Неавтономные операторы суперпозиции на отображениях конечной Л-вариации

Диссертация посвящена проблеме описания операторов суперпозиции типа Немыцкого на пространствах отображений одной и двух вещественных переменных конечной полной Л-вариации Уотермана.

Функции конечной (ограниченной) вариации играют фундаментальную роль в теории функций вещественной переменной и имеют важные приложения в других разделах математики (см., например, [4], [28]). Понятие вещественной функции конечной вариации на вещественной прямой М. было введено К. Жорданом (см. |4j) в 1881 году в связи с признаком Дирихле сходимости рядов Фурье. К. Жордан также показал, что функция конечной вариации представима в виде разности двух неубывающих ограниченных функций. В 1905 году Дж. Витали (см. [11]) предложил определение функции конечной вариации двух вещественных переменных. В различных контекстах функции конечной вариации изучали А. Лебег, Г. Харди, Ф. Рисс, Н. Винер, JI. Янг и другие математики (подробнее см. [11]).

В 1972 году Д. Уотерман ввел понятие функции конечной Л-вариации на отрезке вещественной прямой. Подобно Жордану, на пространствах таких функций он изучал сходимость и равномерную сходимость рядов Фурье. Другим приложением теории Уотермана является описание нелинейных операторов суперпозиции типа Немыцкого на пространствах функций конечной Л-вариации. В данной диссертации развивается теория отображений одной ([44], [45], [47]) и двух [46] вещественных переменных конечной (обобщенной) Л-вариации в смысле Уотермана. На пространствах таких отображений полностью изучены неавтономные нелинейные операторы суперпозиции, удовлетворяющие условию Липшица. Полученные результаты являются обобщением на случай отображений со значениями в метрических полугруппах и абстрактных выпуклых конусах некоторых известных результатов Я. Матковского, Я. Мища, В. В. Чистякова, В. Смайдор, Г. Завадской, касающихся характериза-ции операторов суперпозиции на пространствах функций и отображений одной переменной конечной вариации по Жордану ([19], [33], [34], [35], [39], [40], [43]), и двух переменных конечной вариации в смысле Харди-Витали-Краузе ([9], [10], [21]).

Пусть I, N и М — некоторые непустые множества. Обозначим через М1 семейство всех отображений, действующих из I в М. Для заданного отображения h: I х N М оператор Н: N1 М1, определенный правилом.

Hf)(x) = h (x, f (x)), feN^xei, (*) называется оператором суперпозиции типа Немыцкого, а отображение h называется генератором (или порождающим отображением) оператора Н.

Начиная с классических работ В. В. Немыцкого [5] и [6], операторы суперпозиции (как однозначные, так и многозначные), действующие в различных классах отображений, интенсивно изучаются и представляют интерес (см. [1], [8], [17], [19], [20], [33], [35], [39], [43], [45], [46], [47]).

Для того чтобы использовать основные принципы нелинейного анализа, во многих приложениях от нелинейных операторов требуется больше, чем свойство непрерывности. Например, принципиальное предположение в теореме Банаха о сжимающем отображении — это (глобальное) условие Липшица. Если в рамках определения (*) считать, что (Ni, p) С N1 и (Mi, d) с М1 — метрические пространства с метриками pud соответственно, то условие Липшица для оператора суперпозиции Н запишется так:

Зр > 0: d (HfhHf2) < М/1,/2), /ь/2 G Nv (L1).

В частном случае, когда (N1, |[ ¦ Ц^) С N1 и (Mi, || • ||мх) С М1 — нормированные пространства, условие (L1) естественным образом перепишется в виде:

3/1 > 0: \Hfi — Я/21|Mi < Mll/i — /2|к, fh fzeNi. (L2).

Таким образом, возникает задача о нахождении условий (по возможности необходимых и достаточных) для того, чтобы охарактеризовать условие.

L1) для оператора суперпозиции Н в терминах его генератора h.

Изложим некоторые известные результаты, полученные в данном направлении. Всюду ниже считаем, что в определении (*) I = [а, Ь] — отрезок в Ж, N = М = R. Обозначим через Lip (7) С MJ банахову алгебру непрерывных по Липшицу функций на / с обычной липшицевой нормой.

Пусть — генератор оператора суперпозиции Н: Ш1 —*.

К7. Матковски [33] показал, что Н отображает Lip (/) в себя и сам является липшицевым тогда и только тогда, когде найдутся две функции ho, h? Lip (I) такие, что h (x, u) = ho (x) + h (x)u для всех х € I и и G К. Так, например, оператор, порожденный липшицевой функцией h (x, u) = sin и для же/иие!не является липшицевым в Lip (/)). Отметим, что этот критерий специфичен для пространства Lip (/), поскольку он не имеет места ни в пространстве С (1) непрерывных на I функций с обычной sup-нормой, ни в пространстве LP (I) суммируемых на I по Лебегу функций со степенью р > 1 со стандартной нормой.

Этот результат Я. Матковского можно интерпретировать двояко. С одной стороны, он показывает, что множество липшицевых операторов на Lip (/) весьма бедно (генераторы h таких операторов необходимо линейны по второму аргументу). С другой стороны, поскольку при 0<д< 1 Липшицев оператор Н тесно связан с решением функционального уравнения / = Я/ относительно функции / Е Lip (I) при помощи теоремы Банаха о неподвижной точке, то результат Я. Матковского говорит о том, что это уравнение нельзя решить в пространстве липшицевых функций на отрезке / при помощи теоремы Банаха, если генератор h нелинейно зависит от второго аргумента и Е М (в этом случае следует привлечь более-мощную теорему о неподвижной точке, например, Шаудера и т. п. [3]).

Обозначим через BV (/) подмножество в W всех функций / конечной вариации по Жордану: т.

V г=1 где супремум берется по всем то G N и всем разбиениям V = {ж7-}" 10 отрезка 7 вида, а = xq < х <. < хт- < хт = Ь.

Известно, что пространство ВV (7) является нормированной банаховой алгеброй относительно нормы ll/bv = |/(a)|+V (/l/)> feBV (I), причем имеет место неравенство fg\Bv<2\f\Bv\g\Bv, f, g? BV (7).

Это неравенство является непосредстенным следствием следующих двух неравенств [4, VIII,§ 3.3j: f\u = sup 1/(2)1 < IIf\BV и V (fg, I) < V (f, I)\g\u + \f\uV (g, I). xel.

Приведем ряд фактов, известных относительно операторов суперпозиции на пространстве BV (7). Прежде всего, рассмотрим случай, когда функция /г:/хК^К имеет вид h (x, и) = h (u) для всех х 6 7 и и G М. Тогда оператор суперпозиции Н: Ж1 —> Ш1, порожденный функцией h, определяется правилом.

Hf)(x) = h (f (x)), xe^feR1.

Такой оператор суперпозиции назовем автономным, и, соответственно, оператор суперпозиции общего вида (т.е. заданный формулой (*)) — неавтономным. Отметим, что если такой генератор h сам является функцией конечной вариации на М, то отсюда еще не следует, что порожденный им оператор суперпозиции Н действует из ВV (7) в себя. Например [12, § 6.5], если h (u) = л/и для и < 1 и f (x) = ж2 sin2 ^ для х 6 (0,1], /(0) = 0, то ./ е BV (7), в то время, как (Я/)(ж) = xsm^ и Я/ ^ BV (7). Это объясняется тем, что функция h не удовлетворяет условию Липшица ни в какой окрестности точки и — 0. Действительно, имеет место следующий результат М. Джозефи [31]: пусть автономный оператор суперпозиции Н действует из BV (7) в себя тогда только тогда, когда его генератор удовлетворяет следующему локальному условию Липшица: существует функция д: (0, оо) —> R+ такая, что для любого г > 0 выполнено неравенство h (u) — h (v)| < i-i®u — г>|, u < г, |г>| < r.

