Применение метода эквипотенциалей в задачах гидродинамики свободных турбулентных течений и фильтрации

Работа посвящена исследованию нелинейных задачг возникающих в теории полуэмпирических моделей турбулентности и нелинейной фильтрации. Разработка методов исследования изучаемого класса задач является важным этапом их анализа, что позволяет, в частности, ответить на вопрос о корректности модели, изучить условия формирования фазовой структуры решения, проследить выход решений на асимптотический режим, описать классы частных решений, и изучить другие качественные свойства решений.

Характерной особенностью рассматриваемых моделей является их существенная нелинейностьналичие диффузионных и конвективных членов в уравнениях вносит дополнительную сложность в их исследование.

Нелинейные диффузионные уравнения представляет собой одну из активно разрабатываемых в настоящее время областей теории дифференциальных уравнений в частных производных. Особое место в ней занимают квазилинейные параболические уравнения второго порядка и параболические системы квазилинейных уравнений, которые лежат в основе математических моделей, являющихся предметом настоящего исследования. Библиография, посвященная этому разделу, является достаточно обширной. Прежде всего это монографии А. А. Самарского, В. А. Галактионова, С. П. Курдюмова, А. П. Михайлова [бб] и Э. Митидиери, С. И. Похожаева [59], обзоры V. Galaktionov, J. Vazquez [118], К. Deng, Н. Levin [112] и другие, которые посвящены изучению необходимых условий существования решений параболических уравнений как на основе принципа сравнения, так и использования априорных оценок. Вместе с тем, опыт ее применения при исследовании рассматриваемого класса задач потребовал дополнительных усилий, связанных как с наличием вырождения уравнений на заранее неизвестных множествах, так и со сложной структурой самих моделей, что приводит к необходимости дальнейшего развития методов исследования нелинейных диффузионных уравнений и систем.

Применение топологических методов часто оказывается весьма эффективным инструментом при исследовании специфических свойств, присущих рассматриваемым моделям — геометрии множества вырождения уравнений, формы профиля решений, существования совокупностей решений (инвариантных многообразий) и некоторых других свойств.

В настоящей работе дается изложение применения метода эквипотен-циалей (линий и поверхностей уровня) при изучении такого рода особенностей в изучаемых задачах. Исследование «тонкой» структуры моделей является основой, которая позволяет выяснить механизмы образования тех или иных режимов, допускаемых рассматриваемыми задачами.

Прежде всего в диссертации излагается: применение метода линий уровня для исследования геометрии свободной границы, формы профиля решения, перемен знака производной и ряда других свойств решений уравнений типа нелинейной фильтрации, уравнений с переменным направлением параболичности, нелинейных параболических уравнений и систем вырождающихся параболических уравнений, возникающих в задачах теории полуэмпирических моделей турбулентностиприменение метода дифференциальных связей (построение инвариантных многообразий) для нахождения различных классов решений задач о развитии бессдвигового турбулентного слоя смешения и динамики дальнего плоского турбулентного следа и, кроме того, его использование для получения и обоснования алгебраических параметризаций высших моментов гидродинамических полей.

Метод линий уровня получил достаточно широкое распространение при качественном исследовании моделей механики жидкости и газа. В. И. Ар

В. И. Арнольд и Б. А. Хесин в своей известной монографии [88] отмечали успех применения данного метода. В задачах газовой динамики это работы А. А. Никольского, Г. И. Таганова, А. И. Рылова, Э. Г. Шифрина и др. Для изучения свободных границ в задаче о фильтрации жидкости в пористой среде А. С. Калашников [36], В. Кпегг [156] использовали линии уровня для аппроксимации границы области, заполненной жидкостью.

Существенный прогресс в изучении свойств решений нелинейных параболических уравнений связан с применением теоремы Штурма [89] о нулях решения однородного параболического уравнения. Данная теорема позволила исследовать динамику «свертывания» локально выпуклых плоских кривых [90], где, в частности, изучалось поведение функции числа вершин рассматриваемых кривых. S. Angenent, М. Gurtin [91] на основе теоремы Штурма изучали геометрию свободных границ в задаче о фазовых переходах, анизотропные движения линий раздела фаз в задаче о плавлении твердого тела, эволюцию изотермальных линий раздела фаз в задачах многофазной термомеханики.

