Разработка управленческих решений на основе задач математического моделирования

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ

" БРАТСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ"

ФАКУЛЬТЕТ ЭКОНОМИКИ И УПРАВЛЕНИЯ

Кафедра менеджмента и информационных технологий

230 700 Прикладная информатика

Прикладная информатика в экономике

Курсовая работа

по дисциплине " Исследование операций и методы оптимизации"

РАЗРАБОТКА УПРАВЛЕНЧЕСКИХ РЕШЕНИЙ НА ОСНОВЕ ЗАДАЧ МАТЕМАТИЧЕСКОГО МОДЕЛИРОВАНИЯ

Работу выполнил Т. С. Онохова Проверил Л. А. Геращенко Братск 2014 г.

• Введение
• 1. Постановка оптимизации исходной задачи
• 1.1 Экономическая постановка ЗЛП
• 1.2 Экономическая постановка задачи многопараметрической оптимизации
• 2. Нахождение оптимального решения
• 2.1 Решение задачи линейного программирования
• 2.2 Решение ЗЛП в ППП «Microsoft Excel» (настройка «Поиск решения»)
• 2.3 Решение задачи многопараметрической оптимизации
• 3. Анализ получения решения на чувствительность
• 3.1 Анализ оптимального решения задачи линейного программирования на чувствительность
• Заключение
• Список использованных источников
• Приложения

Экономико-математическое моделирование представляет собой процесс выражения экономических явлений математическими моделями. Экономическая модель — это схематичное представление экономического явления или процесса с использованием научной абстракции, отражение их характерных черт. Математические модели — основное средство решения задач оптимизации любой деятельности. По своей сути эти модели — средство плановых расчетов. Ценность их для экономического анализа и оптимизации решений состоит в том, что они позволяют оценить напряженность плановых заданий, определить лимитирующую группу оборудования, видов ресурсов, получать оценки их дефицитности и т. п. Математическое моделирование экономических явлений и процессов дает возможность получить четкое представление об исследуемом объекте, охарактеризовать и количественно описать его внутреннюю структуру и внешние связи. Модель — условный образ объекта управления.

Целью данной курсовой работы является количественное обоснование управленческих решений по улучшению состояния экономических процессов на основе метода математических моделей.

1. Постановка оптимизации исходной задачи

1.1 Экономическая постановка ЗЛП

Экономико-математическая модель должна быть адекватной действительности, отражать существенные стороны и связи изучаемого объекта. Отметим принципиальные черты, характерные для построения экономико-математической модели любого вида. Процесс моделирования можно условно подразделить на три этапа:

1) анализ теоретических закономерностей, свойственных изучаемому явлению или процессу и эмпирических данных о его структуре и особенностях; на основе такого анализа формируются модели;

2) определение методов, с помощью которых можно решить задачу;

3) анализ полученных результатов.

Важнейшим моментом первого этапа моделирования является четкая формулировка конечной цели построения модели, а также определение критерия, по которому будут сравниваться различные варианты решения. Такими критериями в системе менеджмента могут быть:

а) максимизация полезного эффекта товара при ограничении совокупности затрат;

б) максимизация прибыли фирмы при условии, что качество товара не снизится;

в) снижение себестоимости товара при условии, что его качество не снизится, затраты у потребителя не увеличатся;

г) рост производительности труда, улучшение использования оборудования или материалов, повышение оборачиваемости оборотных средств, при условии, что качество товара не снизится и другие критерии не ухудшатся.

математическое моделирование чувствительность оптимизация Таким образом, в качестве критерия оптимизации может быть целое или любой компонент прибыли, эффективности товара, объема рынка при условии, что другие компоненты при этом не ухудшатся.

Например, уравнение целевой функции (L) и система ограничений по оптимизации прибыли фирмы (правда, у авторов нет ограничений по качеству товара) будет иметь следующий вид:

, ,

где х_j — количество производимой продукции j-го вида в натуральных измерениях;

П_j — прибыль, получаемая от производства единицы продукции j-го вида;

— норма расхода i-го производственного ресурса на производство единицы j-го вида продукции;

щ_j - запасы i-го вида производственного ресурса на рассматриваемый период времени.

Не для всякой экономической задачи нужна собственная модель. Некоторые процессы с математической точки зрения однотипны и могут описываться одинаковыми моделями. Например, в линейном программировании, теории массового обслуживания и других существуют типовые модели, к которым приводится множество конкретных задач.

