Качественные методы исследования некоторых задач вихревой динамики

Данная работа посвящена изучению нелинейных динамических систем, описывающих поведение вихревых структур в идеальной жидкости. Уравнения движения изучаемых систем могут быть представлены в гамильтоновой форме со скобкой Пуассона, определяемой некоторой алгеброй Ли (скобка Ли—Пуассона). Такая форма уравнений позволяет наиболее естественно учитывать геометрические и динамические симметрии задачи. Кроме того, она дает наиболее простой и наглядный способ установления аналогий между различными динамическими системами [14].

В первых двух главах диссертации исследуется динамика трех точечных вихрей на плоскости и сфере. Хотя исследование особенностей вихревого движения жидкости началось еще с работы Гельмгольца [18], значительный прогресс в понимании физических явлений, связанных с вихревой динамикой [52, 95, 102, 39], наблюдается лишь в последние десятилетия. Это обусловлено как появлением мощных компьютеров и эффективных численных методов, позволяющих моделировать трехмерные взаимодействия вихрей [81], так и совершенствованием экспериментального оборудования, позволяющего осуществлять более тонкие измерения. Экспериментальное открытие когерентных структур (крупномасштабных вихревых образований в свободных сдвиговых течениях — следах и струях, тонкой зоне течений на поверхностях раздела и в пограничных слоях [73]) заставило в значительной мере переосмыслить возможности классической статистической теории турбулентности и обратиться к детерминированным моделям переноса завихренности и энергии. Понимание природы вихревого движения является чрезвычайно важным для понимания природных процессов в в атмосфере и океане. Процессы отрыва, сопротивления движению и генерация шума в различных технических устройствах не могут быть описаны без использования тех или иных вихревых моделей. Динамика завихренности идеальной несжимаемой жидкости обеспечивает физически содержательные примеры нелинейных гамильтоновых систем бесконечной размерности, особенно интересными в связи с проблемами динамического хаоса [23].

Однако, несмотря на длительную историю развития вопроса, изучение модели точечных вихрей на плоскости сводилось в основном к численному построению траекторий движения [46, 48, 47, 49, 55, 53, 56, 57]. Движение вихрей на сфере было практически не исследовано вообще до недавнего времени [88, 89]. Актуальным на сегодняшний день становится качественное понимание процессов вихревого движения, хотя бы на таком уровне, который достигнут в динамике твердого тела. В данной работе для анализа движения были использованы такие подходы, как бифуркационный анализ, построение фазовых портретов, геометрических проекций, ставшие возможными после появления работы [62], в которой была найдена алгебраическая структура, определяющая особенности поведения вихрей на плоскости и сфере. Основываясь на результатах этой работы, в первых двух главах диссертации изучены компактные и некомпактные движения вихрей, рассмотрены такие явления как коллапс и рассеяние вихрей.

В последней главе диссертации изучается взаимодействие точечных вихрей с так называемым вихрем Кирхгофа [28]. Хотя вихри Кирхгофа были обнаружены еще в прошлом веке, но их использование как модели реальных вихрей началось сравнительно недавно, после того как подобные конфигурации стали обнаруживать в натурных и численных экспериментах [72, 84, 91]. Модель эллиптических вихрей Кирхгофа является более сложной и более нелинейной моделью, поэтому ее практическое использование связано с компьютерным моделированием. Численные расчеты и сопоставление с экспериментом [85] убедительно показывают, что модель адекватно описывает, например, многие явления связанные с перемешиванием жидкостей. Однако понимания свойств модели вне рамок компьютерного моделирования отсутствовало до настоящего времени. Целью исследования является понимание данной модели с точки зрения качественного анализа ее внутренних свойств и связанных с ней математических структур. Такой качественный анализ проведен до конца для случая взаимодействия одного точечного вихря с вихрем Кирхгофа. Для случая взаимодействия двух точечных вихрей с вихрем Кирхгофа показано, что задача является неинтегрируемой. С этой целью исследовано расщепление сепаратрис для случая ограниченной задачи (задачи о движении частицы жидкости — точечного вихря малой интенсивности, не влияющего на движение остальных вихрей, в поле скоростей, являющемся суперпозицией скоростей, созданных другим точечным вихрем и вихрем Кирхгофа).

