Обучение учащихся предельной аналогии при реализации внутрипредметных связей школьного курса геометрии

Проблема передачи подрастающему поколению опыта, накопленного человечеством, находится в центре внимания многих исследователей. Она особо актуальна для школьного образования, и в частности школьного математического. Это связано с тем, что в школе закладываются первоначальные знания основ наук, вырабатываются навыки и умения применять их на практике, формируется научное мировоззрение. Математика же как наука, изучающая величины, количественные отношения и пространственные формы, имеет применение во многих учебных предметах, используется во многих научных областях.

На современном этапе развития школьного образования одним из аспектов указанной проблемы является разработка эффективных методов преподавания учебных предметов и обеспечение усвоения их содержания. Отметим, что она не является новой для теории и практики обучения математике в средней школе. Однако на различных этапах становления школьного математического образования существенно менялись цели и способы ее осуществления.

Если ранее методы обучения главным образом нацеливались на усвоение знаний, умений и навыков, когда большой удельный вес знаний дается в готовом виде учителем без опоры на самостоятельную работу учащихся, то наметившаяся сейчас тенденция гуманизации образования, требующая поставить в центр учебного процесса личность ученика, сделав ее высшей ценностью и смыслом работы школы, предполагает изменение системы методов обучения, идущее за счет сокращения репродуктивных и фронтальных методов и форм. Учитель должен использовать методы и формы обучения, ориентированные на персонифицированную личность ученика, а не на обобщенную ее модель.

Активная позиция человека в процессе овладения знаниями ^ предполагает использование методов научного познания. Их удачное преломление к процессу обучения в школе находится в центре внимания многих исследователей, поскольку обеспечивает активную позицию школьников в учебном процессе и, следовательно, повышает его эффективность и гуманизацию.

Использование в обучении такого метода научного познания, как аналогия, предполагает включенность ученика в процесс добывания знаний и, как следствие этого, более доступное, прочное и осознанное усвоение учебного материала, «так как часто обеспечивает мысленный перенос определенной системы знаний и умений от известного объекта к неизвестному» [93, с. 95].

Известно, что дети уже с первых шагов познания мира, а также в процессе учения стихийно пользуются аналогией, и поэтому оп-ф равдано обучение учащихся ее целенаправленному использованию.

Вопрос об аналогии в разных аспектах рассматривали в своих работах отечественные и зарубежные ученые: К. Б. Батороев, Г. Д. Балк, Е. А. Беляев, В. Г. Болтянский, С. Ф. Бондарь, В. А. Далингер, А. И. Жохов, А. А. Ивин, Ю. М. Колягин, В. В. Кочагин, Д. Пойа, Г. И. Саранцев, М. Н. Сизова, А. А. Столяр, А. И. Уемов, Л. М. Фридман, Б. З. Хынг, П. М. Эрдниев и др. Отдельные вопросы об использовании аналогии в обучении поднимаются также в различных публикациях [21, 26, 29, 37 50, 59, 64, 66, 82, 87, 124, 130, 148, 165] и в учебниках по методике преподавания математики [43, 92, 93]. Но тем не менее до сих пор актуальными являются проблемы, связанные с различной трактовкой понятия аналогии, множественностью ее видов и, как следствие, разными подходами к использованию ее в обучении. «* В большинстве работ авторами отмечается положительная роль применения аналогии в обучении, однако, как отмечает А. И. Жохов, в методических руководствах недавнего прошлого (60-е годы) нередко говорилось об ограниченном и осторожном ее применении [46, с. 4]. Отметим, что такие высказывания направлены скорее не на запрет применения аналогии вообще, а против необоснованных и непроверенных выводов по аналогии. Так, еще А. Я. Хинчин в свое время говорил о борьбе «против необоснованных аналогий» в математике [146, с. 22].

Подчеркнем, что аналогия дает возможность получать новые знания. Методы, позволяющие самостоятельно добывать необходимую информацию, сегодня имеют большую актуальность в жизни, поскольку объем знаний, получаемых людьми, значительно больше того, которым в состоянии овладеть один конкретный человек.