Форму профиля решений (аналитичных по переменной t) для линейных параболических уравнений изучали К. Kunisch, G. Peichl [160], которые существенно использовали аналитичность решения u (x, t) для изучения числа нулей производной ux (-, t). Исследования геометрии профиля решения для уравнения фильтрации идеального изотропного газа для функции давления v (x, t): vt = vvxx + 7(^)2, 7 > 0, проводились в работах J.L.Graveleau, Jamet P.J. [123] и Benilan Ph., Vazquez J.L. [102]. Было получено, что функция давления газа v (x, т), при (х, т) е suppv, сохраняет вогнутую форму относительно переменной х, если в начальный момент времени давление v является вогнутой функцией. Свойство сохранения формы профиля решения при изменении времени доказывалось на основе формулы Троттера-Като для полутрупп, порожденных операторами, полученными в результате расщепления правой части уравнения нелинейной фильтрации на диффузионный оператор и оператор типа Гамильтонна-Якоби. При этом существенно использовался конкретный вид уравнения.

Теорема 1 ([102]) Пусть vxx (xy 0) < —С, тогда vxx (xyt) < — C/(l + (m+ 1) Ct) для (x, t) е MM) > 0}.

Оценка второй производной при (7=0 была получена в [123].

Форму профиля функции давления газа с других позиций изучали V. Galaktionov, J. Vazquez [119, 120], которые применяли метод сравнения по пересечениям с классом точных решений с заведомо известными свойствами. Было установлено, что существование вогнутого профиля функции давления v (x, t) является следствием того факта, что уравнение для v (x, t) допускает множество решений вида t) = (2tf а)+, Л, а ?

Применение теоремы сравнения с данным классом решений (кусочно-линейные функции относительно переменной х) позволило выяснить форму профиля функции v (x, t). Этот подход оказался весьма продуктивным для изучения геометрических характеристик решений уравнений типа нелинейной фильтрации-абсорпции, которые зависят от наличия различных классов частных решений уравнений. Существование классов частных решений связано с инвариантными подпространствами, как правили конечномерными, для оператора, порожденного правой частью уравнения для функции давления v (x, t) и, как показано в [120], свойства (алгебраические и топологические) инвариантных подпространств порождают вполне определенные характеристики поведения общего решения. Следует отметить, что данные методики имеют ограниченные области применения. В методе линий уровня для параболических уравнений не используются указанные выше специфические особенности рассматриваемых уравнений, не требуется a priori знание точных решений и применение теорем сравнения, так как лежащая в его основании теорема Штурма, позволяющая находить линии уровня решения, не накладывает дополнительных ограничений на вид уравнения, а представляет фундаментальное свойство решений однородных параболических уравнений.

Для класса уравнений переменного типа с «прямой» и «обратной» па-раболичностью, также изучаемых в настоящей работе, применение метода линий уровня оказалось эффективным при исследовании множеств (интерфейсов), разделяющих области изменения типа уравнений. Уравнения данного вида возникают при описании динамики образования двухфазной смеси J.W. СаЬп, J.E. Hilliard [106], исследовании эффекта «thermocline» в океане А. С. Монин, А. В. Яглом [61], в моделях теплои массоперено-са в стратифицированных турбулентных сдвиговых потоках G.I. Вагеп-blatt, М. Bertsch, R. Dal Passo, М. Ughi [97, 98]- при моделировании сложных турбулентных потоков Н. Н. Яненко [76], Н. Н. Яненко, В. А. Новиков, Т. И. Зеленяк [78, 32]. При численном исследовании системы уравнений газовой динамики, первое дифференциальное приближение в методе частиц в ячейках для уравнений газовой динамики дает пример такого рода уравнений Ю. И. Шокин, Н. Н. Яненко [75]- в исследовании вязко-упругих ненютоновских жикостей J. Hunter, М. Slemrod [147], П. И. Плотников [166]- изучении неравновесных фазовых переходов A. A. Lacey, М. Shillor [161]- в процессах образования встречных потоков в пограничном слое Прандтля-Мизеса (В.Н. Монахов [60], О. Б. Бочаров [10]) и других физических явлениях также возникают уравнения указанного типа.

Принцип максимума для данного класса уравнений в различной форме получали K. Hollig, J.A. Nohel [145], В. А. Новиков [62], М. М. Лаврентьев (мл.) [52] и др. Например, для начально-краевой задачи где w: R —> R — достаточно гладкая функция такая, что w'(0) = 0, w'(p) < 0 для р е (рьрг), w'(p) > 0 для р 6 (-оо, pi) U (j?2, w'(p) > d для некоторого d > 0 и >• 0) K. Hollig, J.A. Nohel [145] установили, что.

Щ = Iw{ux)]s, (х, t) eDT = [0,1] х [0, Г],.

0.1) и (х, 0) = и0(ж), X 6 [о, 1], пг (0, t) = «(<), u,(l, t) = /3(0, * € [0, Г],.

