Диплом, курсовая, контрольная работа
Помощь в написании студенческих работ

Анализ глобальной устойчивости движения двухмассовых управляемых систем методом нескольких функций Ляпунова

Диссертация: Анализ глобальной устойчивости движения двухмассовых управляемых систем методом нескольких функций Ляпунова
ДиссертацияПомощь в написанииУзнать стоимостьмоей работы

Связь с планом. Исследования по теме диссертационной работы проводились в соответствии с планом научно-исследовательских работ НГАСУ и НГТУ, выполняемых в рамках единого заказ-наряда Министерства образования РФ, а также были поддержаны грантами Министерства образования Российской Федерации и Российского фонда фундаментальных исследований, а также грантом Международного центра-фонда перспективных… Читать ещё >

Содержание

  • Глава 1. Необходимые сведения из теории нелинейных систем с разрывной правой частью
    • 1. 1. Введение
    • 1. 2. Основные характеристики движений динамических систем
    • 1. 3. Понятие решения в нелинейных системах с разрывной правой частью
    • 1. 4. Типы устойчивости решений в разрывных системах
    • 1. 5. Основные теоремы метода Ляпунова для систем с разрывной правой частью
    • 1. 6. Иллюстративные примеры

Анализ глобальной устойчивости движения двухмассовых управляемых систем методом нескольких функций Ляпунова (реферат, курсовая, диплом, контрольная)

2.2. Постановка задачи.45

2.3. Основные теоремы аппарата.47

2.3.1. Глобальная асимптотика нелинейной системы: две функции Ляпунова.47

2.3.2. Асимптотическая устойчивость по Ляпунову стационарного решения нелинейной системы.50

2.3.3. Свойство ограниченности решений нелинейной системы.52

2.4. Выводы.56

Глава 3. Использование метода нескольких функций Ляпунова для исследования устойчивости сингулярновозмущенных систем.57

3.1. Постановка задачи.58

3.2. Исследование устойчивости сложных динамических систем с несколькими малыми параметрами.60

3.3. Исследование устойчивости класса нелинейных систем, возникающих в теории управления при сингулярных возмущениях.69

3.4. Выводы.78

Глава 4. Нелинейная модель системы «обращенный маятник на управляемой тележке». 80

4.1. Постановка задачи.80

4.2. История вопроса. Другие постановки и методы решения этой задачи.82

4.3. Переход к новым переменным.84

4.4. Решение задачи управления в условиях постоянно действующего возмущения .88

4.5. Задача с неизмеримыми скоростями. Сведение к сингулярно-возмущенной системе.97

4.6. Результаты численного моделирования.105

4.7. Выводы.108

Заключение

110

Список литературы

112

Актуальность темы

Использование аппарата функций Ляпунова при исследовании устойчивости управляемых динамических систем позволяет решить задачу глобальной стабилизации нелинейных систем [17, 21]. Так в работе [17] была решена задача глобальной стабилизации нелинейной динамической системы с учетом вязкости среды для специального вида управления. В работе [13] была развита идея работы [17] при наличии внешнего неизвестного возмущения. В работе [19] была рассмотрена задача о глобальной стабилизации системы, если размерность вектора управления меньше размерности вектора состояния управляемой системы. В то же время представляет интерес исследование устойчивости такой системы при наличии в системе малого параметра, обусловленного неидеальностью системы. Одним из существенных факторов в задачах стабилизации нелинейных систем, создающих особые трудности при их решении, является фактор «дефицита размерности управления» (см. выше). Для линейных стационарных объектов эта трудность была преодолена еще в 60-х годах теорией управляемости линейных систем Р. Калмана [39]. Для существенно нелинейных систем этот фактор создает дополнительные сложности, когда речь идет о глобальной стабилизации, о создании той или иной глобальной асимптотики фазового пространства, определенной целью управления. Используемые в последнее время в задачах нелинейной стабилизации методы «линеаризации с помощью обратной связи» [39], при наличии дефицита в размерности управления, сталкиваются со своими трудностями. Основным методом решения задач стабилизации нелинейных систем в условиях дефицита размерности управления является метод глобальных функций Ляпунова [21]. Цель работы. Целью данной работы является исследование глобальной устойчивости движения нелинейных динамических систем с разрывной правой частью с помощью двух функций Ляпунова. Задачи диссертационной работы.

