Ветвящиеся случайные блуждания в неоднородных и случайных средах

Центральная задача теории ветвящихся случайных блужданий — изучение эволюции процессов во времени в зависимости от структуры среды. В представленной работе исследуется предельное поведение ветвящихся случайных блужданий на ¿—мерной целочисленной решетке в ситуации, когда ветвящаяся среда (т.е. совокупность процессов рождения и гибели частиц в узлах решетки) пространственно неоднородна либо случайна.

Со времени появления основополагающей статьи Б. А. Севастьянова [17] ветвящимся процессам с диффузией частиц было посвящено большое количество публикаций (см., например, обзоры В. А. Ватутина, A.M. Зуб-кова [5,45]). В частности, многие важные результаты для ветвящихся диффузионных процессов и ветвящихся случайных блужданий связаны с именами Б. А. Севастьянова, А. В. Скорохода, С. Асмуссена, Д. Биггинса, П. Ре-веса и многих других математиков. Однако эти работы в основном либо ограничивались рассмотрением одномерного случая, либо исходили из предположения об однородности ветвящейся среды (т.е. характеристик ветвления в точках пространства). Отметим также создание в последние годы теории нового класса процессов — так называемых супердиффузионных процессов, возникающих как «диффузионный» предел ветвящихся случайных блужданий в больших системах частиц (см., обзор Д. Доусона с соавторами [37] и приведенную там библиографию).

Особую актуальность модели и задачи теории ветвящихся процессов с диффузией частиц стали приобретать в последнее десятилетие в связи с развитием теории случайных сред, благодаря которой была осознана важная роль среды в формировании свойств и закономерностей эволюционных процессов (см., например, [41]). Основная особенность случайных сред состоит в том, что в них велико влияние редких флуктуаций, поэтому осредненное описание, типичное при классическом подходе, далеко не всегда адекватно. Для процессов в случайных средах характерно возникновение нерегулярных структур с ярко выраженной неоднородностью пространственного распределения, связанной с наличием «сильных центров», в окрестности которых происходит основной рост процесса [42,43]. В физической литературе для подобных явлений принят термин «перемежаемость» .

Таким образом, на первый план выходит анализ ветвящихся процессов с диффузией частиц (и в частности, ветвящихся случайных блужданий) в пространственно неоднородных, «каталитических» средах [36,38,39]. Принципиальную роль здесь играет модель с конечным числом источников ветвления, которую в этом контексте можно рассматривать как учет главных членов «теории возмущений» в соответствии с иерархией каталитических центров.

Для исследования неоднородных (финитных) сред в первой главе диссертации предлагается рассмотреть ветвящееся случайное блуждание с непрерывным временем на решетке Z? {й > 1) с одним источником ветвления. Эта «точно решаемая» модель позволяет детально изучить эффекты, обусловленные следующими двумя принципиально важными обстоятельствами: 1) неоднородностью (финитностью) ветвящейся среды и 2) неограниченностью пространства, в котором происходит блуждание. С одной стороны, неоднородность среды приводит к формированию аномальных свойств процессов переноса. С другой стороны, некомпактность пространства разрушает чисто точечный спектр оператора, связанного с процессом [18]. В надкритическом случае это несущественно, поскольку предельное поведе6 ние процесса по-прежнему определяется старшим (перроновым) собственным значением. Однако в критическом и докритическом случаях основной вклад в асимптотику вносит правый край непрерывной части спектра, что усложняет применение спектральных методов.

Если ограничиться изучением полного числа частиц, то при нашу модель можно рассматривать как процесс Беллмана-Харриса, т. е. как ветвящийся процесс с превращениями, зависящими от возраста [25], в котором роль времени жизни частицы играет время возвращения случайного блуждания в источник ветвления. Для локальных численностей частиц в узлах решетки такая интерпретация отсутствует. Это связано, по-видимому, с тем, что стандартная теория таких процессов здесь непосредственно не применима: например, при с? > 3 распределение времени жизни является несобственным вследствие невозвратности случайного блужданиякроме того, это распределение трудно исследовать в явном виде.

