Сверхпроводимость и магнетизм двумерных систем

4.2 Кинетическая энергия дырки .42.

4.3 Энергия орбитального упорядочения.44.

4.4 Полная энергия системы.-.46.

4.5 Искажения орбитальной матрицы.47.

4.6 Заключение.48.

5 Выводы.50.

2 Электрон-дырочное спаривание в бислое графена 54.

1 Введение.54.

2 Режим слабой связи.57.

2.1 Модель спаривания.57.

2.2 Управляющие параметры системы .59.

2.3 Результаты и обсуждение.62.

3 Многозонное спаривание при сильной связи.64.

3.1 Введение.64.

3.2 Описание основного состояния.66.

3.3 Величина щели при нулевой температуре .71.

3.4 Переход Костерлица-Таулеса.78.

4 Учет динамических эффектов.80.

5 Поляризационный оператор при наличии щели.87.

6 Выводы.91.

3 Фононный механизм сверхпроводимости в графене 95.

1 Многозонные уравнения Элиашберга. 95.

1.1 Введение. 95.

1.2 Уравнения Элиашберга для графена. 97.

1.3 Случай сильного допирования. 99.

1.4 Окрестность квантовой критической точки .103.

2 Акустические фононы.106.

2.1 Значение щели при нулевой температуре.106.

2.2 Сравнение с оптическими фононами .110.

3 Выводы.111.

Заключение

113.

Основные результаты.113.

Значение полученных результатов.114.

Благодарности.115.

Манганиты.

В последнее десятилетие резко возрос интерес к манганитам — магнитным окислам на основе марганца, имеющим химическую формулу Ыех-яА^МпОз, где Re — редкоземельный элемент (La, Рг, Nd, Sm, и т. д.), а, А — щелочноземельный элемент (Са, Sr, Ва). Хотя эти соединения известны физикам уже более пятидесяти лет [1, 2, 3], большое внимание к ним было вызвано открытием в начале 90х годов, эффекта отрицательного колоссального магнитосопротивления (KMC) [4, 5], и начиная с этого момента, количество публикаций посвященных, как теоретическим, так и экспериментальным исследованиям манганитов продолжает неуклонно расти. Эффект KMC заключается в резком падении удельного сопротивления р (Н) образца при приложении внешнего магнитного поля, и характеризуется величиной магнитосопротивления MR (H) = [р (0) — р (Н)] /р (Н).

Так, например, в первой же работе [4], посвященной эффекту KMC, величина MR (H) в тонких пленках Ьао.етСао.ззМпОз достигала значения MR = 1.27×106 процентов при температуре 77 К, что намного превышает значения магнитосопротивления в многослойных магнитных пленках или гранулированных системах. Такие высокие значения MR (H) делают манганиты очень перспективными для использования в качестве датчиков магнитного поля, а также в системах магнитной записи. В то же время, огромный интерес исследователей к этим материалам, объясняется не только возможностью пх практического применения. Привлекательность манганитов, как для теоретиков, так и для экспериментаторов, вызвана, в первую очередь, огромным количеством интересных физических свойств, присущих этим соединениям.

Переплетение зарядовых, орбитальных и спиновых степеней свободы в манганитах, определяет богатство их фазовой диаграммы. Исходные соединения КеМпОз и АМпОз являются антиферромагнитными диэлектриками, но с различным типом антиферромагнитного упорядочения. В зависимости от уровня легирования и типа легирующего элемента, в манганитах помимо антиферромагнитного (АФМ) диэлектрического состояния, может реализовываться также и ферромагнитное (ФМ), как диэлектрическое, так и металлическое состояние. Другой важной особенностью манганитов, имеющей непосредственное отношение к предмету диссертации, является возможность существования в этих материалах разного рода неоднородных состояний в различных частях их фазовой диаграммы. Так, в области малого допирования может реализовываться неоднородное состояние, при котором носители заряда локализуются в ферромагнитных областях малого (несколько постоянных решетки) радиуса (магнитные ноляроны или ферроны), находящихся в антиферромагнитной диэлектрической матрице. Другим примером перераспределения заряда в манганитах является состояние зарядового упорядочения — образование периодической структуры из ионов марганца с разной валентностью [6]. Состояние зарядового упорядочения может возникать в случаях, когда концентрация допирования х является рациональным числом, и может повлечь за собой также нетривиальное орбитальное и спиновое упорядочение. Так, при половинном заполнении х = ½ зарядовое упорядочение приводит к возникновению магнитной СЕ структуры — зигзагообразных ферромагнитных цепочек [7]. При больших концентрациях щелочноземельного элемента (например при х = 2/3, х — ¾), становится возможным образования полосовых структур (страйпов), наблюдаемых, например, в экспериментах [8]. Заметим, что легирование зарядово упорядоченного образца может вновь приводить к возникновению магнитных иоляронов, но уже в зарядово упорядоченной матрице [9]. Ниже проводится краткий обзор основных свойств манганитов и теоретических подходов, используемых при их изучении. Более подробную информацию о манганитах можно найти, например, в обзорах [10, 11, 12, 13, 14, 15] и книгах [16, 17].