Этот результат M. Джозефи полностью описывает генераторы автономных операторов суперпозиции, действующих из BV (7) в себя, однако, никакие общие результаты относительно h, касающиеся действия онера-тора суперпозиции Н из ВV (/) в себя, его ограниченности, непрерывности, компактности и т. п. неизвестны в неавтономном случае, т. е. когда h = h (х, и), где х € /имей. Однако если генератор h: I х К —> R неавтономного оператора суперпозиции Н имеет вид h (x, и) = ha (x) + hi (x)u для всех х? I, и е Ж и некоторых функций ho, h G ВV (/), то утверждение о том, что пространство BV (/) является банаховой алгеброй, позволяет заключить, что оператор суперпозиции Я, порожденный таким генератором, действует из ВV (/) в себя и является липшицевым в том смысле, что найдется постоянная /л > 0 (можно положить /х = 2[[/" ii||?y) такая, что.

Hfi ~ Hf2\BV < mII/i — /2||w, /ь ./2 € BV (/).

Несмотря на то, что на пространстве BV (I) неизвестно описание произвольного неавтономного оператора суперпозиции, оказалось возможным полностью охарактеризовать генератор неавтономного оператора, удовлетворяющего условию Липшица (L2). Я. Матковски и Я. Мищ в [35] доказали следующий результат: если неавтономный оператор суперпозиции Н: Ш1 —Ж1, порожденный функцией h: I х R —> К. согласно (*) для х G I и / G М1, действует из ВV (/) в себя и удовлетворяет условию (L2), то имеет место представление Матковского: h*(x, u) = hо (х) + hi (x)u для всех х? (а, Ь], и? Ж, где h*(x, и) = Шу->х-а h (y,") — левая регуляризация функции h по первому аргументу при каждом фиксированном и G R, а функции ho, hi? BV (/) и непрерывны слева на (а, Ь].

Таким образом, представленные выше результаты показывают, что на ВV (/) липшицевы операторы суперпозиции описаны полностью. Хотя условие Липшица является довольно жестким, в определенных классах функций и отображений (более общих, чем ВV (I)) оно позволяет получить содержательные результаты. Кроме того, используемая (при этом) техника и методы исследования липшицевых (как автономных, так и неавтономных) операторов суперпозиции на BV (/), переносятся на более общие, чем ВV (I), функциональные пространства. Приведем некоторые обобщения уже изложенных результатов.

Пусть Л = {А.-}^ С К — последовательность действительных чисел такая, что выполнено условие Уотермана:

Такую последовательность Л назовем последовательностью Уотермана. Функция /: / = [а, Ь] —> М называется функцией конечной Л-вариации на I (в смысле Уотермана [41], [42]), что записывается в виде / € ЛВУ (/), если следующее выражение называемое К-вариацией / на отрезке /, конечноздесь супремум берется по всем т 6 N и всем неупорядоченным наборам неналегающих отрезков [a,-, 6J С [а, Ь], г = 1,., т. При А, = 1 для всех t G N данное определение совпадает с определением вариации У (/, I) функции / на отрезке / по Жордану, данным ранее.

Пространство ЛВV (/) совпадает с пространством BV (J) функций конечной жордановой вариации на I тогда и только тогда, когда Л является ограниченной последовательностью. Если же supieN А<- = оо, тогда ВV (/) является собственным подмножеством ЛВУ (/).

Известно [42, раздел 3], что ЛВУ (1) является банаховым пространством относительно нормы.

Более того, в [32, теорема 4] (см. также [44, формула (19)]) показано, что ЛВУ (/) является нормированной банаховой алгеброй.

WfU = f{a)+VA (f, I), f Е ЛВУ (/).

В случае Л = {г}^ соответствующее пространство обозначается через HBV (/) и называется пространством функций конечной гармонической вариации. Для автономных операторов суперпозиции на HBV (/) М. Чайка и Д. Уотерман [16] установили результат, аналогичный приведенному выше результату М. Джозефи для операторов суперпозиции на BV (/), а именно, автономный оператор суперпозиции Н: Ш1 R1 действует из HBV (/) в себя тогда и только тогда, когда h является локально-липшицевой функцией. Поскольку, как отмечено выше, пространство HBV (/) является банаховой алгеброй, то неавтономный оператор суперпозиции Я, порожденный функцией h (x, u) = /го (ж) + h{x)u для некоторых /го, h? HBV (/) и всех х G I, и G R, действует из HBV (/) в себя и является липшицевым относительно нормы в HBV (I).

Также, как и в случае ВV (I), для неавтономных операторов суперпозиции, действующих на пространствах ABV (I), где Л — произвольная последовательность Уотермана, неизвестны условия на генератор h, дающие описание действия оператора суперпозиции из ABV (J) в себя, его непрерывности, ограниченности и пр. Цель настоящей диссертации — полное решение некоторых из этих задач, а именно, характеризация неавтономных липшицевых операторов суперпозиции на пространствах отображений одной и двух вещественных переменных конечной Л-вариации.

Переходим к изложению основных результатов диссертации.

В главе I (§§ 1 — 4) развивается теория отображений одной переменной, заданных на отрезке вещественной прямой со значениями в метрических полугруппах и абстрактных выпуклых конусах и имеющих конечную в смысле Уотермана Л-вариацию. Для пространства ЛВУ таких отображений устанавливается свойство типа банаховости алгебры и дается исчерпывающее описание неавтономного липшицева оператора суперпозиции, действующего из одного пространства ЛВУ в другое.

В главе II основные результаты главы I переносятся на случай отображений двух переменных. В §§ 5 — 7 рассмотрен случай вещественно-значных функций двух переменных, заданных на прямоугольнике в R2, конечной полной Л-вариации в смысле Уотермана-Дьяченко. Здесь устаиавливается свойство пространства ABV (/") функций конечной полной Л-вариации быть нормированной банаховой алгеброй и дается полное описание неавтономного липшицева оператора суперпозиции, действующего из ЛВУ (1ьа) в себя.

Параграфы §§ 8−9 содержат некоторые обобщения теории функций двух переменных конечной полной Л-вариации на случай отображений со значениями в произвольных метрических полугруппах. В частности, для неавтономного оператора суперпозиции, действующего между метрическими полугруппами отображений конечной полной Л-вариации, найдены достаточные условия, при которых оператор удовлетворяет условию Липшица.

В § 1 рассматривается частный случай пространства ЛВУ функций /: / = [а, Ь] —> К. одной переменной, заданных на отрезке I = [а, Ь} вещественной прямой, а < Ь, конечной Л-вариации, и устанавливается результат, дающий необходимое и достаточное условия липшицевости оператора суперпозиции Н, действующего из пространства функций ЛВУ в себя. Цель главы I заключается в обобщении нижеследующей теоремы 1 на случай абстрактных операторов суперпозиции, действующих между пространствами отображений одной переменной конечной Л-вариации со значениями в метрических полугруппах и абстрактных выпуклых конусах.

Теорема 1. Пусть Н: RJ Ж1 — оператор суперпозиции с генератором h: /хR Rопределенный согласно формуле (Hf)(x) = h (x, f (x)), где f G Ш1, x G I. Если H действует из ЛВУ в себя и является лип-шицевым в смысле нормы л = |/(а)| + Ул (/,/), / G ЛВУ, то существуют постоянная /ло > О, такая, что h (x, ui) — h (x, U2) ^ до — и2, же/, Mi, щ G R, и две непрерывные слева па (а, b} функции ho, hi G ЛВУ такие, что h*(x, u) — ho (x) + hi (x)u, х G /, и G R, где h*(x, u) — левая регуляризация функции у i—> h (y, u) в точке х? I для као/сдого фиксированного и? К. Если oice h (x, u) = h$(x) + h (x)u, x? I, и? E, для некоторых ho, hi? ABV, то H действует из ABV в себя и удовлетворяет условию Липшица.