Во второй главе диссертации основное внимание уделяется ветвящимся процессам в случайной среде и, в частности, анализу явления перемежаемости в терминах старших моментов процесса. В работах Я. Б. Зельдовича с соавторами [8,9,47] явление перемежаемости было впервые изучено для стационарной (не зависящей от времени) случайной среды на примере задачи Коши для оператора Андерсона со случайным потенциалом:

Здесь дг := д/дЬ обозначает частную производную по t1 оператор А, задающий «диффузию» частиц, действует как разностный лапласиан на решет к > 0 — коэффициент диффузии, а потенциал У (х, и>), х Е Zaf, отвечающий наличию ветвления (размножения и гибели), представляет собой кАи + У (х, и>)и, ж)|*=о = 1.

0.0.1) ке Ъ*: совокупность независимых одинаково распределенных гауссовских случайных величин. Как было обнаружено в цитированных работах, количественным критерием перемежаемости является аномально быстрый рост старших статистических моментов решения и (Ь, х) (прогрессивный по номеру момента): и2)^{и) (г/4) «(и2)2,. здесь и далее угловые скобки (•) обозначают математическое ожидание относительно распределения случайной среды).

Позднее С. А. Молчановым и Ю. Гертнером [40] задача (0.0.1) была изучена в общем случае пространственно однородного случайного потенциала У (х, и). В частности, в этой статье с помощью представления решения по формуле Фейнмана-Каца были доказаны существование и единственность решения уравнения (0.0.1) в классе всех неотрицательных функций на и дано строгое математическое определение перемежаемости. Кроме того, здесь были установлены необходимые и достаточные условия перемежаемости полей «(?, ж) при? —> оо, а также вычислены моментные показатели Ляпунова для х).

В рассматриваемой во второй главе диссертации модели простого случайного блуждания с размножением и гибелью частиц уравнение (0.0.1) описывает эволюцию среднего числа частиц (при фиксированной случайной среде). Однако в контексте упомянутых результатов представляется естественной постановка вопроса об изучении старших моментов ветвящегося случайного блуждания. Оказывается, в этом случае соответствующие уравнения (типа уравнения Андерсона) также могут быть выписаны, но они уже являются неоднородными. Для дальнейшего исследования потребовалось получить представление их решений в виде функционалов типа Фейнмана-Каца. В диссертации изучена асимптотика последовательных статистических моментов решений таких неоднородных уравнений в предположении, что «хвост» распределения потенциала V имеет вейбулловский вид. Вычисленные в работе старшие моментные показатели Ляпунова показывают, что для старших моментов также имеет место перемежаемость, которая, однако, в основном определяется перемежаемостью первого момента, что подтверждает высказанную ранее гипотезу С. А. Молчанова.

Два круга задач, рассмотренных в первой и второй главах, объединены в работе общим методом исследования [2, 40, 46], основанным на анализе асимптотики старших статистических моментов для случайных числен-ностей частиц. Пусть в начальный момент имеется одна частица в точке х G Zd (d > 1), которая затем совершает случайное блуждание. Предположим на решетке выделено некоторое множество узлов («источников»), попадая в которые частица может дать случайное число потомков (в частности, погибнуть). При этом механизм ветвления в каждом источнике независим от блуждания. Если количество источников ветвления конечно, то мы говорим о финитной (неоднородной) ветвящейся среде. Характеристики ветвления в каждом источнике могут быть случайными, тогда мы имеем дело со случайной средой. Основными объектами исследования являются локальное число частиц fit (у) рассматриваемого процесса в момент времени t > 0 в точке решетки у Е Zd и общее число частиц fit = Ylyeid № (у)? а также их последовательные статистические моменты mn (t, x, y) = Ех${у) и mn (t, x) — Е (n Е N), где Еж обозначает математическое ожидание при условии //()(•) =^ж (-).