0.2) (0.3) для if^{решения} этой задачи при о- = (5 = 0 верно min{pi, min{ito (i): х 6 [0,1]}} < ux (x, t) < max{p2,max-fu^x): х Е [0,1]}}.

Для гладкого решения и? С2'2 задачи (0.1)-(0.3) В. А. Новиков [62] получил, что тт{р1,тт{г1я-(ж,^): (x, t) Е Г}} < ux (x, t) m&x{p2,ma, x{ux (x, t): {x, t)? Г}}, где Г = dDt (0,1) х {Т}.

Априорным оценкам решений уравнений переменного типа были посвящены работы Н. Н. Яненко, В. А. Новикова, Т. И. Зеленяка [76, 78], М. М. Лаврентьева (мл.) [53], В. Н. Монахова [60], А. Г. Подгаева, С.Г. Пят-кова [64], О. Б. Бочарова [10], K. Hollig [146], J. Bona (см. [146]) и др. Отметим некоторые из них. В работах [76], [146] для краевой (0.1)—(0.3) были получены следующие априорные оценки:

M->*)lk[o, i] < IWkpu] для п.в. t е [о, т], 1К|Ц2(?>т) < ^=IMU2[0,1].

Оценка вида hxh^Dr) < «lhK)IUco[o, i] получена различными способами в работах [78], [146]. Для решения уравнения с конвективным членом щ + иих = [ti>(ti,)]» (х, t) G Dt = [0,1] х [0, Т] (0.4) с начально-краевыми условиями (0.2),(0.3) при, а = (3 = 0 в [76], [32] были получены оценки.

1 М,*)11ъ[о, Ц<�С для п.в. t 6 [0, Т], КО" *)IU2[o, i] < С для п.в. t € [0, Г], Ыьг (?>т) < с>

IK||l2(Dt) < С, ||Mu*)]"lk (Dr) < с. Как отмечено в этих работах, аналогичные оценки верны и для задачи Дирихле. Используя технику функционалов Ляпунова, разработанную Т. И. Зеленяком в [33] для параболических уравнений, в случае, когда w представлена кубическим полиномом и u (x, t) 6 С3,3(Дг) является решением задачи Дирихле для уравнения (0.1) с нулевыми краевыми условиями, М. М. Лаврентьевым (мл.) в [52, 53] были получены оценки вторых производных.

IKt|U2(DT.e) + IK*IUa (Dr,) < С<�Г где е? (0, Т]. Подобная оценка имеет место и для уравнения с конвективным членом (0.4).

Вопросы существования и единственности решений освещались в работах В. Н. Монахова [60], О. Б. Бочарова [10], К. Hollig, J.A. Nohel [145], А. Г. Подгаева и С. Г Пяткова [64], К. Hollig [146], В. А. Новикова и И. В. Шваб [63], С. Г. Пяткова [65] и др. Для начально-краевой задачи (0.1), (0.2) с данными Дирихле.

0,0 = a (t), u (1, t) = b (t), t 6 [0, T] (0.5) были доказаны.

Теорема 2 ([63]) Для достаточно малых Hu’olUa u Т > 0 начально-краевая задача (0.1), (0.2), (0.5) имеет континуум обобщенных решений.

Теорема 3 ([63]) Пусть щ € тогда для некоторого Т > 0 начально-краевая задача (0.1), (0.2), (0.5) имеет по крайней мере одно обобщенной решение такое, что щ G .^(Аг)* [w (w®)]a-? -^(Аг), их е Loo (Dt) и u (-, t) в Wc* для п.в. t? [0,Г].

Последняя теорема доказана в специальном случае, когда w ~ кубический полином такой, что w (0) = 0. Для задачи Неймана подобная теорема установлена в [64]. В. Н. Монахов в [60] изучал проблему существования развитого пограничного слоя Прандтля. Задача сводится к исследованию параболического уравнения со знакопеременным коэффициентом при эволюционной производной.

— И + vul'2uxx = /(*), / = -2UUU (0.6) где U — скорость внешнего потока, v = const > 0 — коэффициент вязкости.

• Для уравнения (0.1) в области 1} = {д-,?|д->0,0 к) = щ (х), u (0,f) = 0, u (oo, t) = /!(*), (0.7) где /i = U (t)U (t), u0(x) > 0, щ (х) < 0, ик (0) = 0, к = 0,1. Наряду с задачей (0.6),(0.7) в области D — D (x) = {x, t | 0 < х < #1,0 < t < 1} рассматривалась следующая регуляризованная задача для и (ж, е):

Lu = a (u)uxx + Euu — a (u)ut — /(i), e = e^o), (0.8) u =.