Первые систематические исследования магнитного упорядочения в Ьа1хСахМпОз относятся к началу 50х годов. Авторы работы [2] на основе анализа нейтронного рассеяния нашли различные типы магнитного порядка, которые реализуются в Ьа^^Са^МпОз, и построили первую магнитную фазовую диаграмму. Теоретическое объяснение основных типов магнитного упорядочения и связи магнитной структуры с зарядовым и орбитальным порядком в манганитах было дано в работе Гуденафа [18].

Авторы работы [1] обнаружили замечательную корреляцию между температурой Кюри Тс, намагниченностью насыщения и сопротивлением манганитов при различных значениях х: происходящий в результате легирования переход от антиферромагнитного основного состояния к ферромагнитному сопровождается изменением поведения сопротивления образца с полупроводникового на металлическое. Возникновение ферромагнитной металлической фазы манганитов Lai-zCa^MnO-} в области х — 0.2 — х — 0.4 было объяснено Зи-нером [19, 20] исходя из предположения о сильном внутриатомном обмене между локальным спином t2g — электронов и спином делокализованного ед — электрона. Он рассмотрел процесс переноса заряда от Мп3+ к Мп4+ через ион кислорода. Согласно Зинеру [19], в допированных манганитах возникают две вырожденные конфигурации: Mn*i+02-Mn4+ и Согласно Зинеру, вырождение снимается за счет процесса, получившего название двойного обмена, в котором происходит одновременно два перехода: электрона с марганца Мп3+ на кислород и электрона с кислорода на Мп4+. В результате, благодаря сильной связи между локальным спином и спином ед — электрона, минимальной энергии обладает конфигурация, при которой спины марганца выстроены параллельно. Теория двойного обмена была развита в работе Андерсона и Хасегавы [21]. Они рассматривали систему двух локализованных спинов и подвижного электрона, и нашли, что поправка к энергии, связанная с движением электрона, равна t cos i//2, где t — затравочная амплитуда перескока, а и — угол между локальными моментами атомов.

В дальнейшем, в подавляющей части работ, посвященных исследованию манганитов, для описания двойного обмена, стали использовать, т.н. s — d модель [22], в которой электроны двигаются по решетке ионов марганца, в пределе, когда величина внутриатомного обмена между спином электрона проводимости и локальным спином намного превосходит величину интеграла перескока t. Заметим, что в этой модели учитывается только одна зона проводимости для ед — электронов, т. е предполагается существование большой щели Яна-Теллера между двумя ед — орбиталями. Это, в частности, оставляет за рамками рассмотрения столь интересное явление, как орбитальное упорядочение, имеющее место в различных частях фазовой диаграммы манганитов [23, 24].