1. Разработка математического аппарата исследования управляемых нелинейных динамических систем с помощью нескольких функций Ляпунова.

2. Исследование устойчивости сингулярно-возмущенных систем с помощью разработанного аппарата.

3. Исследование с помощью метода двух функций Ляпунова нелинейной механической системы «обращенный маятник на управляемой тележке». Методы исследования. Основными методами исследования является метод глобальных функций Ляпунова, методы теории нелинейных систем с разрывной правой частью, методы теории сингулярно-возмущенных систем, методы исследования теории нелинейных систем автоматического регулирования, а также некоторые разделы теории неравенств, теории множеств и теории пределов.

Связь с планом. Исследования по теме диссертационной работы проводились в соответствии с планом научно-исследовательских работ НГАСУ и НГТУ, выполняемых в рамках единого заказ-наряда Министерства образования РФ, а также были поддержаны грантами Министерства образования Российской Федерации и Российского фонда фундаментальных исследований, а также грантом Международного центра-фонда перспективных исследований в Нижнем Новгороде (МЦФПИН), N0: 99−1-01. Научная новизна. В диссертационной работе получены следующие научные результаты:

— Сформулированы и доказаны теоремы, лежащие в основе метода нескольких функций Ляпунова, для исследования глобальной устойчивости нелинейных динамических систем с разрывной правой частью.

— Сформулированы и доказаны теоремы, позволяющие использовать метод нескольких функций Ляпунова для исследования устойчивости сингулярно-возмущенных нелинейных динамических систем.

— С помощью развитого аппарата для двух функций Ляпунова исследована глобальная устойчивость нелинейной механической системы «обращенный маятник на тележке» с разрывным управлением, в том числе, для случая

4) сингулярных возмущений.

— Проведено численное моделирование с помощью системы МАТ1АВ поведения фазовых траекторий на основе использования развитого аппарата на примере ряда известных систем, а также для случая нелинейной фазовой системы «обращенный маятник на управляемой тележке» .

— Проведен сравнительный анализ полученных результатов с недавно появившимися результатами исследования этой системы зарубежными учеными (США) с помощью методов теории групп.

Практическая ценность. Полученные результаты являются модельными для ряда сложных механических систем: монорельс (Япония [90]), спутник с вращающимся ротором, подводный объект с вращающимися частями, вращающаяся стрела с грузом (США [78, 79]), а также могут быть использованы в датчиках для механических шкивов (Португалия [82]), сейсмостойком строительстве, радиотехнических системах и др.

Апробация результатов. Основные результаты работы были представР лены на международном семинаре «Нелинейное моделирование и управление», Самара, октябрь 1997 г., международной конференции, посвященной 60-летию ИПУ РАН, Москва, июль 1999 г., 4-й нижегородской сессии молодых ученых, Саров, сентябрь 1999 г., международной конференции «Прогресс в нелинейной науке», посвященной 100-летию со дня рождения акад. A.A. Андронова, Нижний Новгород, июль 2001 г., Европейской конференции по управлению (SF), Порто, Португалия, июль 2001 г., Международной школе по динамическим и управляемым системам, Суздаль, август 2001 г., Международном математическом конгрессе, Пекин, КНР, август 2002 г. Публикации. Основное содержание диссертации отражено в 14 печатных работах.

Личным вкладом диссертанта в совместные работы является вывод результатов, анализ имеющихся в научной литературе результатов по проблеме, подходов к решению аналогичного класса задач, проведение численного моделирования. Брусину В. А., как научному руководителю, принадлежат постановка задач и формулировка базисного метода. С Ю. М. Максимовым были обсуждены результаты численного моделирования и возможные применения.

Структура и объем диссертации

Основной текст диссертации состоит из введения, четырех глав, заключения, списка литературы, содержащего 92 названия и занимает 111 машинописных страниц и 16 рисунков.

Основные результаты, полученные в данной работе, заключаются в следующем:

— Разработан математический аппарат для исследования глобальной устойчивости существенно нелинейных динамических систем с разрывным управлением г-типа.

— Доказаны теоремы, содержащие условия глобальной устойчивости нелинейных динамических систем данного класса для случая полного наблюдения вектора состояния.

