Устойчивость ортотропных пластин при термосиловом нагружении

Тонкие пластины различных очертаний находят широкое применение в конструкциях летательных аппаратов, кораблей, подъемно-транспортных средств.

При назначении нагрузки, которую могут нести эти элементы конструкций, во многих случаях принимают во внимание такую ее величину, при которой пластина может потерять устойчивость. Потеря устойчивости элемента конструкции, как правило, влечет за собой значительное снижение её жесткостных характеристик и перераспределение нагрузок во всей конструкции.

При исследовании устойчивости упругих систем первые шаги были сделаны Эйлером. В дальнейшем его подход был развит Лагранжем. По Эйлеру-Лагранжу потеря устойчивости отождествляется с выполнением условий существования новых форм равновесия, сколь угодно близких к исходной. Нагрузки, при которых эти условия выполняются, называются критическими. При расчете инженерных конструкций критическая нагрузка принимается за предельную, по которой и назначается запас устойчивости.

Для решения разнообразных задач устойчивости применяют динамический, статический и энергетический критерии [12- 18- 10- 84- 109]. Наиболее общим и строгим из них является динамический, он связан с рассмотрением свойств движения, вызванного возмущением положения равновесия. Статический критерий заключается в определении такого наименьшего значения нагрузки, при котором наряду с основным положением равновесия существует смежное, сколь угодно близкое к основному (метод Эйлера). Энергетический критерий рассматривает потенциальную энергию системы, и также заключается в определении наименьшего значения нагрузки, при котором потенциальная энергия основного равновесного состояния перестает быть минимальной.

Возможность применения того или иного метода к решению конкретной задачи [12- 18- 10- 84- 109] связывается с типом приложенной к системе нагрузки. В соответствии с принятой в книге Г. Циглера [109] классификацией систем и нагрузок, в данной работе далее рассматриваются консервативные системы (большинство задач устойчивости, возникающих при анализе конструкций принадлежит этому типу). Нагрузки, действующие на пластину будем предполагать «мертвыми», т. е. их проекции на оси неподвижной системы координат не изменяют своей величины при потере устойчивости.

Для подобных систем, как известно [12- 18- 10- 84- 109], динамический, статический и энергетический критерии дают один и тот же результат.

Являясь составной частью конструкций, пластины в общем случае мо-1уг находиться в условиях воздействия как поперечной нагрузки, так и сил, лежащих в серединной плоскости пластины. Напряженно-деформируемое состояние пластинок в этом случае сводится к решению системы уравнений Кармана [18].

Если предположить, что поперечная нагрузка отсутствует и заранее, путем решения плоской задачи теории упругости, определены напряжения от сил, лежащих в серединной плоскости пластины, то уравнения Кармана сводятся к известному уравнению устойчивости упругой пластины [18]. В соответствии с Эйлеровой постановкой (статический критерий) может быть поставлена задача об определении таких наименьших значений параметра внешней нагрузки, при которых это уравнение имеет нетривиальное решение. В дальнейшем, говоря о задачах устойчивости пластин, мы будем иметь в виду задачи именно такого типа.

Воспользовавшись энергетическим критерием, можно рассматривать задачу устойчивости пластин как вариационную задачу. Впервые это было сделано Брайаном в работе [116] к задаче о выпучивании пластины, где показано, что теорема Г. Кирхгоффа [53] об однозначности решений уравнений линейной теории упругости может не выполняться в случае исследования длинных стержней, тонких пластинок и оболочек. При этом исследовании им был введен в рассмотрение потенциал П упругой системы в виде суммы потенциальной энергии деформации и потенциала внешних сил. Пользуясь началом возможных перемещений Лагранжа [53], Брайан указывает признак равновесия системы как условие стационарности (5П=0) потенциала системы. Распространяя затем теорему Лагранжа, которая строго доказана Л. Дирихле [20] лишь для систем с конечным числом степеней свободы, на исследуемую континуальную систему, Брайан указывает, что в устойчивом состоянии потенциал системы имеет минимум (5 П>0), в неустойчивом максимум (82П<0), в безразличном — одинаков для всех состояний, смежных с равновесным (52П=0).

В работе [117] Брайан формулирует энергетический критерий устойчивости пластин. Брайан составляет функционал разности потенциалов пластины до и после потери устойчивости и утверждает, что при потере устойчивости данный функционал будет иметь минимум. Функционал состоит из двух интегральных слагаемых: изменении потенциальной энергии пластины за счет ее изгиба и работы докритических напряжений на деформациях и сдвигах, возникающих в серединной плоскости пластины при ее выпучивании. Докритические напряжения, так же как и в дифференциальном уравнении устойчивости определяются заранее из плоской задачи теории упругости. Брайан дает вариационный вывод уравнения устойчивости. Здесь же он исследует устойчивость свободно опертой прямоугольной пластины, сжатой с четырех сторон внешним давлением, представляя прогиб в виде двойного тригонометрического ряда.