Здесь tp = [(l-t)u0(x) + tul (xM (xl-l-x), |М|(Д+а) < М0\щ, ui||f (2+e), I = [0,xi], Mo — постоянная, ф (р) — срезающая функция, a (u) = v{^j{sq1)u + ?0)½, o (u) = Ф (?о l|u|)sgnu.

Теорема 4 ([60]) Задача (0.6), (0.7) имеет no крайней мере одно обобщенное решение u (x, t), полученное как предел при е —> 0 обобщенных решений u (x, t, e) задач (0.8), (0.9). Функция u (x, t) обладает следующими свойствами: u (x, t) G В (Пт) = {Я3+а (Г2т) U Н1+а (Пт П Z>i)}Vm > 0- (и — <р)? V⁰(dD) — для любого конечного х > 0, х < оо выполняется интегральное тождество.

L°(u, т/- Пт) + А («, т/- Ет) = 0 Vт/ е C2(DX), т > 0, где L0 — билинейная формаLe (u, г/- Г2) = (их, (ащ)х)—(р, rjt)+(fu, т/)+Г| = при е = 0, Л = lime Le (tt, 77- i? m), причем для функционала Л верна оценка.

JA (u, 77- Ят)| < /C (Af, 17)®, m½.. '.

Понятие мерозначного решения, введенного в рассмотрение в работах L. Tartar [171], R.J. DiPierna [113], использовалось С. Elliot [116] при изучении разрешимости задачи Дирихле для вырожденного уравнения Кэна-Хилларда (которое возникает в случае нулевой энергии фазового поверхностного взаимодействия двухкомпонентной смеси):

Как результат (см. [116]), было доказано существование мерозначного решения задачи (0.10)-(0.12) при cq Е Сх[0,1] для любого Т > 0. Теоремы существования в классе мерозначных решений задач Дирихле и Неймана для многомерного аналога уравнения (0.10) были получены М. Slemrod в [168], [169] и П. И. Плотниковым в [166]. В [168], [169] доказательство основывалось на переходе к пределу в регуляризованном с помощью слагаемого —еА2и уравнении (0.10). Гистерезисный характер поведения решения изучался в [166].

Список публикаций по параболическим уравнениям с переменным направлением эволюционности является весьма обширным. Мы не касаемся анализа работ, посвященных различным регуляризациям для данного класса уравнений и вопросам, связанным с предельным переходом в регуляризаторах. Нами основное внимание уделяется изучению фазовой структуры решения вырожденного уравнения Кэна-Хилларда, а именно, выделение областей, на которых не происходит изменения типа уравнения. Особенностью данного раздела работы является развитие метода линий уровня в направлении исследования фазовой структуры решения уравнения переменного типа. Сначала на основе метода линий уровня анализируется фазовая структура решения. Затем дается метод построения решения задачи Коши в некоторых специальных случаях задания начальных данных. с* = М с)]", (x, t) eDT,.

0.10) с (х, 0) = с0(х), х G [0,1], c (0,t) = c (l, t) = 0, *>0.

0.11) (0.12).

•Следующий цикл работ, представленный в диссертации, посвящен математическим вопросам теории полуэмпирических моделей турбулентности. Нелинейные параболические уравнения второго порядка и параболические системы уравнений, которые являются объектом данного исследования, лежат в основе рассматриваемых моделей. Наибольшее распространение для описания структуры турбулентных возмущений получили параметрические модели турбулентности.

Для описания процесса затухания вспышки турбулентности в рамках полу эмпирической теории турбулентности привлекаются одно-, двух-параметрические модели турбулентности. Численное моделирование в двумерных постановках в однородной и стратифицированной жидкостях с численным анализом автомодельности вырождения в однородной и пассивно стратифицированной жидкостях осуществлено в работах О. Ф. Васильева, Б. Г. Кузнецова, Ю. М. Лыткина, Г. Г. Черных [12]- Ю.М. Лытки-на, Г. Г. Черных [57]. Автомодельные решения изучались Г. И. Баренблат-том [99], [100], S.P. Hastings, L.A. Peletier [143] аналитическими методами для плоского горизонтально однородного симметричного турбулентного слоя (в одномерной постановке задачи), многомерный случай рассматривался в [124]. Вопросы, связанные с исследованием корректных постановок начально-краевых задач для однопараметрической (е, L)-модели турбулентности изучались S. Kamin, J.L. Vazques [152] (1992г.), которые доказали существование и единственность обобщенного решения задачи Коши. В этом направлении результаты, полученные автором и вошедшие в диссертацию были опубликованы в 1990, 1992 г., (см. [15, 16, 17]). Инвариантные свойства ряда полуэмпирических моделей турбулентности (включая (е, г) —модель) с применением методов символьной алгебры для стратифицированных жидкостей изучались В. Г. Байдуловым, Ю.Д. Ча-шечкиным [4], В. Г. Байдуловым, Д. В. Хангунян, Ю. Д. Чашечкиным [5].