— Разработан алгоритм управления, обеспечивающий глобальную асимптотическую устойчивость исходной замкнутой системы.

— Доказаны теоремы, содержащие условия устойчивости сингулярно-возмущенных динамических систем с разрывным управлением релейного типа.

— Разработан алгоритм управления для случая сингулярно-возмущенных систем.

— Проведено численное моделирование помощью системы МАТ1-АВ поведения нелинейной динамической системы «обращенный маятник на управляемой тележке» при постоянно действующем возмущении .

— Проведенное сравнение полученных результатов с недавно появившимися результатами исследования устойчивости этой системы зарубежными учеными (США) с помощью теории групп показало большую эффективность стабилизации исследованной системы в нашем случае.

Исходя из анализа полученных результатов определены основные направления дальнейших исследований:

1. Т.к. нелинейные системы с разрывной правой частью являются лишь одной из разновидностей систем дифференциальных включений, представляется актуальной задача получения условий устойчивости с учетом неидеальности задания начальных условий.

2. Исследование вопросов устойчивости для систем с переменной амплитудой переключения.

3. Синтез разрывного управления релейного типа для нелинейных систем со сложной структурой.

Заключение

В диссертационной работе исследовалась задача анализа глобальной устойчивости движения нелинейных динамических систем с помощью нескольких функций Ляпунова, и, на основе полученных результатов, проведено исследование устойчивости нелинейной фазовой системы «обращенный маятник на тележке» с разрывным управлением.

Под нелинейной динамической системой с разрывной правой частью понимается система, описываемая с помощью дифференциальных включений, когда правые части являются многозначными, т.к. терпят разрыв на некоторых поверхностях в пространстве состояний. При этом размерность вектора управления оказывается меньше размерности вектора состояния.

Под глобальной устойчивостью понималась устойчивость в целом, т. е. когда условие устойчивости распространяется на все фазовое пространство.

Под сингулярно-возмущенной системой понималась система, когда малые параметры входят сомножителем при производных в левой части.

Под разрывным управлением понималось управление, которое приводит к разрыву правых частей нелинейной системы.

