Диплом, курсовая, контрольная работа
Помощь в написании студенческих работ

Устойчивость периодических гамильтоновых систем при многократном резонансе

Диссертация: Устойчивость периодических гамильтоновых систем при многократном резонансе
ДиссертацияПомощь в написанииУзнать стоимостьмоей работы

В работах А. Л. Куницына, А. П. Маркеева, Л. Г. Хазина, В. Э. Жавнерчик подробного исследованы однократные и многократные резонансы третьего порядка. Обстоятельный обзор результатов по исследованию устойчивости в резонансных случаях дан А. Л. Куницыным и А. П. Маркеевым. Проведенный в этих работах анализ показывает, что результаты по устойчивости гамильтоновых систем могут вытекать как частный… Читать ещё >

Содержание

  • ГЛАВА 1. УСТОЙЧИВОСТЬ ПЕРИОДИЧЕСКИХ СИСТЕМ ПРИ
  • ОДНОВРЕМЕННОМ СУЩЕСТВОВАНИИ НЕСКОЛЬКИХ РЕЗОНАНСОВ ЧЕТВЕРТОГО ПОРЯДКА
    • 1. 1. Об устойчивости периодической системы при однократном резонансе четвертого порядка
    • 1. 2. Устойчивость периодических систем при наличии нескольких независимых резонансов четвертого порядка
    • 1. 3. Устойчивость периодических систем при взаимодействии резонансов четвертого порядка
  • ГЛАВА 2. ИССЛЕДОВАНИЕ УСТОЙЧИВОСТИ ПЕРИОДИЧЕСКИХ ГАМИЛЬТОНОВЫХ СИСТЕМ ПРИ НАЛИЧИИ РЕЗОНАНСОВ ЧЕТВЕРТОГО ПОРЯДКА
    • 2. 1. Нелинейная нормализация периодических гамильтоновых резонансных систем
    • 2. 2. Случай независимых резонансов
    • 2. 3. Взаимодействие резонансов по одной частоте
    • 2. 4. Случай взаимодействия при наличии общей многочастотной компоненты
  • ГЛАВА 3. СТАБИЛИЗАЦИЯ КОЛЛИНЕАРНЫХ ТОЧЕК ЛИБРАЦИИ В
  • СИСТЕМЕ ЗЕМЛЯ — ЛУНА ПОСРЕДСТВОМ ПОСТОЯННОГО ПО МОДУЛЮ МАЛОГО РЕАКТИВНОГО УСКОРЕНИЯ
    • 3. 1. Постановка задачи. Уравнения поступательно-вращательного движения
    • 3. 2. Положения относительного равновесия
    • 3. 3. Необходимые условия устойчивости центра масс ОС
    • 3. 4. Достаточные условия устойчивости ориентации спутника
    • 3. 5. Нелинейный анализ устойчивости в случае внутренних резонансов

Устойчивость периодических гамильтоновых систем при многократном резонансе (реферат, курсовая, диплом, контрольная)

Поскольку большинство задач механики описывается неинтегрируемыми системами дифференциальных уравнений, то исследование на устойчивость различных частных решений этих систем приобретает особый интерес. Как известно, теория устойчивости, созданная в основном выдающимся русским механиком A.M. Ляпуновым, наиболее полно разработана для установившихся и периодических движений, которые во многих задачах механики и техники представляют особый интерес.

Развитие аналитической динамики, теории нелинейных колебаний, теории автоматического регулирования и оптимального управления и некоторых новых направлений в науке и технике существенно расширили круг задач, которые приводят к необходимости исследования устойчивости периодического решения нелинейных систем обыкновенных дифференциальных уравнений.

В данной работе рассматривается критический случай таких систем x = A (t)x + X (t, x), xeRN (0.1) где ю-периодическая матрица A (t) такова, что все характеристические показатели линейной части системы — чисто мнимые, а векторфункция X (t, x) представляет собой совокупность нелинейных членов системы, представляющая собой абсолютно сходящийся ряд.

Такие системы представляют особый интерес, поскольку в первом приближении они описывают некоторый колебательный процесс широко распространенный в природе и технике. В теории устойчивости эти системы соответствуют критическому случаю, в котором задача устойчивости решается структурой нелинейных членов.

Рассмотрим систему (0.1) в вариациях.

В своей работе A.M. Ляпунов [30] показал, что с помощью линейного преобразования, задаваемого матрицей.

Bt.

— нормированная фундаментальная матрица) систему можно привести к линейной системе с постоянными коэффициентами. При этом корни характеристического уравнения приведенной системы будут являться характеристическими показателями исходной системы. Перейдем к новой переменной по формуле х = Ф (0£.

