Макроскопические уравнения Эйнштейна и Максвелла

Космология и астрофизика являются хорошо обоснованными и быстро развивающимися областями знаний. Теоретические основы современной космологии были заложены в работе Фридмана [28] и развиты в работах Гамова [29, 30], предложившего модель горячей Вселенной. Обоснованием моделей Фридмана являются наблюдения Хаббла [32] красного смещения в спектрах галактик и открытие реликтового излучения [21, 51].

В последние десятилетия для решения своих проблем космология и астрофизика привлекают все новые и новые области теоретической физики. Наибольшее прикладное значение имеет общерелятивистская кинетическая теория [35 — 44, 84, 90 — 95, 109 — 127, 131, 139, 161, 162, 164, 167, 168, 82, 16, 53 — 55].

Помимо космологических приложений релятивистская кинетика используется для решения других задач: исследование процессов взаимодействия гравитационных волн со средами [1, 2, 12, 17, 24, 27, 50, 63 — 68, 74, 78 — 80, 97, 98, 101 — 108, 150, 152, 165, 175], описание излучения гравитационных волн электродинамическими системами [78] и гравитационно — волнового эксперимента [2, 50, 56, 63, 65 — 67, 74, 79, 80, 95, 97, 103 — 105, 165, 175].

Основы релятивистской кинетической теории были заложены в 60 -е годы в работах Черникова Н. А. [13, 14, 168 — 174], Власова А. А. [77], Г. А. Таубера, Дж. Вайнберга, Р. Линдгвиста и других [25, 26, 31, 36, 38, 52, 47, 57, 82]. Построение общерелятивистской кинетической теории полностью не завершено до сих пор. Основной проблемой остается динамическое обоснование релятивистских кинетических уравнений. Можно выделить следующие работы, содержащие некоторые подходы к такому обоснованию: [37 — 40, 85, 86, 95, 124, 125, 130 — 132, 154, 158.

— 160]. В работах [9, 10, 58, 45,19, 20, 167] развивается релятивистская кинетическая теория квантовых систем в искривленных пространствах. В работах [16, 53 — 55, 82] на основе релятивистской кинетики строится гидродинамика космологической плазмы. Динамический подход позволяет обосновать столкновительные члены в кинетических уравнениях и учесть множество факторов, влияющих на акт столкновения, которые невозможно рассмотреть в феноменологическом подходе. Актуальным является вопрос воздействия гравитационного поля на акт столкновения. Существуют определенные трудности при написании интеграла столкновения для системы самогравитирующих частиц, которые были отчасти решены в работах Захарова А. В. [124, 125, 130 — 132]. Динамическое обоснование в релятивистской кинетической теории сталкивается со множеством других проблем, которые обсуждались в работах Хакима, Балеску, Израэля, Кандрупа, Черникова и Игнатьева [3 — 6, 33, 34, 36 — 40, 85 — 95]. Подробный обзор этих проблем сделан в работе Хуснутдинова Н. Р. [160]. Отметим некоторые из них.

1. Невозможность сохранения в СТО ковариантности уравнений для взаимодействующих частиц («Теорема невзаимодействия» Кюри [18]). Решение проблемы было предложено в работах группы Балеску [3.

— 6] и Климонтовича [141, 142, 144]: от динамического описания поля взаимодействия частиц переходят к статистическому описанию. Поле взаимодействия между частицами рассматривается как набор осцилляторов, что приводит к полной функции распределения как частиц, так и осцилляторов поля.

2. Отсутствие в СТО и ОТО единого универсального времени. Это не дает возможности написать одно универсальное уравнение Лиувилля в 8N — мерном фазовом пространстве для системы, состоящей из N частиц. Но действие релятивистской частицы инвариантно относительно преобразования собственного времени (выбора наблюдателя). Данная инвариантность соответствует свободе выбора поля наблюдателей, или гиперповерхности в пространстве — времени, на которой задается функция распределения [9, 59]. Используя эту свободу выбора, в работах [33, 34, 36 — 40] накладывается следующее условие (условие ковариантной эволюции):

Т = Т2 =. .. = 7JV = Г, где Tj — собственное время % - ой частицы. В работах [22, 86] условие накладывается на координатные времена частиц U: t = t2 — ¦ ¦ ¦ = tpj — t.

