Устойчивость и колебания буровых установок

Выход из строя бурового оборудования происходит достаточно часто в нефтегазодобывающей промышленности. Это ведет к значительному увеличению времени и стоимости бурения. Особый интерес представляет прекращение нормального функционирования буровой колонны, которое происходит вследствие определенных нагрузок. Ввиду высокой стоимости каждой неисправности, исследование буровых установок с целью уменьшить количество выходов из строя элементов буровой колонны является важной задачей. Согласно статистическим данным, представленным в [Iiorbeek, Birch & McMahon. 1995, Shokir, 2004, Vaisberg, Vincke, Perrin, Sarda & Fay], в 1985 году 45% всех неисправностей буровых установок были связаны непосредственно с буровой колонной. На данный момент ущерб от каждой неисправности, связанной с буровой колонной, оценивается в 106 000 долларов США, при этом неисправность возникает в среднем на одной из семи буровых установок, поэтому задача исследования переходных процессов, возникающих в буровых установках при бурении, является актуальной.

Основное внимание в настоящей работе уделено изучению динамики математических моделей буровых установок с асинхронным электродвигателем.

Разработанный критерий устойчивости для простейшей модели буровой установки позволяет получить допустимую нагрузку на бур при смене среды бурения. В случае двухмассовой модели буровой установки проводится моделирование системы на наличие скрытых колебании, т. е. колебаний, которые не устанавливаются после переходного процесса из окрестностей стационарных состояний. Таким образом, поломки бурового оборудования могут быть обусловлены наличием данных колебаний.

Принято считать, что история электрических машин начинается с опыта М. Фарадея в 1821 году [Горбацевич, 2010]. М. Фарадеп, исследуя взаимодействие проводников с током и магнитом, показал, что электрический ток вызывает вращение проводника вокруг магнита или вращение магнита вокруг проводника. Опыт Фарадея подтвердил принципиальную возможность построения электрического двигателя. В 1888 г. Н. Теслой и Г. Феррарпсом было открыто вращающееся магнитное поле, которое создавалось переменным током, проходящим через неподвижные обмотки статора электрической машины [Иванов-Смоленский, 1980]. Этот эффект до сих пор является основой конструкции электрических машин переменного тока.

В настоящее время асинхронные двигатели с короткозамкнутьш ротором и приводом на их основе получили широкое распространение, что обусловлено простотой конструкции, надежностью и высокими технико-экономическими показателями данного типа электродвигателей.

При этом широкое распространение получают методики исследования и проектирования асинхронных двигателей на основе математического моделирования [Беспалов, Мощипский & Петров, 2002, Беспалов, 1992, Голубев & Зыков, 2004, Грузов, 1953,.

Копылов, Клоков, Морозкин & Токарев, 1993, Копылов, 1987,.

Копылов, 2001, Мощпнский & Петров, 2001, Мощпнский к Аунг Вин Тут, Мощпнский к Петров, 2004, Панкратов В. В. к Зима Е. А., 2004,.

Сппайлов к Лоос, 1980, Хрисанов В. И. к Бржезинскпй, 2004], что позволяет повысить точность расчетов. Большой вклад в создаипс и развитие методов исследования и расчета асинхронных двигателей внесли отечественные и зарубежные ученые: Б. Адкпнс, В. Я. Беспалов, А. Блондель, А. И. Важнов, Г. Вудсон. И. А. Глебов, А. А. Горев, Я. Б. Данилевпч, А. В. Иванов-Смоленский, Н. Ф. Ильинский, Е. Я. Казовский, К. П. Ковач, Е. В. Кононепко, И. П. Копылов, М. П. Костенко, Г. Крон. Р. А. Лютер, Р. Парк, Я. П. Петров, И. М. Постников, В. 14. Радин, И. Рац, Г. А. Сппайлов, Т. Г. Сорокер, И. И. Трещев, Д. Уайт, Р. В. Фильц п другие.

В первой главе диссертации описана простейшая электромеханическая модель буровой установки с асинхронным приводом и решена задача о предельной нагрузке для данной модели.

В качестве уравнений асинхронной машины рассматриваются уравнения, описанные в [Леонов к Кондратьева, 2009,.

Копс1га^уа, Ьеопоу, БЬереЦауу] к Нос1цлкоу, 2001]. В отличие от двигателей внутреннего сгорання, где необходимо учитывать распространение тепла (а это — уравнения в частных производных, уравнения теплопроводности), сложные (по сравнению с вращением ротора электродвигателя) механические движения (а это обыкновенные дифференциальные уравнения более высокого порядка) и импульсную составляющую микровзрыва в цилиндре при максимальном сжатии, электрические машины адекватно описываются обыкновенными дифференциальными уравнениями невысокого порядка с обозримыми правыми частями. А значит, возможно провести достаточное полное математическое исследование динамики таких машин. При этом, что очень важно для математиков, родоначальником этих исследовании является выдающийся итальянский математик Ф. Трикоми, книги которого «Дифференциальные уравнения» и «Интегральные уравнения» переведены [Трикомп, 1962, Трикоми, 1962] на русский язык и который имел много известных последователей, занимавшихся анализом простейших моделей электрических машин.

В качестве силы трения рассматривается сила трения кулоновского типа [УакиЬоу1сЬ, Ьеопоу & СеН^, 2004, Рат1еуе, 1954] с несимметричной разрывной характеристикой.