В первой главе рассматривается случайное блуждание в финитной ветвящейся среде (с одним источником). Пусть, А = {a (x, y))Xiyezd — матрица переходных интенсивностей (генератор) случайного блуждания, а (х, у) > 0 при х ф у, а (х, х) < 0 и Yhya{x->y) = 0- Предполагается, что блуждание однородно (а (х, у) = а (0,у —ж)), симметрично (а (х, у) = а (у, х)) и неприводимо (т.е. все точки у? ЪА достижимы), причем скачки имеют конечную дисперсию.1 Механизм ветвления в источнике хо — 0 независим от блуждания и задается с помощью инфинитезимальной производящей функции /(и) := Ьпип, где Ъп > 0 при п ф 1, < 0 и Ьп = 0. Таким образом, частица, находящаяся в точке х, за малое время к с вероятностью а (х, у) к + о (Н) переходит в точку у ф ж, с вероятностью 6о (х)Ьпк + о (К) умирает, породив п ф 1 потомков в точке х (каждый из потомков частицы продолжает свою дальнейшую эволюцию из точки х), или же с вероятностью 1 + а (х, х) к + 8(^{х)Ь1Н + о (К) остается в х.

Предположим, что Д := /М (г/)|м=1 < оо при всех г? N5 т. е. число потомков частицы имеет конечные моменты всех порядков. Обозначим для краткости (3 := (3 и рассмотрим оператор Н = А + /36о (х), действующий по формуле Нф (х) = а (х, х')ф (х') + (36 $(х)ф (х). В силу известного критерия Шура следует, что Н является ограниченным самосопряженным (вследствие симметрии случайного блуждания) оператором в 12{ЪЛ). Рассмотрим функцию Грина С*а (ж, у) = /0°° х, у) сИ, где х, у) — переходная вероятность случайного блуждания. В силу локальной предельной теоремы имеем = 7^, где > 0 — некоторая константа. Поэтому £а (0, 0)|а=о < оо при с1 > 3 и, следовательно, случайной блуждание транзиентно, если с? > 3, и возвратно, если й = 1,2.

Обозначим Д := 1/0^(0⁰), тогда Д = 0 при с? = 1,2иД>0 при й > 3. Значение Д является критическим в том смысле, что при (3 > Д = 1/(?о (0,0) у оператора Н имеется единственное собственное значение Ао > 0, которое определяется из уравнения /Юа (0,0) = 1. (В случае (3 = (Зс корень Ао = 0 является собственным значением лишь при д, > 5). Таким образом, для финитной (неоднородной) среды с одним источником частности, в этот класс входит простое симметричное случайное блуждание, для которого а (х, у) = а/(2(1) при у — х = 1, а (х, х) — —а и а (х, у) = 0 в противном случае.

10 установлено наличие нетривиальной критической точки относительно параметра, характеризующего интенсивность источника. Спектральный анализ оператора £Г, фигурирующего в уравнениях Колмогорова для моментов, показывает, что надкритичность процесса связана с существованием положительного собственного значения Ао (перронова корня), играющего роль параметра Мальтуса. Во всех режимах найдена точная асимптотика целых моментов числа частиц, при этом в критическом и докритическом случаях обнаружен дополнительный фазовый переход по размерности решетки.

Теорема 1.7.1. При всех п Е N и? оо тп (1,х, у) ~ Сп (х, у) ип (г), гап (?, ж) ~ С"(ж)г-п (*),.

0.0.2) где Сп (х, у), Сп (х) — положительные константы, которые в каждом из указанных ниже подпунктов определяются рекуррентно с помощью явных уравнений, а функции ип, уп имеют следующий вид: а) при Д > Д б) при (3 = Д в) при Д < ре, ип{1-) = епХ°.

1 > 5: ««(*) = Г1» 1, = 4- ип (г) = гп-1(Ш)1~2п, й = гг"й =Г½(1П4)П~1, й = 2: ип (1) = Г.

1=1: ««(*) = Г112(Ш)п~1, > 3: ип (1) = Г², й = 2: ип (г) = (Пп2 г)-1, = 1: ип (1) = Г², = епХ°г- = г2*-1- уп (г) = г2п-1(Ш)1~2п, = г-½, = (1п = &—1У2- ее 1- vn (t) = (ШУ1;

V. = Г'/".

В надкритическом случае доказана предельная теорема для локальных численностей, а также для полного числа частиц.

— 11.