Развивая результаты Андерсона и Хасегавы, д Жен [25] первым последовательно рассмотрел реальные манганиты, добавив к модели двойного обмена слагаемое, отвечающее слабому антиферромагнитному взаимодействию между локальными спинами ионов марганца. Дополнительный член к гамильтониану стремится выстроить локальные спины антиферромагнитным образом. Это приводит к конкуренции между антиферромагнетизмом локальных спинов, который обусловлен сунеробменом, характерным для магнитных диэлектриков (механизм обмена, связанный с виртуальными перескоками электрона с одного катиона на соседний и обратно через промежуточный анион) и ферромагнетизмом, обусловленным наличием электронов проводимости (двойной обмен). Д Жен предположил, что в результате этой конкуренции реализуется однородное подкошенное состояние: угол между локальными спинами подрешеток является постоянным во всем образце и меняется монотонно от тг (коллипеарный антиферромагнетик) до 0 (коллинеарный ферромагнетик) с увеличением концентрации носителей заряда. Позже Нагаев [26] уточнил его результаты, показав, что существует пороговая концентрация носителей хс, такая, что при х < хс кристалл будет находиться в антиферромагнитном состоянии, а неколлине-ариое подкошенное состояние возникает только при х > хс. Помимо подкошенного однородного состояния (как было подмечено уже д Женом [25]) в модели двойного обмена существует возможность фазового расслоения путем автолокализации носителей заряда в ферромагнитных каплях при малом уровне легирования. Почти одновременно Нагаев [27, 28] и Касуйя [29] предложили теоретическое описание такого автолокализованного состояния носителя в антиферромагнитной матрице, получившего название феррона или магнитного полярона. В пределе бесконечного взаимодействия Хунда, электрон не может двигаться в антиферромагнитном окружении, и локализован на узле. Именно поэтому состояние мангаиитов ИеМпОз (х = 0) оказывается непроводящим, т.к. и этом случае в зоне проводимости имеется только N мест для электронов, а не 2И как в обычном металле (IV — число ионов марганца). Если же электрон создаст вокруг себя ферромагнитную область радиуса Я, в которой он может двигаться, то это даст выигрыш в кинетической энергии. Вместе с тем, возникновение ферромагнитной области ведет к проигрышу в энергии антиферромагнитного суперобмена между локальными спинами. В такой ситуации формируется некоторое равновесное значение радиуса феррона Я (получаемое из условия минимизации суммарной энергии).

Вопрос о подвижности магнитного полярона исследовался в работе Касуйи, который нашел, что эффективная масса феррона очень велика, и, следовательно, он мало подвижен. Дальнейшие исследования Кагана и др. [30] показали, что модель двойного обмена в случае малых концентраций носителей тока неустойчива по отношению к фазовому расслоению, и что энергия ферронного состояния ниже, чем энергия однородного подкошенного состояния.

В области высоких температур, в рамках модели двойного обмена, также возможно образование подобных состояний — температурных ферронов (или флуктуонов). На их существование обратили внимание Кривоглаз [31] и Касуйя с соавторами [32]. В области высоких температур, электрон может быть захвачен ферромагнитной флуктуацией намагниченности в системе локальных спинов, которую ему выгодно стабилизировать. Низкотемпературный проигрыш в антиферромагнитной энергии следует заменить в этом случае на проигрыш в энтропийном члене для локального спина. После такой замены формулы для радиуса и свободной энергии температурных ферронов оказываются похожими на аналогичные формулы для обычных ферронов. Вопросы подвижности температурных ферронов исследовались в работах [31, 33, 34], и вновь был сделан вывод об их малой подвижности.

Следует, отметить, что в большинстве работ по транспортным свойствам мангани-тов, опубликованных с середины 50х до начала 90х годов, рассматривалось однородное состояние системы и не принималась во внимание тенденция к фазовому расслоению. Открытие в начале 90х годов эффекта KMC в манганитах резко повысило интерес к этим веществам и заставило критически переосмыслить соответствие между теорией и экспериментальными данными [36]. Оказалось, что модель двойного обмена, в ее чистом виде, хорошо описывает свойства манганитов в металлической фазе и упорядоченной магнитной подрешетке вдали от перехода метал — изолятор [37, 38], однако, она не может описать диэлектрическое состояние системы [39] и объяснить возникновение неоднородных (и, в частности, орбитально упорядоченных) фаз, экспериментально наблюдаемых в манганитах в широкой области температур и концентраций допирующего элемента х.

Наиболее интенсивно экспериментальные исследования в манганитах велись в области, так называемого, оптимального допирования х = 0.2 — х = 0.3, в которой наблюдались максимальные значения магнитосопротивления. Многие исследователи пытались улучшить теоретическое описание манганитов в этой области, дополняя картину двойного обмена каким-либо механизмом, ведущим к локализации носителей заряда. В частности, предпринимались попытки описать переход металл — диэлектрик как андерсоновский переход [40, 41], вызванный разупорядочением спинов. В работах [42, 43] была предложена теория, согласно которой переход металл — диэлектрик в манганитах вызван изменением порога подвижности носителей вследствие разупорядочения спиновой подсистемы с ростом температуры. Миллис и др. [44, 45] рассматривали расширенный вариант модели двойного обмена, в котором учитывалось наличие двух зон проводимости для е^-электронов, а также взаимодействие электронов с решеткой. Ими было показано, что электроп-фононное взаимодействие способствует локализации электронов в парамагнитной фазе и приводит к усилению эффекта колоссального магнитосопротивления.

