Устойчивость линейных периодических систем с постоянным запаздыванием

В самых разнообразных областях современной науки и техники встречаются динамические системы, описываемые системами дифференциальных уравнений с последействием. Такие системы используются в математических моделях механики сплошных сред со сложной реологией [3, 60] при описании необратимых термодинамических процессов [21, 60], при учете конечности скорости распространения электромагнитных взаимодействий [16, 28], в математических моделях биологии [5, 11, 59], в системах автоматического управления [32], и, наконец, системами дифференциальных уравнений с последействием описываются некоторые технологические процессы [43, 74].

Актуальность темы

На качественное поведение динамической системы влияет наличие последействия в математической модели [1, 2, 8, 29, 30, 32, 35, 50, 63]. Поэтому проблема изучения периодических колебаний в системах дифференциальных уравнений с последействием всегда привлекала к себе большое внимание [4, 9, 26, 31, 32, 34, 45, 56−58, 63, 66]. Важным свойством периодических движений является свойство устойчивости. В настоящее время достаточно хорошо развита теория устойчивости линейных стационарных дифференциальных уравнений с последействием [8, 32, 42, 49, 51, 52, 55, 63, 65, 80, 84]. Для линейных нестационарных периодических систем с последействием рассматриваемая нами теория получила развитие только для отдельных классов уравнений [6, 7, 13, 14, 15, 18, 22, 23, 33, 37, 38, 39, 41, 44, 47, 68, 83]. На сложность этой проблемы указывают трудности, которые имеют место в теории устсйчьъост линейных периодических систем, описываемых обыкновенными дифференциальными уравнениями [40, 76]. В нашем случае эта проблема усложняется бесконечномерностью объекта исследования [35, 63].

В теории устойчивости линейных периодических дифференциальных уравнений с последействием развиваются несколько направлений. Фундаментальные результаты в теории устойчивости линейных периодических систем дифференциальных уравнений получены в работах A.M. Зверкина [22], А. Халаная [61, 62], Дж. Хейла [63], С. Н. Шиманова [69, 70], А. Стокса [88] и В. Хана [82]. Применяемый в работе подход к исследованию устойчивости является развитием первого метода Ляпунова. Центральным понятием в нем является оператор монодромии, спектр которого определяет устойчивость или неустойчивость линейных периодических систем дифференциальных уравнений с последействием. Так, для асимптотической устойчивости указанных динамических систем необходимо и достаточно, чтобы все собственные числа оператора монодромии лежали на комплексной плоскости внутри единичного круга с центром в начале координат. Настоящая работа посвящена дальнейшему развитию первого метода Ляпунова для периодических дифференциальных уравнений с последействием.

Цель работы. Развитие бифуркационного метода исследования устойчивости линейных периодических систем с запаздыванием. Нахождение эффективных признаков асимптотической устойчивости (устойчивости и неустойчивости) для периодических систем дифференциальных уравнений с запаздыванием.

Методика исследования. Методы исследования данной работы основаны на результатах таких направлений науки, как теория устойчивости движения, функционального анализа, теории функционально-дифференциальных уравнений и теории обыкновенных дифференциальных уравнений. При исследовании на устойчивость линейных периодических систем дифференциальных уравнений с запаздыванием основным является понятие оператора монодромии, спектр которого определяет устойчивость или неустойчивость таких систем. Задача нахождения собственных чисел оператора монодромии сводится к задаче нахождения собственных чисел краевой задачи для обыкновенных дифференциальных уравнений. Используются методы теории возмущений самосопряженных и несамосопряженных краевых задач.

Научная новизна и практическая ценность работы. Результаты, представленные в диссертации, являются новыми и позволяют находить эффективные условия асимптотической устойчивости (устойчивости и неустойчивости) исследуемых классов периодических систем с запаздыванием. На защиту выносятся следующие результаты:

1. Установлена связь между асимптотической устойчивостью систем дифференциальных уравнений с вещественными сопериодическими коэффициентами и запаздыванием = Н^Ох^) + Н2(*)х (* - ¿-у) и сильной устойчивостью канонических уравнений с гамильтонианами Н1 ±-Н2.

2. Получены эффективные признаки асимптотической устойчивости выделенного класса периодических систем дифференциальных уравнений уравнений с запаздыванием.

3. Установлена неустойчивость системы дифференциальных уравнений второго порядка с запаздыванием х (7) + Н (0х (/ -со) = 0.