Рассматриваемая нами предельная аналогия — один из видов аналогии — отвечает стремлениям человека наблюдать и изучать различные предметы и явления в случаях их крайних, предельных состояний. Так, например, в физике исследуют твердость, упругость, электрическую проводимость тел при высших и низших достижимых температурах, подвергают исследованию самые длинные и самые короткие световые волны. Э. Мах пишет, что, предпринимая опыты такого рода, всегда возможно рассчитывать на плодотворные результаты [87, с. 222].

В математике предельная аналогия возникает в том случае, если предельное преобразование математического объекта приводит к возникновению у него системы свойств, совпадающей с соответствующей системой свойств какого-либо другого математического объекта. В зависимости от того, к каким фигурам применены предельные преобразования, мы рассматриваем два вида предельной аналогии: а) предельная аналогия возникает между исходным объектом и тем же самым объектом, но после применения к нему предельного преобразованияб) предельная аналогия между двумя объектами возникает после того, когда над каждым из них было совершено предельное преобразование.

Тот факт, что предельная аналогия является одним из видов аналогии, позволяет применить к разработке методики ее использования в обучении те же идеи и приемы, которые уже высказывались в методике преподавания математики различными авторами. Однако в силу своей специфичности, предельная аналогия требует разработки собственной методики преподавания, которая на сегодняшний день отсутствует.

Необходимость использования аналогии в обучении подтверждается исследованиями психологов. Так, М. А. Холодная говорит о необходимости таких форм организации учебной информации, которые «позволяли бы ребенку мысленно участвовать в процессе рождения нового понятия, пересматривать его содержание по мере углубления представлений о соответствующих математических объектах вплоть до самостоятельного выстраивания нового понятия на базе некоторых исходных понятийных знаний» [147, с. 329].

Этому во многом способствует логическое строение геометрии: с одной стороны, многие геометрические понятия определяются через другие понятия, с другой стороны, предельные преобразования одних геометрических объектов приводят образованию других объектов.

Лежащая же в основе аналогии возможность переноса свойств планиметрических объектов и отношений между ними на стереометрические и наоборот есть не что иное, как процесс установления связей курсов планиметрии и стереометрии. Вообще при поиске решения задачи или доказательстве теоремы происходит перенос фактов, способов, а иногда одновременно и фактов, и способов решения одних задач на другие. Перенос же следует рассматривать как активный процесс, который на основе сопоставления, сравнения, анализа изучаемого материала приводит к обобщению переносимых знаний и способов деятельности учащихся. Перенос знаний, то есть их использование в новых условиях, является тем действием, которое позволяет формировать у школьников представления о внутрипредметных связях геометрии и представление о математике как единой науке. 1.

Установление внутрипредметных связей школьного курса геометрии становится наиболее актуальной задачей при изучении стереометрии, и это во многом связано с тем, что курс стереометрии является логическим продолжением планиметрического курса и одновременно завершающим этапом при обучении геометрии в школе. на основе целенаправленной реализации внутрипредметных и межпредметных связей посвящены многие исследования [2, 36, 38, 53, 61, 85, 89, 96, 97, 99, 117, 126, 129, 162].

В.А.Далингер отмечает, что реализация внутрипредметных связей не может происходить сама по" себе, для этого нужна специальная организация как учебного материала, так и самого процесса обучения, направленная на установление этих связей. [34, с. 7]. !

Долгое время совершенствование учебного процесса осуществлялось лишь за счет варьирования содержанием учебного материала, а вместе с тем, как показали наши исследования, большие резервы лежат в области разработки новых форм и методов обучения. И хотя проблемы реализации внутрипредметных связей и использования аналогии в обучении не являются абсолютно новыми, установление связей внутри геометрии на уровне деятельности с использованием аналогии в научных исследованиях не рассматривалась. мам совершенствования процесса обучения математике.

Традиционный подход в обучении геометрии в школе строится на последовательном изучении вопросов планиметрии и стереометрии, абсолютное большинство стереометрических фактов излагается без установления внутрипредметных связей с аналогичными фактами планиметрии. Примером может служить изолированное изложение тем «Треугольник и его свойства» и «Тетраэдр и его свойства», «Окружность, круг и их свойства» и «Сфера, шар и их свойства» и т. д. Все это есть следствие линейного построения курса геометрии.