Описанный выше результат Я. Матковского и Я. Мища вытекает из теоремы 1 при А= 1 для всех i? N, но теорема 1 остается справедливой и для операторов суперпозиции, действующих между пространствами функций со значениями в произвольных линейных нормированных пространствах (см. [44, теорема 4.1]).

В § 2 вводятся основные определения и устанавливаются некоторые свойства метрических полугрупп и абстрактных выпуклых конусов.

Метрической 'полугруппой называется тройка (М, d, +), где (М, d) — метрическое пространство с метрикой d, (М, +) — абелева полугруппа по сложению +, и метрика d инвариантна относительно сдвигов, т. е. d (u+w, v+w) = d (u, v) для всех и, v, w? М [8]. Метрическая полугруппа (М, d, +) называется полной, если (М, d) есть полное метрическое пространство. Если метрическая полугруппа (М, d, +) содержит нуль О ЕМ, то полагаем = d (u, 0).

Абстрактным выпуклым конусом называется четверка (М, gJ, +,•), где (М, d, +) — метрическая полугруппа с нулем 0 и операция •: [0, оо) х М —> М, определенная правилом (A, u) i—> Аи, такова, что для всех u, v? М и А, д > 0 выполнены следующие равенства [40]: A (u + v) = Xu+Xv, А (/ш) = (A/i)u, (X+fi)u — Хи+ри, 1-й = и и d (Aii, A-u) = n).

Для отрезка IcK, метрического пространства (M, d) и последовательности Уотермана, А = обозначим через ABV (/, М) множество всех отображений /: I —> М, для которых конечна Авариация по Уотерману (см. [41], [42] для М = Ж): тг fr п т/, fs x^d (f{bj)J{ai)) Ум (/, I) = VA4{f) = supу-, г=1 1 где супремум берется по всем шЕНи всем неупорядоченным наборам неналегающих отрезков [щ, bj с I, i = 1,., т.

Если (М, d, +) — метрическая полугруппа с нулем и /? ЛВУ (/, М). то полагаем f\d = f (a)d + VAM, I) — (1).

Нижеследующая лемма 2.5 позволяет ввесту структуру метрической полугруппы на пространстве ЛВУ (/, М).

Лемма 2.5. Если (М, d, +) — (полная) метрическая полугруппа (абстрактный выпуклый конус), то (ABV (/, М), dA, +) — также (полная) метрическая полугруппа (соответственно абстрактный выпуклый конус) с поточечной операцией сложения + (для конуса — умножения на неотрицательные числа •) и инвариантной относительно сдвигов метрикой dA: dA (, f, g) = d (f (a), g (a))+WAM, g), f, 9 e ABV (/, M), где полуметрика Wa,^/, $), называемая совместной А-вариацией f и д, есть.

WM=e upf + + (2) т~г Лг=1 а супремум берется по всем т G N и всем неупорядоченным наборам неналегающих отрезков [а,-, 6,-] С /, г = 1,., т.

Пусть (N, р) — метрическое пространство и (М, с?, +) — метрическая полугруппа (абстрактный выпуклый конус). Оператор Т: N —>• М будем называть липшицевым, если конечна его (наименьшая) константа Липшица:

L (T) = sup I и^Л,.

I J, а через Lip (А, М) обозначать множество всех таких операторов. Это множество замкнуто относительно поточечной операции сложения (умножения на неотрицательное число), и является метрической полугруппой (абстрактным выпуклым конусом) с поточечными операциями сложения + (для абстрактного выпуклого конуса — умножения на неотрицательное число •), и метрикой di, порожденной метрикой d: dL{T, S) = d{TuQ, Suq) + di{T, S) для T, S e Lip (iV, M), где элемент щ? N фиксирован и di Т, S = sup ——, u, veN, и^гЛ.

I рМ) J см. [8], [9], [19], [22], [39], [40]).

В лемме 2.6 изложены свойства инвариантной относительно сдвигов полуметрики di (см. [9], [23, § 4.2]).

Пусть (N, р, +) и (М, d, +) — две метрические полугруппы. Оператор Т: N М называется аддитивным, если он удовлетворяет уравнению Коши: Т (и + v) =Tu + Tv для всех u, v? N. Обозначим через L (N, М) множество всех липшицевых аддитивных операторов из N в М, Если N и М содержат нули и Т? L (N, M), то Т (0) = 0. В этом случае di~di (при щ = 0) является метрикой на пространстве L (N, М), и для Т? L (N, М) имеем ЦТ) = dL{T, 0) = Tdb.

В § 3 доказана теорема 3.1, в которой устанавливается свойство типа банаховости алгебры для пространств отображений конечной Л-вариации (см. ниже). Эта теорема обобщает результаты работ [32, теорема 3], [43] и [44, формула (19)] на случай отображений со значениями в метрических полугруппах.

Теорема 3.1. Предположим, что (N, р, +) и (М, d, +) — две метрические полугруппы с нулями. Если /? ABV (/, L (N, М)) и g? ABV (/, N), то отображение fg: / —> М, действующее по правилу (fg)(x) = f (x)g (x), х? лео/сит в ЛВУ (/, М) и выполнено неравенство.

Wfgl^m^il^WfWMp, где.

Гк = ЦПа)) + Ук4ь{^1) U \g\p = g (a)p + VA, p (g, I).

В § 4 дано полное описание липшицевых операторов суперпозиции (Немыцкого), действующих между метрическими полугруппами и конусами отображений конечной Л-вариации. Основными результатами этого параграфа являются теоремы 4.1 и 4.7. Для их формулировки дадим основные определения.

Пусть (М, d) и (N, р) — метрические пространства и А'" 1 — множество всех отображений из / в N. Для заданного отображения двух переменных h: I х N —> М отображение Н: N1 —¦" М1, определенное для всех х G I и / € N1 правилом называется оператором суперпозиции (оператором подстановки Немы-цкого), а отображение h называется генератором (или пороэюдающим отобраэюением) оператора Н.

Следствием из теоремы 3.1 является приведенная ниже теорема 4.1, дающая достаточное условие липшицевости неавтономного оператора суперпозиции.

Теорема 4.1. Пусть (N, p,+) и (М, d, +) — две метрические полугруппы с нулями и пусть отображение h: I х N —> М, определенное согласно правилу h (x, u) = ho (x) + hi (x)u, где Hq G ЛВУ (/, M) и h G ABV (/, h (N, M)), является генератором оператора суперпозиции Н. Тогда Н действует из ABV (/, N) в ЛВУ (/, М) и является липши-цевым, причем имеет место неравенство.

L{H).

Если (M, d, +) — полная метрическая полугруппа, то для отображения / G ЛВУ (/, М) левой регуляризацией называется такое отображение.

Чтобы показать, что определение левой регуляризации корректно, т. е. что односторонние пределы отображения / на I существуют, напомним понятие модуля вариации отображения /. Для п G N и отображения /: I —> М положим.

Hf)(x) = h (x, f (x)).

3): I М, что п V n>/,/)=sup^d (/(fei),/(ai)) где супремум берется по всем наборам отрезков {[aj, 6j]}" =1 с I таким, что, а < а < Ь < а2 < <.< ап < Ьп < Ъ. Последовательность i/(•,/,/): N —> [0,оо] называется модулем вариации отображения f на I (см. [7] для М = М, а также [24], [28, Раздел 11.3.7]).