4. Найдены условия устойчивости периодического решения скалярного дифференциального уравнения с постоянным запаздыванием.

-«/(*(/-1)).

Содержание работы. Перейдем к изложению содержания диссертации. Работа состоит из введения и трех глав, которые содержат восемь параграфов. В списке литературы приведено 98 наименований.

1. Азбелев Н. В., Максимов В. П., Рахматуллина Л. Ф.

Введение

в теорию функционально-дифференциальных уравнений. М.: Наука. 1991. 280с.

2. Азбелев Н. В., Симонов П. М. Устойчивость уравнений с запаздывающим аргументом// Изв. вузов. Математика. 1997. № 6. С.3−16.

3. Арутюнян Н. Х., Колмановский В. Б. Теория ползучести неоднородных тел. М.: Наука. 1983. 336с.

4. Ахмеров P.P., Каменский Н. И., Потапов A.C. Меры некомпактности и уплотняющие операторы. Новосибирск: Наука. 1986. 266с.

5. Бабский В. Г., Мышкис А. Д. Математические модели в биологии, связанные с учетом последействия. В кн.: Марри Дж. Нелинейные дифференциальные уравнения в биологии. Лекции о моделях. М.: Мир. 1983. С.383−394.

6. Башкиров А. И. К вопросу об устойчивости уравнения нейтрального типа// Краевые задачи. Пермь. 1983. С.34−38.

7. Башкиров А. И. Признак экспоненциальной устойчивости уравнения с последействием и с периодическими параметрами// Дифференц. уравнения. 1986. Т.22, № 11. С. 1994;1997.

8. Беллман Р., Кук К. Л. Дифференциально-разностные уравнения. М.: Мир. 1967. 548с.

9. Борисович Ю. Г., Субботин В. Ф. Оператор сдвига по траекториям эволюционных уравнений и периодические решения// ДАН СССР. 1967. Т.175. С.9−12.

10. Вайнберг М. М., Треногин В. А. Теория ветвления решений нелинейных уравнений. М., 1969, 528 с.

11. Вольтерра В. Математическая теория борьбы за существование. М.: Наука. 1976. 288с.

12. Гантмахер Ф. Р. Теория матриц. М.: Наука. 1967. 576с.

13. Гасилов Г. Л. О характеристическом уравнении системы линейных дифференциальных уравнений с периодическими коэффициентами и запаздыванием// Изв. вузов. Математика. 1972. № 4. С.60−66.

14. Германович О. П. Достаточные условия существования решений Флоке уравнений нейтрального типа// Сиб. мат. журнал. 1986. Т.27, № 3. С.42−46.

15. Германович О. П. Линейные периодические уравнения нейтрального типа и их приложения. Л. 1986. 108 с.

16. Григорьев Е. В., Кащенко С. А. Релаксационные колебания в системе уравнений, описывающих работу твердотельного лазера с нелинейным элементом запаздывающего действия// Дифференц. уравнения. 1991. Т.27, № 5. С.752−758.

17. Долгий Ю. Ф. Неустойчивость аналога уравнения Хилла с запаздыванием//Устойчивость и нелинейные колебания. Свердловск. 1984. С.30−36.

18. Долгий Ю. Ф. Неустойчивость аналога гамильтоновой системы с запаздыванием//Устойчивость и нелинейные колебания. Свердловск. 1986. С.13−21.

19. Долгий Ю. Ф. Об устойчивости одной периодической системы с запаздыванием// Краевые задачи. Пермь. 1989. С. 16−21.

20. Долгий Ю. Ф. Устойчивость периодических дифференциально-разностных уравнений. Екатеринбург: УрГУ, 1996. 84с.

21. Дэй У. А. Термодинамика простых сред с памятью. М.: Мир. 1974. 190с.

22. Зверкин A.M. Дифференциально-разностные уравнения с периодическими коэффициентами. В кн: Беллман Р., Кук К. Дифференциально-разностные уравнения. М.: Мир. 1967. С.498−535.

23. Зверкин A.M. Дифференциальные уравнения с отклоняющимся аргументом. В кн: Пятая математическая школа. Киев: Изд-во института математики АН УССР. 1968. С.307−399.

24. Зверкин A.M. Некоторые вопросы теории линейных дифференциально-функциональных уравнений// Дифференциальные уравнения с отклоняющимся аргументом. Киев. 1977. С. 127−139.

