Квантование и S-матрица калибровочных теорий с ферми-бозе связями общего вида

Построение единой теории всех взаимодействий элементарных частиц остается важнейшей проблемой современной теоретической физики.

Построение моделей «Большого Объединения», объединяющих сильные, слабые и электромагнитные взаимодействия является как бы первой ступенью к разрешению этой фундаментальной проблемы. Модели «Большого Объединения» базируются, как известно, на векторных калибровочных теориях бозе-типа.

В последние годы особый интерес приобрели попытки построения суперсимметричных моделей «Великого Объединения», объединяющих сильные, слабые, электромагнитные и гравитационные взаимодействия на основе моделей расширенной супергравитации. В этих моделях бо-зе-класс калибровочных полей существенно расширен за счет введения в них, помимо векторных калибровочных полей Янга-Миллса и фотонного поля, также тензорного калибровочного поля гравитона (гравитации) и тензорных антисимметричных полей. При этом, вследствие учета локальной суперсимметрии построенных моделей, в них с необходимостью также входят соответствующие суперпартнеры ферми-статистики. Так, в частности, в простейшей супергравитации вступает в действие калибровочное ферми-поле гравитино, спина 3/2.

Таким образом, современное развитие теории элементарных частиц привело к тому, что в физике роль переносчиков взаимодействия выполняет широкий класс калибровочных полей как бозе, так и ферми-типа. В этих калибровочных системах число независимых степеней свободы меньше, чем число компонент рассматриваемого поля, при этом физическое фазовое пространство (поля и канонические импульсы к ним) оказывается уже исходного фазового пространства полей.

Обстоятельство это обусловлено наличием вполне определенных устойчивых во времени соотношений (так называемых, связей), которые и обеспечивают переход к независимым физическим степеням свободы. Связи могут быть как бозе, так и ферми-типа, в зависимости от того, четны либо нечетны они по ферми-полям. Далее, по классификации Дирака / I /, они разделяются на связи первого и второго рода, что обусловлено равенством или отличием от нуля детерминанта матриц соответствующих суперкоммутаторов связей (классический аналог которым, суперскобки Пуассона) на самой поверхности связей.

Отметим, что, по-существу, все теории современной теоретической физики представляют собой теории со связями. Так, калибровочные теории обладают обязательно связями первого рода, которые и генерируют их калибровочную алгебру. Теории с высшим спином (S > I), а также все теории ферми-полей, включая и теорию спина половина (S s ½), являются, как правилго, обладателями связей второго рода. В супергравитации, к примеру, мы имеем дело с ферми связями второго рода и бозе-ферми связями первого рода, поскольку там присутствуют бозе и ферми-калибровочные поля (гравитонное и гравитинное).

Так, построение теории единых взаимодействий, вызвало особый интерес к калибровочным системам, обладающим связями самого общего вида. Квантование таких теорий стало фундаментальной проблемой современной теоретической физики.

Важнейший вклад в классическую теорию динамических бозе-сис-тем со связями внес Дирак / I /, им же были сформулированы начальные элементы канонического квантования таких систем. Континуальное выражение для Sматрицы бозе-систем со связями первого рода в канонических калибровках было впервые получено в работе / 2 /.

Каноническое квантование ферми-бозе систем со связями первого и второго рода впервые проведено в работе / 3 /, где сформулированы и континуально решены Гейзенберговские уравнения динамики с учетом соответствующих коммутационных соотношений для Ферми-бозе теорий со связями второго рода, выраженных впервые в / 3 / через введенные супердираковские (и суперпуассоновские) скобки. Далее, впервые найдена ?>- матрица для случая ферми-бозе связей второго рода, а также для теорий с ферми-бозе связями первого и второго рода в канонических калибровочных условиях. Этим был завершен метод канонического квантования ферми-бозе систем со связями общего вида в канонических калибровочных допусловиях.

Оставалась открытой проблема построения теории квантования систем со связями в релятивистских калибровках. Этот случай, как выяснилось, включает дополнительные трудности, связанные с совмещением калибровочной инвариантности релятивистской теории и унитарности в физическом пространстве состояний.

Обстоятельство это вызвано значительным расширением исходного гильбертова пространства состояний (в противоположность случаю канонических калибровок) в сравнении с физическим пространством состояний. Последнее обусловлено возникновением дополнительных степеней свободы за счет приобретших динамическую активность в релятивистском случае лагранжевых множителей к калибровкам и связям.