Как показал наш опыт, целесообразно на основе линейно-концентрической организации курса увязать изучение этих и других тем. Большую роль при этом будут играть аналогии, устанавливающие связь между планиметрическими и стереометрическими объектами.

Однако в школьной практике учителя не уделяют особого внимания обучению учащихся строить и использовать выводы, полученные с помощью метода аналогии. На наш взгляд, это связано с двумя причинами. Во-первых, выводы по аналогии всегда лишь вероятны и в некоторых случаях дают даже ложные высказывания, а поэтому их дальнейшее использование возможно только после строгого доказательства. Во-вторых, действующая школьная программа и учебный материал не позволяют учителю математики в полной мере использовать в своей практике умозаключения по аналогии.

Таким образом, актуальность нашего исследования обусловлена:

• новыми требованиями общества к развитию личности, способной к активному творческому овладению знаниями;

• недостаточностью знаний учащихся о тех связях между объектами геометрии, которые существуют объективно и которые можно установить посредством аналогии;

• тем, что школьный курс геометрии отражает те логические связи науки геометрии, которые объединяют ее в единое целое;

• выводами психологов, которые отмечают важность предшествующих знаний, умений и навыков в формировании и развитии новых путем включения известных в связи и отношения с неизвестными;

• отсутствием разработанной методики обучения школьников предельной аналогии и отсутствием задачного материала, на котором можно учить их применять предельную аналогию.

Результаты анализа психолого-педагогической и методической литературы, а также наблюдения за процессом обучения позволили определить проблему исследования: разрешение противоречия между необходимостью установления учащимися внутрипредметных связей между объектами геометрии на уровне деятельности по применению аналогии и реально сложившейся практикрй обучения, при которой такая реализация связей происходит спонтанно и нецеленаправленно.

Цель исследования: разработка теоретически обоснованной методики обучения учащихся предельной аналогии и использования последней как средства реализации внутрипредметных связей школьного курса геометрии.

Объектом исследования является процесс обучения геометрии в школе.

Предметом исследования являются методические условия, обеспечивающие эффективную учебно-познавательную деятельность учащихся по установлению внутрипредметных связей посредством использования предельной аналогии в процессе обучения геометрии. t.

Гипотеза исследования: если выявить закономерности установления аналогии между геометрическими объектами и использовать их при обучении учащихся предельной аналогии, то это будет способствовать реализации внутрипредметных связей курса геометрии на уровне видов деятельности, а следовательно, и повышению эффективности обучения, так как мысленный перенос определенной системы знаний, умений и навыков от известного объекта к неизвестному способствует более легкому, прочному и осознанному усвоению учебного материала.

Для достижения поставленной цели и проверки гипотезы необходимо решить следующие задачи:

1. Определить содержание понятия «аналогия», выявить ее виды и определить роль и место в изучении геометрии.

2. Выявить психолого-педагогические и дидактико-методические основы реализации внутрипредметных связей в курсе геометрии и определить возможности аналогии как одного из средств их реализации.

3. Проанализировать логико-математические и логико-методические связи между различными объектами курса геометрии, устанавливаемые посредством аналогии.

4. Разработать методику использования предельной аналогии при обучении учащихся стереометрии, которая позволила бы реали-зовывать внутрипредметные связи курса геометрии и экспериментально проверить ее.

Для решения проблемы и поставленных частных задач нами были использованы следующие методы исследования:

• анализ психолого-педагогической и методической литературы по теме исследования;

• анализ учебного материала: учебников и рабочих тетрадей, учебных и методических пособий, дидактических материалов, программ по математике;

• анализ организации процесса преподавания математики в практике работы школ: наблюдения за работой учителей и учебно-познавательной деятельностью учащихся при усвоении нового материала, его закреплении и повторении, решении задач, доказательстве теорем и т. д;

• проведение педагогических измерений: анкетирование, опросы учителей и учеников;

• экспериментальная проверка учебно-методических материалов;

• статистическая обработка результатов педагогического эксперимента.