Показать весь текст

Список литературы

  1. М.А., Пятницкий Е. С., Основы теории разрывных систем // I, II Автоматика и телемеханика No.7,8, 1974,
  2. Ю.И. Об устойчивости в целом равновесного состояния равновесия нелинейных систем автоматического регулирования // Изв.вузов. Радиофизика т.2, No.6, 1959
  3. Ю.Н. Управление конечномерными линейными объектами // М.: Наука, 1976. 367 с.
  4. A.A., Витт A.A., Хайкин С. Э. Теория колебаний. // М.: Физ-матгиз, 1959. 916 с.
  5. A.A., Леонтович Е. А., Гордон И. И., Майер А. Г., Качественная теория динамических систем второго порядка. // М.: Наука, 1966.- 568 с.
  6. Е.А. Введение в теорию устойчивости. // М.: Наука, 1967.- 224 с.
  7. Е.А., Геращенко Е. И., О стабилизации систем регулирования // ПММ Т.28, No.4, С.761−765, 1964.
  8. Е.А., Красовский H.H., Об устойчивости движения в целом // ДАН СССР Т.86, No.3, С.453−456, 1952.
  9. Э., Беллман Р., Неравенства. М.: Мир, 1981. 448 с.
  10. В.А. Динамика систем. Оптимизация и адаптация.// (Межвузовский сб.) Горький, Изд-во ГГУ. 1981
  11. В.А. Об одной задаче адаптивной подстройки непрерывных управляемых систем // Автоматика и телемеханика. N0.3, С.88−93, 1986.
  12. В.А. Об адаптивной стабилизации двухмассовой системы «обращенный маятник на тележке»// Изв. РАН: Техническая кибернетика. N0.2, С.31−38, 1991.
  13. В.А., Глобальная стабилизация системы «обращенный маятник на тележке"при действии на «маятник"неизмеряемого возмущения // Изв. РАН: Техническая кибернетика. N0.4, С.30−39, 1993.
  14. В.А. Об одном классе сингулярно-возмущенных адаптивных систем I // Автоматика и телемеханика. N0.4, С.119−129, 1995.
  15. В.А. Об одном классе сингулярно-возмущенных адаптивных систем II // Автоматика и телемеханика. N0.5, С.103−113, 1995.
  16. В.А., Лапшина М. В. Об одном классе непрерывных алгоритмов адаптивного управления.I// Автоматика и телемеханика. N0.10, С.81−90, 1980.
  17. В.А., Лейбо А. М., Серебряков Д. К. Глобальная стабилизация неустойчивой нелинейной двухмассовой системы // Известия РАН: Техническая кибернетика. N0.4, С.3−12, 1991.
  18. В.А., Мазов Б. Л., Метод функций Ляпунова для класса задач глобальной стабилизации нелинейных систем в теории управления // Научно-техн.конф. «Строительный комплекс-97», НГАСУ, Нижний Новгород, 1997, Тез.докл., с. 43−44.
  19. В.А., Мазов Б. Л. О возможности использования нескольких функций Ляпунова в задачах глобальной стабилизации // Известия РАЕН, серия МММИУ Т.1, No.4, С.75−81, 1998.
  20. В.А., Мазов Б. Л. О робастности алгоритма стабилизации системы «обращенный маятник на тележке11// Международная конференция по проблемам управления (60 лет ИПУ РАН), Москва, 1999 г., Тез.докл. Т.1, С. 159−160.
  21. В.А., Мазов Б. Л. Метод двух функций Ляпунова в задаче глобальной стабилизации нелинейных систем // Дифференциальные уравнения Т.35, No.5, С.623−629, 1999.
  22. В.А., Смирнов E.H., Мазов Б. Л., Математические методы исследования устойчивости и колебаний упругих систем // Нижний Новгород.: изд. НГАСУ, 1999. 49 с.
  23. Н.В., Неймарк Ю. И., Фуфаев H.A., Введение в теорию нелинейных колебаний. М.: Наука, 1976. 384 с.
  24. А.Б., Бутузов В. Ф., Асимптотические методы в теории сингулярных возмущений. М.: Высшая школа, 1990. 208 с.
  25. Н., Кибернетика или управление и связь в животном и машине.// М.: Советское радио, 1968. 328 с.
  26. A.A. Введение в динамику сложных управляемых систем // М.: Наука, 1985. 352 с.
  27. В.Г. Управление системами с быстрыми и медленными движениями. // М.: Наука, 1991. 224 с.
  28. Ф.Р. Теория матриц. М.: ГИТТЛ, 1953. 492 с.
  29. Ф.Р. Лекции по аналитической механике. М.: Наука, 1966. -300 с.
  30. А.Х., Леонов Г. А., Якубович В. А., Устойчивость нелинейных систем с неединственным состоянием равновесия. М.: Наука, 1978.- 400 с.
  31. Л.С., Каменский Г. А., Эльсгольц Л. Э., Математические основы теории управляемых систем. М.: Наука, 1969.- 512 с.
  32. .П., Лекции по математической теории устойчивости. М.: Наука, 1967. 472 с.