25. Зверкин A.M. К теории дифференциально-разностных уравнений с запаздываниями соизмеримыми с периодом коэффициентов// Дифференц. уравнения. 1988. Т.24, № 9. С.1481−1492.

26. Зубов В. И. Математические методы исследования систем автоматического регулирования. М.: Судпромгиз. 1959. 324с.

27. Зубов В. И. Колебания в нелинейных и управляемых системах. Ленинград. Судпромиздат. 1962. 628 с.

28. Зубов В. И. Аналитическая динамика системы тел. Л.: Изд-во Ленинградского ун-та. 1983. 344с.

29. Ким A.B. Ко второму методу Ляпунова для систем с последействием// Дифференц. уравнения. 1985. Т.21, № 3. С.385−391.

30. Козлов Ю. Д. О принципе сведения для дифференциального уравнения с последействием в банаховом пространстве// Устойчивость и нелинейные колебания. Свердловск. 1979. С.51−58.

31. Колесов Ю. С., Швитра Д. И. Автоколебания в системах с запаздыванием. Вильнюс: Мокслас. 1979. 147с.

32. Колмановский В. Б., Носов В. Р. Устойчивость и периодические режимы регулируемых систем с последействием. М.: Наука. 1981. 448с. ,.

33. Комленко Ю. Ф. Достаточные условия существования представления Флоке для одного класса дифференциальных уравнений// Проблемы современной теории периодических движений. Ижевск. 1982. № 6. С.5−10.

34. Красносельский М. А., Лифшиц Е. А., Стрыгин В. В. Об одном новом методе в задаче о периодических решениях уравнений с отклоняющимся аргументом// Труды семинара по теории дифференциальных уравнений с отклоняющимся аргументом. М. 1967. Т.5. С.116−121.

35. Красовский H.H. Некоторые задачи теории устойчивости движения. М.: Физматгиз. 1959. 221с.

36. Крейн М. Г. О признаках устойчивой ограниченности решений периодических канонических систем// ПММ. 1955. Т. 19, с. 641−680.

37. Кучмент П. А. К теории Флоке для периодических линейных дифференциальных уравнений с отклоняющимся аргументом// Успехи математических наук. 1979. Т.34, № 3. С.201−202.

38. Лебедева Э. Б., Шиманов С. Н. Об устойчивости квазигармонических систем с запаздыванием медленно меняющимся во времени// Изв. вузов. Математика. 1968. № 12. С.53−61.

39. Любич Ю. И., Ткаченко В. А. К теории Флоке для уравнений с запаздывающим аргументом// Дифференц. уравнения. 1969. Т.5, № 4. С.648−656.

40. Ляпунов A.M. Общая задача об устойчивости движения. Л.-М.: ОНТИ. 1935.386с.

41. Малыгина В. В. Об устойчивости уравнений с периодическими параметрами// Функционально-дифференциальные уравнения. Пермь. 1987. С.41−43.

42. Маркушин Е. М. Оптимальные системы автоматического регулирования с запаздыванием по времени. Куйбышев: Изд-во Саратовского университета. 1971. 92с.

43. Матвеев В. Н. Исследование колебаний резца при обработке металлов в рамках одной математической модели// Исследования по устойчивости и колебаниям. Ярославль. 1979. С.41−62.

44. Мельников А. И. Об устойчивости периодических систем с запаздыванием по времени в одном критическом случае// Устойчивость и нелинейные колебания. Свердловск. 1980. С.55−63.

45. Митропольский Ю. А., Мартынюк Д. И. Периодические и квазипериодические колебания систем с запаздыванием. Киев: В ища школа. 1979. 247с.

46. Митропольский Ю. А., Щвец А. Ю. О влиянии запаздывания на устойчивость маятника с вибрирующей точкой подвеса// Аналитические методы исследования нелинейных колебаний. Киев. 1980. С. 115−120.

47. Моллова К. Г. Нахождение характеристических показателей уравнения Матье с демпфинированием при наличии запаздывания// Год. ВУЗ. Прилож. мат. 1982;1983. Т. 18, № 1. С.75−84.

48. Мышкис А. Д., Шиманов С. Н., Эльсгольц Л. Э. Колебания и устойчивость систем с запаздыванием// Труды международного симпозиума по нелинейным колебаниям. Т.2. Киев. 1963. С.241−267.

49. Неймарк Ю. И. Э-разбиение пространства квазиполиномов (к устойчивости линеаризованных распределенных систем)// Прикл. мат. и мех. 1949. Т.13. С.349−380.