3. Конечность скорости распространения взаимодействия частиц, что приводит к запаздыванию взаимодействия. Вследствие этого координаты и скорость частицы в данный момент времени зависят от координат, скоростей и всех их производных остальных частиц, и состояние системы частиц уже определяется всей предысторией системы. Поставленные в данной работе задачи решаются в рамках так называемой предикативной релятивистской механики [46], в ней траектория частицы определяется только координатами и скоростями остальных частиц. Чтобы записать интеграл столкновения в кинетическом уравнении, необходимо взять интеграл от потенциала взаимодействия вдоль траекторий частиц, что представляет невыполнимую задачу. Но в данной работе процедура усреднения производится с точностью до членов второго порядка по взаимодействию. Сам интеграл столкновения, куда входит потенциал взаимодействия, пропорционален квадрату параметра взаимодействия, следовательно, траектории частиц следует рассматривать в нулевом приближении. В этом приближении, как показано, например, в [149], траектория определяется начальными координатами и скоростью частицы.

4. Расходимость интеграла столкновения на больших прицельных расстояниях для гравитационно взаимодействующих частиц. В статистической физике ири выводе кииетических уравнений используется так называемый принцип ослабления корреляций. Принцип ослабления корреляций заключается в том, что существует радиус корреляции г/^такой, что системы частиц, находящиеся на расстояниях R больших, чем радиус корреляции, статистически независимы. Последнее означает, что при R Tkor двухчастичная корреляционная функция должна достаточно быстро обращаться в нуль. Для применения этого принцииа необходимо, чтобы двухчастичная корреляционная функция достаточно быстро стремилась к нулю ири R —> оо. При наложении этих условий интеграл столкновения сходится, т. е. суммарный импульс, передаваемый всеми частицами данной, конечен.

Гравитационные и электромагнитные потенциалы убывают по закону 1 /R. Такая зависимость не приводит к сходимости интеграла столкновения. В электродинамике эта проблема решается, если учесть самосогласованное электромагнитное поле, возникает эффект экранирования. В результате потенциал взаимодействия при R —> оо имеет вид: где Rd — радиус Дебая.

В гравитации эффект экранирования отсутствует. Однако и в данном случае самосогласованное гравитационное поле приводит к нужной сходимости. В частности, это было продемонстрировано на системе гравитирующих частиц в расширяющейся Вселенной [73,123,125,131,132].

Актуальность данной работы. Как известно, макроскопические уравнения Максвелла для сред могут быть получены из микроскопических уравнений Максвелла с помощью усреднения последних по ансамблям [48, 49, 144]. Впервые эта задача была поставлена и решена Лоренцем. Хотя изначально идея макроскопического описания была сформулирована в электродинамике, она необходима во многих других областях физики, в том числе и в общей теории относительности (ОТО). Было бы естественно предположить, что макроскопические уравнения Эйнштейна можно получить путем статистического усреднения микроскопических полевых уравнений, т. е. уравнений Эйнштейна, в правой части которых стоит сумма тензоров энергии—импульса отдельных частиц, что соответствует распределению вещества в виде отдельных малых источников гравитационного поля. Однако, проблема макроскопического описания в ОТО намного сложнее, чем в электродинамике, где максвелловские микроскопические уравнения легко усредняются благодаря их линейности. Трудности заключаются в неплоской геометрии, лежащей в основе ОТО, что отражается в нелинейности уравнений Эйнштейна. Вследствие последнего факта, после усреднения левая часть уравнений Эйнштейна усложняется. Отсюда следует, что классические уравнения Эйнштейна, строго говоря, не являются макроскопическими, где в правой части этих уравнений феноменологически вводят тензор — энергии импульса для сплошной среды, что требует определенного обоснования.

В виду сложности проблемы за прошедшие годы не было предложено теоретически обоснованного перехода от микроскопического к макроскопическому описанию в ОТО, вопрос решался путем постулирования уравнений Эйнштейна заведомо с макроскопическим тензором энергии — импульса.

Тема работы является актуальной для общерелятивистской динамической кинетической теории материи и космологии.

