Пространственно-периодические стационарные и нестационарные решения трехмерного уравнения Навье-Стокса с АВС силой

3.2. Стабилизация решений 62.

3.3. Свойства многочленов Чебышева 63.

3.4. Множество оптимальных шагов 67.

3.5. Практические аспекты вычислений с использованием последовательностей Чебышева 71.

3.6. Использование двучленных рекуррентных соотношений 78.

3.7. Адаптивные алгоритмы оптимизации одночленных итераций 79.

3.8. Оптимальный выбор операторов А* 83.

3.9. Итеративная процедура для вычисления доминирующего собственного значения самосопряженного оператора 86.

3.10 Заключение 88.

Глава 4. Стационарные течения 90.

4.1.

Введение

90.

4.2. Численные методы 91.

Вычисление стационарных течений 91.

Вычисление размерности ядра Е' 91.

Продолжение ветви стационарных течений 93.

4.3. Бифуркации Л общего положения 94.

4.4. Разложение пространства Фурье в прямую сумму изотипических компонент при действии группы симметрий 0 течения Лг 97.

4.5. Результаты вычислений 104.

4.6.

Заключение

115.

Глава 5.

Заключение

118.

Литература

122.

ПЕРВАЯ ГЛАВА.

Поток с полем скорости илвс = {A sin кхз + С cos кх2, В sin кх + A cos кхз, С sin кх2 + В cos кх) называется АВС потоком. Здесь к > 0 — волновое число потока, А, В и С — произвольные постоянные коэффициенты. Линейная комбинация АВС потоков с одинаковыми волновыми числами к — также АВС поток.

АВС поток является собственной функцией оператора ротора с собственным значением к: периодической по каждой из трех пространственных переменных. Применение оператора дивергенции к (1.2) показывает, что (1.1) является полем скорости несжимаемой жидкости:

АВС поток можно рассматривать как суперпозицию трех спиральных волн с гармониками Фурье (0, 0, ±1), (±1,0, 0) и (0, ±1,0) с энергиями |А2, В2 и С2, соответственно.

Этот поток является стационарным решением уравнения Эйлера при периодических граничных условиях для поля скорости V и давления р и условии несжимаемости данной диссертации принято R = v~l, где v — вязкость. Это соответствует стандартному определению числа Рейнольдса, когда к = 1 и А2 + В2 + С2 = 0(1) (см. (1.8)). См., однако, сноску на с.бО.

1.1).

V X UABC — kxiABC,.

1.2).

V • UABC = 0.

1.3) и уравнения Навье-Стокса.

1.4а) где R — число Рейнольдса1 и.

1−46).

V-v = 0.

1.4с).

Интегрирование (1.4а) по кубу периодичности Cl дает d [.

V dx = О, at Jn позволяя наложить дополнительное ограничение.

I V dx — 0.

Jn.

1.4 i).

Arnold (1965) доказал, что стационарное решение уравнения Эйлера.

1.3) может иметь хаотические линии тока только, если оно обладает свойством Бельтрами.

Он отметил, что, поскольку ABC потоки удовлетворяют этому условию, (1.1) задает разнообразные течения с возможно хаотическими линиями тока.

Различные типы течений Бельтрами изучали Bj0rgum & Godai (1952). Было доказано, что любое течение, удовлетворяющее (1.5) при постоянном /с, может быть представлено в виде где Н — любая скалярная функция, удовлетворяющая спектральному уравнению.

Очевидно, АВС потоки являются частным случаем полей (1.6). Однако (1.6) определяет и другие классы периодических по пространству функций, которые также могут иметь хаотические линии тока.

Нёпоп (1966) численно показал, что при, А = л/З, В = у/2, С — 1 и к = 1 АВС поток (1.1) хаотичен. БотЬге и др. (1986) изучали траектории частиц в различных АВС потоках с волновым числом к = 1. Если.

V х V = h.

1.5), где к — константа, откуда.

Vv = 0. дН д2Н и = к———h -—— дх2 dx3dxi '.

2, дН д2Нk-z——-h 7^—тdxi дхздх2 '.

1.6а).

W2H + к2Н = 0.