50. Норкин С. Б. Дифференциальные уравнения второго порядка с запаздывающим аргументом. М.: Наука. 1972. 287с.

51. Пинни Э. Обыкновенные дифференциально-разностные уравнения. М.: Изд-во иност. лит-ры. 1961. 248с.

52. Понтрягин Л. С. О нулях некоторых трансцендентных функций// Изв. АН СССР. Сер. матем. 1942. Т.6, вып.З. С. 115−134.

53. Прокопьев В. П., Шиманов С. Н. Об устойчивости в критическом случае двойного нулевого корня для систем с последействием// Дифференц. уравнения. 1966. Т.2, № 4. С.453−462.

54. Репин Ю. М. Об устойчивости решений уравнений с запаздывающим аргументом// Прикл. мат. и мех. 1957. Т.21, вып.2. С.253−261.

55. Репин Ю. М. Об условиях устойчивости систем линейных дифференциальных уравнений при любых запаздываниях// Ученые записки Уральского университета. Свердловск. 1960. Вып.23. С.34−42.

56. Рожков В. И. Асимптотическое периодическое решение системы уравнений нейтрального типа в некритическом случае// Дифференциальные уравнения и обратные задачи динамики. М., 1983. С.40−43.

57. Рубаник В. П. Колебания квазилинейных систем с запаздыванием. М.: Наука. 1969. 287с.

58. Рябов Ю. А. Применение метода малого параметра Ляпунова-Пуанкаре в теории систем с запаздыванием// Инженерный журнал АН СССР. 1961. Т.1, вып.2. С.3−21.

59. Свирежев Ю. М., Пасеков В. П. Основы математической генетики. М.: Наука. 1982. 512с.

60. Трусделл К. Первоначальный курс рациональной механики сплошных сред. М.: Мир. 1975. 592с.

61. Халанай А. Теория устойчивости линейных периодических систем с запаздыванием// Rev. Math. Pures et Appl. Acad. R.P.R. 1961. T.4, № 4. С.633−653.

62. Халанай А. Системы с запаздыванием. Результаты и проблемы// Математика. Сб.переводов. 1966. Т.10, № 5. С.85−102.

63. Хейл Дж. Теория функционально-дифференциальных уравнений. М.: Мир. 1984. 421с.

64. Хусаинов Д. Я. Исследование устойчивости линейных систем с запаздыванием методом векторных функций Ляпунова// Приближенные и качественные методы теории дифференциально-функциональных уравнений. Киев. 1983. С.110−121.

65. Шавохина Н. С. Система уравнений с отклоняющимся аргументом в релятивисткой задаче двух тел// Гравитация и теория относительности.Казань. 1984. № 21. С. 140−154.

66. Шиманов С. Н. К теории колебаний квазилинейных систем с запаздыванием// Прикл. мат. и мех. 1959. Т.23, вып.5. С.836−844.

67. Шиманов С.H. О неустойчивости движения систем с запаздыванием по времени // ПММ. 1960. Т. 24, № 1.с. 55−63.

68. Шиманов С. Н. Об устойчивости квазигармонических систем с запаздыванием// Прикл. мат. и мех. 1961. Т.25, вып.6. С.992−1002.

69. Шиманов С. Н. К теории линейных дифференциальных уравнений с периодическими коэффициентами и запаздыванием времени // ПММ. 1963. Т. 27, № 3. с. 450−458.

70. Шиманов С. Н. К теории линейных дифференциальных уравнений с последействием// Дифференц. уравнения. 1965. Т.1, № 1. С. 102−116.

71. Шиманов С. Н. Некоторые вопросы теории колебаний систем с запаздыванием. В кн: Пятая Летняя математическая школа. Киев: Ин-т математики АН УССР. 1968. С.473−549.

72. Шиманов С. Н. Устойчивость линейных систем с периодическими коэффициентами и запаздыванием. Свердловск: Изд-во Уральского университета. 1983. 64с.

73. Эльсгольц Л. Э., Норкин С. Б.

Введение

в теорию дифференциальных уравнений с отклоняющимся аргументом. М.: Наука. 1971. 296 с.

74. Эльясберг М. Е. Об устойчивости процесса резания металлов// Изв. АН СССР. ОТН. 1958. № 9. С.37−52.

75. Энгельсон Л. Э. Об одном подходе к исследованию устойчивости дифференциально-функциональных уравнений нейтрального типа// Топологические пространства и их отображения. Рига. 1981. С.154−158.