Тогда система (0.1) примет вид = zA?+S (?, 0, S (?,/ + а>) = 3(?0, где Щ^эО «совокупность нелинейных членов, г К — idiag (Z1,., Я^ Я^). Переменные ,., S, 2N разобьем на 2N комплексно-сопряженных переменных z = N) и z =, тогда получим следующую систему с нормализованной линейной частью: z — iAz + Z (z, z, t), z = -iAz + Z (z, z, t), (0.2) в которой Z (z, z, t) и Z (z, z, t) представляют собой комплексно-сопряженные.

О) -периодические по t вектор-функции, разложения которых в ряды по степеням z, z начинаются с форм не ниже второго порядка.

Начиная с работ A.M. Ляпунова [30], стало ясно, что решение задачи устойчивости для систем (0.2) зависит от арифметических свойств ±-Я, а s именно от того, удовлетворяет ли они соотношению 2 л рД) = — q, g = 0+1+2,., (0.3) а где р — - вектор, компоненты которого взаимно-простые целые числа, Х = (Лг.РЯп) (n.

При выполнении (0.3) говорят, что в системе имеет место внутренний резонанс порядка к, где к.

Р, .+ Р г п.

1.

В сложных многопараметрических системах могут одновременно возникать несколько резонансных соотношений вида (0.3). Тогда говорят, что в системе имеет место многократный резонанс.

Изучению нерезонансного случая были посвящены работы Г. В. Каменкова [16], И. Г. Малкина [32], Ь. 8а1уаёоп[59], В. Г. Веретенникова [6] и др. В этих работах нерезонансный случай был изучен практически полностью. В появившихся многочисленных исследованиях А. Л. Куницына [19], А. П. Маркеева [33], В. Н. Тхая [46], Л. Г. Хазина [48] и других удалось установить ряд интересных свойств резонансных систем связанных с порядком и кратностью резонансов. Это связано с тем, что порядок и кратность резонансов влияют на структуру нормальной формы, правые части, которой до членов заданного порядка проще, чем в исходной системе.

Идея указанного преобразования восходит еще к работам А. Пуанкаре [38] и A.M. Ляпунова [30]. Более детально его свойства применительно к нерезонансному случаю изучались Дж. Биркгофом [4] и Дюлаком [54]. В последнее время ряд важных результатов по нормализации был получен в работах А. Д. Брюно [5]. Для гамильтоновых систем, в работах Депри [52] и Хори [56], разработан метод, основывающейся на каноничности преобразования фазового пространства.

В работах А. Л. Куницына [20], А. П. Маркеева [33], Л. Г. Хазина [50], В. Э. Жавнерчик [13,14] подробного исследованы однократные и многократные резонансы третьего порядка. Обстоятельный обзор результатов по исследованию устойчивости в резонансных случаях дан А. Л. Куницыным и А. П. Маркеевым [23]. Проведенный в этих работах анализ показывает, что результаты по устойчивости гамильтоновых систем могут вытекать как частный случай из результатов, получаемых для систем общего вида (0.1), если в системе имеет место однократный или многократные, но независимые резонансы третьего порядка. Иначе обстоит дело когда в системе имеет место взаимодействие резонансов третьего порядка (А.П.Маркеева [33], В. Н. Тхая [47], Л. Г. Хазина [48,49]). Для многократного резонанса четвертого порядка ситуация становится еще более сложной.

В настоящей работе рассматриваются вопросы устойчивости периодических систем при наличии нескольких резонансов четвертого порядка.

Основные результаты, полученные в диссертационной работе сводятся к следующему:

1. Получены достаточные условия асимптотической устойчивости и неустойчивости многомерных периодических систем общего вида при многократном резонансе четвертого порядка.

Рассмотрены как случаи независимых так и взаимодействующих резонансов.

2. Впервые получены достаточные условия устойчивости и неустойчивости гамильтоновых периодических систем при одновременном существовании нескольких резонансов четвертого порядка.

3. В системе Земля — Луна найдены положения относительного равновесия в поступательно-вращательном движении орбитальной станции, рассматриваемой как тело переменного состава с твердой оболочкой, в предположении, что на ней установлен реактивный двигатель, создающий малое и постоянное по модулю реактивное ускорение.

Построены области устойчивости положений относительного равновесия центра масс ОС в пространстве: в этой области найдены достаточные условия вековой устойчивости равновесных ориентаций станции.

4. В области выполнения необходимых условий устойчивости вблизи классической залунной коллинеарной точки либрации построены всевозможные резонансы четвертого порядка. Проведен нелинейный анализ устойчивости при наличии многократных резонансов четвертого порядка на основе общих результатов исследования, проведенного в первых двух главах.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

.