1.66) хотя бы один коэффициент в (1.1) обращается в ноль, течение интегрируемо. Используя тест Пенлеве, Dombre и др. (1986) утверждали, что это условие является также необходимым для интегрируемости ABC потоков. Сечения Пуанкаре, рассчитанные для некоторых течений такого вида, показывают, что эти течения имеют хаотические линии тока. Если можно построить треугольник со сторонами, равными А2, В2 и С2, течение имеет 8 стационарных точек2- в противном случае стационарных точек нет. В случае, А = В = С = 1 стационарные точки соединены гете-роклинными траекториями, являющимися прямыми линиями (Childress & Soward, 1985). Максимальные показатели Ляпунова для некоторых ABC потоков были вычислены Galanti и др. (1992). Для множеств коэффициентов, которые они рассматривали, максимальный показатель равен ~ 0.2- для ABC ф 0 показатели положительны.

Наличие неустойчивых траекторий влечет, что, как стационарное решение уравнения Навье-Стокса. (1.4) в пределе больших чисел Рейнольдса, и как стационарное решение уравнения Эйлера (1.3), поток (1.1) неустойчив относительно 27г-периодических возмущений (Арнольд, 1972; Yakhot & Pelz, 1991; Friedlander & Vishik, 1991a, b, 1992; Friedlander, Gilbert & Vishik, 1993; Vishik & Friedlander, 1993, 1995).

Для к = 1 и произвольных коэффициентов А, В и С поток имеет группу симметрий из 8 элементов. В группе 16 элементов, если два коэффициента равны, и 48, если, А = В = С. В половине симметрий обращается время (Арнольд, 1984; Dombre и др., 1986). Любая симметрия потока является симметрией уравнения Эйлера (1.3) и любая симметрия без обращения времени является также симметрией уравнения Навье-Стокса (1.4). Для натуральных к > 1 группы больше: они также включают параллельный.

О-тг •-> W перенос на по каждой пространственной координате.

ABC потоки были предложены как прототип для изучения развития турбулентности и широко используются в магнитогидродинамике как поле скорости V проводящей жидкости в теории кинематического динамо. Задача кинематического динамо — это задача на собственные значения для оператора.

MB = V х (v х В) + ДВ, (1.7а).

Чп.

2 В кубе периодичности П. действующего на пространстве соленоидальных полей.

V-B = 0 (1.76) при соответствующих граничных условиях. Говорят, что при некотором магнитном числе Рейнольдса Rm есть динамо, если оператор (1.7) имеет собственное значение с положительной действительной частью (см. Moffat t, 1978). Если наибольшая действительная часть имеет положительный верхний предел при Rm —> оо, динамо называется быстрым. Вишик (1988) доказал, что только хаотические потоки допускают быструю генерацию магнитного поля (см. также Vishik, 1989; Klapper & Young, 1995).

В контексте задачи кинематического динамо ABC потоки впервые рассмотрел Childress (1970). Эта задача была широко исследована численно (см. Арнольд и Коркина, 1983; Galloway & Frisch, 1984, 1986; Gilbert, 1991, 1992; Galanti и др., 1992; Childress & Gilbert, 1995). Было показано, что ABC потоки могут действовать как динамо. Вычисления указывают на то, что для некоторых наборов коэффициентов эти динамо быстрые.

Данная диссертация посвящена исследованию решений уравнения Навье-Стокса (1.4) при.

А = В = С = 1, к = 1. (1.8).

ABC поток (1.8) часто называют 1:1:1 ABC потоком. (Его энергия равна.

1.5, а наибольший показатель Ляпунова равен 0.055 (Galanti и др., 1992).) Одной из целей настоящего исследования было изучение развития нелинейных режимов пространственно-временной турбулентности при возмущении ABC потока. Хотя доступные вычислительные ресурсы наложили значительные ограничения на верхнюю границу достижимых чисел Рейнольдса, численное исследование имеет то преимущество, что оно предоставляет подробную информацию о пространственно-временном поведении течений. Оно позволяет идентифицировать бифуркации, происходящие в системе, а также тип возникающих аттракторов. Поскольку ABC потоки являются течениями Бельтрами и описываются малым числом гармоник Фурье, они хорошо подходят для изучения возникновения турбулентности и возможной взаимосвязи между временным хаосом и развитием мелкомасштабных пространственных структур.

Другой повод для настоящего исследования относится к магнитогидродинамике. Быстрые кинематические динамо основаны на хаотических свойствах теченийвместе с тем, те же самые свойства ответственны за то, что эти течения сами становятся неустойчивыми при относительно малых числах Рейнольдса. Таким образом, изучение временной эволюции возмущенного ABC потока потенциально может предъявить лучшего кандидата на роль генератора магнитного поля в нелинейной некинематической постановке.

