Группы, насыщенные конечными неабелевыми группами и их расширениями

Группа С насыщена группами из множества групп если любая конечная подгруппа К из С? содержится в подгруппе группы (7, изоморфной некоторой группе из Пусть группа? насыщена группами из множества и для любой группы X е ЧЯ в (7 найдется подгруппа Ь ~ X. В этом случае множество называется насыщающим множеством групп для (2.

Понятие насыщенности впервые появилось в работах А.К. Шлеп-кина [42−51] и было обусловлено следующими двумя причинами.

1. Различные конструкции периодических нелокально конечных групп [1−3,11,13,14,25−31,33,39,40] показали, что между классом локально конечных групп и классом всех периодических групп существует бесконечно много промежуточных классов групп с условиями конечности более слабыми, чем локальная конечность. Однако, сразу выявилась характерная особенность этих конструкций. Это были как правило, р-группы, или группы, полученные из них при помощи различного рода расширений, т. е. непростые группы. Не особенно разнообразной была и структура конечных подгрупп в этих группах. Например, в группах Ольшанского [27−31] это были в точности циклические группы.

2. При изучении групп Шункова с условием примарной минимальности А. К. Шлёпкиным [46] анализировался контрпример с заданными периодическими простыми подгруппами и системой конкретных конечных простых неабелевых подгрупп. Все такие группы оказались локально конечными. Но, естественно, возник вопрос, а существуют ли периодические не локально конечные группы, в которых структура конечных подгрупп была более &bdquo-простой", чем в конструкциях [1−3,11,13,14,20,21,24,26−31,33,39,40] (в том смысле, что указанные группы содержали бы конечные простые неабелевы группы, в отличие от групп Ольшанского, в которых любая конечная нетривиальная подгруппа является циклической простого порядка). Следующий вопрос поставлен А. К. Шлепкиным.

Вопрос. Существуют ли простые, периодические не локально конечные группы содержащие конечные простые неабелевы подгруппы?

Как оказалось, насыщенность является естественным обобщением покрытия группы. Понятие покрытия появилось в начале 60-х годов в работах П. Г. Конторовича [17,18]. В конце 60-х годов П. Г. Конторович, A.C. Пекелис и А. И. Старостин стали рассматривать покрытия в классах бесконечных групп [19]. Некоторый обзор результатов, полученных в данном направлении, можно найти в [19]. В начале 80-х годов В. В. Беляев [4] и независимо A.B. Боровик [5], С. Томас [60], Б. Хартли и Г. Шют [59] доказали следующую теорему:

Если локально конечная группа G обладает локальным покрытием, содержащим множество подгрупп лиева типа, ранги которых ограничены в совокупности, то и сама G является группой лиева типа конечного ранга.

Напомним понятие локального покрытия. Множество Ш подгрупп группы G называется локальным покрытием, если G = U X, и для.

Хеш любого X, Y € ШТ в найдется элемент Z, такой, что X С Z и Y С Z. Если группа обладает локальным покрытием, состоящим из некоторого множества конечных групп, то она, очевидно, локально конечна, а для групп, насыщенных тем же множеством групп, это не всегда справедливо. Примеры периодических не локально конечных групп, насыщенных заданными множествами конечных групп, хорошо известны. Так группы Новикова-Адяна В (т, п) для нечетных п [26] насыщены одной циклической группой порядка п. Примеры периодических групп без инволюций, насыщенных группами из множества, состоящего из любого конечного числа конечных групп без инволюций, дают периодические произведения [23]. Этот перечень можно существенно расширить примерами групп из [27−30]. Бесконечная локально конечная группа не может быть насыщена подгруппами из конечного множества. То же самое справедливо для групп Шункова с бесконечным числом элементов конечного порядка, так как, по [46], они обладают бесконечными локально конечными подгруппами.

В связи с приведенной выше теоремой о локально конечных группах возникает следующий вопрос, вошедший в Коуровскую тетрадь под номером 14.101 [22]:

Верно ли, что периодическая группа, насыщенная конечными простыми группами лиева типа, ранги которых ограничены в совокупности, сама является простой группой лиева типа конечного ранга?