Вторым этапом моделирования экономических процессов является выбор наиболее рационального математического метода для решения задачи. Например, для решения задач линейного программирования известно много методов: симплексный, потенциалов и др. Лучшей моделью является не самая сложная и самая похожая на реальное явление, а та, которая позволяет получить самое рациональное решение и наиболее точные экономические оценки. Излишняя детализация затрудняет построение модели, а излишнее укрупнение модели приводит к потере существенной экономической информации, к неадекватному отражению реальности.

Третьим этапом моделирования является всесторонний анализ результата, полученного при изучении экономического явления. Окончательным критерием достоверности и качества модели являются практика, соответствие полученных результатов и выводов реальным условиям, экономическая содержательность полученных оценок. Если результаты не соответствуют реальным условиям, то необходим анализ причин несоответствия, в качестве которых могут быть недостоверность информации, несоответствие модели экономическим условиям и др. По результатам анализа причин несоответствия экономико-математическая модель корректируется и решение задачи повторяется.

Приступим к постановке нашей задачи. Наше задание звучит так:

Предприятие по изготовлению и сборке мебели производит два вида мебели: шкафы и комоды. За отчетный период — сутки, сборочный цех может собрать не более 3-х предметов. Из-за особенностей метода раскройки исходного материала, листов ЛДСП, количество шкафов не может превышать удвоенное количество комодов более чем на 2. Оптовые цены для каждого вида мебели: 9 тыс. рубл. для шкафа; 4 тыс. рубл. для комода. Получить максимальную прибыль, узнав размеры оптимального объема производства мебели каждого вида.

Другими словами, предприятию требуется определить объемы производства, максимизирующие выручку от реализации продукции с учетом ограничений на производство и расход исходного материала.

В нашей задаче мы имеем:

1. Переменные — необходимо определить объемы производства каждого вида мебели. Переменными в модели являются х1 — суточный объем производства шкафов и х2 — суточный объем производства комодов.

2. ЦФ — стоимость 1 шкафа = 9 тыс. рубл., стоимость 1 комода = 4 тыс. рубл. Выручка от реализации первого вида мебели равна 9х тыс. рубл., а второго = 4y тыс. рубл. При допущении независимости объемов сбыта каждого вида мебели общая выручка равна сумме двух слагаемых. Обозначим выручку от реализации F, в виде ЦФ она будет выглядеть так: F=9x+4ymax.

3. Ограничения — при решении задачи нужно учесть ограничения на расход сырья.

Производство шкафов не может превышать удвоенное количество комодов более чем на 2: х1−2y? 2.

За отчетный период сборочный цех может собрать не более 3-х предметов: х1+y? 3.

Математическую модель можно записать следующим образом:

F=9x+4ymax

1.2 Экономическая постановка задачи многопараметрической оптимизации

1. а) Оптимизация по обобщенной целевой функции:

Экономическая интерпретация задачи на максимум выручки представлена в разделе 1.1

F=9x+4ymax

В данном разделе необходимо осуществить постановку оптимизационной задачи, решение которой позволит определить объемы производства продукции, обеспечивающее получение одновременно:

максимальной выручки при заданном количестве ресурсов.

минимального расхода ресурсов при заданной выручке.

Обобщенная целевая функция выглядит следующим образом:

В1* - В2*

Где 25,3= Мах ЦФ, результат решения представлен на 1 рисунке.

Рис. 1 — Получение Мах ЦФ

Рис. 1.1 — Формулы

13= Min ЦФ, результат решений так же представлен на 2 рисунке

Рис. 2 — Получение Min ЦФ

Рис. 2.1 — Формулы

Принимаем коэффициенты веса ЦФ равные 0,9 и 0,1, формулируем обобщенную ЦФ, как показано ниже, на рисунке 3.

Рис. 3 — Нахождение обобщенной ЦФ

Рис. 3.1 — Формулы

2. Нахождение оптимального решения

2.1 Решение задачи линейного программирования

Графический метод

Найдем решений задачи, использую ее геометрическую интерпретацию. Сначала определим многоугольник решений. Для этого в неравенствах системы ограничений и условиях неотрицательности переменных знаки неравенств заменим на знаки точных равенств и найдем соответствующие прямые:

1. Определим индивидуальные области допустимых решений для каждого уравнения:

у = - 9х/4; у = 3-x; у = (-2+x) /2;

2. Определим общую площадь допустимых решений (рис.1);

Рис. 4

На данном графике столбец N соответствует 1 уравнению, а столбец O и P 2 и 3 уравнениям соответственно, данные графика показаны в приложении А.