Следующая лемма дает оценку модуля вариации для отображения конечной Л-вариации на / (аналог [13], М = М, I = [0, 2тт).

Лемма 4.3. Если / 6 ЛВУ (1,М), то для любого п е N выполнено неравенство п u (n, f, I)< .nVA4(fJ).

На это свойство опирается следующий результат.

Лемма 4.4. Для отображения / е ЛВУ (/, М) существует предел слева f (x —0) G М в каждой точке ж € (а, 6] и предел справа f (x+0) G М в каждой точке х 6 [a, b), причем множество точек разрыва отображения / не более, чем счетно.

Отображение /: / —> М называется непрерывным слева на (а, 6], если lim f (y) = f (x) в М для всех х? (a, b}. у—*х—0'.

Обозначим через ЛВУ*(/, М) подпространство в ЛВУ (/, М) тех отображений, которые непрерывны слева на (a, Ь).

Лемма 4.5. Если / е ЛВУ (/, М), то /* 6 ЛВУ*(/, М), причем V^A (Л/)<VA (/,/).

Приведенная ниже теорема 4.7 устанавливает необходимое условие липшицевости оператора суперпозиции, действующего между абстрактными выпуклыми конусами ЛВУ (/, М), которое заключается в том, что если сам оператор суперпозиции Я Липшицев, то его генератор h также Липшицев и левая регуляризация h* имеет представление Матковского, т. е. линейно зависит от второго аргумента. Идея доказательства заимствована из работы [21] и опирается на построение функций специального вида.

Теорема 4.7. Пусть (N, р, +, ¦) и (M, d,+,-) — два абстрактных выпуклых конуса, причем М — полный, и отображение h: I xN М является генератором оператора суперпозиции Н, определенного согласно.

3). Если Н G Lip (ABV (/, N), KBV (I, М)), то h{xr) G Lip (N, M) для всех х? I и найдутся два отображения ho: I —" М и h: I —> L (7V, М) такие, что h{-)u G ABV*(/, M) d/u вееж и? N, и h*(x, и) — ho (x) + h{x)u для всех х? I и и Е N, где h (-)u действует по правилу х —> h{x)u, a h*(-, u) есть левая регуляризация отображения h (-, u) при каждом фиксированном и G N.

В случае, когда М = М, а Л — постоянная или ограниченная последовательность, теоремы 4.1 и 4.7 дают результаты [35]. Если же М = К, а Л — последовательность Уотермана, то теоремы 4.1 и 4.7 приводят к результатам работы [44]. Отметим, что если в теореме 4.1 положить N = М, где М — полная метрическая полугруппа с нулем и ЦЛчЦо^ < l/max{l, 2Ai}, то принцип сжимающих отображений Банаха гарантирует существование единственного отображения f G ABV (/, М) такого, что /(ж) = hi (x)f (x) + hQ (x) для всех х е I.

Результаты, полученные в главе II, показывают, что развитые в главе I методы исследования и описания операторов суперпозиции пригодны не только для отображений одной вещественной переменной. Вначале ограничимся рассмотрением случая вещественнозначных функций двух переменных, заданных на прямоугольнике в R2, что позволяет выявить принципиальные отличия при переходе от функций одной переменной к функциям двух переменных.

В § 5 даны определения и свойства функций двух переменных конечной полной Л-вариации. Будем писать х = (ж^жг), у ~ (уьуг) для х, у G R2 и считать ж < у, если х < у, ж2 < Кроме того, под Ц. для х < у будем понимать всякий прямоугольник.

Пусть 1ьа = [ai, bi] х [о2,62] — (основной) прямоугольник в К2 (область определения функций), где, а = (ai, a2), b — (bi, b2) G M2 такие, что a < b. Под R1″ будем понимать множество всех функций, действующих из в.

М. Далее, пусть Л = с R — последовательность Уотермана, для которой выполнено условие Дьяченко:

00 ^.

1=1 1.

Для функции одной переменной /(-, а2): [ai, fei] -+1, определенной правилом f (-, a,2)(t) = /(t, «2), a-i < t < &i, (обычная) К.-вариация на отрезке [ai, b] определяется правилом:

-¦".)> К Ы) = VA (f (- О")) = SUp? где супремум берется по всем т G N, всем наборам отрезков [aj, А] С [ai, bi], г = 1,., та, таким, что, а < а < (3 < «2 < А < • • ¦ < < An < и всем перестановкам ст: {1,., ш} —> {1,., т]. Аналогичным образом определяется Л-вариация V (f (ai, •), [аг, Ьг]) = ')) функции /(ai,-)(s) = f (ai, s) при < s < 62- Это определение Л-вариации эквивалентно данному ранее в главе I.

Для функции двух переменных / G двойной К-вариацией (в смысле Уотермапа-Дъяченко) (см. [26], [27]) на прямоугольнике 1ьа называется выражение т п i=1 j=1.

1/К 7j) + /(A, ty — /К fr) — /(A, 7j) l.

K[i)K (j) где верхняя грань берется по всем парам (та, п) G N2, всем наборам отрезков ["г, А] С [ai, 6i], г = 1,., та, таким, что, а < ot < f3 < «2 < 02 <�¦¦ ¦ < ат < An < и всем наборам отрезков [7^,^] С [0.2,62], j = 1,., п, таким, что <22 < 7i < < 72 < < • • • < in < <5п < h, и также всем перестановкам <т: {1,., та} —>¦ {1,., та} и 1/: {1,., п] —> {1,., тг}.

Полной К-вариацией для функции / G R7″ называется величина m (fX) = ВДК")) + УаШ-.оз)) + V2A (f, Iba), (4) и через ABV (I^) обозначается множество всех функций /: Iba —" R, для которых она конечна. Известно [26], что каждая функция / G ABV (/") имеет предел справа-справа f (x 1 +0, х2 + 0) в каждой точке прямоугольника [ai, bi) х [аг, b2) (в том смысле, что f{x + 0, ж2 + 0) — f (yi, у2) —> 0 при yi —> х + 0 и у2 —i> Ж2 + 0), предел слева-слева f (x 1 — 0, ж2 — 0) в каждой точке прямоугольника (ai, 6i] х (0.2,62], предел слева-справа f (x 1 — 0,^2 + 0) в каждой точке прямоугольника (ai, bi] х [0,2,62), и предел справа-слева f (x + 0, Ж2 — 0) в каждой точке прямоугольника [ai, bi) х (^2,^2], и множество точек разрыва функции / не более, чем счетно.

Основным свойством двойной Л-вариации V2, A (-, является (секвенциальная) полунепрерывностъ снизу по первому аргументу: если последовательность функций fk: Iba JR. сходится поточечно на к функции /: /д —> R при к —> оо для всех ж G 1ьа) то справедливо неравенство:

V2sA (fJba).

Отметим, что в силу полунепрерывное&tradeснизу Л-вариаций VA (-, [ai, Ь]) на отрезке [01,61] и Va (-, [ог, 62]) на отрезке [<22,62] (лемма 2.3(d)), неравенство (5) остается справедливым и для полной Л-вариации TVA (-, Ib).

В § 6 обобщаются некоторые известные факты для пространства BV (i^) функций двух переменных конечной вариации в смысле Харди-Витали-Краузе, соответствующего = 1 для всех г € N ([21] и [29]). В лемме 6.2 показано, что пространство ABV (J^) является полным относительно нормы ll/IU = f (a)+TVA (f, Z)> f е ЛВУЙ). (6).

Основным результатом этого параграфа является следующая Теорема 6.3. Пространство ЛВУ (1ьа) является банаховой алгеброй относительно обычных поточечных операций и нормы (6), и для всех /, .