Энергетический метод был с успехом использован Тимошенко для решения различных задач устойчивости. Основные его результаты отражены в известной монографии [103]. При этом Тимошенко формулирует энергетический критерий не через внутренние силовые факторы, как это сделал Брайен [103, 117], а непосредственно через внешние нагрузки.

На основании работ [103- 101- 98- 99- 100] можно заключить, что метод Тимошенко состоит в следующем. В критическом состоянии потенциал системы (точнее его изменение в связи с возможностью появления искривленной формы равновесия) равен нулю, имеет место уравнение «баланса» энергий, которое, в отличие от Брайана [117], Тимошенко записывает непосредственно через внешние усилия: П (Р, IV). Разрешая это уравнение относительно Р и подставляя в него прогиб ж в виде ряда, каждый член которого удовлетворяет соответствующим граничным условиям, приходим к выражению Р=Р (Ат). Коэффициенты ряда Ат выбираются из условия экстремальности Р и подставляя их в формулу Р=Р (Ат), определяется наименьшее значение критической силы.

В работе [102] Тимошенко замечает, что изложенная выше последовательность решения задачи устойчивости эквивалентна задаче о разыскании стационарности значения потенциала П (Р, Ат).

Полный обзор работ Тимошенко в области устойчивости деформируемых систем содержится в приложении к сборнику [22], написанным Григо-люком.

В работе Болотина [13] из общих уравнений нелинейной теории упругости [81] выводятся уравнения и граничные условия задачи устойчивости упругой системы, нагруженной «мертвыми» силами. Записывается функционал, уравнения Эйлера-Остроградского [95] и естественные граничные уело-вия, которые совпадают с полученными Новожиловым. Если исходное состояние тела считается недеформированным, а начальные напряжения определять из уравнений линейной теории упругости, то функционал упрощается и совпадает с полученным ранее Треффтцем [145]. Показано в частности, что для пластинок этот функционал по виду совпадает с критерием Брайана, если заранее предположить справедливость гипотез Кирхгофа для закона деформирования пластинки [53].

Александров и Лащеников [1], приводят ряд примеров, из которых следует, что критерий устойчивости в том виде, в котором им пользовался Тимошенко, в некоторых задачах может привести к абсурдным результатам. Учитывая деформацию срединной поверхности пластины, авторы получают энергетический критерий в форме Брайана (ранее аналогичный вывод был сделан в работе [138]) и делают вывод, что для его использования необходимо решать плоскую задачу теории упругости (на это обстоятельство указано, например, в монографии Броуде [15]). В статье отмечается, что попытка избежать определения внутренних усилий путем использования критерия Тимошенко таит в себе опасность ошибки и приводит в общем случае к необходимости решения не менее сложной задачи о дополнительных деформациях, возникающих в пластине в момент потери устойчивости.

Изложенные выше результаты показывают, что представление энергетического критерия в форме Брайана вполне обосновано, тогда как энергетический критерий в форме Тимошенко не имеет достаточно последовательного обоснования. По-видимому, впервые возможность представления энергетического критерия в форме, не содержащей начальных напряжений, была обоснована в работах Алфутова и Балабуха [4- 5].

В работе [4] впервые показано, что если при решении задачи устойчивости использовать не действительное напряженное состояние, определенное путем предварительного решения плоской задачи теории упругости, а статически допустимое (т.е. удовлетворяющее лишь уравнениям равновесия и статическим граничным условиям), то критическое значение внешней нагрузки должно определяться не из функционала Брайана, а из условия стационарности нового функционала, в который кроме функции прогибов входит функция напряжений, описывающая возмущение напряженного состояния серединной плоскости пластины при потере устойчивости, и определяемая, как показано в [4] из решения уравнения совместности деформаций [18] (в настоящей диссертационной работе показано, что для многосвязных областей кроме уравнения совместности деформаций необходимо выполнить еще и условия неразрывности контуров).

В работе [11] Болотин впервые использует то обстоятельство, что задачам вариационного типа соответствует, вообще говоря, не один, а целое множество функционалов [47]. Переход от одного функционала к другому осуществляется с помощью преобразований [47], назначение которых состоит в том, чтобы избавиться от некоторых предварительных соотношений, выполнение которых по какой-либо причине затруднительно.

Вариационный подход к постановке задачи устойчивости развивался также в работах Л. А. Толоконникова [105- 106], Л. М. Куршина, К. А. Матвеева [51- 52- 48- 59- 63- 62- 64- 65- 60, 89- 88].

Большой интерес вызывает работа К. Васидзу [16], в которой автор, используя метод множителей Лагранжа для преобразования вариационных задач показал, что все известные и новые вариационные принципы теории упругости вытекают один из другого. Однако применительно к вариационной постановке задачи устойчивости платан это исследование нельзя считать исчерпывающим.

