Дифференциальные операторы с периодическими комплекснозначными коэффицентами

Сингулярные несамосопряженные дифференциальные операторы до последнего времени не были предметом исследования. Ввиду того" что абстрактная теория несамосопряженных операторов и теория самосопряженных операторов не дает никакого утверждения о спектральном разложении операторов с комплекснозначными коэффициентами, то такие операторы исследуются непосредственно. Одним из интересных случаев является случай дифференциальных операто ров с периодическими комплекснозначными коэффициентами*.

В настоящей диссертации исследованы спектр, спектральные особенности, а также построено спектральное разложение, отвечаю"" щее замкнутому дифференциально^ оператору 'J1, который порождается в пространстве ^ t~ дифференциальным выражением.

CD fa = Рк^) С*-'*,")) с периодическими комплекснозначными коэффициентами.

По этому поводу есть работы Рофе-Бекетова Ф.С. [l2], Мак-Гарвея [7]-[9j «Серова М. Н. [13] —[Х5/, Гасымова М. Г. [3 а, б] Ткаченко В.й. [l7j .

В работах Мак-Гарвея [7] - [9] и Рофе-Бекетова Ф.С. [12] доказано, что оператор Т7 имеет чисто непрерывный спектр, который совпадает с множеством тех значений Я, для которых уравнение l.

Если обозначим через оператор, порожденный в пространстве //^(О)1) дифференциальным выражением (I) и граничными условиями (К). L-6 tic) х fd^ttfio) (3) то спектр оператора Т7 совпадает с объединением спектров операторов при -6 еСО^ЧГ]или, другими словами, с множеством корней характеристического уравнения.

4) где Jtl] -матрица монодромии уравнения (2) и совпадает с матрицей Вронского для системы фундаментальных решений уравнения (2) при Х~ 1. Следовательно, спектр состоит из аналитических кривых, расположенных в плоскости X. Спектр уравнения.

— fVpiMp Р^Ч'Т-Ч — *> <*сто (5) подробно изучен в работах Серова (K^SjJя уточнен в работе.

Рофе-Бекетова [12]. Основные результаты этих работ следующие:

I) Пусть КеР-0, где Р-. о.

Тогда характеристическое уравнение (4) имеет вид.

ХСЖТ — Т — Ы б[ы7 zTT-td] р c (—i р (6) z где F (X) -целая функция. Отсюда следует выводы: а) спектр состоит из конечного или бесконечного количества дуг, содержащихся в полосе.

— 5.

I 1"я < tomi и простирается вправо до бесконечности: б) собственные значения X^tt) операторов [oH^ffi) дважды покрывают спектр оператора / ¦ Именно в) спектр не может содержать замкнутых кривых. 2) Пусть Тогда характеристическое уравнение имеет вид if (l) = tos^- fp) где У I?.) «целая функция. Отсюда следует, что а) спектр содержит одну неограниченную компоненту, асимптотически приближающуюся к параболе л = >где и, возможно, несколько простых замкнутых контуровб) никакой контур не может содержаться внутри другогов) никакие два контура не имеют более одной общей точкиг) несколько компонент могут, вообще говоря, образовать цепочку, когда каждая следующая компонента имеет общую точку с предыдущей, но такая цепочка не может быть замкнутой.

Работа Гасъшова/За] посвящена исследованию спектра и разложения по собственным функциям дифференциального оператора ft, порожденного дифференциальным выражением в пространстве t~ в предположении, что коэффициент.

•а имеет вид.

ОС.

7) и РВД ^.

Л h-t h I.

8) сходится. Очевидно, что fytx-) является периодической функцией на (-со joo) и допускает голоморфное продолжение на верхнюю полуплоскость. Оказывается, что спектр оператора, А является чисто непрерывным и заполняет полуось /' оР <*>), а на непрерывном спектре могут быть спектральные особенности I порядка, которые обязательно совпадают с числами вида • Для обобщенных собственных функций, отвечающих спектральным особенностям, можно ввести понятие обобщенных нормировочных чисел [ | • Доказывается, что по ним можно эффективно восстановить {•.

Напомним некоторые определения, используемые в дальнейшем.