Идея доказательства заключается в почленном оценивании слагаемых б величине полной Л-вариации функции fg и опирается на нетривиальное равенство, заимствованное в работе В. В. Чистякова [21, Теорема 1].

В § 7 дается исчерпывающее описание неавтономных липшицевых операторов су препозиции, действующих из ABV (/^) в себя. В этом параграфе доказаны две теоремы (теоремы 7.1 и 7.4). Теорема 7.1 является следствием установленной в предыдущем параграфе теоремы 6.3 и дает достаточное условие липшицевости оператора суперпозиции Н. Теорема 7.1. Пусть Н: М7″ —> М1″ — оператор суперпозиции, пороою-депный функцией /i: х I 1 согласно (3), где х G и h (x, u) = ho (x) + hi (x)u для некоторых ho, hi G ABV (I^) и всех х G 1ьа, и G М. Тогда Н действует из ABV (J^) в себя и для любых fi, f2 G АВV (/J) выполнено неравенство.

Hfi-Hf2\A<[i\fi-f2\A, где ^ = 4тах{1,АьА?}||Мл.

Для заданной функции / G ЛВN (Iba) определим ее левую-левую регуляризацию /*: Iba —" М правилом [21]: f*iXhX2)=< lim /(2/1,2/2), если ai < xi < bi и a2 < x2 < b2, lim /(2/1,2/2), если аг < Xi < Ьг и x2 = a2) cl/i, 2/2)——0,a2+0) lim /(2/1, У2), если x — a и a2 < x2 < b2, з/ь2/2)-«(а1+0,Ж2−0)' lim f{yi, y2), если хг = и x2 = a2.

3/i, 2/2)-(ai+0,a2+0).

Здесь условие (2/1,2/2) —> (^l — 0, ж2 — 0) понимается как (уьуг) С ух < xi, у2 < х2 и (yi, y2) —> (ж1, Ж2) в R2, и аналогично для остальных трех пределов. Существование всех этих пределов установлено в [26, Теорема 1].

Функция /: Iba —> М называется непрерывной слева-слева, если lim /(г/i, г/2) = /(^1,ж2) для всех х G (аь61] и ж2 G (а2, (:</ъ№Н (ж1−0,ж2−0) а подпространство всех функций ABV (/"), которые непрерывны слева-слева на (ai, 61] х (a2,62] обозначается через ABV*(/").

В лемме 7.2 установлена оценка Л-вариации функции двух переменных по отрезку, т. е. как функции одной переменной в случае, когда значение другой переменной произвольно и фиксировано: если /? ЛВУ (/") и cti < to < &1, < so < то va (/(-, so)) < вд (-, 02)) + ахц. ас/, < ВДК •)) + AIV2, A (/, 7^), где, а =^м X [02, So], = [ah to] x [a2, b2).

В лемме 7.3 установлено, что для функции / с конечной полной Л-вариацией ее левая-левая регуляризация /* непрерывна слева-слева во всех точках прямоугольника (ai, bi х (<22,62] и имеет конечную полную Л-вариацию, причем.

У2Л (ГХ) < ViAfX) и TVA (f*, Iba) < (1 + 2Ai)7Va (/,^).

Следующая теорема дает необходимое условие на генератор липши-цева оператора суперпозиции.

Теорема 7.4. Пусть Н: RJ" —> — оператор суперпозиции с генератором h: Ibax R —> К, определенный согласно (3), где х? 1ьа. Если Н действует из ЛВУ{1ьа) в себя и удовлетворяет условию Липшица в смысле нормы, (6) этого пространства, то найдется константа > 07 такая, что h (x, Ui) — h (x/U, 2) < fJ. ouiU21, X G Iba U U[, U2? M, и найдутся две функции ho, hi G ABV*(Ib) для которых h*(x, u) = ho (x) -f hi (x)u для всех x G Iba, и G M7 где h*(x, u) — левая регуляризация (функции у i-> h (y, и) в точке х G 1ьа, определенная для каждого фиксированного и G К.

Параграфы § 8−9 посвящены изучению абстрактных операторов суперпозиции на отображениях двух вещественных переменных со значениями в метрических полугруппах. В § 8 содержатся основные понятия mdjf, Ijj).

K (i)K (j) теории отображений двух вещественных переменных конечной полной Л-вариации со значениями в метрических полугруппах и выпуклых конусах. Здесь же установлено свойство пространства ЛВМ) быть метрической полугруппой, и основные свойства метрики и полуметрики на ЛВУ (/&bdquo-, М). Дадим необходимые определения.

Смешанной разностью (Витали) отображения /: 1ьа —" М на под-прямоугольнике II = /f*'^ = [?1,2/1] х [ж2,Уг] С 1ьа назовем величину [8],.

9], [14] mdU I’x) = d{f{xhx2) + f{yhy2), f{xh y2) + f{yi, X2)).

Тогда двойная А-вариация отображения /: Iba —> М определяется правилом т п.

V2,A (fJba)=™pJ2E г=1 j=1 где Iij — fa] х [7j, 5j] и верхняя грань берется по всем парам (т, п) 6 N2, всем наборам отрезков [а^Д] С [ai, b], г = 1 ,., т, таким, что < оа < А < «2 < Д < • • • < ост < Рт < bi, всем наборам отрезков bj, 5j] С [а2, b2], j = 1,., гг, таким, что а2 < 71 < й. < 72 < 52 < ¦ ¦ ¦ < 7n < < Ь2 и всем перестановкам сг: {1,., т} —>• {1,., т} и^: {1 ,., п} {1,., п}.

Основное свойство полунепрерывности снизу для двойной Л-вариации (¦ > 1а) ПРИ этом сохраняется.

Полной А-вариацией отображения /: —> М называется величина (4), вычисленная в метрике d, и обозначаемая через ¦> ll)¦ Класс отображений /: —> М с конечной полной Л-вариацией будем обозначать ЛВУ (IIМ).

Если метрическая полугруппа (М, d, +) содержит нуль 0, то аналогично (1) полагаем fU = |/(a)|d + TVA4(j III f e ABV (t M). (7).

В лемме 8.3 показано, что в случае, когда (М, d, +) является метрической полугруппой (абстрактным выпуклым конусом), в пространстве ЛВУ (/д, М) также можно ввести структуру метрической полугруппы (или абстрактного выпуклого конуса), в которой операция сложения + (умножения на неотрицательное число Л) вводится поточечно: (/ + д)(х) — f (x) + §-(х) (соответственно f (Xx) — А/(х)), х G /", а инвариантная относительно сдвигов мерика с?2,л определяется правилом:

М/, 0) = d (f (a), g (a)) + TWA4(f, 9Jba), где совместная полная А-вариация отображений / и д есть.

Здесь первое слагаемое есть величина (2) для отображений t —> /(?, а2) и 11—> g (t, а2) на отрезке [a, bi], и аналогичный смысл имеет второе слагаемое в правой части, а совместная двойная А-вариация W2. A{, f g, Iba) отображений f is. g определяется правилом: и/ ft rb V^V^™d2{f, 9Jij).

W2Aif, 9,1 a) = sup —' где Ijj = [0/4, Pi] x [jj, 5j) и супремум берется по тому же набору условий, что и в (7), а значение совместной смешанной разности md2(f, 9, Ц) на подпрямоугольнике С 1ьа есть rnd2(f, g, mf2) = d{f (xhx2) + f{yhy2) + g{xhy2) + g (yhx2), g{xhx2) + g (yby2) + f{xby2) + f{yhx2)).

В § 9 доказаны две теоремы. Теорема 9.1 является обобщением на случай отображений двух переменных установленной в § 3 теоремы 3.1 и устанавливает свойство типа банаховости алгебры для пространств ABV", M).

