Топологические солитоны в трехмерной калибровочной модели Скирма

В современной теоретической физике, при попытках построения последовательной полевой теории элементарных частиц, выясняется, что проистекают они главным образом из-за неумения сохранить в релятивистской квантовой теории образ протяжённой частицы. Разделяя мнение некоторых учёных о том, что последовательная квантовая теория должна опираться на хорошую классическую теорию, мы обращаемся к описанию протяженных частиц в рамках классической нелинейной теории поля.

На возможности нелинейной теории поля в описании протяжённых частиц указывали В. Гейзенберг, Д. Д. Иваненко [1], Я. П. Терлецкий [2] и другие авторы. Особенно отметим направление, восходящее к Г. Ми [3] и А. Эйнштейну [4, 5], в основе которого лежит представление о частицах как сгустках некоторого материального поля, полевых образованиях с повышенной по сравнению с другими частями пространства концентрацией энергии.

Представления о частице как о локализованном в малой области пространства регулярном физическом поле с конечной энергией и другими характеристиками встречались в литературе под разными именами: части-цеподобные решения (Particle-like Solutions) у Н. Розена, Р. Финкелыптейна и Я. П. Терлецкого- «Горбы» (le champ a bosse) у JI. деБройля- «кинки» (kinks) у Р. Финкелыптейна, «комки» (lumps) у С. Коулмена и др. Концепция многомерного солитона с нетривиальной топологической структурой возникла в конце 30-х годов XX века [6−8].

С этой точки зрения, частицы должны описываться регулярными решениями, т. е. не имеющими особенностей локализованными решениями некоторых нелинейных уравнений поля, исчезающими на пространственной бесконечности, которым приписываются конечные энергия, импульс, спин и другие динамические характеристики. Такие решения называются солитонами. Солитоны характеризуются следующими свойствами: а) это локализованные в конечной области возмущения нелинейной среды, которые б) распространяются без деформации, переносят энергию, импульс, момент импульса, в) сохраняют свою форму и структуру при взаимодействии с другими подобными образованиями, г) могут образовывать связанные состояния.

Среди множества решений нелинейных уравнений выделяются классы солитонных решений, которые обладают свойством локализованности и устойчивости, т. е. солитоны сохраняют свою форму в результате взаимодействия. Свойство локализованности присуще не только солитонам, но и более широким классам решений нелинейных уравнений, которые известны как уединённые волны [9]: «Все солитоны являются уединёнными волнами, но обратное неверно, т. к. уединённые волны могут быть неустойчивыми». В общем случае решения нелинейных уравнений, моделирующих некоторое физическое явление, необязательно должны быть локализованными. Это связано с тем, что в системе могут существовать различные локальные области равновесных (или вакуумных) состояний, иначе говоря, равновесное состояние может быть вырожденным [10]. Более строгое определение можно найти в книгах [11−14].

Солитоноподобные решения нелинейных уравнений находят широкое применение в различных областях физики. Они обнаруживаются как при исследовании макроскопических явлений в гидродинамике, физике плазмы, нелинейной оптике, теории твердого тела, механике сплошных сред и теории гравитации, так и в микроскопической области: в биофизике, в биологии и.т.д. Например, киральные солитоны успешно применяются в ядерной физике для моделирования структуры протяжённых частиц [15,16].

Д. Финкельштейн, Ч. Мизнер [17] и независимо от них Т. Скирм [68] в конце 50-х годов XX века впервые ввели в физику топологическую классификацию решений уравнений поля и новый тип законов сохранения, получивших название топологических.

Топологические солитоны обладают свойствами локализованности и устойчивости. В теории поля распространено представление об элементарных частицах как локализованных и устойчивых возбуждениях с конечной энергией. Исследованию устойчивости солитонов по отношению к начальным возмущениям были посвящены основополагающие работы Т. Б. Бенджамина [18], Дж. Шатаха [19−21], В. Е. Захарова [22,23], Е. А. Кузнецова [24,25], В. Г. Маханькова [26] и др. [27−29]. Это позволяет найти соответствие между солитонными решениями и состояниями, описывающими протяжённые частицы в квантовой теории.

Английский физик Тони Хилтон Роял Скирм оставил чрезвычайно яркий след в современной физике ядра и элементарных частиц. В конце 50-х годов XX века Скирмом был разработан оригинальный подход к физике частиц, опирающийся на глубокие топологические идеи. Первую попытку построения модели ядерной материи Скирм предпринял в начале 50-х годов, поставив перед собой задачу дать хотя бы качественное обьяснение известных к тому времени экспериментальных фактов о строении ядра.

Первоначально Скирм хотел получить ответ на вопрос: «Почему экспериментальные измерения радиуса ядра различными методами приводят к существенно разным результатам»? В экспериментах по ораспаду и по рассеянию тяжёлых ядер было установлено, что радиус ядра может быть выражен формулой Я = 1.5А^ х Ю-13 см, где, А — число нуклонов в ядре. В то же время эксперименты по рассеянию быстрых электронов на ядрах приводили к существенно меньшему значению для радиусов ядер: И! = 1.2Аъ х Ю-13 см. Скирм предложил рассматривать ядро как некоторую несжимаемую электрически нейтральную пионную жидкость, заполняющую шарообразную область радиуса Я. В каждой точке пространства эту жидкость можно характеризовать некоторой скалярной плотностью и некоторым вектором в пространстве изоспина. В жидкость погружены нук-лонные источники, сильно взаимодействующие с пионами и занимающие область меньшего радиуса В!