Получившаяся модель описывается системой обыкновенных дифференциальных уравнений с разрывной правой частью. Различным вопросам этой теории посвящены отдельные параграфы и главы в книгах [Андронов. Витт & Хайкин, 1959, Барбашин, 1967, Гелиг, Леонов & Якубович, 1978, Неймарк, 1972], а также большое число журнальных статей. Систематическое изложение этой теории имеется в статьях А. Ф. Филиппова. В [Филиппов, 1985] Филиппов рассмотрел дифференциальные уравнения с однозначными разрывными правыми частями, ввел понятие решения и доказал основные теоремы качественной теории.

Во второй главе рассматривается электромеханическая модель буровой установки с асинхронным приводом, учитывающая деформацию буровой колонны при кручении. Проведены локальный анализ и численное моделирование полученных уравнений в случае силы трения кулоиовского типа с несимметричной разрывной характеристикой. Также изучен случай математической модели со срывным трением на предмет возникновения колебаний в системе. Существует большое количество работ, посвященных фрикционным колебаниям [Hensen, 2002, Hensen, Van de Molengraft к Steinbuch, 2002, Juloski, Mihajlovic, Heemels, Van de Wouw к Nijmeijer, Mallon, 2003.

Ma lion, van de Wouw, Putra к Nijmeijer, Olsson, 1996,.

Olsson к Astrom, 1996, Olsson к Astrom, 2001, Putra, 2004,.

Putra D., Moreau L. к Nijmeijer H., 2004, Putra D. к Nijmeijer. 2003.

Putra D. к Nijmeijer, 2004, van de Womv, Mihajlovic к Nijmeijer,.

Al-Bender, Lampaert к Swevers, 2004, Batista к Carlson, 1998), в связи с тем, что эти колебания могут вызывать износ или поломку различных механических систем.

В начальный период развития теории нелинейных колебаний в первой половине прошлого века основное внимание уделялось анализу и обобщению колебательных систем. Для этих систем неожиданно возникли трудности при решении задачи о существовании колебательных режимов.

Разви тие современной компьютерной техники позволяет производить численное моделирование сложных нелинейных динамических систем и получать новую информацию о поведении их траекторий. В хорошо известных системах Дюффинга [Duffing, 1918], Ван дер Поля [van der Pol, 1926], Белоусова-Жаботинского [Belousov, 1959|, Лоренца [Lorenz, 1963], Росслера [Rossler, 1976] и других классические самовозбуждающиеся («self-exciting») колебания и аттракторы могут быть числсшю получены с помощью стандартной вычислительной процедуры: после переходного процесса траектория, начавшаяся из окрестности неустойчивого состояния равновесия, достигает колебание и определяет его.

Однако, возможности этого подхода ограничены. В середине прошлого века в системах со скалярной нелинейностью были получены колебания другого типа, так называемые «скрытые колебания», область притяжения которых не содержит окрестности состояний равновесия, и которые не могут быть вычислены описанным выше способом. В данном случае моделирование траекторий с начальными данными скорее всего не даст желаемого результата (см., например, описание эксперимента Колмогорова по поиску предельных циклов [Арнольд, 2005, Lconov, 2010]), т.к. область притяжения может очень маленькой и размерность самого аттрактора может быть существенно меньше размерности рассматриваемой системы.

В 1961 году Губарь [Gubar 19G1] аналитически показал возможность существования скрытых колебаний в двухмерных системах фазовой автоподстройки частоты с кусочно-постоянной импульсной нелинейностью. В 50−60-е годы предыдущего века исследования известных гипотез [Markus & Yamabe, 1960, Aizerman, 1949, Kaiman, 1957) абсолютной устойчивости привели к нахождению скрытых колебаний в системах автоматического управления с кусочно-линейной нелинейностью, которая принадлежит области линейной устойчивости (см. [Плпсс, 1958, Bernat & Llibre. 1996. Leonov, Bragin & Kuznetsov, 2010, Bragin, Kuznetsov, Leonov & Vagaitsev, 2011] и др.).

Недавно хаотические скрытые колебания (скрытые аттракторы) были найдены в классической системе Чуа [Leonov, Kuznetsov h Vagaytsev, 201 lj. Заметим, что Чуа, анализируя в работе [Chua & Lin, 1990] различные варианты существования аттракторов в системе Чуа, не предполагает существования ''скрытых аттракторов" .

В настоящей работе были найдены скрытые колебания для системы, описывающей электромеханическую модель буровой установки, приводимой в движение асинхронным двигателем. Этот результат показывает, что такой сложный эффект как скрытые колебания возникает даже в достаточно простых моделях. Локализация скрытых колебаний является трудной задачей, т.к. часто не удается найти скрытые колебания при моделировании системы со случайными данными мала в силу малости области притяжения. Поэтому необходимо развитие аналитических методов исследования подобных систем.

Основные результаты, выносимые на защиту.

Разработана математическая модель буровой установки с абсолютно твердым буром, приводимой в движение асинхронным двигателем. Решена задача о предельной нагрузке.

Введена адекватная характеристика нагрузки в виде несимметричного сухого трения и показано, что при определенных условиях предельно допустимая резкопеременная нагрузка определяется значением максимальной постоянной нагрузки, при которой система имеет стационарный режим.

Описана двухмассовая математическая модель буровой установки, приводимой в движение асинхронным двигателем. Проведены исследования данной модели в пакете МаНаЬ и найдены скрытые колебания.