Теорема 9.1. Пусть (N, р, +) и (М, d, +) — две метрические полугруппы, с нулями. Если f G ABV (/", L (N, M)) и g G ЛВV (/J, N), то отображение fg: М, действую’щее по правилу: (fg){x) — f (x)g (x) для всех х G 1ьа! лежит в ЛВУ (1ьа) М), и справедливо неравенство fg\d < 4max{l, Ai, A5}||/||dJ|p||p, 22 где.

И/к = ifHdL + TVA, dL (.flt), Ыр = g (a)p + TVAtP (g, Iba).

В теореме 9.3 найдены достаточные условия на генератор оператора суперпозиции, при которых оператор действует из одной метрической полугруппы ЛВУ (/д, М) в другую и Липшицев в смысле метрик этих пространств, а также получена оценка его констванты Липшица. Теорема 9.3. Пусть (N, р. +) и (М, d, +) — две метрические полугруппы с нулями, и пусть отобраоюение h: 1ьа х N —>• М, определенное согласно правилу h (x, u) = ho (x) + h{x)u, где До б ЛВУ{1ьа)М) и h? ЛВУ (/д, L (N, М)), является генератором оператора суперпозиции Н. Тогда Н е Lip (ABV (/^, N), ABV (Ib, М)) и имеет место неравенство.

L (F)<4ma^{l, A1A?}||/i1||(iL.

I. Отображения одной переменной конечной Л-вариации.

В этой главе развивается теория отображений одной вещественной переменной конечной в смысле Уотермана Л-вариации со значениями в метрических полугруппах и абстрактных выпуклых конусах. Для пространства ЛВУ таких отображений устанавливается свойство типа бана-ховости алгебры (теорема 3.1) и дается полное описание липшицевых операторов суперпозиции, действующих из одного пространства ЛВУ в другое (теоремы 4.1 и 4.7).

Основные результаты этого параграфа сформулированы в теоремах 9.1 и 9.3. В теореме 9.1 показано, что пространство ABV® М) обладает свойством типа банаховости алгебры. Установленная в теореме оценка на величину ||/<?||л позволяет описать достаточное условие Липшица для неавтономного оператора суперпозиции, действующего между метрическими полугруппами ABV® М), в терминах его генератора (теорема 9.3).

Теорема 9.1. Пусть (N, р, +) и (М, d, +) — две метрические полугруппы с нулями. Если /? ABV® L (N, М)) ug? ABV® N), то отображение fg: Ib-+ М, действующее по правилу: (fg)(x) = f (x)g (x) для всех х? Ib, лежит в ABV® М) — и справедливо неравенство fg\d < 4max{l, Ai, A5}||/|y|f/||p, где ll/lk = Ь (/(а)) + ТУлаС/, Iba), \g\p = g (a)p + TVA. P (g, Iba). Доказательство. Поскольку fg: Ib —> М, то в силу определения (5.4) ll/'^IU = ОЗ+^з^с/бг,/^). (9.1).

Для первого слагаемого из определения константы Липшица оператора /(а) имеем fg)(a)d = d ((fg)(a), 0) = d (f (a)g (a), f (a)(0)) < L (f (a))p (g (a), 0) = = L (/(a))|p (a)|p. (9.2).

Для оценки второго слагаемого воспользуемся определениями константы Липшица L (-) и метрики di, так что если t, s е [ai, 61], то d ((fg)(s, a2),(fg)(t, a2)) < d (f{s, a2) g{s, a2), /(s, a2)#(t, a2)) + d{f (s, a2) g (t, a2), f (t, a2) g (t, a2)) <

L (f{s, a2))p (g (s, a2), g{t, a2)) + dL{f{s, a2), /(i, a2))p{g (t, a2), 0).

Тогда для набора отрезков [с^, Д], г = 1,., то, в [ai, b] и произвольной перестановки a: {1,., то} —> {1,., то} имеем: d ((fg)(0uO2),(f9)(<*i, «2)) А &bdquo-(Л ^ J V ~ f I *> и / - - ь) Ь! / / ^^ к ^ ' (sup L (/(, 02))) V +.

Mi] —(SUP m ('>a2), 0)),.

1=1 ffW [aih откуда.

УаЖШШ) < (sup L (/(-, a2)))VA, p (5(-, a2)) + abfci] VA4L{f (-, a2))(sup p (g (-, a2), 0)). [ai, bi].

Из лемм 2.3(b) и 2.6(b) следует, что sup L (f (t, a2)) < L (f {a))+ X1VA4b{f{- 02)), te[ai, 6i] sup p (#(s, a2), 0) < p (#(a), 0) + А^Д^-,^)), se[aub i] поэтому оценку можем продолжить следующим образом:

2)) < а2)) + a2))|5'(a)U + 2lVA4L (f (-a2))VKp (gC'az)) — (9−3).

Аналогичная оценка имеет место и для третьего слагаемого в (9.1):

VA4((fg)(ah ¦)) < L (f (a))VA, p (g (aь ¦)) + -))|^(a)|P +.

Для того, чтобы оценить четвертое слагаемое в (9.1), воспользуемся тем, что между элементами метрической полугруппы (М, d, +) имеет место следующее соотношение [10]: если п е N, {lk, rk}k=o С М и И=о1к = Тл=огк, то и d (l0,r0).

Действительно, в силу инвариантности относительно сдвигов метрики d и неравенства (2.2) имеем п п п п d (l0, r0) = d (l0 + lk, г0 + lk) = d (r° + е гк> г° + е = к=1 fc=l fc=l А:=1 п п п к=1 fc=l fc=l Пусть [ctj, Д], г = 1,., то, и ру^, <У, j = 1,., п, — наборы отрезков в [ai, bi] и [02,62] соответственно. Заметим, что в силу аддитивности оператора f (x) при всех х? для г = 1,., ти j = 1,., п имеет место равенство (см. подобное равенство в доказательстве [10, теорема 2]) (нижние индексы у квадратных скобок в этом равенстве осуществляют нумерацию слагаемых и указывают на соответствие между слагаемыми в правой и левой частях равенства, которое будет использовано ниже):

ШКт?) + (МАЛ-)]о + [(f{0H, Sj) + /(A, 7j) M^-7j)]i + +[f{Pi, SjM (*i, 6j)+g{0i,'yj))}2 + f{ahlj)gWi, a2)+f (ahSj)g{ai, a2)}3 + [(/(аЬ + ДА, 7j) MA'> «г) + (/Кт?) + ДАЛОЖ» *,^Ь + + [(/K<*j) + f{Pulj)){g{Q-ua2) + .

Mj) + ДА, а2) Жа 1,^) + (/(a*, a2) + ДАЛОМ^х, 7j)]9 + f (auSj) + f ((3i, a2))(g (ah-fj)+g (ai, Sj)) + if{ai, a2) + f {Pi, 5j)){g{ai, 5j) + ?(«,-, 7j))]io = = ШМ) + (fg)(Pi, l: i)]o + [(/(«*, 7,0 +М, 8зМсч,-Уз))1 + +[f (PiJj){g (aulj)+g{Pi, Sj))}2 + +[f (ai, 8j) g (Pi, a2) + /(ab 7jMai> аг)]з + f (ah8j){g (ai, a2)+g (Pl, jj)) + f{a1,7j){g (ai, jj)+g{Pi, a2))}4 + +[№i, 7j) + ДА, 5j))g{Pi, a2) + (/(ab + /(Д, 7,)Ж"г, а2) Ь + +[№i, 7j) + ДАЛ0)№г, а2) + #(A-7j)) + (/(ai,^) + /(A, 7j))(5f (a?, 7i) +^(А, а2))]б + +[/(A, агМаъ 8j) + /(a*, a2M"b 7j)]7 + [(/(«i, аг) + /(A, fy) + (/(«i, sj) + fiPu a2))g (ah 7j)]g + +[(/K, a2) + ДАЛ))(2(аь7?) + (f (ai, 8j) + f{pi, a2)){g{ah8j)+g (ai,^j))}w.