Заканчивая этот краткий исторический обзор вариантов энергетического критерия устойчивости необходимо отметить, что для некоторых из них четко не ясен вопрос о необходимости выполнения тех или иных предварительных условий, и кроме того, в случае многосвязных пластин некоторые из изложенных выше критериев устойчивости могут привести к неправильным результатам.

В последнее время для изготовления различных элементов конструкций широко используются композиционные материалы. Для расчетов композитную структуру приводят к анизотропному материалу. Большинство задач устойчивости, как изотропных, так и анизотропных пластин решается либо с помощью дифференциального уравнения устойчивости, либо на основе функционала Брайана [94- 113- 114- 121- 126- 139- 140- 115- 86- 55- 74- 26- 6;

14]. Для решения задач с помощью этих критериев необходимо предварительно определить докритические напряжения, что представляет дополнительные сложности. С другой стороны, для достаточно большого круга задач устойчивости анизотропных пластин более эффективными являются критерии устойчивости, не требующие предварительного решения плоской задачи теории упругости.

Актуальность темы

диссертации. Во многие конструкции входят такие элементы, которые можно классифицировать как пластины. Они могут иметь сложную форму, вырезы, могут подвергаться не только силовым, но и температурным воздействиям. Для повышения прочности и снижения веса они могут быть выполненными из армированных композиционных материалов. С точки зрения строительной механики возможная расчётная схема для подобных элементов конструкций — это неоднородные (с переменными упругими и термоупругими характеристиками) анизотропные многосвязные пластины, подверженные термосиловому воздействию. Особенностью проектирования тонкостенных силовых элементов конструкций, к которым относятся пластины и панели, является обязательное прогнозирование их устойчивости. Решение задач устойчивости для пластин в таком общем виде может быть получено только численными вариационными методами. С одной стороны исследование потери устойчивости классическим методом, с помощью функционала Брайана, требует предварительного определения докритических напряжений, что при указанных условиях является отдельной сложной задачей. С другой стороны энергетические критерии устойчивости, не требующие предварительного определения докритических напряжений, в случае многосвязных пластин оставляют ряд вопросов и, кроме того, есть необходимость распространить эти критерии на неоднородные анизотропные неравномерно нагретые пластины.

Цель работы:

1. Развитие известных и разработка новых вариационных методов исследования устойчивости тонких упругих пластин, не требующих предварительного определения докритического напряженного состояния, их распространение на анизотропные неоднородные многосвязные пластины, подверженные термосиловому нагружению;

2. Разработка алгоритмов прямых численных методов решения задач устойчивости пластин на основе полученных вариационных формулировок;

3. Исследование сходимости и эффективности предложенных вариационных формулировок на примере решения ряда известных и новых задач устойчивости пластин.

Научная новизна работы:

1. Получен ряд вариационных формулировок теории устойчивости анизотропных упругих многосвязных неоднородных пластин при термосиловом нагружении. Среди них как известные — Брайана, Тимошенко, Алфутова-Балабуха, так и новые;

2. Разработан алгоритм прямого вариационного метода решения задачи устойчивости пластин с интегральным предварительным условием;

3. На основе разработанных вариационных методов решен ряд задач устойчивости;

4. На примере кольцевых цилиндрически ортотропных пластин исследовано взаимное влияние температурного поля и силового воздействия на выпучивание пластин;

5. Задача локальной потери устойчивости бесконечных пластин при растяжении была обобщена на случай ортотропного материала.

Методы исследований основаны на:

1. Теории преобразования вариационных задач;

2. Использовании прямых методов решения вариационных задач и представленном в работе способе построения аппроксимирующих функций;

3. Применении апробированных алгоритмов численного интегрирования, решения систем линейных алгебраических уравнений и решения обобщенной проблемы собственных значений.

Достоверность научных положений, результатов и выводов, содержащихся в работе, основывается на:

1. Теории преобразования вариационных задач;

2. Использовании апробированных численных математических методов и алгоритмов и исследовании их сходимости;

3. Сопоставлении результатов расчёта с известными аналитическими решениями, с решениями, полученными с помощью программного комплекса метода конечных элементов и известными экспериментальными данными.

Практическая ценность результатов исследования заключается:

1. В разработке вариационных формулировок задачи устойчивости неоднородных анизотропных многосвязных пластин при термосиловом на-гружении, не требующих предварительного определения докритиче-ского напряженного состояния и алгоритмов решения задач устойчивости с помощью предложенных формулировок численными методами;

2. В построении областей устойчивости кольцевых цилиндрически орто тропных пластин при термосиловом нагружении;

3. В оценке критических нагрузок металлокомпозиционных пластин;

4. В анализе работ по локальной потере устойчивости изотропных пластин с вырезами при растяжении, в получении собственных результатов и в обобщении задачи на ортотропные пластины.