Определение I. Пусть S означаетполе боре лев ских подмножеств комплексной плоскости. Пусть Т7 — линейный оператор, область определения и область значений которого содержатся в /3 -пространстве X. Тогда оператор называется спектральным, если он замкнут и существует такая регулярная счетно-аддитивная спектральная мера В «определенная на И, что.

I) [Т1) ЭЕ (.

И) ыт).

Ш) Спектр сужения.

Т/е U) X определенного на множестве.

Ъ (Г)п Ек удовлетворяет условию.

S (rr/E^)x)cS 7 ёеЪ.

Спектральная мера Е называется разложением единицы оператора Т-.

Определение 2. Спектральный оператор 'Т с разложением единицы Ё называется спектральным оператором скалярного типа, если и — существует.

U^n и llEleLQx хе S) (Т).

7 ;

Большой интерес представляет нахождение такого условия на коэффициенты выражения (I), чтобы оператор ^ был спектральным оператором.

Этому вопросу посвящены работы Мак-Гарвея [7] -£э] .Мы сейчас приведем основные результаты этих работ, доказанные в конце [8] для уравнения П-го порядка. Остальные результаты являются сложными и не очень эффективными.

Теорема. Пусть ТC^J — оператор, порожденный в пространстве ^ (- <*>, о°) выражением 1.

Если Ои — $ о и существует постоянная С О такая, что.

Ч? loo то T^fej — спектральный оператор скалярного типа.

Пусть Tfa J — оператор в пространстве порожденный операцией где 0L — действительное число.

Теорема. Пусть спектр оператора 7^С^о) имеет Ш. ограниченных компонент. Тогда не более чем при Уп. значениях параметра Л. оператор Т C’Qt) не будет спектральным.

Если м- <оо, то число значений Ои, при которых '[^J не спектральный, бесконечное и число нуль является единственной предельной точкой этого множества. В частности, при любом Ое- ^ о оператор *Гспектральный тогда и только тогда, когда спектр оператора не имеет ограниченных компонент.

Из работы Гасымова [з] и из этой теореш следует Замечание I. Если Cjr, tx) удовлетворяет условиям (7) и (8), то при любом (ft О оператор ^ГС^ои) спектральный.

В работе Ткаченко [17] рассматривается оператор L, порожденный в пространстве (г о°(о°) выражением с периодическими комплекснозначными коэффициентами, и доказывается, что если ^-^Фо при Ze S С&-) (где F (2) функвС1 ция Ляпунова), т. е. если все собственные значения операторов простые при всех -6 €?of9>lf], то оператор L унитарно эквивалентен оператору умножения на треугольную матрицу.

Настоящая диссертация состоит из трех глав. В первой главе исследован спектр оператора Т и получены следующие результаты.

Теорема 1.4. Спектр оператора Т состоит из конечного числа связных кривых, если а) порядок уравнения (2) нечетный (П-Sac-i) — б) порядок уравнения (2) четный (2м.) и 1.

§ R e pj^Ootx. о.

Обозначим соответственно через L и дифференциальные операторы, полученные при.

Этот случай исследован более подробно. Положим где 2n — собственное значение оператора L-e. При этих обозначениях доказывается следующая теорема.

Теорема 1.5. Приt^Ojir все собственные значения оператора простые, иначе говоря, компоненты f^ спектра взаимно не пересекающиеся аналитические дуги.

Очевидно, что концы Q есть ЯпСо) и Собственные значения операторов L0 и Ljf могут оказаться двухкратными. Тогда две кривые, скажем, и Гп+1, соединяются друг с другом концами. Соединение двух кривых мы не относим к пересечению.

Вторая глава диссертации посвящена исследованию спектральных особенностей оператора т .

Спектральными особенностями назовем те точки спектра, в окрестностях которых нарушается равномерная ограниченность проекторов. Работа Гасымова [3] показывает, что существует достаточно широкий класс периодических коэффициентов, при которых оператор Т имеет спектральные особенности.

Основные результаты второй главы диссертации следующие.

Теорема 2.2. Для того чтобы точка Я € $(Т^ сSffJбыла спектральной особенностью оператора Т, необходимо и достаточно, чтобы оператор в точке 2 имел присоединенную функцию.