Анализ цитированной литературы позволил выявить (на момент начала исследований) ряд малоизученных вопросов в области доказателькорректности основных начально-краевых задач для параметрических моделей турбулентности, в изучении качественных свойств решений, в правильном выборе «определяющего» оператора модели на асимптотической стадии процесса, в нахождении автомодельных решений и классов частных решений. Указанные вопросы были практически не изучены для большинства моделей, возникающих в задачах теории полуэмпирических моделей турбулентности.

Важным инструментом исследования алгебраических параметризаций для высших моментов гидродинамических полей в полуэмпирической теории турбулентности является использование метода дифференциальных связей. Метод дифференциальных связей для выделения классов решений систем дифференциальных уравнений, позволяющий получать соотношения градиентного типа на искомые функции, совместные с исходной системой, был предложен Н. Н. Яненко [79], который указал на принципиальную возможность применения этого подхода для проверки процедуры замыкания моментных уравнений в теории турбулентности. Приложение этой теории к уравнениям газовой динамики дано А. Ф. Сидоровым, В.П. Ша-пеевым и Н. Н. Яненко [67]. Напомним, что в методе дифференциальных связей выделение частных решений системы дифференциальных уравнений осуществляется присоединением к ней дополнительных дифференциальных соотношений. Помимо нахождения конкретных классов решений метод дифференциальных связей открывает возможности для аналитических исследований, основанных на понятии инвариантного многообразия (см. [2]). Данное понятие является обобщением инвариантного множества, порожденного первыми интегралами системы обыкновенных дифференциальных уравнений. Наличие инвариантного многообразия приводит к исследованию систем дифференциальных уравнений на поверхностях уровня, определяемых соответствующими уравнениями. Дифференциальные связи, задающие инвариантное многообразие позволяют сократить число уравнений и заменить операцию дифференцирования некоторой алгебраической процедурой. Применение этого подхода к исследованию параметрических моделей турбулентности позволило сформулировать концепцию для обоснования процедуры замыкания моментных уравнений в рамках метода дифференциальных связей: алгебраические параметризации высших моментов модели интерпретируются как уравнения инвариантных многообразий, порожденных соответствующими дифференциальными уравнениями модели. Последнее дало возможность обосновать известные алгебраические модели Ханьялика-Лаундера [141, 55] и Земана-Ламли [180], дать инструмент для получения алгебраических параметризаций высших моментов гидродинамических полей, проанализировать некоторые известные алгебраические модели и предложить более простые схемы численной реализации моделей для тестовых расчетов.

Таким образом, разрабатываемые в диссертации методы исследования задач гидродинамики свободных турбулентных потоков позволяют получить на их основе результаты являющиеся важными для понимания процессов, протекающих в изучаемых течениях.

Основные цели диссертации сформировались в результате исследования ряда задач и состоят: в исследовании бессдвигового турбулентного слоя смешения в стратифицированном потокев анализе и обосновании локально-равновесных приближений в алгебраических моделях турбулентности Ханьялика-Лаундера, Земана-Ламли, Прандтляв изучении эволюции вспышки турбулентности в жидкостив исследовании динамики дальнего плоского турбулентного следав изучении распространения примеси (тепла) в плоском безымпульсном турбулентном следе.

Рассматриваемые задачи решались в рамках полуэмпирической теории турбулентности колмогоровского типа [61, 100, 46, 47], и моделей турбулентности высокого порядка замыкания [141, 180, 149].

При изучении класса уравнений типа нелинейной фильтрации, описывающих нестационарную фильтрацию жидкости или газа в пористой среде, ставились следующие цели: исследовать структуру линий уровня решений данного класса уравнений и на этой основе изучить их геометрические свойства (сохранение формы профиля решения и формирование вогнутого профиля за конечное время), распространить полученные результаты на наиболее широкий класс нелинейных параболических уравнений.

Для уравнения переменного типа с так называемой «прямой» и «обратной» параболичностью ставились следующие задачи: изучить условия разрешимости задачи Коши, описать возможные типы интерфейсов и дать анализ структуры решения.