Для к = 0,., 10 обозначим через Ц (соответственно г^) к-тое слагаемое в квадратной скобке слева (соответственно справа) в этом равенстве, так что его можно переписать в виде Ч ~ • Согласно (9.5) обозначениях Iij = [оц, А] х [7j, 8j], находим, что ю к=1 поэтому т п и л т 10 m n, nij 10 у у^md (fg, Ijj) < уууС. ф ¦ ' • Л /'"ч Л. / • ' * ' * А /'ч Л./• • ч в А*(оЛкя tii^U WKJ) к-1.

Оценим выражения ^ = к = 1,., 10, по отдельности. Из леммы 8.1(a), © следует, что если (t, s) Е то tf (a)|, + тах{Ль A?}7Va,(<7, С2) < b (a)|p + max{Ai, A-}iyA)p (5,iJ) < тах{1, Аь А5Ш||".

96 и, аналогично, учитывая лемму 2.6(b) и лемму 8.1©, имеем.

I/Mk = WM) < L (f (a))+dL (f (t, s), f (a)) <

L (f (a)) + max^, X}TVA4lU, I^J <

L (f (a))+m&x{XhXl}TVA4L (fJba) < max{l, Ab A?}||/||dL.

В силу определения метрики di и оценки на g (t, s) p, для S находим, что: md{f, Iij)\g\p, откуда.

Из определения константы Липшица и оценки на f (t, s) dL для S2 будет.

Щ (/3,53)Шаг, ъ) +д (&, Ъ)) = = 11(Ри6у)ЛьтЛ{д, 1^) < WfW^mdigJi-j) и, следовательно,.

S2<\f\dLV2,A{gJi).

Для слагаемого S3 по определению метрики di ив силу неравенства (2.2) имеем.

Фз^з) = d (fiai^j)9Wi, a2) + f (ahjj)g (ai, a2), fia-hlMPhOv) + f{ah8j)g (ai, 02)) < d (f{au 8j) g (a.i, a2), f (ah 8j) g{fih a2)) + d{f (ah jj) g{Pi, a2), f{ah 7:1)д{щ, a2)) < dL{f (аи5з),/(а1,^))р{д{ри 02), д{оц, аа)) и, значит, s = A dL (f (ah 8j), /(ab 7j)) A p (g (pu a2), a2)) < VAA (/(a1,-))njP (^(-, a2)).

Аналогично 63 оценивается выражение Sj: f/) < dL (f (pi, a2), f{ai, a2))p{g{a1,SJ), g (ai,'yj)), откуда.

S7.

Для оценки ?4 (аналогичным образом оценивается слагаемое Sg) имеем следующие цепочки неравенств: d{r%l, lli) = d{f{a1,8j){g{ai, a2)+g (Pinj))+f (ai, Jj){g{ai, Jj)+9{Pi>a2)), f (ah lj) {9 fa, a2)+g (pi, 7,-))+/(ai, 5j){g{ai, lj)+g (A, 02))) < dLtf{ah5j), f (ah7j)) x x р (д (а{, а2) + g{pi,^j), g{ai^j) + g (pha2)) = = dL{f{a1} 5j), f{au 7j))md{g, 1^).

Представим прямоугольник Ia-X в виДе объединения конечного чиста неналегающих подпрямоугольников: т/Зг, 7j fPi, 71 I I I I гД-.72 II II rPulj или в обозначениях h = К A] X й = [он, Pi] X [й, 7ш].

1=1 1=1.

Ясно, что п п-1.

1 1=1 тогда в силу неравенства треугольника для р имеем:

4(/(ai, 57),/(a1,73))(m%,/22) +.

1=1 dL (f (al, 5j) J (ahlj))(md (g, I^ + n n-1 E md (g, II) +? md (g, 1Ц) + md (g, 1^)). 1=1 1=1.

Отсюда видно, что первый множитель (содержащий /) имеет аргументы лишь с индексом j, а второй — с индексом j, поэтому находим, что.

54 i= 1 j=i vw х.

Kmd (9, mdig, + * x—1-~<

Mi) A y⁴(/(ab^),/(ai, 7i)) x.

1 aKj).

AlAcr (i) ~.

2=1.

Аналогично получаем оценку для.

S8.

Оценки (и Sq) основываются на том же принципе представления прямоугольника Ial',^ в виДе объединения неналегающих подпрямоуголы-ш-ков, что и S4. Для ?5 имеем: dirlll) =d ((/(ai, 7,)+/(A,^))5(A, a2) + (/(a1,ft)+/(A, 7J))5(^, a2), ab ft)+/(A, 7.-)ЖА, a2)+(/(ab 7j)+/(A, ftM^ a2))< < 4(/(аь7.?') + /(А,^),/(аь^) + /(А, ъ)) x x p{g{Pi, a2), g{ai, a2)) = =™d{f, I&fypWu), g{oii, a2)).

Тогда, повторяя рассуждения для S^ для 5*5 получаем ss<>2)), и сходная оценка имеет место для.

S9.

Осталось оценить Sq (и Sw оценивается подобным же образом). Аналогично предыдущему случаю, заметим, что, во-первых,.

Иг (I j rb-J-' 1аиъ U ai Hj и 1РгЩ и, кроме этого, г {11(1 I ТРи°1 11 I I I TPiril+i ] I I Т' aii7i С VJaba2 и [ (J 4,7/) и { (J) U Ia1, Sn j >

С Ib.

71—1.

РгЛ, ^ ^Д-,'2 U (U) U (U) U ' z=i 1=1 на основании чего, учитывая определение и свойства метрики d, L, можем записать: dt’lm < [dL (f (ahlj) + f (fJi, 5j), f (ah5j) + f ((3l, lj)) + dL{№, lj) + f (bi, /(A, 5j) + f (bh 7j))] x x р (д (аиа2) + + g (0ha2)) < n [md (f, + md (f, /?-?) +? ^ + i=i.

71−1 i=i тогда rn 71^A (t rPi'^j I ^.Л! с Tb 1>й. i=l j=l ^ a? E (E /v AlA^(j).

1=1 ^ кК (г) j=1 ^l^(i) ^ < >Zy2AfX)Vw (9X).

Слагаемое <5io оценивается так же, как Sq: d (4, ® < [md (f, /М) + md (f, 1%%)] (md (g, + п п-1.

Е ++О)' г=1 i=i откуда.

SlQ<\V2A (fJba)V2A (gJba). Таким образом, для V2jA (fg, Ib) получаем следующую оценку:

V2tA (fg, Iba) < Ь (/(а))У2-Л (0,/о6) + 2тах{1,Л1}УлА (/(-^2))У2!л (0,/Й + +2тах{1, Ai}V2)a (/, Ib) VAjP (g (-, a2)) +.

2тах{1,А1}У2)л (/,/аь)Ул, р (0(аь-)) +.

4тах{1, А^}У2)л (/, Ib) V2tA (g, Ib).

Принимая во внимание (9.1)—(9.4) и последнюю оценку, получим искомое неравенство в теореме 9.1. ?

Замечание 9.2. Если в теореме 9.1 положить Ib = [а, Ь] с М и заменить ЛВУ{1ьа, М) на ЛВУ ([а, Ь], М), ЛВУ{Ib, N) на ЛВУ ([а, 6], N) и ABV (/J, L (iV, M)) на ЛВУ ([а, 6], L (iV, М)), то получим результат теоремы 3.1, при М = R получаем результат теоремы 6.3.