Проблема эта впервые была решена применительно к релятивистским бозе теориям со связями первого рода в работах / 4−5 /, где была получена корректная $- матрица в рамках построенного обобщенного фазового пространства / 4 /. При этом, бшю показано, что построение jS — матрицы в релятивистских калибровках сводится к нахождению унитаризующего гамильтониана в обобщенном фазовом пространстве, явная форма которого была найдена в/4/и/5 / применительно к бозе-системам со связями первого рода, генерирующими калибровочную алгебру ранга один. Одновременно, было сделано в работе / 4 / важное наблюдение относительно вида полученного унитаризирующего гамильтониана, а именно, что его калибровочную часть можно представить посредством суперпуассоновской скобки фермионного функционала (в дальнейшем, названного генератором калибровки), в который входит вся зависимость от калибровки и другого фермионного функционала (названного генератором калибровочной алгебры), построенного из связей и соответствующих коэффициентов инволюции. В работе / б / было замечено важное свойство супергенератора калибровочной алгебры и унитаризирующего гамильтониана, введенных в / 4−5 /, а именно, что соответствующие суперпуасооновские скобки этих величин оказываются равными нулю. Эти уравнения явились основой для дальнейшего построения теории со связями первого рода и с помощью их в / 6 / было найдено решение для jS-матрицы ферми-бозе систем со связями первого рода, генерирующими калибровочную алгебру ранга один. Таким способом было получено в / 6 / обобщение результатов / 4−5 / на случай теорий с ферми-бозе связями первого рода, ранга один.

Заметим, что результаты работ / 4−6 / применимы к релятивистским системам первого ранга по связям первого рода, генерирующим замкнутую калибровочную алгебру. К числу таких теорий относятся, к примеру, Янг-Миллс и гравитация. Однако рассмотрение супергравитации показало, что она представляет собой значительно более сложную калибровочную систему с ферми-бозе связями как первого, так и второго рода, генерирующими открытую лагранжеву калибровочную алгебру. Так, развитие супергравитационных моделей теории элементарных частиц вызвало потребность в построении последовательной теории квантования релятивистских ферми-бозе систем со связями первого и второго рода, генерирующими открытую калибровочную алгебру, вообще говоря, произвольного ранга. Это было сделано в работе / 7 / применительно к самому широкому классу систем с независимыми (неприводимыми) связями любой статистики и произвольного ранга. В работе / 7 / в результате проведенного обобщения основных уравнений для генератора калибровочной алгебры и унитаризиру-ющего гамильтониана на общий случай теории с ферми-бозе связями как первого рода, так и второго рода, а также нахождения решений полученных основных уравнений в классе теорий со связями, генерирующими калибровочную алгебру произвольного ранга S, получено корректное выражение для унитаризируюгцего гамильтониана и калиб-ровочно-инвариантной, унитарной Sматрицы квантовой теории с ферми-бозе связями общего вида. При этом, в выражении для Sматрицы релятивистской ферми-бозе теории со связями первого и второго рода (как в фазовом, так и в конфигурационном пространствах) / 7 /, наряду с членами двугостовского взаимодействия, характерными для теорий первого ранга, вошли члены, вообще говоря, много-гостовского взаимодействия и соответствующий ответ выписывался для теорий каждого ранга в отдельности, что обусловлено спецификой незамкнутости конкретной лагранжевой калибровочной алгебры теорий.

К числу первых и важных результатов применения обобщенного канонического метода квантования относятся корректное квантование и получение матрицы в Эйнштейновской гравитации, включая нахождение гравитационной локальной меры / 8 / и корректного учета калибровок, зависящих от гостов / 5,8 /. Проведение квантования в случае обычной и расширенной супергравитации, и получение корректной ?- матрицы /9,10 /. Нахождение лагранжевого ответа для Sматрицы в общем случае квадратичных по импульсу систем в произвольных калибровках, в том числе, зависящих от гостов / II /.

Метод обобщенного канонического квантование оказался универсально применимым ко всем моделям современной физики и в произвольном классе калибровок. В то же время, ранее развитые методы квантования / 12−19 / были применимы лишь к частным калибровочным теориям в узком классе калибровок. В частности, даже для простейшей калибровочной системы — теории Янгаё-Миллса — эти методы были уже неэффективны в случае калибровок, зависящих от гостовских полей и корректный ответ для $-матрицы в этом случае был впервые получен в / 5 / с помощью обобщенного канонического метода квантования.