В работе получены следующие новые результаты:

1. На основе метода дифференциальных связей впервые обоснованы тензорно-инвариантные модели Ханьялика-Лаундера (для нестрати-фицированного потока) и Земана-Ламли (в случае стратифицированного потока) на примере задачи о бессдвиговом турбулентном слое смешения с использованием модели третьего порядка замыкания. Основным результатом является теорема о существовании инвариантного многообразия модели, что позволило получить решение задачи (найти частные решения), как в случае устойчивой, так и неустойчивой стратификации потока ([18]-[20]), построить автомодельные решения ([21], [19], [125], [129]). Показано, что алгебраические параметризации для третьих моментов совпадают с уравнениями инвариантных многообразий, порождаемых рассматриваемыми моделями, а частота Брента-Вяйсяля является бифуркационным параметром при исследовании решений уравнения для временного масштаба турбулентности ([18], [19], [126]—[129]).

2. Выполнен анализ локально-равновесных приближений в задаче о дальнем плоском турбулентном следе (классическая трехпараметрическая модель Ханьялика-Лаундера). Установлено, что существование инвариантного многобразия рассматриваемой модели второго порядка связано с обращением в ноль скобки Пуассона для функций дефекта скорости и энергии турбулентностиуказаны случаи реализации данного критерия. Численно-аналитическое исследование модели позволило дать обоснование правомерности используемого замыкающего соотношения в локально-равновесном приближении на основе метода дифференциальных связей. Представлена редукция изучаемой дифференциальной модели к более простому дифференциально-алгебраическому виду, что дает основу для нахождения класса точных решений [22, 130]. Показано, что метод дифференциальных связей является эффективным инструментом при анализе используемых на практике полуэмпирических моделей турбулентности, в частности, при изучении дальнего плоского безымпульсного турбулентного следа. Важным приложением предложенного подхода является получение алгебраических соотношений для характеристик турбулентного потока. Оказывается, что некоторые эмпирические константы могут быть найдены исходя из полученных формул, вычисленные значения которых близки к экспериментальным [131].

3. В задаче об эволюции вспышки турбулентности, изучаемой с привлечением однопараметрических (е, L), (е, S) — моделей турбулентности доказана разрешимость задачи с начальными данными в классе обобщенных функций ([15], [23]). Для (е, L) — модели установлено, что при гладких начальных данных задача Коши порождает динамическую систему в некотором функциональном пространстве, исследованы качественные свойства свободной границы, отделяющей турбулизованную область жидкости от области, не захваченной турбулентными возмущениямиданы оценки на энергию турбулентности и толщину турбулентного слоя, построен итерационный процесс для нахождения свободной границы [16]. В задаче с сингулярно возмущенной начальной энергией турбулентности доказано существование обобщенного решения и установлено, что на асимптотической стадии процесса расплывания турбулентного пятна становится существенным слагаемое в уравнении, отвечающее за диссипацию энергии турбулентности [17].

4. При использовании упрощенной (е,?)-модели турбулентности в задаче об эволюции вспышки турбулентности доказано существование слабого решения задачи Коши и непрерывного решения с ограниченными обобщенными производными. Установлено, что граница турбулизованной области является непрерывной кривой ([24], [25]). В задаче о бессдвиговом турбулентном слое смешения для (е, £)-модели доказана сходимость решения задачи Коши к автомодельному решению, полученному на основе модели третьего порядка замыкания [126].

5. С использованием математической модели, включающей в себя уравнения переноса дефекта продольной осредненной компоненты скорости и кинетической энергии турбулентности, исследована динамика дальнего плоского безымпульсного турбулентного следа. Для течения жидкости в дальнем следе доказана теорема о корректной разрешимости задачи с начальными данными, найдено автомодельное решение и исследовано асимптотическое поведение решения задачи [133].

6. На основе (е, £)~модели для энергии турбулентности совместно с диффузионным уравнением переноса пассивной примеси (тепла) турбулентным спутным потоком с нулевым суммарным избыточным импульсом изучена задача о распространении тепла от симметричного плоского нагретого тела. Доказаны теоремы о разрешимости задачи Коши, как в случае непрерывных начальных данных, так и для распределения температуры, заданной в виде мгновенного источника [26].

7. Для уравнения фильтрации идеального изотропного газа в пористой среде изучены геометрические свойства функции давления. Доказано, что при определенных предположениях на начальные данные задачи решение сохраняет вогнутый профиль относительно пространственной переменной, а в случае, когда не предполагается вогнутость начального значения для давления, получено, что за конечный промежуток времени формируется вогнутый профиль функции давления [134, 135]. Доказательство проведено с помощью метода линий уровня. Данный подход позволил распространить полученные результаты на достаточно широкий класс нелинейных вырождающихся уравнений [136], [137].