Показать весь текст

Список литературы

  1. В.И. Малые знаменатели и проблемы устойчивости движения в классической и небесной механике. -УМН, 1963, т. 18, вып.6, с.91−192.
  2. В.И. О неустойчивости динамических систем со многими степенями свободы. -ДАН, 1964, т. 156, № 1, с.9−12.
  3. В.В. Движение искусственного спутника относительно центра масс. М.:Наука, 1965, с. 416.
  4. Д. Динамические системы. M.-JL: Гостехиздат, 1941, с. 320.
  5. А.Д. О формальной устойчивости систем Гамильтона. Матам, заметки, 1967, т.1, вып. З, с.325−330.
  6. В.Г. Об устойчивости движения в случае трех пар чисто мнимых корней. -Тр.Ун-та Дружбы народов им. Патриса Лумумбы. 1966, № 15, с.166−179.
  7. Ф.Р. Лекции по аналитической механике. М.:физматгиз, 1960.
  8. A.A., Куницын А. Л. Периодические движения орбитальной станции в системе Земля-Луна.- Тез. докл. Всероссийской конф. «Проблемы небесной механики». С.-Петербург, 1997.
  9. A.A., Куницын А.Л Об устойчивости квазиавтономных гамильтоновых систем при многократном резонансе, — Тез. докл. VII четаевской конф. «Аналитическая механика, устойчивость и управление движением». Казань, 1997.
  10. A.A. Об устойчивости поступательного периодическогодвижения орбитальной станции в системе Земля-Луна.- Тез. докл. Всероссийской конф. молодых ученных «Математическое моделирование физико-математических процессов». Пермь, 1997.
  11. Н.Джумабаева A.A., Куницын А. Л. Стабилизация точек либрации в системе Земля-Луна.- Тез. докл. конф. «Новые теоретические результаты и практические задачи небесной механики». Москва, 1997.
  12. A.A., Куницын А.Л Об устойчивости периодических гамильтоновых систем при многократном резонансе четвертого порядка. -ПММ, 1998, т.62, вып.5. с.
  13. В.Э. Об устойчивости автономных систем при наличии нескольких резонансов. ПММ, 1979, т.43, вып.2, с.229−234.
  14. В.Э. К вопросу об устойчивости при наличии многократного резонанса нечетного порядка. ПММ, 1980, т.44, вып.6, с.971−976.15.3игель К. Л. Лекции по небесной механике. М.:Из-во иностр. лит., 1959.
  15. Г. В. Избранные труды. М.:Наука, т.1, 1971, с. 260.
  16. А.Н. О сохранении условно-периодических движений при малом изменении функции Гамильтона. ДАН СССР, 1954, т.98, № 4, с.527−530.
  17. A.JI. Нормальная форма и устойчивость периодических ситем при внутреннем резонансе. ПММ, 1976, т.40, вып. З, с.431−438.
  18. А.Л. Об устойчивости в критическом случае трех пар чисто мнимых корней при внутреннем резонансе. ПММ, 1971, т.35, вып.1, с.164−167.
  19. Куницын А. Л, Джумабаева A.A. О стабилизации коллинеарных точек либрации в системе Земля-Луна.- Тез. докл. XXXIV науч.конф. факультета физико-математических и естественных наук Российского университета дружбы народов, Москва, 1998.
  20. Куницын А. Л, Джумабаева A.A. Об устойчивости поступательно-вращательных движений орбитальной станции в системе Земля-Луна.- Тр. Международной конф. «Математика в индустрии», Таганрог, 1998.
  21. А.Л., Маркеев А. П. Устойчивость в резонансных случаях // Итоги науки и техники. Общая механика. М.: ВИНИТИД979. т.4. с.58−139.
  22. А.Л., Муратов A.C. Об устойчивости одного класса квазиавтономных периодических систем при внутреннем резонансе. ПММ, 1993, т.57, вып.2.
  23. Куницын АЛ, Пережогин A.A. Об устойчивости нейтральных систем при наличии многократного резонанса четвертого порядка. ГТММ, 1985, т.49, вып. 1.
  24. А.Л., Ташимов Л. Т. Некоторые задачи устойчивости нелинейных резонансных систем. Алма-Ата: Гылым, 1990, с. 195.
  25. А.Л., Туякбаев A.A. Устойчивость гамильтоновых систем при многократном резонансе четвертого порядка. ПММ, 1992, т. 56, вып.4, с.672−675.