Частичным решениям этого вопроса посвящён ряд работ А. К. Шлёпкина, А. И. Созутова, О. В. Васильевой, А. Г. Рубашкина, A.A. Кузнецова [7−10,34,36,37,42−51]. Уже в этих работах выявилось, что понятие насыщенности эффективно работает не только в случае, когда насыщающее множество состоит из конечных простых неабелевых групп.

Так, О. В. Васильева установыла структуру групп Шункова насыщенных центральными расширениями L2(q), а А. Г. Рубашкин [34] рассматривает периодические группы, насыщенные группами диэдра, как необходимый случай характериризации групп Ь2(Р) через понятие насыщенности в классе периодических групп. Как оказалось, периодические группы ограниченного периода, насыщенные группами диэдра, локально конечны. Однако ослабление этого условия на условие, что насыщающее множество состоит из прямых произведений групп диэдра, уже не приводит к такому результату. А именно, Лысенок [25] и Иванов [58] показали, что группы В (т, п) при достаточно больших п насыщены прямыми произведениями групп диэдра.

Другими словами, бернсайдовы группы достаточно большого чётного периода насыщены прямыми произведениями конечных групп диэдра, взятых в конечном числе.

Необязательно периодическая бесконечная группа называется слабо (сопряженно) бипримитивно конечной, если в ней любая пара (сопряженных) элементов одного и того же простого порядка порождает конечную подгруппу [53], т. е. по данному копируют поведение инволюций в периодической группе. Если это свойство наследуют все сечения группы по конечным подгруппам, то такая группа называется (сопряженно) бипримитивно конечной. Сейчас эти группы называются также группами Шункова. Подчеркнём, что группа Шункова, порождённая элементами конечных порядков, не обязана быть периодической. Примеры таких смешанных групп существуют уже в классе разрешимых групп [41]. Поэтому для групп Шункова актуален вопрос о расположениях элементов конечных порядков, в частности, составляют ли элементы конечного порядка в группе характеристическую подгруппу — периодическую часть?

Под периодической частью Т (С?) группы й здесь понимается подгруппа, порожденная всеми элементами конечного порядка из С, при условии, что она периодическая.

Настоящая диссертация посвящена изучению периодических групп и групп Шункова, насыщенных либо^{-группами,} (напомним, что Z-группой (группой Цассенхауза) называется дважды транзитивная группа подстановок, в которой лишь единичная подстановка оставляет на месте более 2-х точек), либо центральными расширениями групп Ь2(К), где К.

— конечное поле. Продолжено также изучение периодических групп, насыщенных группами диэдра. Основные решаемые в диссертации вопросы в указанных классах групп:

1) конкретизация строения изучаемых периодических групп;

2) доказательство локальной конечности некоторых периодических групп;

3) установление в рассматриваемых группах Шункова периодических частей и доказательства их локальной конечности.

Изучение в диссертации периодических групп, насыщенных центральными расширениями Ь2(К), с одной стороны, продиктовано потребностями характеризации локально конечных простых групп лиева типа в связи с указанным выше вопросом 14.101 из Коуровской тетради [22]. С другой стороны, эти исследования оказались интересными и востребованными в связи с упомянутыми выше направлениями комбинаторной теории групп и вопросом А. Ю. Ольшанского [71]: Существует ли периодическая не локально конечная группа (7, насыщенная множеством 21 = {(а) х (6)}, где |а| = |6| = р = тг (<3)?

Остановимся подробнее на содержании диссертации. В главе 1 приведены известные определения и результаты, использующиеся в доказательстве основных результатов диссертации (главы 2,3,4). Часть из них приведена с доказательствами.

В главе 2 исследованы группы Шункова и также периодические группы, насыщенные центральными расширениями групп Ь2(К), где Кконечное поле. Результаты этой главы являются продолжением исследований, начатых О. В. Васильевой и А. К. Шлепкиным в [7−10]. Получены следующие результаты:

Пусть I — множество индексов, Ка — конечное поле для любого, а? ОТ = {ЗЬ2(Ка)а е /}(другими словами, множество — это множество специальных линейных групп размерности 2 над конечными полями). Отметим, что для различных, а и /5 характеристики полей Ка и Кр могут быть различными.

Теорема 1. Бесконечная периодическая группа С, насыщенная группами из множества изоморфна группе ЗЬ2(Р) над подходящим локально конечным полем Р.