Наши исследования показали, что при численном моделировании зависящих от времени решений уравнения Навье-Стокса (1.4) необходимо выполнять вычисления с относительно большим разрешением (т.е. с большим числом гармоник Фурье в случае периодических по пространству граничных условий) уже для таких небольших чисел Рейнольдса как R = 15. Это происходит из-за возникновения в процессе эволюции течения мелкомасштабных пространственных структур, существенных для глобального поведения течения.

Гомоклинные и гетероклинные траектории часто ответственны за поведение зависящих от времени решений. Хорошо известные примеры включают аттрактор Лоренца (Lorenz, 1963; Sparrow, 1982; Silnikov, 1993) и аттрактор Шильникова (Silnikov, 1965). Наши вычисления показывают, что при небольших числах Рейнольдса эволюция зависящих от времени течений определяется стационарными состояниями системы. Стационарные течения продолжают контролировать динамику системы после того, как они теряют устойчивость, и (при дальнейшем увеличении R) даже, когда начальные этапы перехода системы к турбулентности пройдены. В качестве первого шага для исследования структуры гетероклинного скелета системы (1.4) мы изучаем ветви стационарных течений, появляющихся при малых числах Рейнольдса. Эти ветви были прослежены до R = 2000.

Для некоторых гидродинамических систем существование нескольких стационарных течений было установлено аналитически (см. Temam, 1984, и приведенные там ссылки). Появление нового состояния равновесия при увеличении параметра системы наблюдалось в других гидродинамических системах, например в системе Тейлора-Куэтта (см. Golubitsky, 1988; Chos-sat & Iooss, 1994, и приведенные там ссылки). Однако в этих экспериментах существование нескольких стационарных состояний было установлено только на конечных интервалах параметров, там, где стационарные течения были устойчивы. Число стационарных решений уравнения Навье-Стокса, его зависимость от числа Рейнольдса, зависимость отдельного решения от Я — эти вопросы представляют интерес сами по себе, и ответы на них неизвестны. Наблюдаемое поведение некоторых ветвей стационарных течений указывает, что эти ветви могут существовать при всех больших числах Рейнольдса. Вычисление этих стационарных решений (1.4) потребовало разработки нового метода решения больших систем нелинейных уравнений, основанного на свойствах нулей полиномов Чебышева.

1:1:1 АВС поток имеет самую большую группу симметрий в классе АВС потоков с волновым числом один. Этот поток был нами выбран для того, чтобы наблюдать необычные типы бифуркаций, характерные для сильно симметричных систем. (Отметим, что природа глобальных бифуркаций редко поддается аналитическому исследованию, отсюда необходимость &ldquo-экспериментального&rdquoподхода.) Действительно, на интервале 7 < Я < 25 были обнаружены двенадцать бифуркаций. Насколько нам известно, даже первая бифуркация тривиального решения, в которой оно теряет устойчивость, не была исследована аналитическимы предполагаем провести это исследование в будущем. К настоящему моменту мы получили следующие предварительные результаты в этом направлении. Построено разложение пространства мод Фурье в прямую сумму изотипических компонент под действием группы симметрий 1:1:1 АВС потока. Аналогичное разложение было получена Арнольдом (1984) — в данной диссертации построены разложения представлений на меньших пространствах, и каждая изотипическая компонента описана в терминах коэффициентов Фурье. Применяя эти формулы, можно определить, к какой изотипической компоненте пространства гармоник Фурье асимптотически принадлежит объект, появляющийся (или исчезающий) в результате бифуркации (для бифуркаций общего положения). Таким образом, можно найти размерность собственного подпространства касательного пространства, соответствующего собственным значениям, пересекающим в точке бифуркации мнимую ось (равную размерности центрального многообразия), что нужно для идентификации бифуркации. Используя эти результаты, мы установили, что первая локальная бифуркация 1:1:1 АВС потока при Яс ~ 13.044 не является обычной бифуркацией Хопфа, в которой одна пара простых собственных значений пересекает мнимую ось.

Результаты вычислений решений, зависящих от времени, представлены в Главе 2. В Главе 3 описан численный метод решения больших систем уравнений. Этот метод применялся для расчета стационарных решений уравнения Навье-Стокса (1.4), (1.8). Результаты этих расчетов приведены в Главе 4.