8. Для уравнения переменного типа с «прямой» и «обратной» парабо-личностью исследовано возникновение интерфейсов. Описаны некоторые возможные типы интерфейсов, в частности, построены примеры, показывающие, что интерфейсы для таких уравнений могут быть как линиями, так и множествами ненулевой меры. Полученная информация о поведении интерфейсов позволила доказать теорему о локальной разрешимости задачи Коши в классе непрерывных функций [138, 139].

Представленные в диссертации исследования проводились в рамках различных программ и грантов, поддержанных Целевыми программами СО РАН, Министерством образования РФ и грантовым центром при Но* восибирском государственном университете, Российским фондом фунда-метальных исследований (коды проектов 97−01−768 (руководитель), 9501−910 (исполнитель), 98−01−736 (исполнитель), 01−01−783 (исполнитель), Сибирским отделением РАН (интеграционный проект 2000;1 (ответственный исполнитель темы)) и INTAS (код проекта 97−2022).

Основные научные результаты диссертации докладывались и обсуждались: на совместных заседаниях семинара им. И. Г. Петровского и Московского математического об-ства (Москва 1987, 1995), 7 международном совещании «Laboratory modeling of dynamics processes in ocean» (Москва, 1993), Сибирском конгрессе по прикладной и индустриальной математике (Новосибирск, 1994, 1996, 1998), Сибирской школе «Алгебра, геометрия, анализ и математическая физика» (Новосибирск, 1997), 2 Европейской конференции «Elliptic and parabolic problems» (Pount-a-Mausson, France, 1994), 2 Азиатской математической конференции (Bangkok, Thailand, 1995), Международной конференции AMCA'95 «Advanced Mathematics, Computationas and Applications» (Новосибирск, 1995), семинаре по дифференциальным уравнениям (Sao Paolo Universidade, Brazil, 1997), Международной конференции «Equidiff'99» (Berlin, Germany, 1999), Международной конференции, посвященной 70-летию ак. С. К. Годунову «Mathematics in applications» (Новосибирск, 1999), 8 Европейской конференции по турбулентности «Advances in Turbulence VIII» (Barcelona, Spain, 2000), 16 IMACS World Congress on Scientific Computational, Applied Mathematics and Simulation (Lausanne, Switzerland, 2000), 17 Российско-Японском симпозиуме по вычислительной гидродинамике (Москва, 2000), 15 Международной конференции «Лаврентьевские чтения по математике, механике и физике», посвященной 100-летию ак. М. А. Лаврентьева (Новосибирск,.

2000), GAMM'2001 Annual Scientific Conference (Zurich, Switzerland, 2001), Международной конференции «Recent developments in applied mathematics and mechanics» посвященной 80-летию ак. H.H. Яненко (Новосибирск,.

2001), International Congress of Mathematicians 2002 (Beijing, China), Международной конференции «Fluxes and structures in fluids» (С-Петербург, 2003), Международной конференции «Kolmogorov and contemprary mathematics» (Москва, 2003) и на ряде других. На различных стадиях выполнения работа обсуждалась на семинарах в Институте вычислительных технологий СО РАН, Институте теоретической и прикладной механике СО РАН, Институте математике им. Соболева СО РАН, Институте гидродинамики им. Лаврентьева СО РАН, Институте теплофизики им. Кутателадзе СО РАН, Институте проблем механики РАН.

Участие в работе конференций было бы невозможным без финансовой поддержки Интеграционной программы СО РАН, International Science Foundation, Travel grant of ICT Trieste and IMU-CDE, Российского фонда фундаментальных исследований, Грантового центра при Новосибирском государственного университета, Факультета прикладной математики университета Сан Паоло, Европейской программы INTAS, Grant of Seminar Angewandte Matematik of Swiss Federal Institute of Technologies, ICM2002 Grants Committee.

Текст диссертации включает введение, пять глав и список литерату.

Основные результаты, полученные в работе, сводятся к следующему.

1. На основе метода дифференциальных связей впервые обоснованы тезорно-инвариантные модели Ханьялика-Лаундера (для нестратифици-рованного потока) и Земана-Ламли (в случае стратифицированного потока) на примере задачи о бессдвиговом турбулентном слое смешения с использованием модели третьего порядка замыкания. Основным результатом является теорема о существовании инвариантного многообразия модели, что позволило получить решение задачи (найти частные решения), как в случае устойчивой, так и неустойчивой стратификации потока, построить автомодельные решения. Показано, что алгебраические параметризации для третьих моментов совпадают с уравнениями инвариантных многообразий, порождаемых рассматриваемыми моделями, а частота Брента-Вяйсяля является бифуркационным параметром при исследовании решений уравнения для временного масштаба турбулентности.