Теорема 1.7.2. Если? > ?c, то в смысле сходимости моментов lim? t (y) e-Aot = ШЙ,, lim ^ е~Ло' = ^ (°-0−3) t—? ОО t—XX> где? — невырожденная случайная величина, такая, что Ех? п = Сп (х) (п? N), где моменты Сп (х) совпадают с соответствующими константами в (0.0.2). Более того, если? r = 0{rrr~l), то моменты Сп (х) однозначно определяют распределение? и, таким образом, соотношения (0.0.3) справедливы также и в смысле сходимости по распределению.

Во второй главе механизм блуждания частиц описывается простым случайным блужданием с непрерывным временем на Zd. Принципиально важным предположением является то, что ветвящаяся среда, т. е. набор интен-сивностей деления и гибели частиц в каждом из источников, — случайна. Ветвление может происходить в каждом узле решетки. Среда задается набором пар случайных величин х Е Zrf (интенсивностей рождения и гибели соответственно), определенных на некотором вероятностном пространстве (0,5 Г, IP). Предполагается, что пары (?+(х),(х)) независимы и одинаково распределены. Рассмотрим потенциал который представляет собой совокупность независимых одинаково распределенных случайных величин. Случайные моменты mn (t, x) и mn (t, x, y) удовлетворяют следующим задачам Коши.

Теорема 2.3.1. Моменты mn (t, x, y) и mn (t, x) (п — 1,2,.) удовлетворяют дифференциальным уравнениям dtmi = /cAmi + V (x)m,.

Kl—1 dtmn = кАтп + V (x)mn + £+(ж) С^тг-тпг-, n > 2, i=1 с начальными условиями тп (0,-, у) = Sy (-) и т. п. (0,-) = 1 соответственно, где CI = тт п.

П — г!(га—1)!'.

Тем самым моменты численностей частиц являются случайными величинами, для которых (0.0.1) служит уравнением для первого момента.

Обозначим через (xt, Px) простое случайное блуждание на Zd с генератором к А, и пусть Рх — распределение вероятностей процесса при условии, что блуждание началось из точки х 6 Zd, а Ех — математическое ожидание относительно Рх. Решения уравнений для локализованных численностей mn (t, x, y) и полного числа частиц mn (t, x) (п > 1) можно записать в виде интегралов по траекториям случайного блуждания Xt. Положим = ?+(0) и V = V" (0), а также ln+ х = Ina, если х > е и 1п+ х = 1, если х < е.

Теорема 2.6.1. Пусть ' ln+ V оо.

Тогда для тх (£, ж, у) и тх (£, х) справедливы почти наверное представления т^х, у) = Ех {е/о, т^х) = Ех .

Если функции х, г/) := тахо<�и<^ т^и, х, ?/) и Мг-(£, ж) тахо<�гг<�г Шг (м, ж) при каждом I почти наверное удовлетворяют условиям.

1 < г < гг- 1, ln+M^z^) |х|—Уоо Ы1пЫ ' то для моментов mn (t, ж, ?/) гг mn (i, х) IP-п.н. имеет место представление mn{t, x, y)=mi (t, x, y) + In (t, x, y), mn (t, x) = mi (t, x) + In{t, x), п > 2, где.

71— 1 рг ti ^ п-1 «i n (?, z) = У2СгпЕх {+(xs)efoSv (^dumi (t — s, xs) mni (t — s, xs) ds. fei Уо.

— 13.

Основной результат второй главы состоит в нахождении логарифмической асимптотики средних {тдля случая вейбулловских «хвостов» потенциала V.

Теорема 2.8.1. Пусть 0 < < 00 пРи каждом к? N. Если.

1п1Р{У > г} ~ — ст1 при т оо и некоторых 7 > 1 «с > 0, то для р-х моментов от тп (Ь, х, у) и тп{р, х) при всех п, р? N имеет место предельное соотношение:

При доказательстве теорем 2.6.1 и 2.8.1 развиты методы, предложенные в работе [40] для исследования однородного уравнения (0.0.1).

Из теоремы 2.8.1 виден прогрессивный рост моментов решений тх, Ш2,., тп с увеличением порядкар:

Это объясняется наличием перемежаемости в распределении решений шх, ТП2,. • •? тпС другой стороны, полученные результаты показывают, что перемежаемость старших моментов в основном определяется перемежаемостью первого момента, т. е. {т?) «{гщр).

