Некоторые вопросы геометрии регулярно упорядоченных банаховых пространств

Многочисленные исследования конусов в нормированных, а также в более общих линейных топологических пространствах привели к созданию большой теории — геометрии конусов. Эта теория является актуальным разделом функционального анализа и находит важное применение во многих областях математики.

Геометрией конусов, в первую очередь в банаховых пространствах, начали заниматься в тридцатых годах М. Г. Крейн и его ученики. Одновременно в этом направлении работали ленинградские математики во главе с Л. В. Канторовичем. Значительное внимание они уделили нормированным полуупорядоченным пространствам — условно полным нормированным векторным решеткам. Вулих Б. З. и Пинскер А. Г. разрабатывали теорию полуупорядоченных пространств (пространств с конусами специального вида), названных в честь Л. В. Канторовича К-пространствами. В пятидесятые годы большой вклад в теорию конусов в банаховых пространствах внесли представители воронежской математической школы во главе с М. А. Красносельским. Большим вкладом в теорию конусов в банаховых пространствах явились работы Бахтина И. А., Стеценко В. Я., Вейца Б. Е. и других. Начиная с середины пятидесятых годов, математики разных стран, следуя общей линии развития функционального анализа, приступили к изучению конусов в линейных топологических пространствах, обобщая многие понятия, введенные ранее в нормированных пространствах.

Вместе с тем, если к настоящему времени теория решеток достаточно хорошо разработана, то в теории конусов в банаховых пространствах остается много открытых вопросов.

Хорошо известно, что общая теория банаховых пространств с конусом и теория банаховых решеток требуют привлечения различных идей и разной техники. Существенной трудностью является невозможность использования теорем реализации, которые очень эффективны в случае, когда пространство с конусом — банахова решетка. Поэтому не лишено интереса специальное изучение конусов в нормированных пространствах, чему и посвящена данная работа.

Хорошо известными в теории полуупорядоченных пространств являются работы Крейна М. Г. и Рутмана М. А. [19], Вулиха Б. З. [10], [11], Красносельского М. А. [18], Крейна М. Г. [7], Канторовича Л. В. [15], Бахтина И. А. [4] - [6], Шефера Х. 39] и другие.

Диссертация посвящена изучению регулярного конуса в банаховом пространстве. Понятие регулярного конуса восходит к Вау1ез Е.В. [40] и нашло широкое применение в теории тензорных произведений банаховых пространств, теории банаховых решеток. Однако, регулярный конус оказался мало изученным в пространствах, не являющихся решеточными.

В диссертации рассмотрены банаховы пространства, в которых порядок задается строго регулярным конусом. В этом случае порядок и норма, согласованы наилучшим образом, что дает возможность, рассмотреть некоторые чисто порядковые понятия в терминах теории банаховых пространств. В гильбертовом пространстве понятие регулярного конуса равносильно понятию самосопряженного конуса (см. [29]).

Для доказательства основных результатов диссертации используются методы теории банаховых пространств и теории упорядоченных банаховых пространств. После доказательства основных теорем в диссертации следует обсуждение в виде примеров и утверждении, обосновывающих полноту и точность формулировки.

Результаты диссертации носят теоретический характер и быть использованы для дальнейшего развития теории полуупорядоченных нормированных пространств. В диссертации впервые:

Описан регулярный конус в произвольном гильбертовом пространстве.

Доказана липшиц-непрерывность оператора х —> |х| в гильбертовом пространстве со строго регулярным конусом.

На упорядоченном банаховом пространстве (УБП) Е со строго регулярным конусом Е+ рассмотрена ] -ортогональность, ортогог к нальность ш кпт-^ и доказано, что если Е+ - замкнутый строго регулярный конус в Е, то элементы х, у? Е+ ] -ортогональны тогда к и только тогда, когда для элемента % — х — у справедлива хотя бы одна из формул:

1) = 2) <*(-*,?<.) = |М1.

Доказано, что УБП Е строго выпукло на конусе Е+ тогда и только тогда, когда УБП Е* гладкое на конусе Е+, при условии рефлексивности пространства Е.

Приведены примеры, показывающие, что некоторые банаховы свойства не допускают локализации на конус.

Доказано, что если (Е, Е+) е (71) строго выпукло на конусе Е+, то Ух? ±-Е+, х+, Х- € дЕ+, где дЕ+ - граница конуса Е+.