Подробная структура диссертации — следующая.

В первом параграфе первой главы описана модель точечных вихрей, приведены основные понятия и соотношения, используемые при рассмотрении задач движения вихрей на плоскости и на сфере в абсолютных и относительных координатах.

Во втором параграфе первой главы рассмотрена алгебраическая классификация движений скобок Ли-Пуассона трех вихрей на плоскости. Показано, что возможность вещественного разложения вихревой алгебры в прямую сумму алгебр зависит от соотношений между интенсивностями вихрей. Всего существует две различных возможности 5о (3) © И и зо (2,1) © К Еще один случай соответствует четырехмерной разрешимой алгебре. В каждом из случаев найден базис образующих алгебры, приводящий алгебру вихрей к каноническому виду, указан симплектический лист.

В третьем параграфе дана геометрическая интерпретация движения вихрей в пространстве относительных координат, построена геометрическая проекция. Здесь же указаны условия, определяющие существование стационарных решений в относительных координатах. На их основе проведено построение бифуркационных диаграмм зависимости энергии стационарных конфигураций от интеграла полного момента системы вихрей. В этом случае вся плоскость возможных значений энергии и полного момента системы разбивается на области, соответствующие качественно различным по характеру движениям. Исследована относительная устойчивость стационарных конфигураций. Получена явная формула для устойчивости томсоновских конфигураций (при которой три вихря образуют правильный треугольник). Проведено сопоставление с результатами геометрической проекции.

Для базиса, полученного в результате классификации алгебры скобок Ли-Пуассона для трех вихрей на плоскости (Гл. 1, § 2), в четвертом параграфе введены симплектичес-кие координаты, позволяющие построить фазовые портреты для различных характерных случаев и провести аналогию с движением твердого тела. В частности, сравнение с фазовым портретом задачи Эйлера-Пуансо позволяет заключить, что коллинеарные конфигурации вихрей соответствуют неустойчивым перманентным движениям твердого тела вокруг средней оси эллипсоида инерции, а томсоновские решения можно связать с вращениями вокруг малой (большой) оси эллипсоида инерции.

Пятый параграф посвящен вопросам качественного изучения вихрей на сфере. Благодаря траекторному изоморфизму задачи вихрей с задачей Лотки-Вольтерра, обнаруженному в [62], качественный анализ движений на сфере может опираться на соответствующий анализ движения вихрей на плоскости. Отличие между случаем плоскости и сферы проявляется лишь в изменении характерной области, допускающей физически приемлемые решения. Таким образом, изоморфизм с задачей Лотки-Вольтерра дает практическую возможность исследования задачи трех вихрей на сфере. Это особенно необходимо потому, что задача вихрей на сфере значительно сложнее соответствующей задачи о движении вихрей на плоскости. Для наиболее простого случая равных интенсивностей для трех вихрей на сфере найдены канонические координаты, параметризующие связную компоненту симплектического многообразия через эллиптические функции Якоби. Приведен вид одного из сечений этой связной компоненты симплектического многообразия при деформации за счет изменения радиуса кривизны сферы. В другом пункте этого же параграфа проделан бифуркационный анализ. При построении бифуркационных кривых для случая сферы был обнаружен эффект возникновения вихрей (третий вихрь рождается из задачи двух вихрей при изменении интеграла полного момента на диаграмме). Построена соответствующая геометрическая проекция, проясняющая механизм такого возникновения. Исследованы также зависимости угловой скорости вращения вихрей, их относительная устойчивость и угол наклона по отношению оси вращения для стационарных конфигураций системы. Отмечено резкое возрастание угловой скорости вращения при рождения третьего вихря из задачи двух вихрей. Проанализированы отличия плоского случая от случая на сфере.