Основные результаты диссертации изложены в работах [2,3,27−33,35].

Автор искренне благодарен своему научному руководителю доценту Л. В. Богачеву за постоянное внимание к работе и профессору С. А. Молчанову за постановку задач.

У (х, ш) -— независимые одинаково распределенные случайные величины, т) > (шх>2, (т?)>(тх>{т?),. т2п) > (шп>2, (т^)>(тп)(т2),.

1. Ахиезер Н. И., Глазман И. М. Теория линейных операторов в гильбертовом пространстве. М.: Наука, 1966, 543 с.

2. Богачев Л. В., Яровая Е. Б. Моментный анализ ветвящегося случайного блуждания на решетке с одним источником. Доклады Академии наук, 1998, т. 363, № 4, с. 439−442.

3. Богачев JI.B., Яровая Е. Б. Предельная теорема для надкритического ветвящегося случайного блуждания на Zd с одним источником. Успехи математических наук, 1998, т. 53, вып. 5, с. 229−230.

4. Брейн Н. Г. Асимптотические методы в анализе. М.: ИЛ, 1961, 247 с.

5. Ватутин В. А., Зубков A.M. Ветвящиеся процессы I. Итоги науки и техники. Теория вероятн. Матем. статистика. Теор. кибернетика. М.: ВИНИТИ, 1985, т. 23, с. 3−67.

6. Гихман И. И., Скороход A.B. Теория случайных процессов, т. И. М.: Наука., 1973, 640 с.

7. Далецкий Ю. Л., Крейн М. Г. Устойчивость решений дифференциальных уравнений в банаховом пространстве. М.: Наука, 1970, 534 с.

8. Зельдович Я. Б., Молчанов С. А., Рузмайкин A.A., Соколов Д. Д. Перемежаемость пассивных полей в случайных средах. Журн. эксперим. и теор. физ., 1985, вып. 6(12), с. 2061;2072. 120.

9. Зельдович Я. Б., Молчанов С. А., Рузмайкин A.A., Соколов Д. Д. Перемежаемость в случайной среде. Успехи физ. наук, 1987, т. 152, вып. 1, с. 3−32.

10. Като Т. Теория возмущений линейных операторов. М.: Мир, 1972, 740 с.

11. Колмогоров А. Н., Фомин C.B. Элементы теории функций и функционального анализа. М.: Наука, 1981, 544 с.

12. Красносельский М. А. Оператор сдвига по траекториям обыкновенных дифференциальных уравнений. М.: Наука, 1966, 331 с.

13. Красносельский М. А., Забрейко А. П., Пустыльник Е. И., Соболевский П. Е. Интегральные операторы в пространствах суммируемых функций. М.: Наука, 1966, 499 с.

14. Лоэв. Теория вероятностей. М.: ИЛ, 1962, 720 с.

15. Меньшиков М. В., Молчанов С. А., Сидоренко А. Ф. Теория перколяции и некоторые приложения. Итоги науки и техники. Теория вероятн. Матем. статистика. Теор. кибернетика. М.: ВИНИТИ, 1986, т. 24, с. 53−110.

16. Постников М. М.

Введение

в теорию Морса. М.: Наука, 1971, 567 с.

17. Севастьянов Б. А. Ветвящиеся случайные процессы для частиц, диффундирующих в ограниченной области с поглощающими границами. Теория вероятн. и ее примен., 1958, т. 3, № 2, с. 121−136.

18. Севастьянов Б. А. Ветвящиеся процессы. М.: Наука, 1971, 436 с.

19. Спицер Ф. Принципы случайного блуждания. М.: Мир, 1969, 472 с.

20. Такач Л. Комбинаторные методы в теории случайных процессов. М.: Мир, 1971, 264 с.- 121.

21. Федорюк M.B. Асимптотика: Интегралы и ряды. М.: Наука, 1987, 544 с.

22. Феллер В.

Введение

в теорию вероятностей и ее приложения. Т. 1,2. М.: Мир, 1984, 528 е., 752 с.