В том случае, когда группа С? — группа Шункова, указанный результат был доказан О. В. Васильевой [7]. Здесь мы рассматриваем группу С как произвольную периодическую группу.

Пусть = {Ь2(Ка)а € 1} (множество проективных специальных линейных групп размерности 2 над конечными полями, причем, для различных, а и (3 характеристики полей Ка и Кр могут быть различными). Определим множество Ш = {Ь2(Ка) х 22Ь2{Ка) 6 9^)}, (множество Ш состоит из групп явлющихся прямыми произведениями групп из множества 1Н и группы порядка 2, которую мы обозначаем через Z2).

Теорема 2. Локально конечная группа С, насыщенная группами из множества Ш, изоморфна Ь2(Р) х 22, для подходящего локально конечного поля Р.

Теорема 3. Периодическая, непростая группа С, насыщенная группами из множества Ш, изоморфна Ь2(Р) х Z2, для подходящего локально конечного поля Р.

Данная теорема сводит изучение периодических групп <7, насыщенных множеством Ш, к ситуации, когда О — простая группа. Теорема 3 существенно используется для установления структуры групп Шункова, насыщенных множеством Ш, которая описывается в следующем предложении:

Теорема 7. Группа Шункова С, насыщенная множеством Ш, обладает периодической частью Т (<3), изоморфной группе Ь2(Р) х Z2, для подходящего локально конечного поля Р.

В доказательстве результатов главы 2 существенно использовалась характиризация групп Ь2(Р) в классе периодических групп через понятие насыщенности, полученная в [66].

В главе 3 изучаются группы Шункова и произвольные периодические группы насыщенные X группами. Доказанно.

Теорема 8. Группа Шункова, насыщенная конечными простыми Z-группами обладает периодической частью Т (0) изоморфной либо Ь2(Р), либо где Р и ф — подходящие локально конечные поля.

Развитие идей, заложенных в данном доказательстве, — позволило доказать аналог данной теоремы в классе периодических групп, а именно Теорема 10. Периодическая группа (7, насыщенная конечными простыми Z — группами, изоморфна либо Ь2(Р), либо где Р иподходящие локально конечные поля.

В главе 4 изучаются группы диэдра. Уточним здесь некоторые определения. Произвольная группа, порожденная двумя инволюциями, называется группой диэдра, или диэдром, если она к тому же конечна, то конечным диэдром. Будем называть группу локально конечным диэдром, если она является объединением бесконечной возрастающей цепочки конечных диэдров. Данная глава является продолжением исследований, начатых А. Г. Рубашкиным и связана с известными конструкциями периодических групп Лысенка и Иванова, которые не являются локально конечными и насыщены прямыми произведениями групп диэдра, взятыми в конечном числе. Естественно было попытаться получить какие либо критерии локальной конечности периодических групп, насыщенных группами диэдра. Один из таких критериев и получен в данной главе. Сформулируем его:

Теорема 11. Периодическая финитно-аппроксимируемая группа, насыщенная группами диэдра, является локально конечным диэдром.

Результат, доказанный в теореме 8, получен в равном соавторстве с А. Г. Рубашкиным. Частный случай теоремы 10, когда силовская 2 — подгруппа группы й конечна, независимо доказанн А. И. Созутовым. Остальные результаты диссертации получены диссертантом лично.

Результаты диссертации докладывались автором на «Мальцевских чтениях» в 2003;2005 гг., семинарах «Алгебра и Логика» и «Теория групп» (НГУ), на ХЫ1 Международной научной студенческой конференции в 2004 г. «Студент и научно-технический прогресс», проходившей в г. Новосибирске, Международной конференции, посвященной 75-летию со дня рождения профессора А. И. Кокорина «АЛиК-2004», проходившей в г. Иркутске, Международной алгебраической конференции посвященной 100-летию со дня рождения П. Г. Конторовича и 70-летию Л. Н. Шеврина, проходившей в г. Екатеринбурге. Резкльтаты диссертации неоднократно обсуждались на семинарах при КрасГУ, КрасГАУ и КрасГАСА.

Во время работы над диссертацией автор получал поддержку Российского фонда фундаментальных исследований (грант № 03−01−356) и Красноярского краевого фонда науки (грант № 11Р0202С).