Вторая глава диссертации является продолжением качественного анализа движения трех точечных вихрей на сфере и плоскости для некомпактного случая алгебры скобок Пуассона. В частности, исследованы явления коллапса и рассеяния вихрей.

В первом параграфе второй главы исследовано движение вихрей на плоскости для некомпактного случая. С этой целью построены геометрическая проекция движения вихрей на плоскость интеграла полного момента, бифуркационные диаграммы и графики зависимости коэффициента устойчивости для характерных случаев, определяемых типом алгебры, типом устойчивости и интегралом полного момента.

Во втором параграфе исследовано движение вихрей на сфере для некомпактного случая. Исходя из соответствующего анализа для плоскости, методом продолжения по параметру построены бифуркационные диаграммы системы. Опираясь на геометрические проекции движения вихрей на плоскость интеграла полного момента, а также построенные графики зависимостей угловой скорости вращения, угла наклона плоскости вихрей по отношению к оси вращения, коэффициента устойчивости проводится качественный анализ движения вихрей на сфере. Найдены условия существования статических конфигураций на сфере и показаны причины возникновения больших угловых скоростей при рождении третьего вихря из задачи двух вихрей.

В третьем параграфе, исходя из изоморфизма задачи вихрей с задачей Лотки-Вольтерра получены соотношения, определяющие динамику однородного коллапса. Обсуждается возможность неоднородного коллапса. Исходя из анализа асимптотик в окрестности нуля показано, что в системе трех вихрей неоднородный коллапс невозможен, найдены необходимые и достаточные условия однородного коллапса.

В параграфе четыре второй главы рассмотрены условия, при которых возможен уход вихрей на бесконечно большое расстояние (рассеяние вихрей). Найдена замена переменных, позволяющая свести изучение задачи рассеяния к задаче коллапса. Исходя из анализа предыдущего параграфа, получены необходимые и достаточные условия возникновения рассеяния в системе трех вихрей.

Поскольку случай нулевой полной интенсивности для четырех вихрей на нулевом уровне интеграла полного момента полностью определяется движением всего трех вихрей, то возможность анализа такой ситуации полностью аналогична тому, что изложена в двух первых главах. Меняется только гамильтониан системы. Как результат такого исследования, в пятом параграфе построены фазовые портреты и даны геометрические проекции для случаев равных и неравных интенсивностей.

Третья глава диссертации посвящена изучению взаимодействия точечного вихря с вихрем Кирхгофа, а также доказательству неинтегрируемости взаимодействия двух точечных вихрей с вихрем Кирхгофа в ограниченной постановке.

В первом параграфе приведены основные соотношения, уравнения движения в га-мильтоновой форме и интегралы движения, соответствующие модели Кирхгофа.

Во втором параграфе проведен анализ взаимодействия точечного вихря с вихрем Кирхгофа, введены относительные координаты, получена алгебра скобок Ли-Пуассона для относительных переменных. Показано, что в зависимости от соотношения между интенсивностями алгебра скобок сводится к прямой сумме либо зо (2,1)©-#, либо е (2)ф Я. Указан канонический базис и найдены центральные функции алгебры.

В третьем параграфе введены канонические координаты совместной системы точечный вихрь и вихрь Кирхгофа для возможных характерных случаев интенсивностей. Построены фазовые портреты, проанализировано движение системы в неподвижных точках и в их окрестности в относительных и абсолютных координатах.

В четвертом параграфе построены бифуркационные диаграммы, обнаружен нетривиальный случай взаимодействия вихре, приводящий к устойчивому периодическому движению в пространстве, что дает возможность исследовать неинтегрируемость ограниченной задачи совместного движения вихрей.

