Транспортная задача

1. Задание

2. Основы экономико-математического моделирования

3. Построение модели

Заключение

Список используемой литературы

Важным частным случаем задачи линейного программирования является так называемая транспортная задача.

Транспортная задача имеет следующий вид: найти объемы перевозок для каждой пары «поставщик — потребитель» так, чтобы:

мощность всех поставщиков были реализованы;

спросы всех потребителей были удовлетворены;

суммарные затраты на перевозку были бы минимальны.

Пример постановки транспортной задачи и особенности экономико-математической модели транспортной задачи будут рассмотрены в данной курсовой работе.

1. Задание

Цель: Приобретение навыков решения задач линейного программирования в табличном редакторе Excel. Формирование транспортной модели задачи линейного программирования и решение задачи средствами табличного редактора Excel. Приобретение навыков адаптации транспортной модели линейного программирования для оптимизации системы снабжения, допускающей транзитные перевозки.

Задача По заказу пяти потребителей А, Б, В, Г, Д на четырех предприятиях — изготовителях производится продукция. В процессе доставки к потребителям продукция может храниться на трех оптовых базах. Существуют следующие три способа организации снабжения потребителей продукцией:

ИЗГОТОВИТЕЛЬ — ОПТОВАЯ БАЗА — ПОТРЕБИТЕЛЬ То есть вся продукция, произведенная изготовителями, сначала складируется на оптовых базах и только потом развозится потребителям.

ИЗГОТОВИТЕЛЬ — ПОТРЕБИТЕЛЬ То есть вся продукция, произведенная изготовителями, напрямую доставляется потребителям, минуя оптовые базы.

ИЗГОТОВИТЕЛЬ — ОПТОВАЯ БАЗА — ПОТРЕБИТЕЛЬ; ИЗГОТОВИТЕЛЬ — ПОТРЕБИТЕЛЬ То есть продукция, произведенная изготовителями, доставляется потребителям частично напрямую, а частично транзитом через оптовые базы.

Необходимо выбрать оптимальный способ организации снабжения потребителей продукцией предприятий — изготовителей.

Таблица 1 — Параметры перевозок от изготовителей к оптовым базам

Таблица 2 — Параметры перевозок от оптовых баз к потребителям

Таблица 3 — Параметры перевозок от изготовителей к потребителям

2. Основы экономико-математического моделирования

Моделирование — это универсальный способ изучения процессов и явление реального мира.

Современная экономическая наука широко использует математические методы как для решения прикладных, практических задач, так и для теоретического моделирования социально-экономических явлений и процессов. Математические методы стали составной частью методов любой экономический науки, включая экономическую теорию. Её использование в единстве с обстоятельным экономическим анализом открывает новые возможности для экономической науки и практики.

Как и всякое моделирование, экономико-математическое моделирование основывается на принципе аналогии, т. е. возможности изучения объекта посредством построения и рассмотрения другого, подобного ему, но более простого и доступного объекта его модели.

Практическими задачами экономико-математического моделирование являются, во-первых, анализ экономических объектов; во-вторых, экономическое прогнозирование, предвидение развитие хозяйственных процессов и поведение отдельных показателей; в-третьих, выработка управленческих решений на всех уровнях управления.

Для построения нашей модели попробуем определить ее параметры.

Модели по фактору времени распределяются на статические и динамические. В статических моделях система представляется неизменной во времени. Динамические модели содержат информацию о поведении системы и ее составных частей. Наша модель является статической, так как в ней задаются параметры, которые в процессе ее решения не меняются.

По учету фактора неопределенности: детерминированные и стохастические. Стохастическая модель — такая экономико-математическая модель, в которой параметры, условия функционирования и характеристики состояния моделируемого объекта представлены случайными величинами и связаны стохастическими (т. е. случайными, нерегулярными) зависимостями, либо исходная информация также представлена случайными величинами. Следовательно, характеристики состояния в модели определяются не однозначно, а через законы распределения их вероятностей. Детерминированная модель — аналитическое представление закономерности, операции и т. п., при которых для данной совокупности входных значений на выходе системы может быть получен единственный результат.

Наша модель является детерминированной, так как в процессе решения задачи входные параметры — цены перевозок, объем выпускаемого товара, объем склада однозначно определяют затраты на перевозку.

По отношению к принятию решения модели разделяются на дескриптивные и нормативные.