Получен аналог теоремы Кларксона. Доказано, что в каждом непустом замкнутом выпуклом множестве ^ С Е+, где Е равномерно выпукло на конусе Е+, имеется ровно один элемент с минимальной для элементов этого множества нормой.

Доказано, что при условии строгой выпуклости УБП (Е, Е+)? (71) на конусе Е+ или при условии строгой монотонности на конусе и выполнении и.св.Рисса, УБП Е будет метрической р

Введено в рассмотрение достижимое пространство, то есть, УБП из класса (71) в котором для каждого элемента х существует метрическая проекция на конус. Множество всех метрических проекций элемента х на конус Е+ обозначаем Л4(х). Вводится класс чебышевских пространств — класс достижимых пространств, в которых для каждого х множество М (х) одноточечно. Доказано, что если достижимое пространство Е строго выпукло на конусе Е+, тогда Е — чебышевское пространство.

Доказано, что если Е — банахова решетка, равномерно выпуклая на конусе Е+, то Еправильная метрическая решетка.

Доказано, что всякое равномерно выпуклое на конусе Е+ упорядоченное банахово пространство (Е, Е+) из класса (71) является чебы-шевским.

Доказано, что точка хо? Е+ - опорная точка конуса Е±тогда и только тогда, когда существует д? Е+*, д ф 0, такой, что д (хо) ~ 0.

Доказано, что если Е+ - вполне достижимый конус в банаховом пространстве Е, то /х? Е, х? ±?7+ имеем: и х~ яелягсгс-точками конуса Е+.

Диссертация состоит из введения, четырех глав, включая главу «Предварительные сведения» и списка литературы, содержащего 45 наименований.

Основные результаты полученные в работе:

1. Описан регулярный конус в произвольном гильбертовом пространстве.

2. Доказана липшиц-непрерывность оператора х i—> |я| в гильбертовом пространстве со строго регулярным конусом.

3. На упорядоченном банаховом пространстве Е со строго регулярным конусом Е+ рассмотрена Lортогональность, — ортогональг к ность на конусе Е+) и доказано, что если Е+ - замкнутый строго регулярный конус в Е, то элементы х, у? Е+ ± -ортогональны к тогда и только тогда, когда для элемента z = х — у справедлива хотя бы одна из формул:

1) d (z, Е+) = \у\;

2) d (-z, E+) = \x\.

4. Доказано, что УБП Е строго выпукло на конусе Е+ тогда и только тогда, когда УБП Е* гладкое на конусе Е*, при условии рефлексивности пространства Е.

5. Приведены примеры, показывающие, что некоторые банаховы свойства не допускают локализации на конус.

6. Если (Е, Е+)? (TV) строго выпукло на конусе Е+, то /х? ±-Е+1 х+, Х-? дЕ+1 где дЕ+ - граница конуса Е+.

7. Получен аналог теоремы Кларксона. Доказано, что в каждом непустом замкнутом выпуклом множестве F С E+i где Е равномерно выпукло на конусе Е+у имеется ровно один элемент с минимальной для элементов этого множества нормой.

8. Доказано, что при условии строгой выпуклости УБП (Е, Е+) (Е (71) на конусе Е+ или при условии строгой монотонности на конусе и выполнении и.св.Рисса, УБП Е будет метрической решеткой.

9. Введено в рассмотрение достижимое пространство, то есть, УБП из класса (71) в котором для каждого элемента х существует метрическая проекция на конус. Множество всех метрических проекций элемента х на конус Е+ обозначаем М (х). Вводится класс чебышевских пространств — класс достижимых пространств, в которых для каждого х множество М (х) одноточечно. Доказано, что если достижимое пространство Е строго выпукло на конусе Е+, тогда Е — чебышевское пространство.

10. Доказано, что если Е — банахова решетка, равномерно выпуклая на конусе Е+, то Е — правильная метрическая решетка.

11. Всякое равномерно выпуклое на конусе Е+ упорядоченное банахово пространство (Е, Е+) из класса (71) является чебышевским.

12. Доказано, что точка хо € Е+ - опорная точка конуса Е+ тогда и только тогда, когда существует д е Е+*, д ф 0, такой, что д (х о) = 0.

13. Доказано, что если Е+ - вполне достижимый конус в банаховом пространстве Е, то V® (Е Е, х ±-Е+ имеем: х+ и хявляются опорными точками конуса Е+.

Все результаты, полученные в диссертации, являются новыми.

Заключение

.