На защиту выносятся:

1. Вариационные формулировки задач устойчивости упругих анизотропных неоднородных многосвязных пластин при термосиловом нагруже-нии;

2. Прямой вариационной метод решения задач устойчивости упругих анизотропных неоднородных многосвязных пластин при термосиловом нагружении с интегральным предварительным условием;

3. Исследование устойчивости кольцевых цилиндрически и прямоугольно ортотропных пластин;

4. Исследование устойчивости и алгоритм построения областей устойчивости для кольцевых цилиндрически ортотропных пластин, подверженных термосиловому воздействию;

5. Исследование устойчивости кольцевых металлокомпозиционных пластин;

6. Исследование локальной потери устойчивости бесконечных ортотропных пластин с эллиптическим вырезом при растяжении;

7. Исследование устойчивости квадратной изотропной пластины с круговым отверстием при сжатии.

Апробация работы. Результаты работы докладывались на 17-й межреспубликанской конференции по численным методам решения задач теории упругости и пластичности (Новосибирск, ИТПМ СО АН РФ, 2001) — на Международных российско-корейских научно-технических конференциях С01Ш8 «Научные основы высоких технологий» (Томск, 1998 г.- Новосибирск, 1999 г.- Ульсан, Корея, 2000 г.) — на Всероссийской научной конференции «Математическое моделирование процессов в синергетических системах «(Улан-Удэ-Томск, 1999 г.) — на 1-м Российско-Корейском Международном симпозиуме по прикладной механике (Новосибирск, 2001 г.) — на школах-семинарах СО РАН «Математические проблемы механики сплошных сред».

Новосибирск, 1999, 2000 г. г.- рук. — чл.-корр. РАН Б.Д. Аннин) — на IV Всероссийской конференции «Проблемы прочности и усталостной долговечности материалов и конструкций» (Новосибирск, Сибирский научно-исследовательский институт авиации, 1997.) — на межвуз. научной конференции «Численно-аналитические методы решения краевых задач»" (Новокузнецк, 1998) — на 18 Межреспубликанской конференции «Численные методы решения задач теории упругости и пластичности» (Кемерово, 2003 г.) — на Всероссийской школе семинаре по современным проблемам механики деформируемого твердого тела (Новосибирск, 2003г) — на IX международном симпозиуме «Динамические и технологические проблемы механики конструкций и сплошных сред» (Москва, 2003) — на Юбилейной научно-технической конференции, посвященной 60-летию со дня основания отделений аэродинамики летательных аппаратов и прочности авиационных конструкций ФГУП «СибНИА им. С.А. Чаплыгина» (Новосибирск, Сибирский научно-исследовательский институт авиации, 2004 г.) — на семинаре по механике деформируемого твердого тела института Гидродинамики им. М. А. Лаврентьева (2006 г.).

Публикации. По теме диссертации опубликовано 16 работ [67- 66- 70- 68- 69- 90- 91- 130- 136- 135- 76- 134- 73- 92- 72- 71].

Содержание диссертации: Диссертация состоит из введения, 5 глав, заключения, списка литературы (147 наименований).

Основные результаты опубликованы в следующих работах автора: [135- 72].

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

.

Выделим основные, результаты диссертационной работы:

1. Получены новые вариационные постановки задачи устойчивости тонких упругих пластин, не требующие предварительного определения докритическо-го напряженного состояния. Эти вариационные постановки были обобщены на случай анизотропных неоднородных многосвязных пластин, подверженных термосиловому воздействию. Показано, что все известные и новые вариационные методы исследования устойчивости пластин можно получить из обобщенного функционала, выполняя те или иные предварительные условия.

2. Развит прямой вариационный метод решения задач устойчивости с интегральным предварительным условием. Показано, что параллельно с решением задачи устойчивости алгоритм позволяет получить решение и плоской задачи теории упругости.

3. Разработаны методы построения статически допустимых докритических напряжённых состояний, в том числе и для пластин с вырезами. Это позволило расширить круг эффективно решаемых сложных задач.

4. С помощью разработанных методов решены и исследованы задачи «локальной» устойчивости бесконечных ортотропных пластин с эллиптическим отверстием при их растяжении.

5. Решены и исследованы задачи устойчивости кольцевых ортотропных пластин при термосиловом нагружении. Разработан метод построения областей устойчивости. Решены и исследованы задачи устойчивости для металлокомпо-зиционных кольцевых пластин.

6. С помощью разработанных методов решена задача устойчивости при сжатии для квадратной пластины с центральным круговым отверстием.

7. На примере решенных задач исследована сходимость разработанного алгоритма, продемонстрирована его эффективность.