ВТОРАЯ ГЛАВА.

РЕШЕНИЯ, ЗАВИСЯЩИЕ ОТ ВРЕМЕНИ.

2.1.

Введение

.

В этой Главе приведены результаты численного исследования эволюции возмущения 1:1:1 ABC потока (1.1), (1.8). Изложение следует статье Podvigina & Pouquet (1994).

Используя энергетическое неравенство (см. Joseph, 1976), можно доказать, что при малых числах Рейнольдса ABC поток является единственным и устойчивым стационарным решением (1.4). В случае (1.8) единственность и устойчивость доказаны для R < | (см. Раздел 2.2). Было вычислено, что критическое число Рейнольдса потери линейной устойчивости для 1:1:1 ABC потока Rc ~ 13.044 (Galloway & Frisch, 1987; Podvigina & Pouquet, 1993, 1994). Аналитическое исследование линейной устойчивости течения при длинноволновых возмущениях показало, что поток устойчив при R ~ 1 (Bayly & Yakhot, 1986) и теряет устойчивость при R >> 1 (Libin & Sivashinsky, 1990; Libin и др., 1987; Moffatt, 1986). Применяя асимптотические методы, используемые в теории кинематического динамо, Friedlander & Vishik (1991) и Vishik & Friedlander (1993) доказали неустойчивость ABC потоков при всех достаточно больших R.

Мы исследуем поведение решений уравнения Навье-Стокса (1.4) с силой (1.8), когда число Рейнольдса возрастает от R = 0. Первая бифуркация, наблюдаемая в системе, — появление новых стационарных решений посредством седловой бифуркации. Это происходит при R «7.9, до того, как 1:1:1 ABC поток теряет устойчивость. Верхняя граница детально исследованного интервала чисел Рейнольдса, R = 50, определялась доступными нам вычислительными ресурсами (в основном, временем ЦПУ): в типичном расчете интегрирование выполнялось на времена порядка 104. Были также выполнены вычисления для R — 200, чтобы изучить поведение системы при больших числах Рейнольдса.

За единицу времени принято так называемое &ldquo-время оборота вихря&rdquo- -величина, естественная для ABC потока, поскольку и скорость, и пространственный масштаб — порядка единицы. Другое характерное время, соответствующее максимальному показателю Ляпунова для 1:1:1 ABC потока. А ~ 0.055, t ~ 18 в принятых единицах.

Аналогичные исследования были проведены для трехмерного уравнения Навье-Стокса с другой силой (Kida и др., 1989) при выполнении ряда симметрий, что облегчило вычисления при больших числах Рейнольдса. Были подробно изучены численно двумерное периодическое по пространству уравнение Навье-Стокса с Колмогоровской силой (см. Chossat, 1996, и приведенные там ссылки), а также неустойчивость Колмогоровского течения относительно двумерных мелкомасштабных (от к ~ 3 до ~ 8) возмущений (She, 1988; Platt и др., 1991). .

В данном исследовании рассматриваются только несжимаемые возмущения ABC потока (1.8). Начальное возмущение потока предполагается периодическим по пространству (с тем же периодом 2тг по каждой декартовой координате хг). Основная часть наших вычислений была выполнена с малыми начальными возмущениями. Для нескольких чисел Рейнольдса рассматривались также большие начальные возмущения с энергией порядка энергии невозмущенного 1:1:1 ABC потока.

Некоторые основные определения.

Обозначим через Ai 1:1:1 ABC поток (1.1), (1.8) и через О, — куб периодичности потока размером 2тт по каждой декартовой координате. Кинетическая энергия ABC потока в U.

Е (илвс) = 2² В2 С2).

Соответственно, энергия Л = Е (Аг) = 1.5 .

Рассмотрим течение v как возмущение Л.

V = Ai + v.

Тогда.

Ет = - / V2 ¿-х 2 JQ.

— полная энергия, и.

Ер = I/nv^x.

— энергия возмущения. Это определение наиболее естественно для случая малых возмущений.

Пусть < • > обозначает усреднение по времени:

Уравнение для энергии возмущения.