Цель работы. Целью данной работы является разработка процедуры усреднения микроскопических уравнений Эйнштейна и Максвелла для гравитационно и электромагнитно взаимодействующих частиц с разными массами [128, 129]. Рассматриваются приложения полученных макроскопических уравнений Эйнштейна в космологии.

Диссертация состоит из введения, четырех глав, заключения и списка литературы.

Заключение

.

Перечислим основные результаты работы.

1. В рамках общей теории относительности получены макроскопические уравнения Эйнштейна с точностью до членов второго порядка малости по взаимодействию для системы гравитационно взаимодействующих частиц с разными массами. Полученные уравнения гравитационного поля для сплошных сред отличаются от классических уравнений Эйнштейна наличием дополнительных слагаемых в левой части.

Vkiy, k + выраженных через интегралы по импульсному пространству от выражений, содержащих одночастичные функции распределения. Эти слагаемые обусловлены двухчастичными взаимодействиями.

Дополнительные слагаемые пропорциональны постоянной Эйнштейна в третьей степени, но также они пропорциональны плотности частиц во второй степени. Эти слагаемые, следовательно, могут, сыграть роль только в сплошных средах достаточно высокой плотности. Такие плотности возможны на ранних стадиях эволюции Вселенной, а также внутри объектов, близких к состоянию гравитационного коллапса.

2. Была обобщена макроскопическая система уравнений Эйнштейна.

Максвелла для системы частиц с разными массами. В рассматриваемой системе доминирующими являются электромагнитные взаимодействия.

Макроскопические уравнения гравитационного поля для релятивистской плазмы отличаются от классических уравнений.

Эйнштейна присутствием в левой части дополнительных слагаемых.

Эти тензоры выражены в явном виде через одночастичные функции распределения.

Макроскопические уравнения Максвелла в общей теории относительности также оказались отличными от классических уравнений Максвелла, благодаря появлению в левой части дополнительных слагаемых.

Z* = + .

Эти слагаемые обусловлены как эффектами взаимодействия, так и эффектами общей теории относительности. Они также выражаются в явном виде через одночастичные функции распределения.

Слагаемые Zij пропорциональны квадрату гравитационной постоянной Эйнштейна, но пропорциональны также квадрату плотности числа частиц. Слагаемые Z1 пропорциональны первой степени от постоянной Эйнштейна и квадрату плотности частиц. Следовательно, дополнительные слагаемые в макроскопических уравнениях Максвелла и Эйнштейна, появляющиеся при учете взаимодействия частиц, могут сыграть значительную роль только в макроскопических системах с очень высокой плотностью вещества. Такие плотности возможны на ранних стадиях эволюции Вселенной, а также в плотных объектах, близких к состоянию гравитационного коллапса.

3. Получен конкретный вид дополнительных слагаемых макроскопических полевых уравнений для среды, находящееся в состоянии локального термодинамического равновесия, и рассмотрен релятивистский и нерелятивистский пределы. Показано, что структура этих слагаемых имеет вид тензора энергии — импульса идеальной жидкости с уравнением состояния р = ё/3. Если перенести дополнительные слагаемые из левой части макроскопических уравнений Эйнштейна, то они превращаются в обычные уравнения Эйнштейна с дополнительным тензором энергии — импульса идеальной жидкости, но с отрицательной «плотностью энергии» — ё.

4. Сделаны оценки дополнительных слагаемых макроскопических уравнений Эйнштейна в мире Фридмана. На основе этих оценок обоснованы ранее построенные новые однородные и изотропные космологические модели [132]. Из этих оценок следует, что макроскопические уравнения Эйнштейна применимы в мире Фридмана при температурах излучения Т7 <С 1013 К. ¦¦

5. Решены макроскопические уравнения Эйнштейна для модели I типа Бианки. Наличие дополнительных слагаемых вызывает замедление изотропизации расширения модели.

6. Построена слабоизотропная и однородная космологическая модель с осевой симметрией. Исследован процесс изотропизации анизотропной модели при наличии и отсутствии космологического однородного магнитного поля для макроскопических уравнений Эйнштейна. Показано, что магнитное иоле замедляет процесс изотропизации расширения модели.

7. На основе макроскопических уравнений Эйнштейна решена задача о развитии гравитационных возмущений в плоском мире Фридмана в приближении локального термодинамического равновесия.