Модели, предназначенные для объяснения наблюдаемых фактов или прогноза поведения объекта, называют дескриптивными. Модель, при построении которых преследуется цель определения состояния объекта, которое является наилучшим с точки зрения определенного критерия, называется нормативным.

Наша модель является нормативной и целью ее построения является выбор оптимального пути (приведенных выше) перевозок, который потребует наименьших затрат на перевозку.

Итак, практической задачей нашего экономико-математического моделирования является анализ выбора оптимального способа организации снабжения потребителей продукцией предприятий-изготовителей. Наша модель является статической, детерминированной и нормативной.

3. Построение модели

Определение. Математическая модель — это некоторый математический образ исследуемой экономической системы, который адекватно отражает структуру переменных системы, их свойства и взаимосвязи.

Этапы моделирования Постановка экономической проблемы.

Построение содержательной (вербальной) модели рассматриваемого объекта (процесса). На данном этапе происходит формализация цели управления объектом, выделение возможных управляющих воздействий, влияющих на достижение сформулированной цели, а также описание системы ограничений на управляющие воздействия.

Построение математической модели, т. е. перевод сконструированной вербальной модели в ту форму, в которой для ее изучения может быть использован математический аппарат.

Параметры (фиксированные значения):

количество потребителей;

количество изготовителей;

количество оптовых баз;

мощности потребителей (заказываемые объемы продукции);

мощности изготовителей (объемы производимой продукции);

мощности оптовых баз (допустимое количество одновременно хранящейся продукции);

цены перевозок от изготовителей на оптовые базы;

цены перевозок от изготовителей потребителям;

цены перевозок из оптовых баз потребителям.

Экзогенные (независимые) переменные: количество перевозимой продукции по каждому из маршрутов. В нашей задаче, единственные переменные на которые мы можем влиять — это количество продукции, перевозимой по заданным маршрутам перевозок. Меняя количество продукции, перевозимой по заданным маршрутам, мы можем оптимизировать наши затраты на перевозку.

Итак, пусть хij — количество продукции, перевозимой от i-го изготовителя j-му потребителю, где i=1,…, 4, j=1,…, 5.

Эндогенные (зависимые, рассчитываемые) переменные: суммарные затраты на перевозку F (x).

Первой рассмотрим модель перевозок ИЗГОТОВИТЕЛЬ — ПОТРЕБИТЕЛЬ.

транспортный задача потребитель снабжение

Общая сумма затрат на перевозки:

F (x)=10*X11+2*X12+X13+10*X14+20*X15+24*X21+18*X22+20*X23+14*X24+26*X25+32*X31+54*X32+16*X33+28*X34+10*X35+16*X41+ (1)

+30*X42+55*X43+ 45*X44+46*X45 > min

Ограничения:

X11+X12+X13+X14+X15=510

X21+X22+X23+X24+X25=400

X31+X32+X33+X34+X35=460

X41+X42+X43+X44+X45=790

X11+X21+X31+X41=600 (2)

X12+X22+X32+X42=550

X13+X23+X33+X43=420

X14+X24+X34+X44=780

X15+X25+X35+X45=400

Хij>=0 для любого i, j (3)

Математический анализ модели, выбор метода решения Общая задача линейного программирования имеет вид:

Дана система m линейных уравнений и неравенств с n переменными

a11×1 + a12×2 + …a1n xn <= b 1

a31×1 + a22×2 + a2n xn <= b 2

ak1 x1 + ak 2×2 + …akn xn <= b k (4)

ak +1,1×1 + ak1,2×2 +…+ ak+1,n xn = bk+1

ak +2,1×1 + ak2,2×2 +…+ ak+2,n xn = bk+2

…

am1x1+am2x2+…+. amnxn+xn=bn

и линейная функция

F = c1x1+ c2x2+ …+cnxn (5)

Необходимо найти такое решение системы X = (x1, х2,…, хj, … xn), где

хj >= 0 (j = 1,2, …, l; l <= n), (6)

при котором линейная функция F (X) принимает оптимальное (т.е. максимальное или минимальное) значение.

Система (3) называется системой ограничений, (4) — линейной функцией или функцией цели, (5) — прямые ограничения или не отрицательность переменных.

Наша модель является задачей математического программирования, так как цель ее решения — оптимизация функции цели при ограничениях, также заданных системой неравенств цi (x1,…, xn)<=bi, i=1,…, m.