Ер >=< Ет > < Л • V о? х >

Ja показывает, что средняя энергия < Ет > может быть меньше средней полной энергии возмущения < Ер > для сильно возмущенных течений. Относительная спиральность п V • а- 6? Х где со = V х V — завихренность потока, достигает максимума (рта, х = 1) на любом АВС потоке.

Решение представляется в виде ряда Фурье.

— сферический слой в пространстве волновых векторов гармоник Фурье, Е (к) = - энергия отдельной гармоники Фурье (мы также называем.

Ук модой (?1, &2, к3)). Отметим, что энергетический спектр нестационарного поля скорости является функцией времени. Мы также рассматриваем отношение г энергии шести мод с волновым числом один (т.е. (0,0, ±1) и циклические перестановки) к полной энергии вычисляемого решения.

Под временным частотным спектром Р (/) мы понимаем спектр мощности энергии возмущения Ер{{) в области временных частот:

Частотные спектры вычислялись по значениям Ep (t) в равноотстоящих по времени точках с использованием стандартных приемов — окон, быстрого преобразования Фурье и осреднения спектра (см. Press и др., 1992). Р у = Е^, кх.

2.1) к.

Энергетический спектр определен стандартным образом:

ЕК =? £(к). к £СК.

Здесь.

Ск = {к | К < |к| < К + 1}.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

.

Традиция изучения изменений в поведении решений уравнения Навье-Стокса при изменении параметра, управляющего системой, (часто числа Рейнольдса, как и в рассматриваемой задаче) уходит своими корнями в XIX век.

Уравнение Навье-Стокса можно рассматривать как динамическую систему с бесконечным числом степеней свободы (см. Тетат, 1988). Из-за сложности этой системы (напомним, что для трехмерного нестационарного уравнения Навье-Стокса еще не создана законченная теория существования и единственности решения) природа перехода от ламинарных режимов к турбулентным все еще недостаточно изучена. Неизвестно, как индивидуальный сценарий зависит от характерных особенностей системы. Исследования, относящиеся к описанию природы бифуркаций в терминах группы симметрий, составляют одно из перспективных направлений. Одной из задач данного численного исследования было расширение наших знаний относительно таких нелинейных динамических систем.

Результаты численного исследования нестационарных течений гидродинамической системы (1.4), (1.8) при Я < 200 приведены в Главе 2. При Я < 7.9 единственное, устойчивое стационарное состояние Л является единственным аттрактором системы. На интервале 7 < Я < 25 было найдено двенадцать бифуркаций, постепенно приводящих ко все более сложным теченияммы наблюдали реламинаризацию течения, потерю и восстановление симметрий, хаотические осцилляции.

Симметрии действующей силы, являющиеся также симметриями системы, играют ключевую роль во всех наблюдаемых бифуркациях. Стационарные течения, появляющиеся в первой глобальной бифуркации при И & 7.9 имеют меньшие группы симметрий, чем стационарное течение Л. Течение Л теряет устойчивость в следующей (первой локальной) бифуркации при Не ~ 13.044. Эта бифуркация свойственна системам с группой симметрий, изоморфной группе вращений куба О, центральное многообразие является трехмерным (т.е. изоморфным С3). Она требует детального аналитического исследования. Появляющийся в этой бифуркации аттрактор, рассматриваемый как подмножество фазового пространства, обладает всеми симметриями системы. Естественно, отсюда не следует, что каждая отдельно взятая траектория аттрактора имеет все эти симметрии в любой момент времени. В рассматриваемой системе для чисел Рейнольдса в интервале Яс < Я < 13.4 индивидуальные траектории, принадлежащие аттрактору, близкому к не обладает никакими симметриями.

После трех следующих бифуркаций при Я — 13.5 решение, в начальный момент близкое к Лг, притягивается к стационарному потоку Д2>1(.й). У этих аттракторов некоторые симметрии отсутствуют: их группа симметрий состоит из восьми элементов. Индивидуальные течения проявляют тенденцию к восстановлению каждой из этих восьми симметрий. Следующей происходит бифуркация Хопфа Д2д{Я), свойственная системам с группой симметрий В4. В ней также происходит потеря симметрий: тогда как аттракторы по-прежнему имеют ту же группу симметрий из восьми элементов, что и до бифуркации, у индивидуальных течений, составляющих аттрактор, группа симметрий состоит из четырех элементов. Эти группы симметрий сохраняются после еще одной бифуркации, но они постепенно исчезают (см. текст) при двух последующих (группа симметрий аттрактора остается неизменной). Следующая бифуркация при Я = 20 приводит к увеличению группы симметрий аттрактора: три взаимно симметричных аттрактора сливаются в один, имеющий все симметрии системы.