Как уже указывалось выше, решение для Sматрицы для теорий с неприводимыми ферми-бозе связями первого и второго рода, строится для каждого конкретного ранга и не имеет универсального (единого) вида. И хотя полученное выражение для матрицы / 7 / для данного конкретного ранга является наиболее адекватным и удобным для построения соответствующей диаграммной техники Фейнмана рассматриваемой теории, представляет несомненно большой интерес нахождение универсального (единого) ответа дляjSматрицы произвольной теории общего вида в релятивистских калибровках. Обстоятельство это весьма важно как с точки зрения исследования" структуры теорий со связями в калибровках общего вида, так и с точки зрения преодоления возможного технического усложнения нахождения явного ответа в случае полей высокого ранга (такие поля уже фигурируют в физике элементарных частиц, а по мере дальнейшего развития единых моделей универсального взаимодействия и включения высших спинов, их число, по всей видимости, существенно увеличится).

В статье / 20 / был впервые получен такой универсальный ответ для случая динамических систем с неприводимыми бозе связями первого рода. Результат этот получен в рамках метода, так называемого компенсирующего функционала, подходящий выбор которого обеспечивал калибровочную инвариантность $ - матрицы при сохранении её унитарности в случае релятивистских калибровок. Заметим, что компенсирующий функционал был введен в работе / 21 / в связи с квантованием массивного поля Янга-Миллса. В дальнейшем, в работах автора / 22,23 / был найден универсальный ответ для Sматрицы применительно к ферми-бозе теориям произвольного ранга с неприводимыми связями первого и второго рода в рамках метода, развитого в / 20 / и обобщенного на общий случай ферми-бозе теорий с произвольными ферми-бозе связями обоих родов.

Отметим, что универсальный ответ для $- матрицы в рамках этого метода выписывается в терминах решений соответствующих уравнений характеристик, при этом не требуется введения фиктивных гос-товских полей со статистикой противоположной статистике связей.

Среди других актуальных проблем на современном этапе развития единой теории взаимодействия элементарных частиц, отметим в первую очередь проблему удержания цветных состояний в хромодинамике, а также проблему динамического нарушения симметрии и возникновения связанных состояний (новых частиц) и их взаимодействий за счет механизма индуцирования при учете квантовых поправок (индуцированная электродинамика, поле Янга-Миллса, гравитация и поле Хиггса) / 24−34 /.

Что касается проблемы удержания, то здесь большое внимание привлекли различные протяженные геометрические объекты типа моделей струн и мембран, которые, как полагают, эффективно описывают инфракрасное поведение элементарных частиц / 38−43 /{подразумевая, что эти модели эффективно эквивалентным образом передают взаимодействие исходных безмассовых калибровочных полей (к примеру, цветного векторного поля Янга-Миллса) в области сильной связи.

Применительно к индуцированным теориям, а также к теории мембран до последнего времени оставалось важной задачей корректное проведение квантования и построение $ - матрицы.

Представленная диссертация и посвящена построению метода квантования и получению матрицы для калибровочных теорий со связями самого общего вида и произвольного ранга, а также, применению этого метода для широкого класса моделей современной теории элементарных частиц.

Кратко касаясь структуры диссертации, состоящей из введения, четырех глав, заключения и приложения, заметим, что основное содержание настоящей диссертации опирается на результаты опубликованных работ / 7,11,22,23,35,36,37,44 /.

Основные результаты настоящей диссертации сводятся к следующим:

1. Предложен метод квантования произвольной динамической сис' темы с ферми-бозе связями первого и второго рода, произвольного ранга (Глава I, §§ 3−4). а) Сформулированы основные уравнения для определения структурных коэффициентов, генератора калибровочной алгебры и унитаризирующего гамильтониана в случае теории с независимыми ферми-бозе связями первого и второго рода. б) Введено понятие ранга калибровочной теории по связям. в) Получены решения основных уравнений для обобщенных структурных коэффициентов в классе ферми-бозе теорий со связями первого и второго рода, генерирующими калибровочную алгебру произвольного ранга.