Научная новизна проведенного исследования состоит в том, что предложен новый подход к установлению связей внутри курса геометрии на уровне деятельности с использованием предельной аналогии. Разработана методика, позволяющая строить процесс обучения на основе целенаправленного и систематического использования метода аналогии на материале курса геометрии.

Теоретическая значимость исследования состоит в том, что: 1) показаны различные подходы к понятию аналогии в научно-методических исследованиях и различные ее виды, а также показаны роль и место аналогии в обучении- 2) выявлены виды аналогии и способы ее установления между геометрическими объектами: фигурами, величинами, отношениями и задачами- 3) определены требования к системе задач, направленных на реализацию внутрипредмет-ных связей посредством использования предельной аналогии- 4) установлена связь между умением учащихся пользоваться предельной аналогией и их знаниями о внутрипредметных связях в геометрии.

Практическая значимость исследования состоит в том, что разработана эффективная методика обучения школьников использованию предельной аналогии и система соответствующих упражнений, которая может быть применена учителями в школьном курсе геометрии и преподавателями вузов при формировании у студентов профессиональных методических умений.

Обоснованность и достоверность результатов исследования подтверждаются совпадением выводов теоретического анализа различных научных воззрений на проблему исследования с результатами педагогического эксперимента и статистической обработкой данных.

Апробация и внедрение результатов исследования. Основные теоретические положения и результаты диссертационного исследования были доложены и обсуждены на заседаниях кафедры методики преподавания математики ОмГПУ (Омск, 1998, 1999). Апробация осуществлялась посредством выступлений и публикацией статей на II и III Сибирских методических Чтениях (Омск, 15−20 декабря 1997. 22−27 ноября 1999) — участия в научно-практической конференции по проблеме: «Геометрия в школе — реальность и перспектива» (Москва, 17−18 ноября 1998) — чтения лекций и проведения семинаров со студентами математического факультета ОмГПУ по теме: «Метод аналогии как средство обучения учащихся стереометрии» (Омск, 1999) — докладов школьников на конференциях НОУ «Поиск» по темам, связанным с аналогией. Результаты исследования также отражены в учебном пособии «Метод аналогии как средство реализации внутрипредметных связей при обучении стереометрии» [67] и статье «Предельная аналогия как эффективный метод обучения геометрии» [39].

Экспериментальная проверка теоретических положений диссертации и их внедрение проводились в 1997;2000 г. в школах № 107, № 108 и № 125 Ленинского округа г. Омска. В эксперименте также принимали участие студенты математического факультета Омского государственного педагогического университета.

Структура диссертации. Диссертация состоит из введения, двух глав, заключения, списка использованной литературы, трех приложений.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

.

В процессе исследования полностью подтвердилась основная гипотеза, решены поставленные частные задачи и получены следующие результаты и выводы:

1. На основе анализа научно-методической литературы по теме исследования уточнен категориально-понятийный аппарат, относящийся к процессу использования метода аналогии в обучении геометрии. Нами понятие аналогии определено исходя из трех наиболее значимых аспектов: аналогии как понятия, выражающего отношение сходства между различными объектамианалогии как формы умозаключенияаналогии как метода познания.

2. Выделены и охарактеризованы различные виды аналогии, описанные в научно-методической литературек ним нами добавлены виды аналогии, характерные для геометрии: аналогия внешняя и внутренняя, а также аналогия между фигурами, между величинами, между отношениями, между теоремами, задачами.

В работе использованы различные виды аналогии. Но при этом большое внимание уделено предельной аналогии. Это связано с тем, что человек стремится исследовать явления и объекты в их крайних, предельных состоянияхиспользование предельной аналогии вносит в геометрию динамичностьзадачи, в которых описываются предельные преобразования, включают и другие виды аналогии.

Предельная аналогия заключается в том, что предельное преобразование математического объекта приводит к возникновению у него системы свойств, совпадающей с системой свойств какого-либо другого математического объекта.

3. Аналогия имеет большое значение, ибо ее целенаправленное использование в обучении способствует более легкому, прочному и осознанному усвоению школьниками учебного материала, так как часто обеспечивает мысленный перенос определенной системы знаний и умений от известного объекта к неизвестному.