  26. А.Л., Чудаков В. И. О стационарных движениях в обобщенной задаче трех тел при использовании дополнительного реактивного ускорения. Тематический сборник научных трудов. М.: МАИ, 1989.
  27. A.M. Общая задача об устойчивости движения. Сбор. Соч., т.2, М.-Л., Из-во АН СССР, 1956.
  28. И.Г. Методы Ляпунова и Пуанкаре в теории нелинейных колебаний. М.-Л.: Гостехиздат, 1949.
  29. И.Г. Теория устойчивости движения. М.: Наука, 1966.
  30. А.П. Точки либрации в небесной механике и космодинамике. М.: Наука, 1978, с. 312.
  31. Д.Р. Введение в теорию устойчивости движения. М.:Наука, 1987, с. 304.
  32. Ю. Лекции о гамильтоновых системах. М.: Мир, 1973. 68с.
  33. H.H. Метод последовательных канонических замен переменных.
  34. Добавление к книге Ю. Мозера «Лекции о Гамильтоновых системах». М.:Мир, 1973, с. 150−164.
  35. H.H. О поведении гамильтоновых систем близких к интегрируемым. Функц. анализ, 1971, т.5, вып.4, с.82−83.
  36. А. Избранные труды. Т. 1,2,. М.:Наука, 1971, 1972.
  37. В.Н. Об относительном равновесии спутника гиростата в обобщенной ограниченной круговой задаче трех тел. ПММ, 1981, т.45, вып. З, с.494−503.
  38. В.Н. Устойчивость установившихся движений сложных механических систем. Итоги науки и техники. ВИНИТИ, сер.общ. механика, 1982, т.5.
  39. В.В. Об управлении ориентации и о стабилизации спутника роторами в точках либрации. Publ.:math., 1974, 17(31), р.139−148.
  40. В.В. Об устойчивости стационарных движений спутников. М.:ВЦ АН СССР, 1967, с. 141.
  41. В.В. Об управлении ориентации спутника-гиростата в равновесных положениях в точках либрации. В кн.: «Избранные проблемы прикладной механики.» М.:ВИНИТИ, 1974.
  42. В.В. Об устойчивости ориентации динамически-симметричного спутника в точках либрации. -Известия АН СССР, Механика твердого тела, 1974, № 2.
  43. А.Г., Хованский С. А. программа нормализации гамильтоновыхсистем с тремя степенями свободы. М.:МАИ, 1981, деп. ВИНИТИ, с. 40.
  44. В.Н. Об устойчивости механических систем под действием позиционных сил. ПММ, 1980, т.44, вып. 1, с.40−48.
  45. В.Н. Некоторые задачи об устойчивости обратимой системы с малым параметром. ПММ, 1994, т.58, вып. 1, с.3−12.
  46. Л.Г. Вопросы устойчивости систем Гамильтона и резонансы. ИПМ АН СССР, препринт № 20,1969.
  47. Л.Г. Об устойчивости гамильтоновых систем при наличии резонанса. ПММ, 1971, т.35, вып. З, с.423−431.
  48. Г. Г. К вопросу о взаимодействии резонансов. ПММ, 1976, т.40, вып.5, с.959−960.
  49. Л. Г. Шноль Э.Э. Простейшие случаи алгебраической неразрешимости в задачах об устойчивости. ДАН СССР, 1978, т.240, № 6, с.1309−1311.
  50. Deprit A. Canonical transformations depending on a small parameter. Celest. Mech., 1969, 1, № 1, p.12−30.
  51. Dusek H.M. Motion in the vicinity of libration points of a generalized restricted three body model. AIIAA Paper, 1965, № 682.
  52. Dulac H. Sur les cycles limites. Bulletin de la Societe Mathematique de la Franse. v. LI Paris, 1923.
  53. Farquhar R.W. Station keeping in the vicinity of collinear libration points with an Application to a lunar communication problem. — Space Flight mech. Denver, Colo. Wash., 1966.
  54. Hori G.I. Theory of general perturbations with unspecified canonical variables. J. Of Japan Astron Soc., 1966, v. 18, № 4.
  55. Krasilnikov P. S., Kunitsyn A.L. On the stabilization of the collinear libration points of the restzicted three body problem. — Cel. Meek, 15,1977.
  56. Kunitsyn A.L., Markeyev A.P. Stability in resonance. cases.-Applied mechanics. Soviet reviews: V 1, Hemisphere, N.Y., 1989.
  57. Salvadore L. Sulla ricerca di una funczione di Liapounoff per un sistema differentiale interessante la meccanica dei sistem olonomi. Ric. Mat., 1962, 11, № 2, p.82−94.
Заполнить форму текущей работой

На отлично!