23. Фихтенгольц Г. М. Курс дифференциального и интегрального исчисления. Т. III, изд. 3-е, стереотипное. М.: Физматгиз, 1963, 656 с.

24. Функциональный анализ, под ред. С. Г. Крейна. М.: Наука, 1972, 544 с.

25. Харрис Т. Е. Теория ветвящихся случайных процессов. М: Мир, 1966, 355 с.

26. Шубин М. А. Псевдоразностные операторы и их функция Грина. Известия АН СССР, серия математическая, 1985, т. 49, 3, с. 652−671.

27. Яровая Е. Б. Перемежаемость старших моментов в модели ветвящегося процесса с диффузией в случайной среде. Вестник Моск. ун-та. Сер. 1: Математика. Механика, 1990, № 4, с. 79−82.

28. Яровая Е. Б. Применение спектральных методов в изучении ветвящихся процессов с диффузией в некомпактном фазовом пространстве. Теоретическая и математическая физика, 1991, т. 88, № 1, с. 25−30.

29. Яровая Е. Б. Моментный анализ ветвящегося случайного блуждания в случайной среде. Деп. ВИНИТИ, J? 2813-В99. М., 1999, 23 с.

30. Яровая Е. Б., Богачев Л. В. Асимптотика моментов ветвящегося случайного блуждания на Zd с одной точкой ветвления. Труды Средне-волжского математического общества, 1998, т. 1, № 1, с. 122−123. 122.

31. Albeverio S., Bogachev L.V., Yarovaya E.B. Asymptotics of branching symmetric random walk on the lattice with a single source. Comptes Rendus Acad. Sei. Paris, Ser. I, Math., 1998, t. 326, p. 975−980.

32. Albeverio S., Bogachev L.V., Yarovaya E.B. Branching random walk with a single source: a moment approach. Preprint No. 586, Universitat Bonn, 1998, 14 p.

33. Athreya K.B., Ney P.E. Branching Processes. Berlin: Springer-Verlag, 1972, 287 p.

34. Bogachev L.V., Albeverio S., Yarovaya E.B. Branching random walk with a single source. In: Extended Abstracts, Fourth International Conference on Difference Equations and Applications (Poznan, 1998), Poznan, 1998, p. 49−52.

35. Dawson D.A., Fleischmann K. A super-Brownian motion with a single point catalyst. Stoch. Processes Appl., 1994, v. 49, № 1, p. 3−40.

36. Dawson D.A., Fleischmann K., LeGall J.-F. Super-Brownian motions in catalytic media. In: Branching processes. Proc. First World Congress, 1993, Varna (Heyde C.C., ed.), Led. Notes Stat., 1995, v. 99, p. 122−134.

37. Fleischmann K. Superprocesses in catalytic media. In: Measure-valued processes, stochastic partial differential equations, and interacting systems. Montreal, 1992, P. 99−110.

38. Fleischmann K., LeGall J.-F. A new approach to the single point catalytic super-Brownian motion. Probah. Theory and Relat. Fields, 1995, v. 102, № 1, p. 63−82.

39. Gartner J., Molchanov S.A. Parabolic problems for the Anderson model. Commun. Math. Phys., 1990, v. 132, p. 613−655. 123.

40. Greven A., den Hollander F. Branching random walk in random environment: phase transition for local and global growth rates. Probab. Theory and Relat. Fields, 1992, v. 91(2), p. 195−249.

41. Molchanov S.A. Lectures on random media. Lect. Notes in Math., 1994, v. 1581, p. 242−411.

42. Shohat J.A., Tamarkin J.D. The Problem of Moments. New York: Amer. Math. Soc., 1943, 144p.

43. Vatutin V.A., Zubkov A.M. Branching processes II. J. Sov. Math., 1993, v. 67, № 6, p. 3407−3485.

44. Willekens E. On Higher Moments of the Population Size in a Subcritical Branching Process. J. Appl. Prob., 1988, v. 25, p. 413−417.

45. Zeldovich Ya.B., Molchanov S.A., Ruzmaikin A.A. Sokoloff D.D. Intermittency, diffusion and generation in nonstationary random medium. Math. Phys. Rev., 1988, v. 7, p. 3−111.