При этом:

функция цели F (x) — линейная;

система ограничений (4) является линейной;

и выполняется условие неотрицательности, т.к. хij>=0 для любого i, j, следовательно наша модель математического программирования является линейной.

Кроме того, данная задача является частным случаем задач линейного программирования — транспортной задачей.

Стандартная модель транспортной задачи (ТЗ) Задача о размещении (транспортная задача) — это РЗ, в которой работы и ресурсы измеряются в одних и тех же единицах. В таких задачах ресурсы могут быть разделены между работами, и отдельные работы могут быть выполнены с помощью различных комбинаций ресурсов. Примером типичной транспортной задачи является распределение (транспортировка) продукции, находящейся на складах, по предприятиям-потребителям.

Стандартная ТЗ определяется как задача разработки наиболее экономичного плана перевозки продукции одного вида из нескольких пунктов отправления в пункты назначения. При этом величина транспортных расходов прямо пропорциональна объему перевозимой продукции и задается с помощью тарифов на перевозку единицы продукции.

Исходные параметры модели ТЗ

n — количество пунктов отправления, m — количество пунктов назначения.

— запас продукции в пункте отправления Ai (i = 1, n) [ед. тов.].

— спрос на продукцию в пункте назначения В: (j = l, m) [ед. тов.].

Cij — тариф (стоимость) перевозки единицы продукции из пункта отправления Ai в пункт назначения Вj, [руб./ед. тов.].

Искомые параметры модели ТЗ

— количество продукции, перевозимой из пункта отправления Ai в пункт назначения Вj [ед. тов.].

L (X) — транспортные расходы на перевозку всей продукции [руб.].

Этапы построения модели Определение переменных.

Проверка сбалансированности задачи.

Построение сбалансированной транспортной матрицы.

Задание ЦФ.

Задание ограничений.

Транспортная модель

L (Х)= min

i=1,n

Целевая функция представляет собой транспортные расходы на осуществление всех перевозок в целом. Первая группа ограничений указывает, что запас продукции в любом пункте отправления должен быть равен суммарному объему перевозок продукции из этого пункта. Вторая группа ограничений указывает, что суммарные перевозки продукции в некоторый пункт потребления должны полностью удовлетворить спрос на продукцию в этом пункте. Сумма запасов продукции во всех пунктах отправления должна равняться суммарной потребности во всех пунктах потребления.

Если это условие выполняется, то ТЗ называется сбалансированной, в противном случае — несбалансированной. Поскольку ограничения модели приведенные выше могут быть выполнены только при сбалансированной ТЗ, то при построении транспортной модели необходимо проверять условие баланса. В случае, когда суммарные запасы превышают суммарные потребности, необходим дополнительный фиктивный пункт потребления, который будет формально потреблять существующий излишек запасов, то есть Если суммарные потребности превышают суммарные запасы, то необходим дополнительный фиктивный пункт отправления, формально восполняющий существующий недостаток продукции в пунктах отправления:

Введение

фиктивного потребителя или отправителя повлечет необходимость формального задания фиктивных тарифов (реально не существующих) для фиктивных перевозок. Поскольку нас интересует определение наиболее выгодных реальных перевозок, то необходимо предусмотреть, чтобы при решении задачи (при нахождении опорных планов) фиктивные перевозки не рассматривались до тех пор, пока не будут определены все реальные перевозки. Для этого надо фиктивные перевозки сделать невыгодными, то есть дорогими, чтобы при поиске решения задачи их рассматривали в самую последнюю очередь. Таким образом, величина фиктивных тарифов должна превышать максимальный из реальных тарифов, используемых в модели, то есть

>max

На практике возможны ситуации, когда в определенных направлениях перевозки продукции невозможны, например, по причине ремонта транспортных магистралей. Такие ситуации моделируются с помощью введения так называемых запрещающих тарифов. Запрещающие тарифы должны сделать невозможными, то есть совершенно невыгодными, перевозки в соответствующих направлениях. Для этого величина запрещающих тарифов должна превышать максимальный из реальных тарифов, используемых в модели:

>max

В моем случае задача является не сбалансированной, так как сумма запасов продукции во всех пунктах отправления не равняется суммарной потребности во всех пунктах потребления.