2. Выполнен анализ локально-равновесных приближений в задаче о дальнем плоском турбулентном следе (классическая трехпараметрическая модель Ханьялика-Лаундера). Установлено, что существование инвариантного многобразия рассматриваемой модели второго порядка связано с обращением в ноль скобки Пуассона для функций дефекта скорости и энергии турбулентностиуказаны случаи реализации данного критерия. Численно-аналитическое исследование модели позволило дать обоснование правомерности используемого замыкающего соотношения в локально-равновесном приближении на основе метода дифференциальных связей.

Представлена редукция изучаемой дифференциальной модели к более простому дифференциально-алгебраическому виду, что дает основу для нахождения класса точных решений. Показано, что метод дифференциальных связей является эффективным инструментом при анализе используемых на практике полуэмпирических моделей турбулентности, в частности, при изучении дальнего плоского безымпульсного турбулентного следа. Важным приложением предложенного подхода является получение алгебраических соотношений для характеристик турбулентного потока. Оказывается, что некоторые эмпирические константы могут быть найдены исходя из полученных формул, вычисленные значения которых близки к экспериментальным.

3. В задаче об эволюции вспышки турбулентности, изучаемой с привлечением однопараметрических (е, L), (е, S) — моделей турбулентности доказана разрешимость задачи с начальными данными в классе обобщенных функций. Для (е, L) — модели установлено, что при гладких начальных данных задача Коши порождает динамическую систему в некотором функциональном пространстве, исследованы качественные свойства свободной границы, отделяющей турбулизованную область жидкости от области, не захваченной турбулентными возмущениями, даны оценки на энергию турбулентности и толщину турбулентного слоя, построен итерационный процесс для нахождения свободной границы. В задаче с сингулярно возмущенной начальной энергией турбулентности доказано существование обобщенного решения и установлено, что на асимптотической стадии процесса расплывания турбулентного пятна становится существенным слагаемое в уравнении, отвечающее за диссипацию энергии турбулентности.

4. При использовании упрощенной (е, е)-модели турбулентности в задаче об эволюции вспышки турбулентности доказано существование слабого решения решения задачи Коши и непрерывного решения с ограниченными обобщенными производными. Установлено, что граница турбулизованной области является непрерывной кривой. В задаче о бессдвиговом турбулентном слое смешения для (е, г)-модели доказана сходимость решения задачи Коши к автомодельному решению, полученному на основе модели третьего порядка замыкания.

5. С использованием математической модели, включающей в себя уравнения переноса дефекта продольной осредненной компоненты скорости и кинетической энергии турбулентности, исследована динамика дальнего плоского безымпульсного турбулентного следа. Для течения жидкости в дальнем следе доказана теорема о корректной разрешимости задачи с начальными данными, найдено автомодельное решение и исследовано асимптотическое поведение решения задачи.

6. На основе (е, £)-модели для энергии турбулентности совместно с диффузионным уравнением переноса пассивной примеси (тепла) турбулентным спутным потоком с нулевым суммарным избыточным импульсом изучена задача о распространении тепла от симметричного плоского нагретого тела. Доказаны теоремы о разрешимости задачи Коши, как в случае непрерывных начальных данных, так и для распределения температуры, заданной в виде мгновенного источника.

7. Для уравнения фильтрации идеального изотропного газа в пористой среде изучены геометрические свойства функции давления. Доказано, что при определенных предположениях на начальные данные задачи решение сохраняет вогнутый профиль относительно пространственной переменной, а в случае, когда не предполагается вогнутость начального значения для давления, получено, что за конечный промежуток времени формируется вогнутый профиль функции давления. Доказательство проведено с помощью метода линий уровня. Данной подход позволил распространить полученные результаты на достаточно широкий класс нелинейных вырождающихся уравнений.

8. Для уравнения переменного типа с «прямой» и «обратной» парабо-личностью исследовано возникновение интерфейсов. Описаны некоторые возможные типы интерфейсов, в частности, построены примеры, показывающие, что интерфейсы для таких уравнений могут быть как линиями, так и множествами ненулевой меры. Полученная информация о поведении интерфейсов позволила доказать теорему о локальной разрешимости задачи Коши в классе непрерывных функций.

Заключение

.