2. Найдено корректное выражение для производящего функционала (и матрицы) теории с ферми-бозе связями первого и второго рода, произвольного ранга в обобщенном фазовом пространстве. Доказана калибровочная инвариантность и унитарность построенной.

5 — матрицы теории (Глава I, § 3).

3. Для релятивистских ферми-бозе систем со связями общего вида найдено унитарное и калибровочно-инвариантное выражение для.

— матрицы в конфигурационном по гостам пространстве. Особенностью полученного ответа для матрицы является появление в обобщенном гамильтониане добавочных, ранее неизвестных в рамках обычных ковариантных методов квантования, взаимодействий гостовских частиц мевду собой. При этом, число гостовских полей, принимающих участие во взаимодействии, вообще говоря, зависит от ранга теории.

— 129 и ответ выписывается для кавдого ранга в отдельности (Глава I, § 5).

4. Методом компенсирующего функционала получено универсальное (вне зависимости от ранга теории) выражение для $- матрицы произвольной динамической ферми-бозе системы со связями первого и второго рода (Глава П, §§ 1−2).

5. Получены обобщенные соотношения Уорда для динамических ферми-бозе систем со связями первого и второго рода в обобщенном фазовом пространстве (Глава I, § 7).

6. Проведено детальное рассмотрение квантования калибровочной теории со связями общего вида в произвольной невыротвденной калибровке. Показано, что и в этом случае корректный ответ для.

5-матрицы также получается в рамках метода обобщенного канонического квантования, без введения добавочных гостов, а так называемые «третьи госты» уже содержатся в этом формализме и представляют собой лагранжевы множители к калибровке, входящие в качестве динамических переменных обобщенного фазового пространства теории (Глава I, § б).

7. Эффективность метода обобщенного канонического квантования продемонстрирована также на примере полей Янга-Миллса, рассматриваемых в формализмах первого и второго порядка, а также применительно к единым моделям теории элементарных частиц (Приложение).

8. Проведено квантование и получена корректная матрица в фазовом и в конфигурационном пространствах для индуцированных теорий, в которых отсутствующий лагранжиан калибровочного поля генерируется за счет квантования поля материи (спинорных и скалярных частиц), взаимодействующей с калибровочным полем. Рассмотрение проведено для случая взаимодействия спинорных и скалярных частиц с векторными полями Янга-Миллса и электромагнитным (Глава Ш,.

— ISO.

§§ 2−3). В том числе, исследованы индуцированные теории векторных калибровочных полей, приводящие к теориям с тривиальной $ - матрицей, что обусловлено существенным сокращением степеней свободы в рамках индуцированных теорий (Глава Ш, §§ 1,5).

9. Проведено корректное квантование модели фермионного перво-поля, в которой электромагнитное поле появляется динамически на квантовом уровне, как связанное состояние фермионов (Глава Ш, § 4, п.2).

10. Предложена модель скалярного поля (скалярного и спинорного полей) с существенно нелинейным самодействием, в рамках которой динамически на квантовом уровне генерируется поле Янга-Миллса в качестве связанного состояния перво-поля модели (Глава Ш, § 4, п. З).

11. Показано, что во всех случаях индуцированных теорий, а также в моделях существенно-нелинейного самодействия фундаментальных фермионов и бозонов, генерирующих индуцированные калибровочные теории в качестве связанных состояний, наивный лагранжев ответ для CJматрицы, вообще говоря, не корректен и появляются добавочные диаграммы, обусловленные появлением локальной континуальной меры (Глава Ш, §§ 2−4).

12. Проведено квантование и получена корректная $- матрица в конфигурационном пространстве в общем случае калибровочных систем с квадратичными по импульсам связями в классе калибровок, включающих гостовские поля (Глава 1У, §§ 1−2).

13. Проведено квантование и найдена в рамках обобщенного канонического формализма $ - матрица в конфигурационном пространстве для модели релятивистской мембраны в расширенной пространственной реализации, представляющей калибровочную систему высшего ранга по связям. Получено квазиклассическое приближение модели многомерной релятивистской мембраны (Глава 1У, § 3).

В заключение автор выражает глубокую признательность своему научному руководителю академику АН GGGP М. А. Маркову за всестороннюю помощь и подцержку во время работы над представленной диссертацией, а также заведующему Лаборатории Электронов Высоких Энергий А. А. Комару за постоянное внимание.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

.