510+400+460+790=600+550+420+780+400

Оптимальным решением такой задачи может стать, решение задач в табличном редакторе Excel методом подбора «Поиска решения», предназначенного для решения задач математического программирования, в частности, задач линейного программирования.

Подготовка исходных данных Параметры перевозок от изготовителей к потребителям

Формулы экранной формы задачи.

Численное решение модели Вариант 1: Перевозки от изготовителей к потребителям Рис. 1

Для решения задачи линейного программирования воспользуемся функцией табличного редактора Excel «Поиск решения».

Рис. 2

Результаты

F (x)=28 610.

Минимальные суммарные затраты при варианте перевозок от изготовителя непосредственно потребителю составляют 28 610 единиц.

Вариант 2: перевозки от изготовителей к оптовым базам, затем к потребителям.

Объем всех имеющихся оптовых баз рассчитан на 2250 единиц продукции, в то же время изготовитель способен удовлетворить спрос на 2250 единиц продукции. Таким образом продукция дойдёт до потребителя в полном объеме.

В данной задаче есть запрещенные перевозки:

от изготовителя к потребителю;

от оптовой базы к оптовой базе.

Для запрещенных перевозок устанавливается стоимость перевозки, превышающая все имеющиеся значения (в этом случае, она окажется самой невыгодной).

Подготовка исходных данных Параметры перевозок от изготовителей к оптовым базам

Параметры перевозок от оптовых баз к потребителям

Формулы экранной формы задачи.

Численное решение модели Вариант 2: Перевозки от изготовителей к оптовым базам, затем к потребителям Рис. 3

Рис. 4

Для решения задачи линейного программирования воспользуемся функцией табличного редактора Excel «Поиск решения».

Рис. 5

Результаты

F (x)=139 751.

Минимальные суммарные затраты при варианте перевозок от изготовителя непосредственно потребителю составляют 139 751 единиц.

Вариант 3: Перевозки ИЗГОТОВИТЕЛЬ — ОПТОВАЯ БАЗА — ПОТРЕБИТЕЛЬ; ИЗГОТОВИТЕЛЬ — ПОТРЕБИТЕЛЬ В третьем варианте «поставщиками» из определения транспортной задачи являются как изготовители продукции, так и оптовые базы. «Потребителями» являются как организации-потребители, так и оптовые базы.

В данной задаче есть запрещенные перевозки: от оптовой базы к оптовой базе.

Для запрещенных перевозок устанавливается стоимость перевозки, превышающая все имеющиеся значения (в этом случае, она окажется самой невыгодной).

Рис. 6

Рис. 7

Применив «Поиск решения» табличного редактора Excel получим:

Суммарные затраты составляют 121 026 денежных единиц.

Заключение

Проанализировав все варианты перевозок мы видим, что наиболее эффективным с точки зрения затрат на перевозку является вариант перевозок от Изготовителя к Потребителю напрямую.

Видно что вариант перевозок от изготовителей к оптовым базам, а затем к потребителям не эффективен, так как почти треть произведенной продукции в этом случае вообще не будет доставлена потребителям.

При варианте перевозок от изготовителей к потребителям затраты составляют 28 610 руб.

При варианте ИЗГОТОВИТЕЛЬ — ОПТОВАЯ БАЗА — ПОТРЕБИТЕЛЬ; ИЗГОТОВИТЕЛЬ — ПОТРЕБИТЕЛЬ затраты составляют 121 026 руб.

Следовательно самый оптимальный вариант перевозок это от изготовителя к потребителю т.к. получаются наименьшие затраты на перевозки.

Данная задача является примером решения оптимизационных задач для реального производства. Она помогает принять правильные управленческие решения на основании проделанных расчетов различных вариантов решений.

Экономико-математические модели помогают в текущей, ежедневной работе предприятий, в частности при решении задач оптимизации транспортных перевозок. Построенная модель легко адаптируется к динамически меняющимся условиям реальности — изменяются стоимости перевозок по отдельным маршрутам, спрос на продукцию и объемы производства. Меняя значения параметров, добавляя новые или убирая имеющиеся ограничения, мы всегда можем быстро применить построенную модель для принятия новых плановых решений.

Список используемой литературы

1. Исследование операций в экономике: Учеб. Пособие для вузов / Под ред. проф. Н. Ш. Кремера. — М.:ЮНИТИ, 2012. — 407 с.