76. Якубович В. А., Старжинский В. М. Линейные дифференциальные уравнения с периодическими коэффициентами и их приложения. М.: Наука. 1972. 720с.

77. Dormayer P. The stability of special symmetric solutions of x (i) = af (x{t -1)) with small amplitudes// Nonlinear Analysis, Methods & Applications, 1990. V.14, № 8. P.701−715.

78. Dormayer P., Lani-Waida В. Numerical observations and analytical results for *(/) = -a sinx (f-l). //Тез. докл. Международной конференции по функционально-дифференциальным уравнениям и их приложениям. Москва, 1994, с. 25−26.

79. Cooke К., Ferreira J. Stability conditions for linear retarded functional differential equations// J. Math. Anal, and Appl. 1983. V.96, № 2. P.480−504.

80. Cooke K., Wiener J. Neutral differential equations with piecewice constant arguments// Boll. Unione Math. Ital. 1987. V.1B, № 2. P.321−346.

81. Grafton R.B. Periodic solutions of certain lienard equations with delay// J. Diff. Equation. 1972. V. ll, № 3. P.519−527.

82. Hahn W. On difference differential equations with periodic coefficients// J. Math. Anal, and Appl. 1961. № 3. P.70−101.

83. Hale J.K., Meyer K.R. A class of functional equations of neutral type// Mem. Amer. Math. Soc. 1967. R.2, № 76. P. l-65.

84. Hohn R.E., Long G.W., Sridhar R. A general formulation of the milling process equation. Contribution to machine tool chatter research. 5// J. Engineering Industry Trans. ASME. Ser.B. 1968. V.90, № 2. P.102−110.

85. Jones G.S. The existence of periodic solutions of f'{x) = -af{x l)(l + /(x)}// J. Math. Anal, and Appl. 1962. V. 5, № 3. P. 435−450.

86. Kaplan J.L., Yorke J.A. Ordinary differential equations which yield periodic solutions of differential delay equations// J. Math. Anal, and Appl. 1974., V. 48., № 2, P. 317−324.

87. Nussbaum R.D. Periodic solutions of somes nonlinear autonomous functional equations// Annals matematica pura ed applicata., 1974., V. 10, Ser. 4, P. 263 306.

88. Stokes B.A. A Floquet theory for functional differential equations// Proc. Nat. Acad. Sci. USA. 1962. V.48, № 8. P.1330−1334.

89. Николаев С. Г. Неустойчивость движения по круговым орбитам с учетом последействия. Молодежная конференция «Проблемы теоретической иприкладной математики» № 27: Тезисы докладов. Екатеринбург: УрО РАН, 1996. с. 27.

90. Николаев С. Г. Неустойчивость одной периодической системы с запаздыванием. Украинская конференция «Моделирование и исследование устойчивости систем»: Тезисы докладов. Киев, Киевский ун-т, 1996. с. 99.

91. Николаев С. Г. Об абсолютной устойчивости периодического дифференциального уравнения с запаздыванием. Молодежная конференция «Проблемы теоретической и прикладной математики» № 28: Тезисы докладов. Екатеринбург: УрО РАН, 1997. с. 60.

92. Николаев С. Г. Устойчивость одной периодической системы с запаздыванием. Воронежская зимняя математическая школа «Современные методы теории функций и смежные проблемы»: Тезисы докладов. Воронеж, ВГУ, 1997. с. 121.

93. Николаев С. Г. Критерии асимптотической устойчивости периодической системы с запаздыванием: VII Четаевская конференция «Аналитическая механика, устойчивость и управление движением»: Тезисы докладов. -Казань: Изд-во Казан, гос. техн. ун-та, 1997. с. 20.

94. Николаев С. Г. Критерии устойчивости периодического дифференциального уравнения с запаздыванием. Международная конференция «Моделирование и исследование устойчивости систем»: Тезисы докладов. Киев, Киевский ун-т, 1997. с. 76.

95. Долгий Ю. Ф, Николаев С. Г. Неустойчивость одной периодической системы с запаздыванием.// Дифференц. уравнения. 1998. Т. 34, № 4. с. 456−470.

96. Долгий Ю. Ф, Николаев С. Г. Об устойчивости периодической системы дифференциальных уравнений с запаздыванием.// Дифференц. уравнения. 1999. Т. 35, № 10. с. 1330−1336.