Поэтому в экспериментах первого типа, где существенным является взаимодействие с пионами, получается значение Я, а в экспериментах с электрически заряженными частицами, где фактически проявляется распределение электрического заряда в ядре — И!, т. е. среднеквадратичный зарядовый радиус.

В рамках модели Скирма удается сравнительно простыми средствами удовлетворительно описать взаимодействие нуклонов, основные статические свойства барионов. Будучи относительно простой, эта модель в целом верно схватывает основные симметрийные и структурные свойства барионов. Согласно гипотезе Скирма, барион трактуется как киральный солитон, возникающий в результате коллективного возбуждения пионных полей, наделённый нетривиальным топологическим зарядом ф, интерпретируемым как барионное число.

Топологические солитоны — это регулярные решения полевых уравнений, наделенные топологическим зарядом, сохраняющимся тождественно, т. е. независимо от уравнений движения, не меняющимся при непрерывной деформации поля и принимающим целочисленные значения. Это топологические инварианты типа степени отображения, инварианта Хопфа, индекса Чженя-Понтрягина и т. д. Солитонные решения привлекательные для построения моделей физики элементарных частиц, и в частности, могут рассматриваться как полезный инструмент на пути реализации идей Г. Ми, А. Эйнштейна, Л. деБройля и других об описании элементарных частиц как некоторых сгустков нелинейных полей.

Интерес к модели Скирма значительно возрос после появления работ Э. Виттена [30,31], в которых было установлено, что квантовая хромодина-мика в пределе большого числа цветов оказывается эквивалентной эффективной мезонной теории, которая в низкоэнергетическом пределе аппроксимируется нелинейной сигма-моделью со спонтанно нарушенной киральной симметрией. Именно к таким моделям относится модель Скирма.

В простейшем 517(2) варианте модели Скирма, нуклон представляет собой сгусток пионной жидкости с определённой структурой (ежовый ан-зац) и единичным топологическим зарядом типа степени отображения.

7Г-мезонная шуба определяет структуру нуклона тоько на больших расстояниях (юкавская асимптотика) порядка 1 ферми, а в области кора требуется учесть вклад более тяжёлых мезонов. Эту задачу решает калибровочная модель Скирма [32], в которой роль калибровочного поля играет векторное поле /> мезонов.

Основным объектом в модели Скирма является главное киральное поле 11, принимающее значение в группе ви (2) и параметризуемое при помощи изовекторного поля (ра, а = 1,2,3, следующим образом:

II = еы<�тв, в = 9(х, ?) — киральный угол, па — единичный вектор в изопространстве, та — матрицы Паули, р — изовектор, который описывает пионное поле,.

Скирмионы с топологическими зарядом ф >> 1 находят широкое применение в астрофизике, где, безусловно необходим учёт гравитации.

Существенным препятствием для дальнейшего исследования возможностей киральной модели Скирма и для построения на её основе последовательной квантовой схемы является невозможность получения явных аналитических решений уравнений модели, хотя их существование было доказано [33−36].

Киральная модель Скирма допускает существование регулярных топологических решений со структурами сферически-симметричного и аксиально-симметричного типов. Так, установлено [6, 33, 36−41], что при |<2| = 1 абсолютный минимум функционала энергии достигается на ежовом анзаце, а при > 1 на аксиально-симметричных подстановках (тороидальная структура). Тороидальные структуры возникали в литературе при исследовании различных задач [42].

В диссертации изучается калибровочная модель Скирма, учитывающая вклад не только 7Г-пионов, но и векторных р-мезонов.

Структура диссертации предполагается следующей.

Во Введении обосновывается важность и актуальность темы и предмета исследования, дается краткий обзор истории вопроса, основных методов исследования и содержания диссертации.

Выводы.

Сформулируем основные результаты, полученные в диссертации:

• Найдена структура инвариантных векторного и кирального полей в аксиально-симметричной калибровочной 57/(2)-модели Скирма.

• Выявлена дискретная симметрия гамильтониана в аксиально-симметричной ви (2)-модели Скирма.

• Исследованы топологические конфигурации тороидальной структуры.

• Если предположить, что радиус, а замыкания тора весьма большой, то весьма большим будет и топологический заряд С} {п к). При таком допущении удаётся найти явные выражения для кирального и калибровочного полей внутри замкнутой струны (вихря). С помощью этих выражений находится радиус замыкания и энергия вихря как функции от топологического числа п, которое определяет число закруток кирального угла (р = п9 вокруг продольной оси вихря. Интересно, что энергия вихря при п 1 пропорциональна п9/4, как это следует из формулы (3.17), и не зависит от параметров векторного поля.