] в двух конкретных случаях СО (-f).

Следствие I. Если fcoc), xs№, i]y имеет конечное полное изменение и удовлетворяет условию Lip oL при некотором g^S то с с другой стороны, для любой последовательности 0 и любого положительного о/ < { существует функция f (X) (а <= [0, {] J) из класса Lip ol j имеющая конечное полное изменение, для которой о т х- ^^ для некоторой последовательности П — Ц,/100. к.

Следствие 2. Если j'(OC), [й, {] > имеет конечное полное изменение и модуль непрерывности Од C^-f)^ (tyi — j, то ср. с (14)), с другой стороны, для любой последовательности 0 существует функцияf (OC) [Q, i]) с конечным v j полным изменением и модулем непрерывности 60 -f) ^ (Cfi — для которой.

Rn[f*l>?nni+r <и" для некоторой последовательности fl — fl^ у7 00 .

Заметим, что недавно независимо П. П. Петрушев [50J и А. А Пекарский.

51] уточнили неравенства (13) и (17), заменив в неравенстве (13) множитель l>tt~fl множителем flyi fl, а в неравенстве (17) множитель Eflfl единицей. Эти уточненные неравенства уже практически неулучшаемы, как это видно из (16) и (18).

Помимо основных теорем 5 и 6 в этой главе доказаны теоремы 7 и 7а о приближении «склеенных» функций (теорема 7а является многомерным аналогом теоремы 7). Доказательство их, как и основной теоремы 5 опирается на лемму 3.1. о разложении единицы в сумму рациональных функций. Приведем лишь следствия из этих теорем.

Следствие из теоремы 7. Пусть (0С)} ОС G [fy $ кусочно выпуклая функция и пусть и (б, 0< ct (enff, тогда К.

Ш^в?)' f" «in (PS)> (19) где С^ и Cg положительны и не зависят От ft .

Заметим, что оценка (19) являетсянеулучшаемой, если пренебречь логарифмическим множителем (СпИ)^ «так как для^, эт0 показывает неравенство А. А. Гончара (см. [18]).

Если же ^7% «то легко строится пример просто выпуклой и непрерывной на [О, I] функции j L ip 1, приближение которой.

Следствиеиз теоремы 7а. Пусть функция f Ос) от Jf переменных X = (Otj? VCP 0,0^{непрерывна} на Jfмерном многограннике Q^ и пусть 0N разбит на многогранники, U? , на каждом из которых Объявляется линейной функцией. Тогда.

Rnif, BN].

В заключение отметим, что полученные в работе оценки сверху для наименьших рациональных уклонений функций из определенных классов (см. Теоремы 1,3 и 5) с точностью до логарифмических множителей являются неулучшаемыш (см. теоремы 2,4 и 6 соответственно).

Пользуясь случаем, хочу выразить здесь мою искреннюю благодарность Е. П. Долженко, оказавшему существенно®-, влияние на мою работу. Хочу также искренне поблагодарить С. Б. Стечкина, неоднократные беседы с которым в лечение 1980;81 гг. способствовали улучшению этой рукописи, в частности, сокращению, доказательств теорем I и 3, по сравнению с опубликованными ранее.

Результаты, изложенные в этой диссертации, в большей или меньшей степени были использованы в работах других авторов [41] - [51], Г77] - [П5], [125] - [134] .

Основные результаты диссертации опубликованы в работах [135- 144] и по мере их появления докладывались на семинарах по теории функций в МГУ, на международных конференциях по теории аппроксимаций в Калуге (1975г.), в Благоевграде (1977 г.) в Варне (1981г.), а также на всесоюзных школах по теории функций в Махачкале (1969г.), в Баку (1977г.) и в Саратове (1982 г.).