3. Перемещение линии уровня соответствует построению множества параллельных друг другу прямых, т.к. не меняется угловой коэффициент прямых. Направление перемещения определяется градиентом ЦФ. Grad F= ();

4. Одна из угловых точек допустимых решений, которой в последнюю очередь касается линия уровня, выходя за пределы этой функции (при решении задач на максимум ЦФ), и определяет оптимальное решение ЗЛП: X=2,7, Y=0,3 представленная на рис. 4. Координаты этой точки и определяют план выпуска шкафов и комодов, при которой прибыль от их реализации является максимальной.

5. Следовательно, если предприятие изготовит 2,6 шкафов и 0,3 комодов, то оно получит максимальную выручку = 25,3 тыс. рубл.

Симплекс-метод

Дадим математическую формулировку задачи. Пусть х и у — количество продукции комодов и шкафов, соответственно, которое запланировано к производству. Количество сырья по каждому виду ограниченно. Задача сводится к нахождению максимума функции F=9х+4у при ограничениях:

Нужно найти такое допустимое базисное решение этой системы ограничений, которое максимизировало линейную форму F=9х+4у.

Так как система ограничений есть система двух независимых уравнений с двумя переменными, то число базисных переменных должно равняться двум, как и число свободных переменных.

Составим исходную симплекс-таблицу и решим ее (рис.5)

Рис. 5 — решение симплекс — таблицы

Рис. 5.1 — Формулы

Таким образом, оптимальный план производства предусматривает выпуск 2,7 комодов и 0,3 шкафов. Прибыль от реализации которой будет максимальной и составит 25,3 тыс. рубл.

2.2 Решение ЗЛП в ППП «Microsoft Excel» (настройка «Поиск решения»)

Вводим исходные данные и зависимости из математической модели. Для шкафов (Прод1) и комодов (Прод2) определяются нижняя (нижн. гр.) и/или верхняя (верх. гр.) границы, а так же соответствующие коэффициенты (коэф. ЦФ) с указанием целевой направленности функции (напр.).

Решение отображено на рисунке 6:

Рис. 6

Рис. 6.1 — Формулы

Полученное решение означает, что максимальную выручку 25,3 тыс. рубл. предприятие по изготовлению мебели может получить при выпуске 2,6шт. прод1 и 0,3шт. прод2.

2.3 Решение задачи многопараметрической оптимизации

При решении задачи многопараметрической оптимизации был использован метод скаляризации векторного критерия.

a) Оптимизация по обобщенной ЦФ:

Чтобы определить влияние коэффициентов веса на результат решения задачи, ее следует решить при различных значениях этих коэффициентов.

Далее приведена сводная таблица результатов влияния коэффициентов веса на изменение ЦФ.

Рис. 7 — Влияние коэффициентов веса на изменение ЦФ

На основе полученных данных можно построить график зависимостей, который представлен на рисунке 8

Рис. 8 — График зависимостей коэф. веса на изменение ЦФ

По графику можно сделать вывод о том, что значение обобщенной ЦФ увеличивается при увеличении а1 и уменьшении а2.

б) Оптимизация по ресурсам:

Чтобы определить влияние коэффициентов веса на результат решения задачи, ее следует решать при различных значениях этих коэффициентов.

Решение представлено ниже, на рисунках 9,10,11.

Рис. 9

Рис. 9.1 — Формулы

Рис. 10

Рис. 10.1 — Формулы

Рис. 11

Рис. 11.1 — ФОРМУЛЫ

Далее приведена сводная таблица результатов влияния коэффициентов веса на изменение ЦФ.

Рис. 12 — Влияния коэффициентов веса на изменение ЦФ

На основе полученных данных можно построить график зависимостей, который представлен на рисунке 13.

Рис. 13 — График зависимостей коэф. веса на изменение ЦФ

Можно сделать вывод о том, что при изменении коэффициентов веса происходит незначительное изменение обобщенной ЦФ

3. Анализ получения решения на чувствительность

3.1 Анализ оптимального решения задачи линейного программирования на чувствительность

1. Отчет по результатам:

Отчет по результатам состоит из трех таблиц:

Первая таблица приводит сведения о ЦФ. В столбце «Исходное значение» приведено значение ЦФ (выручка) до начала вычислений. Это означает, что выручка от реализации составляет 0 тыс. рубл. В столбце «Окончательное значение» приведено окончательное значение ЦФ, следовательно выручка от реализации составляет 25,3 тыс. рубл.