В пятом параграфе рассмотрена постановка ограниченной задачи для совместного движения двух точечных вихрей в поле вихря Кирхгофа. Найдено решение, описывающее малые отклонение от периодического в пространстве решения. Получен гамильтониан и уравнения движения системы с полутора степенями свободы, соответствующей движению третьего вихря (частицы жидкости) в заданном поле скоростей. Построен фазовый портрет невозмущенной системы и отображение Пуанкаре для возмущенной системы. Изменение величины возмущения приводит к расщеплению сепаратрис вблизи гиперболических точек и образованию стохастического слоя. Результаты численных расчетов позволяют сделать вывод об отсутствии дополнительных первых интегралов, и следовательно об неинтегрируемости взаимодействия двух точечных вихрей с вихрем Кирхгофа.

Основные результаты работы можно сформулировать следующим образом:

1. Найдены соотношения, определяющие стационарные конфигурации вихрей в относительных переменных. При помощи классификации алгебры скобок Ли-Пуассона задачи трех вихрей на плоскости получены условия на интенсивности, при которых все движения финитны (инфинитны), независимо от вида гамильтониана. Для характерных наборов интенсивностей, в задачах трех вихрей на плоскости и сфере выполнен полный качественный анализ движения вихрей, основанный на геометрической проекции, построены бифуркационные диаграммы. При этом обнаружено слияние томсоновских и коллинеарных конфигураций на сфере при изменении линейного интеграла движения, а также рождение из задачи двух вихрей устойчивых коллинеарных конфигураций, вращающихся с большой (бесконечной) угловой скоростью в момент появления.

2. В компактном случае алгебры скобок Пуассона введены канонические координаты и построены фазовые портреты для движения трех вихрей на плоскости, а также для частного случая системы четырех вихрей на плоскости — при условии нулевого значения линейного интеграла движения и нулевой полной завихренности. Установлена аналогия между движением вихрей и движением твердого тела. Построены канонические координаты для движения вихрей на сфере при условии равных интенсивностей. В этом случае переход от алгебраических переменных к каноническим осуществляется с помощью эллиптических функций Якоби, в отличие от задачи вихрей на плоскости, где для параметризации достаточно тригонометрических функций.

3. Для характерных значений интенсивностей, определяемых условиями компактности (некомпактности) алгебры скобок Пуассона, получены зависимости относительных и абсолютных характеристик движения вихрей от линейного интеграла движения. В том числе, получены зависимости устойчивости стационарных конфигураций, угловой скорости вращения и угла наклона оси вращения по отношению к плоскости, образованной тремя вихрями на сфере. Найдены условия существования статических конфигураций на сфере.

4. В результате исследования явлений коллапса и рассеяния вихрей на плоскости и сфере показано, что в системе трех вихрей может наблюдаться только однородный коллапс, при котором конфигурации вихрей в разные моменты времени подобны между собой. Найдены необходимые и достаточные условия однородного коллапса, а также показано, что достаточными условиями рассеяния является наличие вихревых пар.

5. В алгебраической форме произведена редукция динамической системы, состоящей из вихревого пятна и точечного вихря. В результате получена приведенная система с одной степенью свободы, допускающая интегрирование в квадратурах. Проведена классификация возникающей скобки Ли-Пуассона в зависимости от параметров модели. На основе полученной классификации найдены канонические координаты системы, построены бифуркационные диаграммы, проведен полный качественный анализ движения, включающий в себя изучение точек относительного равновесия. Показано, что при нулевой полной завихренности неподвижные точки соответствуют параллельному движению вихрей, аналогично движению вихревой пары. При ненулевой завихренности неподвижная точка описывает вращение вихрей вокруг центра завихренности, сохраняющее их относительную ориентацию. Найдены решения, описывающие малые отклонения от устойчивых неподвижных точек. Методом расщепления сепаратрис доказана неинтегрируемость ограниченной постановки задачи о взаимодействии двух точечных вихрей с вихревым пятном.

Заключение

.