Основные результаты по теме диссертации опубликованы в [?, 61—.

70].

Автор выражает благодарность научному руководителю профессору Н. М. Сучкову за постановку задачи, помощь в работе и внимание с его стороны.

1. Адян С. И. Проблема Бернсайда и тождества в группах, — М.: Наука, — 1975.

2. Адян С. И. Периодические произведения групп // Тр. мат. ин-та АН СССР им. В. А. Стеклова.- Т. 142. М.: Наука, 1976. С. 3−21.

3. Алешин C.B. Конечные автоматы и проблема Бернсайда о периодических группах // Мат. заметки.- 1972. Т. 11, № 3. С. 319−328.

4. Беляев В. В. Локально конечные группы Шевалле // Исследования по теории групп.- Свердловск: УНЦ АН СССР, 1984. С. 39−50.

5. Боровик В. В., Вложения конечных групп Шевалле в периодические линейные группы // Сиб. матем. журн.- 1983. Т. 24, № 6. С. 2635.

6. Бусаркин В. М., Горчаков Ю. М. Конечные расщепляемые группы.-М.: Наука, 1968.

7. Васильева О. В., Ребрик К. П. О группах Шункова, насыщенных 5Х2(/Г2) // Мат-лы XXXVIII Межд. науч. конф.- Новосибирск.-2000. С. 4−5.

8. Васильева О. В., Шлёпкин А. К. О периодической части в группе Шункова // Мат-лы XXVII Межд. студ. конф, — Новосибирск, 1999.

9. Васильева О. В., Шлёпкин А. К. О периодических группах с элементарной абелевой силовской 2-подгруппой порядка 8 // Матем. сист.- Красноярск: КрасГАУ.- 2000. № 1- С. 48−53.

10. Горенстейн Д. Конечные простые группы.- М.: Мир, 1985.

11. Григорчук Р. И. К проблеме Бернсайда о периодических группах // Функцион. анализ и его приложения.- 1980. Т. 14, № 1. С. 53−54.

12. Григорчук Р. И., Курчанов П. Ф. Некоторые вопросы теории групп, связанные с геометрией // Итоги науки и техники. Современные проблемы матем. Фундам. направления.- 1990. Т. 58. С. 191 256.

13. Каргаполов М. И., Мерзляков Ю. В. Основы теории групп.- М.: Наука, 1982 С. 288.

14. Кондратьев A.C., Мазуров В. Д. 2-сигнализаторы конечных простых групп // Алгебра и логика.- 2003 Т. 42, № 5 — С. 594−623.

15. Конторович П. Г. Инвариантно покрываемые группы // Матем. сб.-1940. № 8. С. 423−430.

16. Конторович П. Г. Инвариантно покрываемые группы, II // Матем. сб.- 1951. № 28. С. 79−88.

17. Конторович П. Г., Пекелис A.C., Старостин А. И. Структурные вопросы теории групп // Матем. зап. Уральск, ун-та.- 1961. № 3.-С. 3−50.

18. Кострикин А. И.

Введение

в алгебру: Учебник для вузов. 2-е издание., исправл. — М.: Физико-математическая литература, 2001. — 272 с.

19. Кострикин А. И. Вокруг Бернсайда, — М.: Наука.- 1986.

20. Коуровская тетрадь: Нерешенные вопросы теории групп.- Изд-е 15-е.- Новосибирск.- 2002.

21. Курош А. Г. Теория групп.- М.: Наука, 1967.

22. Лысёнок И. Г. О проблеме Бернсайда для нечетных показателей п > 115 // Междунар. конф. по алгебре. Новосибирск. 21−26 авг. 1989 г.: Тез. докл. по теории групп.- Новосибирск.- 1989. г С. 75.

23. Лысёнок И. Г. Бесконечные бернсайдовы группы четного периода // Изв. РАН. Сер. матем 1996. Т. 60. С. 4−5.

24. Новиков П. С., Адян С. И. О бесконечных периодических группах, I, II, III // Изв. АН СССР. Сер. матем.- 1968. Т. 32, №№ 1,2,3.-С. 212−244, 251−524, 709−731.