Во второй таблице представлены исходные продукты (Прод1 и Прод2 составляют 0) и конечные значения искомых переменных (Прод1=2,6 и Прод2=0,3)

Третья таблица дает информацию для анализа возможного изменения при сохранении полученного оптимального значения ЦФ. Так, если на объем наложено ограничение " ?", то в графе допуск дается количество объема, на которое была повышена минимально необходимая норма. Если на ресурс наложено ограничение " ?", то в графе допуск дается количество, которое не было произведено по норме.

Так, анализ показывает, что объем производства равен 3, так что объем произведенного продукта выполнен по норме, а из второй строки видно, что не была превышена минимально необходимая норма.

2. Отчет по устойчивости:

Этот отчет состоит из двух таблиц, представленных ниже.

В первой таблице приведены следующие значения для переменных:

ь Результат решения задачи (приведено количество выпускаемых продуктов, при которых ЦФ будет иметь оптимальное значение): Прод1 составляет 2,6, а Прод2 составляет 0,3.

ь Приведенная стоимость, которая показывает, на сколько изменится ЦФ после принудительного включения единицы этой продукции в оптимальный план. Если продукт рентабелен, то нормированная стоимость будет = 0. В нашем случае, нормированная стоимость = 0 для обоих продуктов т. к продукция рентабельна.

Во второй таблице содержатся окончательные значения для ограничений и множителя Лагранжа:

ь окончательное значение (правая часть) — 3 и 2, для левой части;

ь множитель Лагранжа показывает, на сколько изменится выручка при увеличении запаса некоторого ресурса на одну единицу. При увеличении первого вида сырья на 1 выручка увеличится на 7,3 тыс. рубл. При увеличении второго вида на 1 выручка увеличится на 1,6 тыс. рубл.

Таким образом, на изменение выручки большое значение оказывает сырье первого вида.

3. Отчет по пределам:

В нем показано, в каких пределах могут изменяться неизвестные, вошедшие в оптимальное решение, при сохранении его структуры:

ь приведены значения в оптимальном решении (производство Прод1 = 2,6, а производство Прод2 = 0,3)

ь Приведены нижние и верхние пределы изменения значений переменных (значение верхнего предела для Прод1 = 2,6, нижнего = 0, а для Прод2 верхний предел = 0,3, нижний = 0,3)

ь указаны величины ЦФ, определяемые по значениям на их нижнем и верхнем пределе (так выручка для Прод1 изменяется от 1,3 до 25,3, а для Прод2 от 25,3 до 25,3)

Заключение

Целью данной курсовой работы является количественное обоснование управленческих решений по улучшению состояния экономических процессов на основе методов математического программирования.

Были решены следующие задачи:

осуществление постановки оптимизационной модели;

нахождение оптимального решения;

выполнение анализа на чувствительность.

Были рассмотрены решения задач нелинейного программирования, линейного программирования и многопараметрической оптимизации.

Из представленных отчетов видно, что для максимальной суточной выручки предприятию необходимо выпускать 2,6 шкафов и 0,3 комодов, прибыль от продажи которых будет равна 25,3 тыс. рубл. Шкафов будет выпускаться на 2,3 шт. больше, чем комодов.

Но увеличение выпуска комодов приводит к более быстрому росту целевой функции, чем увеличение выпуска шкафов: выпуск каждого комода увеличивает целевую функцию (прибыль) на 9 тыс. рубл., а выпуск каждого шкафа только на 4 тыс. рубл.

Список использованных источников

1. Минюк С. А. Математические методы и модели в экономике: Учеб. пособие / Минюк С. А., Ровба Е. А., Кузьмич К. К. — Мн.: ТетраСистемс, 2002.

2. Смородинский С. С., Батин Н. В. Оптимизация решений на основе методов и моделей математического программирования. Мн.: БГУИР, 2003.

3. http://www.life-prog.ru/viev_cat. php? cat. html [Дата последнего обращения 18.12.14].

4. http://nashaucheba.ru/v3page=17 [Дата последнего обращения 19.12.14].

Приложения