Теорема 2.3. Оператор Т имеет конечное число спектральных особенностей, если а) порядок уравнения (2) нечетный) — б) порядок уравнения (2) четный и t о.

В этой главе одномерному оператору Шредингера L посвящен отдельный параграф (§ 2,3), Из теорем 2.2 и 1.5 сразу получается следующее.

Утверждение 2.1. Для того чтобы Я было спектральной особенностью оператора L * необходимо и достаточно, чтобы Л являлось кратным собственным значением операторов bo или Ljr и в точке Л It, или имел присоединенные функции.

В § 2.3 доказывается дополнительная теорема (другого типа) о спектральных особенностях. Для этого введем обозначения.

FU1где fCX/lJ и PC*!*) решение уравнения удовлетворяющее условиям.

Y10, Я)-о, — &(t>, i)-t, ff’to, i)=o.

Пусть X — корень уравнения f3'(2}-L/'0 кратности hU) • Если 2 — не корень, то .

Аналогичные функции для уравнений соответственно обозначим через.

Mitt)? ?

Положим millтлч / 7 к L.

Теорема 2.4. Следующие утверждения эквивалентны.

I) 2 является спектральной особенностью оператора L «г) ,.

Третья глава посвящена спектральному разложению оператора Т7. В работе Мак-Гарвея, несмотря на глубокий анализ, не найдены условия на коэффициент, при которых одномерный оператор Шредингера L был спектральным. Поэтому оставался открытым вопрос, можно ли построить спектральное разложение для оператора L «а также для оператора ^ с любыми периодическими комплексными коэффициентами.

В третьей главе сформулирован положительный ответ на этот вопрос. В теореме о разложении используются следующие обозначения.

Пусть tj%(X}l)y- ' 7 tfy, tx, А) — фундаментальные решения уравнения (2). Положим tn-t) и, С"'1-), , it c"-i) tf и?-* -¦ U.

Нетрудно видеть, что A -6) является характеристическим определителем оператора 7J • Обозначим через, А к дополнение 0LhlKго элемента определителя, А [у> t), Пусть, аналогично,.

ZtMjZiLx,*), — ¦¦fZntx.i).

— фундаментальные решения сопряженного уравнения и Ск — допол-шие г*.

Пусть точки hiltf" «? являются спектральными особенностями оператора порядков? x7Lj. i ' «'¦» соответственно. Положим.

Kk (*, D—f 0 при.

L при /Я'Я^ где S" - достаточно маленькое положительное число нение Cin к «*го элемента характеристической матрицы оператора } з m=ю — Z- ^ Чт — (? емка)) (^мыыМмк) к—, '*» ¦'/ где.

— <7°.

— финитная функция из С~ •.

А = 4-, с<�а,*/ = f (JL 4- с* A^h и К-^" ^ ^ / * множество индексов тех спектральных особенностей, которые находятся в /Хр) teU/ъЩ ti-lj&j- — 1. Тогда теорема о разложении имеет такой вид.

Теорема. Для каждой финитной непрерывной функции J имеет место следующее спектральное разложение хм- $ (j- [ Miidth^IMli^L f ZhlzirJ o (U)AW.

10) J n где MK (x) — слагаемые, которые соответствуют спектральным особенностям.

Ряд в формуле (10) сходится по норме для любых 0L и.

Используя выше введенные обозначения, спектральное разложение для оператора L можно записать в виде х) — Л. f фг Г h-1 р где /о (Я) — jV-F4l).

Нетрудно видеть, что еояи /, то разложение (II) совпадает с разложением, предложенным в книге Титчмарша 16. В самосопряженном случае (т.е. когда fy сх) действительная периода^ ческая функция) несколькими методами получено спектральное раз* ложение оператора / .

В работе Гельфанда [4] очень изящно доказывается теорема о разложении для самосопряженного уравнения любого порядка и даже для уравнения с частными производными.

Но при применении этого метода в несамосопряженном случае встречаются некоторые сложности. В первом параграфе третьей главы объясняется, что при прямом применении этого метода появляются трудности, которые невозможно преодолеть" Там же объясняется, как можно использовать этот метод. В дальнейшем, преодолевая технические трудности, получим спектральное разложение.