  33. C.B., Бермант М. А., К вопросу о построении высококачественных систем автоматического управления объектами с изменяющимися параметрами // ДАН СССР Т.145, No.4, С.748−751, 1962.
  34. C.B., Уткин В. И., Применение систем автоматического регулирования с переменной структурой для управления объектами, параметры которых изменяются в широких пределах // ДАН СССР Т.152, No.2, С.299−301, 1963.
  35. C.B., Костылева Н. Е., О некоторых особенностях движения в системах автоматического регулирования с переменной структурой, обладающих разрывной функцией переключения // ДАН СССР Т.153, Mo.4, С.776−778, 1969.
  36. H.A., Метод точечного преобразования и задача о вынужденных колебаниях осциллятора с «комбинированным трением»// ПММ Т.13, No. l, С.3−40, 1949.
  37. H.A., К теории разрывных колебаний в системах второго порядка // Изв. вузов: Радиофизика T. I, No. l, С.67−78, 1958.
  38. В.И. Методы Ляпунова и их применение. Л.: Изд-во ЛГУ, 1957.
  39. Р., Фалб П., Арбиб М. Очерки по математической теории систем // М.: Мир, 1971. 245 с.
  40. A.A. Синергетическая теория управления // М.: Энергоато-миздат, 1994.
  41. A.A. Синергетическое управление системой «перевернутый маятник на управляемой тележке»// 7 Международный семинар «Устойчивость и колебания нелинейных систем управления», ИПУ РАН, Москва, Россия, 2002, Тез.докл., с.129−131.
  42. H.H. Теория управления движением . М., 1968.
  43. А.П. Дифференциальные уравнения т.31, No. 11, С. 1858−1865, 1995
  44. А.И. Некоторые нелинейные задачи теории автоматического регулирования // ГИТТЛ, 1951. 283 с.
  45. A.M. Общая задача об устойчивости движения. М.-Л.: ГИТТЛ, 1950. 588 с.
  46. .Л., Уравнение эйконала как уравнение Гамильтона-Якоби для вариационного принципа Ферма // Дипломная работа, ННГУ им. Н. И. Лобачевского, Нижний Новгород, 1993. 75 с.
  47. .Л., О робастности алгоритма стабилизации системы «обращенный маятник на тележке11// Научно-техн.конф. «Строительный комплекс-98», НГАСУ, Нижний Новгород, 1998, Тез.докл., с. 55−56.
  48. .Л., Использование функций Ляпунова для решения задачи глобальной стабилизации системы «обращенный маятник на тележке»// Труды аспирантов, НГАСУ, Нижний Новгород, 1998. С.18−30
  49. .Л., Глобальная стабилизация нелинейной двухмассовой системы с использованием функций Ляпунова // Четвертая нижегородская сессия молодых ученых, Саров, 2000 г., Тез.докл. С. 37−38.
  50. .Л., О диссипативности и устойчивости сингулярно возмущенной системы (метод двух функций Ляпунова) // Международная школа по динамическим и управляемым системам, Суздаль, 2001 г., Тез.докл. С. 37−38.
  51. В.М., Об устойчивости движения // ПММ Т.26, N0.5, С.885−895, 1962.
  52. В.М., О дифференциальных уравнениях и неравенствах с разрывными правыми частями I, II // Дифференциальные уравнения Т. З, N0.3, С.395−409- N0.5, С.839−848, 1967.
  53. В.М. // Автоматика и телемеханика. N0.1, С.88−93, 1973.
  54. В.М. Метод векторных функций Ляпунова: анализ динамических свойств нелинейных систем // М.: Физматлит, 2001. 384 с.
  55. В.И. Универсальные законы управления механическими системами // М.: МАКС Пресс, 2001. 252 с.
  56. Методы исследования нелинейных систем автоматического управления. (под ред. Р.А.Нелепина) М.: Наука, 1975. 448 с.
  57. H.H. Математические задачи системного анализа. М.: Наука, 1981. 488 с.
  58. Ю.И. О скользящем режиме и периодических режимах релейной системы. Труды ГИФТИ и радиофака ГГУ, Ученые записки, т. ЗО, 1956.
  59. Ю.И. Метод точечных отображений в теории нелинейных колебаний. М.: Наука, 1972. 472 с.
  60. Ю.И., Фуфаев H.A. Динамика неголономных систем // М.: Наука, 1967. 519 с.
  61. В.В., Некоторые современные проблемы качественной теории обыкновенных дифференциальных уравнений //УМНТ.20, No.4, С.3−43, 1965.
  62. В.В., Степанов В. В. Качественная теория дифференциальных уравнений // М.-Л.: ГИТТЛ, 1947. 448 с.
  63. К.П., Об устойчивости решений дифференциальных уравнений // Изв. АН Казахской ССР Т.97, No.4, С.61−64, 1950.
  64. .Н., Емельянов С. В., Костылева Н. Е., Об управлении линейными объектами с переменными параметрами // ДАН СССР Т.155, N0.1, С.61−64, 1964.