Локальные бифуркации, происходящие в системе, идентифицированы как седловые или типа Хопфа симметрических системнеобходимо дальнейшее аналитическое исследование последних. Мы начали это исследование с построения разложения пространства Фурье в прямую сумму изо-типических компонент под действием группы симметрий А, а каждая изотипическая компонента была охарактеризована в терминах коэффициентов Фурье. Это позволяет найти размерность центрального многообразия, что необходимо для идентификации бифуркации.

На интервале чисел Рейнольдса 7 < Я < 25, где происходит большое число бифуркаций, вычисленные эволюционные течения остаются более или менее ламинарными. Динамические режимы системы определяются взаимодействием аттракторов, расположенных вблизи стационарных течений. Тип некоторых наблюдаемых глобальных бифуркаций неизвестен, необходимо их дальнейшее аналитическое или численное исследование. Известно, что динамика системы часто определяется структурой гете-роклинных связей в фазовом пространстве (в случае, например, систем, в которых происходит бифуркация Шильниковадля системы, рассматриваемой в настоящей диссертации, это заключение следует из результатов Главы 2). Таким образом, чтобы лучше понять поведение нестационарных решений, полезно вычислить гомоклинные и гетероклинные траектории и исследовать изменение структуры гетероклинного скелета при изменении числа Рейнольдса.

При Я > 25 мы не смогли выявить никаких бифуркаций. (Конечно, вопрос о том, были ли найдены все бифуркации, происходящие в системе, или некоторые из них не были замечены из-за сложного поведения течений, остается открытым. Это тесно связано с пониманием геометрии фазового пространствав частности, было бы желательно получить подтверждение, что в системе не существует других аттракторов, кроме обсуждаемых в Главе 2.) Однако с увеличением числа Рейнольдса происходят количественные изменения в поведении решений. В частности, уменьшается средняя энергия течений, растет относительная доля энергии, содержащаяся в гармониках Фурье с волновым числом больше единицы, и уменьшается относительная спиральность, что является признаком турбулизации течений. Переход к турбулентности виден также при визуализации течения. При дальнейшем исследовании в этом направлении желательно исследовать хаотические свойства потоков (показатели Ляпунова, топологическая энтропия, размерности аттракторов и др.) количественно.

Согласованность поведения энергии разных слоев указывает на то, что решения могут принадлежать многообразию относительно небольшой размерности. Однако единственная известная оценка Колмогоровского типа 9 числа степеней свободы дает число значащих мод порядка Я*. Для рассмотренных здесь чисел Рейнольдса это число, в пределах между 102 и ~ 105, по-видимому, сильно завышено.

В качестве предварительного шага на пути исследования гетероклин-ной структуры фазового пространства мы вычислили стационарные течения системы (Глава 4). Для вычисления этих стационарных течений оказалось необходимым разработать метод решения систем с большим числом уравнений (Глава 3). Этот метод применим для произвольной гладкой нелинейной системы. Для него не требуется устойчивости решений, и он показал себя весьма эффективным.

Две различные ветви стационарных решений (плюс четыре, получающиеся из этих применением симметрий) были рассчитаны при Я < 2000. Результаты вычислений указывают на то, что как минимум для трех полуветвей при больших R устанавливается асимптотическое поведение. Следовательно, эти полуветви, вероятно, продолжаются на все R —> оо и сходятся к непрерывному по Гельдеру решению уравнения Эйлера. Следующим естественным шагом в этом направлении было бы построить аналитически асимптотическое разложение стационарных течений, составляющих ветви, не исчезающие при больших R. Почему стационарные течения A.2,i{R) близки к ABC потокам с коэффициентами А^ В<*, = Соо = §?

Как было показано, в рассматриваемой системе число стационарных решений растет с R (отметим, что мы не ставили себе целью найти все стационарные состояния системы). Таким образом, представляет интерес оценить, численно или аналитически, как число стационарных решений зависит от числа Рейнольдса.

В заключение отметим, что все сформулированные выше вопросы сохраняются, когда в исследуемую гидродинамическую систему привносится магнитное поле. Однако это уже выходит за рамки настоящей диссертации.