25. Ольшанский А. Ю. Бесконечные группы с циклическими подгруппами // ДАН СССР.- 1979. Т. 245, № 4. С. 785−787.

26. Ольшанский А. Ю. Бесконечная группа с подгруппами простых порядков // Изв. АН СССР. Сер. матем 1980. Т. 44, № 2 — С. 309−321.

27. Ольшанский А. Ю. Группы ограниченного периода с подгруппами простых порядков // Алгебра и логика.- 1982. Т. 21, № 5. С. 553 618.

28. Ольшанский А. Ю. Геометрия определяющих соотношений в группах.- М: Наука, 1989.

29. Ольшанский А. Ю., Шмелькин A. J1. Бесконечные группы // Итоги науки и техники. ВИНИТИ. Современные проблемы матем. Фун-дам. направления.- 1989. Т. 37. С. 5−113.

30. Ольшанский А. Ю. Официальный отзыв ведущей организации (МГУ) на докторскую диссертацию А. К. Шлепкина (Группы Шун-кова с дополнительными ограничениями). 1998 г.

31. Рожков A.B. Условия конечности Шункова // Межд. конф. по алгебре.- Санкт-Петербург.- 1997. С. 268−269.

32. Рубашкин А. Г. О периодических группах, насыщенных группами 12(рп) // Матем. сист.- Красноярск: КрасГАУ.- 2004. № 3. С. 40−59.

33. Санов И. Н. Решения проблем Бернсайда для периода 4 // Учен, записки ЛГУ. Сер. матем.- 1940 № 10, — С. 166−170.

34. Созутов А. И. О некоторых группах, насыщенных конечными простыми подгруппами // Матем. сист.- Красноярск: КрасГАУ.-2004 № 3. С. 101−110.

35. Созутов А. И., Шлёпкин А. К. О некоторых группах с конечной инволюцией, насыщенных конечными простыми подгруппами // Матем. заметки 2002. Т. 72, № 3. С. 433−447.

36. Созутов А. И., Шунков В. П. О бесконечных группах, насыщенных фробениусовыми подгруппами // Алгебра и логика.- 1977. Т. 16, № 6. С. 711−735.

37. Сущанский В. И. Периодические р-группы подстановок и неограниченная проблема Бернсайда // ДАН СССР.- 1979. Т. 247, № 3.-С. 557−561.

38. Сущанский В. И. Сплетения и периодические факторизуемые группы // Мат. сб.- 1989. Т. 180, № 8. С. 1073−1093.

39. Череп A.A. О множестве элементов конечного порядка в биприми-тивно конечной группе // Алгебра и логика.- 1987. Т. 26, № 4.-С. 518−521.

40. Шлёпкин А. К. Сопряженно бипримитивно конечные группы, содержащие конечные неразрешимые подгруппы // III межд. конф. по алгебре, 23−28 авг. 1993. Сб. тез.- Красноярск.- С. 369.

41. Шлёпкин А. К. О сопряженно бипримитивно конечных группах, насыщенных конечными простыми подгруппами // Алгебра и логика.- 1998. Т. 37, № 2. С. 224−245.

42. Шлёпкин А. К. О сопряженно бипримитивно конечных группах, насыщенных конечными простыми подгруппами Uz (2n) // Алгебра и логика.- 1998 Т. 37, № 5 — С. 606−615.

43. Шлёпкин А. К. О периодической части некоторых групп Шункова // Алгебра и логика 1999 — Т. 38, № 1. С. 96−125.

44. Шлёпкин А. К. Группы Шункова с дополнительными ограничениями: Дис. док. физ.-мат. наук / А. К. Шлёпкин.- Красноярск, 1998.163 с.

45. Шлёпкин А. К. О некоторых периодических группах, насыщенных конечными простыми подгруппами // Матем. труды.- 1998. Т. 1, № 1- С. 129−138.

46. Шлёпкин А. К., Рубашкин А. Г. О некоторых периодических группах, насыщенных конечными простым группами // Матем. сист.-Красноярск: КрасГАУ.- 2004. № 2. С. 96−100.

47. Шлёпкин А. К., Рубашкин А. Г. Об одном классе периодических групп // Матем. сист.- Красноярск: КрасГАУ.- 2004. № 2. С. 101−110.