  65. В.А. Некоторые проблемы теории устойчивости движения в целом // Л.: изд. Ленинградского ун-та, 1958. 183 с.
  66. Л.С. Обыкновенные дифференциальные уравнения. М.: Наука, 1961. 332 с.
  67. В.Ф., Устойчивость по Ляпунову в разрывных динамических системах // Дифференциальные уравнения Т.11, N0.6, С.1005−1012, 1975.
  68. В.В., Об устойчивости движения по отношению к части переменных // Вестник МГУ, сер. мат. и механика N0.4, С.9−16, 1957.
  69. Руш Н., Абетс П., Лалуа М. Прямой метод Ляпунова в теории устойчивости. М.: Мир, 1980. 304 с.
  70. А.Н. // Математический сборник 1952.т.31. N0.5. С.574−586.
  71. В.И. Скользящие режимы в задачах оптимизации и управления. М.: Наука, 1981. 368 с.
  72. А.Ф., Дифференциальные уравнения с правой частью, разрывной на пересекающихся поверхностях // Дифференциальные уравнения Т.15, N0.10, С.1814−1823, 1979.
  73. А.Ф., Дифференциальные уравнения с разрывной правой частью. М.: Наука, 1985. 224 с.
  74. В.Н., Фрадков А. Л., Якубович В. А., Адаптивное управление динамическими объектами. М.: Наука, 1981. 448 с.
  75. В.Д. Устойчивость движения, оценки и стабилизация . М., Наука, 1977.
  76. Л.Э. Дифференциальные уравнения и вариационное исчисление // М.: Наука, 1965. 424 с.
  77. В.А. Решение некоторых матричных неравенств, встречающихся в теории автоматического регулирования // ДАН СССР Т.143, N0.6, С.1304−1307, 1962.
  78. Bloch A.M., Leonard N.E., Mardsen J.E., Controlled Lagrangians and the stabilization of mechanical systems I: the first matching theorem // IEEE Trans.Automat.Control v.45, No.12, p.2253−2270, 2000.
  79. Bloch A.M., Chang D.E., Leonard N.E., Mardsen J.E., Controlled Lagrangians and the stabilization of mechanical systems II: potential shaping and tracking // IEEE Trans.Automat.Control v.46, No. l, p., 2001.
  80. Brusin V.A., Mazov B.L., The problem of global stabilization for nonlinear systems: a method of two Lyapunov functions // Symp. Digest of Int. Conf. on Nonlinear Modelling and Control. Samara, 1997, P.43−44.
  81. Brusin V.A., Mazov B.L., Invariability of stability property for nonlinear mechanical system under singular disturbances // Symp. Digest of Int. Conf. «Progress in Nonlinear Science», Nizhny Novgorod, Russia, 2001, P. 285.
  82. Cardoso A., Dourado A., Robust model-based tolerant control of a mobile structure application to an inverted pendulum // in: Proc. of the 7th Int.Symp.on Intelligent Robotic Syst., July 20−23, 1999, Coimbra, Portugal.
  83. Grujic L.T. Uniform asymptotic stability of non-linear singularly perturbed general and large-scale systems // Int.J.Control v.33, No.3, 481−504, 1981.
  84. Ishihara J.Y., Terra M.H. On the Lyapunov theorem for singular systems // IEEE Trans. on Automat. Control v.47, No. ll, pp.1926−1930, 2002
  85. Ito H., Ohmori H., Sano A. Robust performance by nonlinear H°° control with scaling parameters // in: Proc. of 3rd European Control Conference, Rome, Italy, 1995, p. 665−670
  86. Jiang Z.P., Teel A.R., Praly L. Small-gain theorem for ISS systems and applications // Mathematics of Control, Signals and Systems, v.7, p.95−120, 1995
  87. Mazov B.L. Global stabilization of nonlinear system with using of two Lyapunov functions // in: Proc. of European Control Conference ECC'01 (SF), Porto, Portugal 2001, p. 17−20.
  88. Mazov B.L. Stability of singularly perturbed nonlinear system // Int. Congress of Matematicians ICM'02, Beijing, China 2002, Abst. Book, p. 127.
  89. Mazov B.L. Global stabilization of controlled nonlinear system «inverted pendulum on a cart"using method of two Lyapunov functions // http://arXiv.org/mathDS/312 495 (2003, preprint)
  90. Mori S., Nishihaca H., Furuta K., Control of unstable mechanical system control of pendulum Int.J.Control, v.23, 5, 1976
  91. Pomet J.B., Praly L. Adaptive non-linear stabilization: estimation from ¦ Lyapunov equation // IEEE Trans.Automat.Contr. v.6, 1992
  92. Sontag E.D., Wang Y. On characterizations of the input-to-state stability property // Systems and Control Letters v.8, p. 34−41, 1995
Заполнить форму текущей работой

На отлично!