4. Долгое время реализация внутрипредметных связей разрабатывалась на уровне знаний, что было связано с совершенствованием процесса отбора и структурирования учебного материала. Разработанная нами методика позволяет реализовывать внутрипредметные связи на уровне видов деятельности.

Это обусловлено тем, что метод аналогии включает в себя: во-первых, деятельность учащихся под руководством учителя по нахождению аналогичных понятий планиметрии и стереометрииво-вторых, деятельность учащихся по переносу метода решения одних задач на другиев-третьих, деятельность учащихся по составлению аналогичных задач.

5. В работе проведен анализ логико-математических и логико-методических связей между различными объектами курса геометрии (геометрические фигуры, величины, отношения и задачи) и показана роль аналогии в процессе их установления.

При обучении школьников методу аналогии мы рекомендуем составлять и расширять список пар аналогичных объектов планиметрии и стереометрии. При его создании следует поступить так: учитель составляет конечный список пар основных геометрических понятий (назовем его основным) — далее ученики вместе с учителем для каждой пары основного списка составляют отдельные, не обязательно конечные списки пар геометрических фигур и их свойств, каким-либо образом связанных с основной парой (такие списки назовем производными).

6. Нами разработана и апробирована методика использования предельной аналогии в обучении учащихся геометрии, позволяющая учить школьников находить аналогичные геометрические объекты и указывать их свойства, решать задачи, перенося в процесс их решения результаты и способы решения других задач, составлять задачи геометрического содержания, используя уже ранее составленные.

7. Экспериментальная часть исследования, получившая статистическую обработку, достоверно подтвердила возможность и эффективность предлагаемой нами методики.

Проведенная статистическая обработка результатов эксперимента показывает, что: а) использование разработанной методики изучения предельной аналогии в геометрии способствует совершенствованию учебного процесса и позволяет развивать у учащихся систему взглядов на планиметрию и стереометрию как единую наукуб) между умением учащихся пользоваться аналогией и их знаниями о внутрипредметных связях в геометрии существует высоко статистически достоверная зависимостьв) подтверждаются значимые позитивные изменения в умственной деятельности школьников по применению аналогии.

Таким образом, поставленные задачи исследования решены в полном объёме.

В процессе работы мы подошли к рассмотрению таких вопросов применения аналогии в обучении, которые могут стать темами дальнейших специальных исследований. Укажем их: аналогия как основа классификации геометрических объектовпредельная аналогия как геометрическая интерпретация бесконечно больших и малых величинаналогия как средство решения задач, позволяющих применять аффинные преобразованияпреобразования геометрических фигур и величин с помощью компьютерааналогия между векторами двумерных и трехмерных пространстваналогия как средство реализации межпредметных связей.

Основные положения диссертации отражены в следующих публикациях:

1. Костюченко Р. Ю. Развитие учащихся посредством метода аналогии в процессе обучения их стереометрии // Современные проблемы методики преподавания математики и информатики: Материалы II Сибирских методических Чтений (15−20 декабря 1997 г.) / Под общ. ред. И. К. Жинеренко и З. В. Семеновой. — Омск: ОмГУ, 1997. — С. 102−103.

2. Костюченко Р. Ю. Аналогия как основа для классификации геометрических понятий // Современные проблемы методики преподавания математики и информатики: Материалы III Сибирских методических Чтений (22−27 ноября 1999 г.) / Под общ. ред. И. К. Жинеренко, З. В. Семеновой, Т. А. Ширшовой. — Омск: ОмГУ, 2000. — (В печати).

3. Костюченко Р. Ю. Школьная геометрия — реальность и перспектива: Материалы конференции // Математика. — № 7. — 1999. — С. 3.

4. Костюченко Р. Ю. Метод аналогии как средство реализации внутрипредметных связей при обучении стереометрии: Учебное пособие / Под ред. В. А. Далингера. — Омск: Издательство ОмГПУ, 1999. — 78 с.

5. Костюченко Р. Ю. Предельная аналогия как эффективный метод обучения геометрии // Математика. — № 3. — 2000. — С. 3−9. -(В соавторстве В.А.Далингер).