48. Шлёпкин А. К., Рубашкин А. Г. О группах, насыщенных конечным множеством групп // Сиб. матем. журн.- 2004. Т. 45, № 6. С. 1397−1400.

49. Шлёпкин А. К., Рубашкин А. Г. Об одном классе периодических групп // Алгебра и логика.- 2005. Т. 44, № 1. С. 110−119.

50. Шунков В. П. О некотором обобщении теоремы Фробениуса на периодические группы // Алгебра и логика.- 1967. Т. 6, № 3. С. 113−124.

51. Шунков В. П. Об одном классе р-групп // Алгебра и логика.-1970. Т. 9, № 4. С. 484−496.

52. Шунков В. П. О периодическх группах с почти регулярной инволюцией // Алгебра и логика 1972 — Т. 11, № 4 — С. 470−494.

53. Шунков В. П. Об абелевых подгруппах в бипримитивно конечных группах // Алгебра и логика 1973. Т. 12, № 5. С. 603−614.

54. Шунков В. П. Мр-группы М.: Наука, 1990.

55. Шунков В. П. О вложении примарных элементов в группе.- Новосибирск: ВО Наука, 1992.

56. Ivanov S.V. The free Burnside groups of sufficiently large exponents // Int. J. of Algebra and Computation.- 1994 V. 4. P. 2.

57. Hartley В., Shute G. Monomorphisms and direct limits of finite groups of Lie type // Q.J. Math., Oxf. II Ser.- 1984. V. 35, № 137.-P. 49−71.

58. Thomas S. The classification of the simple periodic linear groups // Arch. Math 1983. V. 41. P. РАБОТЫ АВТОРА ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ.

59. Кузнецов А. А., Рубашкин А. Г., Филиппов К. А. О периодических группах, насыщенных SL, 2(q) // Мат-лы XXII регион, науч.-техн. конф.- Красноярск: КрасГАСА, 2004. С. 7.

60. Рубашкин А. Г., Филиппов К. А. О существовании периодической части в группах Шункова, насыщенных группами диэдра // Студент и научно-технический прогресс: Математика: Мат-лы XLII междунар. науч.-студен, конф.- Новосибирск, 2004. С. 15−16.

61. Рубашкин А. Г., Филиппов К. А. О группах Шункова, насыщенных конечными простыми Z-группами // Матем. сист.- Красноярск: КрасГАУ, 2005. № 3. С. 72−79.

62. Филиппов К. А., Кузнецов А. А. О локальной конечности периодических групп, насыщенных группами диэдра // Студент и научно-технический прогресс: Математика: Мат-лы XLII междунар. науч.-студен. конф.- Новосибирск, 2004. С. 10.

63. Филиппов К. А. О периодических группах, насыщенных группами Цассенхауза // Мат-лы регион, науч.-техн. конф. Красноярск: КрасГАСА, 2005. — С. 216−217.

64. Филиппов К. А., Рубашкин А. Г. О периодических группах насыщенных Ь2(рп) // Сиб. мат. журнал Новосибирск, 2005. — № 6. — С. 1388−1392.

65. Филиппов К. А., Кузнецов A.A. О локальной конечности периодических групп, насыщенных группами диэдра // Матем. сист.-Красноярск: КрасГАУ, 2005 № 3. С. 34−35.

66. Филиппов К. А. О периодических группах насыщенных Ь2(2п) х Z2 Ц Международная алгебраическая конференция: К 100-летию со дня рождения П. Г. Конторовича и 70-летию JI.H. Шеврина. -Екатеринбург, 2005. С. 80.

67. Филиппов К. А. Группы Цассенхауза с бесконечной силовской 2-подгруппой // Матем. сист.- Красноярск: КрасГАУ, 2005. № 4.-С. 109−110.

68. Филиппов К. А. О периодических группах с конечной силовской 2-подгруппой, насыщенных конечными простыми Z-группами // Актуальные социально-экономические проблемы развития АПК: прил. к &bdquo-Вестнику КрасГАУ". Красноярск, 2005 (в печати).

69. Филиппов К. А. О группах Шункова, насыщенных L2(2n) х Z2 // Матем. сист.- Красноярск: КрасГАУ.- 2005. № 4. С. 111−115.