Результат, установленный в теореме 9.3, позволяет описать достаточное условие липшицевости неавтономного оператора суперпозиции в терминах его генератора.

Теорема 9.3. Пусть (N, р, +) и (М, d, +) — две метрические полугруппы с нулями, и пусть отображение h: Iba х N —+ М, определенное согласно правилу h (x, u) = h0(x) + h (x)u, где h0 6 ЛВУ (/", М) и h 6 ЛВУ (1^, L (N, М)), является генератором, оператора суперпозиции Н. Тогда Н G Lip (ABV (iJ, N), ЛВУ (/0Ь, М)) и имеет место неравенство.

L{H)< 4rriax{l, A1A?}|N|(iL.

Доказательство. Вначеле предполагаем, что ho = 0. Тогда оператор суперпозиции Я с таким генератором действует по правилу: (Hf)(x) — h (x)f (x) = (hif)(x) для х G Iba и /: —> А". По теореме 9.1 если / G ABV (Jj, TV), то Я/ G АВУ (/д, М), так что Я действует из ABV (Iba, N) в ABV (iJ, М). Покажем, что Я Липшицев.

Пусть /i, /2 G АВУ (/д, iV). По определению метрики d2A имеем.

4л (Я/ьЯ/2) = d ((Hfi)(a), (Я/2)(а)) +Т^(Я/ьЯ/2,/й, где второе слагаемое равно.

WM ((tf/i)(ai, ¦), (ЗДЖ •)) + Wm ((#/i)(-, a2), (Я/2)(., a2)) + + W2. A (HfhHf2,I?1).

Оценим каждое из четырех слагаемых в с?2д по отдельности. Для первого слагаемого имеем d{(Hfi)(a), (Н f2)(a))=d (hi (a)fi (a), hi (a)f2(a)).

Для оценки второго слагаемого заметим, что в силу аддитивности операторов hi (t, a2) для всех t, s G [01,61] будет иметь место равенство ii/i)(t, 02) + (/ii/2)(s, a2)]0 + [^i (t, a2)(/2(t, a2) +/i (s, a2))]i + + [hi (s, a2)/i (s, a2) + /*i (?, a2)/2(s, a2)]2 = = [(hf2){t, a2) + (hifi)(s, a2)]o + [hit, a2)(/i (t, a2) + /2(s, a2))]i + + a2)/i (s, a2) + /ii (s, a2)/2(s, a2)]2. откуда в силу (9.5) получаем, что d ({Hh){t, a2) + (Hf2)(s, a2),(Hj2)(t, a2) + (Hf)(s, a2)) = = d ((hif)(t, a2) + [h/2)(s, a2), (/ц/2)(*, a2) + (/ii/i)(s, a2) < d (h (t, a2)(/i (t, a2) + /2(s, a2)), hi (t, a2){f2(t, a2) + /1 (s, a2))) + + d (/ii (t, a2)/i (s, a2) + a2)/2(s, a2), i (s, a2)/i (s, a2) + /^i (t, a2)/2(s, a2)) <

L (/ii (t, a2))p (/i (t, a2) + /2(s, a2),/2(t, a2) +/i (s, a2)) + + dL{hi (t, a2), /11 (s, a2))p (/i (s, a2), /2(s, a2)) и, следовательно,.

Я/1)(-, а2),(Я/2)(-, а2))< sup L (h1(t, a2)))WKp (f1(-a2)J2(-0,2)) + telaifii] VA4(h1{-, a2))(sup p (/i (-, a2),/2(-, a2))). se[ai,&i].

В этом неравенстве, как отмечено в доказательстве теоремы 9.1, sup L{hi (t, a2)) < hi{a)dL +XiVA}dL{hi (-, a2)), te[aubi] sup p (/i (s, a2),/2(s, a2)) < p{fi{a)J2(a)) + X1WA: P{f1{-, a2)}f2{-, a2)). se[a, bi.

Таким образом, подобно (9.3) имеем.

WA-d ((Hf)(-, a2), (Hf2)(-, a2))d (^i (^a2))^AJp (/i (-, a2),/2(-1a2)).

Аналогичная оценка имеет место и для третьего слагаемого:

Я/1)(а1,-),(Я/2)(а1,-)) < |/ii (a)kWAlP (/i (ai>-),/2(ai,-)) + +I4.AK •))/?(№), /2(a))+2A1VA/i^i (ai,•)№"(/! К •), /2К ¦))¦

Для оценки четвертого слагаемого W2, A{Hfi, Hf2, Ib) поступим следующим образом. Пусть [а^, Д], г = 1,., то, и [7^, 5-,-], j = 1,., п, — наборы отрезков в [ai, bi] и [a2, Ь2] соответственно. Обозначим через и r^(f) выражения в квадратных скобках и rjf из доказательства теоремы 9.1. Тогда получим, что в М выполнено равенство ю ю к=0 к=0 (формально оно вытекает из использованного в доказательстве теоремы 9.1 равенства (Я = EfcLo гк (Л при / = /1 — /2), из которого в силу (9.5) при ijj = [aj, А] х [Тл^] имеем md2(hJ2) Ih: j) = dffiU) 4- г? (/2), #(/2) + r^/i)) <

10 10.

Положим т п i=1 j=l.

Чтобы оценить величины заметим, что ввиду леммы 8.2(a) и определения метрики р2, л для всех (?, s) 6 Iba выполнено p (fi (t, s) J2(t, s)).

< < max{l, Ai, Л|}р2,л (/ь /г).

Как и в доказательстве теоремы 9.1, оценка S следует из определения метрики d]j: dll = d{ (hi [ah jj)+hi (a, 8j))fi{ai, jj) + {hi (ai, 5j) + hi (a, 7j)) /2 («i, 7?), (/ii (oj, т,-) + hi (a, fy)) /2 («г, 7j) + (¦h (on, 5j) + hi (a, 7,-)) } (, a*,)) < dL (hi (ai.^)+hi (pi, 8j))hi (ah5j)+hi (pi^j))p (fi (ai^:j),/2(«г, 7j))< md (hi, ILj) p2A (fiJ2), откуда.

У21л (/гь/2Кл (/1-/2).

Подобным образом получаются такие же оценки на б*,-, как и в доказательстве теоремы 9.1, в которых следует заменить величины VAiP (g (-, a2)) на WA. p{fi (-, а2),/2(-, а2)), (^ь •)) иа WAlP (fi (ai, О./г^ъ •)) и /J) на W2. A (fi, f2, Ib). Следовательно, собирая вместе все эти оценки, получим, что d2A{HfuHf2).

Общий случай для /го G ABV (/^, М) вытекает из только что рассмотренного благодаря инвариантности относительно сдвигов метрики d2, A на ABV Й, М). ?

Замечание 9.4. Пусть N и М — как в теореме 9.3, и / е ЛВУ (/&bdquo-, iV). Тогда оператор Я: ЛВУ (/вь, ВД М)) -> ABV (iJ, M), действующий по правилу Я (/) = hif является липшицевым с константой Липшица Ь (Я) < 4max{l, AbA^}||/i1||/J.

Замечание 9.5. Из теоремы Банаха о неподвижной точке и теоремы 9.3 при N = М, где М — полная метрическая полугруппа с нулем, следует, что если /i0GABV (Jj, M), /цеЛВУ (/?, ВД М)) и hi\dL < ¼тах{1, АЬА?}, то существует единственное отображение / G ЛВУ М) такое, что f (x) = hi (x)f (x) + ho (x) для всех х е 1ьа.