Г I, А В, А I.

О СПЕКТРЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ ОПЕРАТОРОВ С ПЕРИОДИЧЕСКИМИ КОШЛЕЮНОЗНАЧНЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМ.

Первая глава состоит из двух параграфов. В первом параграфе изучаются некоторые свойства операторов 7J (-6 9 которые порождаются в пространстве 1i) дифференциальным выражением f'+p^f* - -+ r"Lx)cif d. D и граничными условиями.

У V) — & у (О) =.

1*2) где f3KLx) zi> у — периодические комплекснозначные функции. Результаты этого параграфа носят вспомогательный характер и используются в дальнейшем в этой и других главах.

Во втором параграфе исследован спектр оператора Т^ > который порождается в пространстве 4 г дифференциальным выражением (I.I), и подучены следующие основные результаты.

Спектроператора Т состоит из конечного числа связных кривых" если а) порядок выражения (I.I) нечетный (n-3,jt-i) 9 б) порядок выражения (I.I) четный и о f.

J* f) xC*Jобос ф О.

Обозначим соответственно через L и L^ дифференциальные операторы, полученные при.

1.3) где (pix) — периодическая комплексная функция.

Во втором параграфе этот случай исследован более подробно и получен следующий результат.

Приt’tOjff все собственные значения оператора Lt продетые, иначе говоря, компоненты спектра оператора L не пересекаются друг с другом,.

1. Беляев О. А. Одномерный оператор Шредингера с переодическим комдлекснозначным потенциалом, ДАН СССР, 250, 6, 1980, с. 1292−1296.

2. Гельфанд И. М. Разложение по собственным функциям уравнения с периодическими коэффициентами, ДАН СССР, 73, 6,.1950, с III7-II20.

3. Данфорд Н., Шварц Дж., Линейные операторы, т. З, «Мир», М., 1974.

4. Кесельман Г. М. О безусловной сходимости разложений по собственным функциям некоторых дифференциальных операторов, Изв. ВУЗов СССР, Математика, № 2, 1964, с.82−93.

5. Лс. C&t/ty i). Ope-z&tats bonntnuicnq with it•j&HbZ&tton One. RtptzstniarfiOH ^keoz^MS, J7 Of мли-ih, owd. Of pi. ?? 196Л, 5CG-410.

6. C&bt/ey ?>. Ptziuziccioon z^su/4s fot peuodcc qLljJ^ZX&ntbQlA Ореъжбоъъ. X <2/ (Utd Clfplli7 J96T? щМс. Ca, z/Vf $), ЩупшЛа? optbedoti Woth pWodUt СМЦсаШ^ ' 6/71 c-" >>°°) • J? °4 кссМ/ cmql&%C$ алоС of piи, sp a.

7. Михайлов Б. П. О базисах Рисса в (0}lJ, ДАН СССР, 144, 5,1962, с.981−984.

8. Наймарк М. А. Линейные дифференциальные операторы.- М.: Наука, 1969.

9. Рофе-Бекетов Ф.С. О спектре несамосопряженных дифференциальных операторов с периодическими коэффициентами, ДАН СССР, 152,6, 1963, с I3I2-I3I5.

10. Серов М. И. О некоторых свойствах спектра несамосопряженного дифференциального оператора второго порядка, ДАН СССР, 131, 1,1960, с. 27−30.

11. Серов М. И. О спектре одного несамосопряженного оператора, Уч.зап. Елабуж.пед.ин-та, т. УП, 1959.

12. Серов М. И. Асимптотическое поведение спектра линейного дифференциального оператора с периодическими коэффициентами, Уч.зап.Елабуж.пед.ин-та, т. УШ, 1960.

13. Титчмарш Е. Ч. Разложения по собственным функциям, связанные с дифференциальными уравнениями второго порядка, т.2. М.: ИЛ, 1961.

14. Ткаченко В. А. К спектральному анализу одномерного оператора Шредингера с периодическим комплекснозначным потенциалом. ДАН СССР, т.155, * 2, с.289−291.

15. Шкаликов А. А. О базисности собственных функций обыкновенного дифференциального оператора, УМН, том 34, вып. 5 (209), с. 235−236.