Хотя природа КМ С в маиганитах до конца не ясна, многие исследователи полагают, что причина этого явления тесно связана с существованием неоднородных состояний в манганитах, и в частности, с разделением на ферромагнитные и антиферромагнитные фазы. Следует отметить, что хотя модель двойного обмена явно недостаточна для описания физических свойств манганитов, однако многочисленные аналитические [10| и численные расчеты [46] показывают, что возникновение фазово расслоенного состояния (в частности, ферронов) характерно для этой модели в широкой области параметров даже без включения каких-либо дополнительных механизмов.

Существует большое количество экспериментальных свидетельств возникновения неоднородного состояния в манганитах. В области малых концентраций, эксперименты [47, 48] по упругому и неупругому рассеянию нейтронов в Ьах-^Зг^МпОз показали наличие небольших ферромагнитных капель в антиферромагнитной матрице. ЯМР исследования Аллоди и соавторов также свидетельствуют в пользу этой картины: авторы работы [49] наблюдали два резонансных пика в манганитах, один из которых соответствовал ферромагнитной, а другой — антиферромагпитпой фазеследов наличия подкошенного состояния обнаружено не было. О наличии ферромагнитных металлических капель свидетельствуют также эксперименты [50] по малоугловому нейтронному рассеянию. Следует отметить, что в простой картине фазового расслоения в модели двойного обмена на ферроны в АФМ матрице количество ферромагнитной и металлической фазы совпадают. В то же время, как свидетельствуют недавние экспериментальные исследования [51] систем Ьах-^Са^МпОз и Ьа1хЗгхМпОз, лишь малая часть ферромагнитной фазы может обладать металлической проводимостью.

Рассмотренное выше микроскопическое разделение на фазы (ферромагнитные капли в антиферромагнитной матрице) не является чем-то исключительным и характерным только для манганитов. Скорее наоборот, значительное количество теоретических и экспериментальных работ, появившихся в последние 5 — 10 лет, указывают на то, что фазовое расслоение является неотъемлемой чертой магнитных полупроводников, ВТСП и других систем с преобладанием потенциальной энергии над кинетической (см., например, работы [52, 53]). В настоящее время большое внимание уделяется исследованию разного типа неоднородных зарядовых и спиновых состояний таких, как решеточные и магнитные по-ляроны, капельные и страйповые структуры и т. д. Перечисленные примеры относятся к случаю, так называемого, электронного фазового расслоения, обусловленного тем, что отдельные носители заряда изменяют вокруг себя локальное окружение. Помимо мелкомасштабного фазового расслоения, в манганитах может наблюдаться крупномасштабное расслоение, отвечающее сосуществованию различных фаз, характерное для фазовых переходов первого рода (например, между АФМ и ФМ состояниями). При таком крупномасштабном расслоении, области одной фазы внутри другой могут достигать размеров в десятые доли микрона. Кроме того, сосуществование ФМ и АФМ фаз в манганитах может иметь и более сложный характер. Так в экспериментах по малоугловому нейтронному рассеянию в системе Рго. б7Сао.ззМпОз Симон с соавторами [54] обнаружили магнитную структуру, при которой ФМ фаза существует в виде тонких слоев в АФМ матрице («red cabbage»). Имеются также четкие экспериментальные указания, что фазовое расслоение характерно не только для магнитоупорядоченных фаз, но и для парамагнитной области [55]. Таким образом, образование неоднородных состояний оказывается характерным для различных областей фазовой диаграммы манганитов.

Другим примером систем, в которых наличие ферромагнитных металлических включений в диэлектрической среде определяет их магнитные и транспортные характеристики, являются магнитные нанокомпозиты. Композитные материалы, состоящие из наногранул железа, кобальта или никеля, находящихся в немагнитной полупроводниковой или диэлектрической матрице, проявляют необычные магнитные и магнитотранспортные свойства, такие как суперпарамагнетизм, гигантское магнитосопротивление, магниторефрактивный эффект и т. д. [57, 58, 59, 60, 61]. Физические свойства магнитных нанокомпозитов изучаются в настоящее время весьма интенсивно не только в связи с фундаментальными свойствами этих систем, но и с возможностью их практического использования в датчиках магнитного поля, в системах магнитной записи, а также в высокочастотных приложениях. Высокие значения магнитной проницаемости тонких пленок с частицами кобальта были продемонстрированы в [62, 63, 64]. Наногранулярная структура пленок представляет собой довольно регулярно расположенные неоксидированные частицы кобальта в диэлек-1 трической матрице, например, окиси циркония. Частицы размерами в несколько нанометров имеют форму близкую к сферической и довольно узкое распределение по размерам. Достижение хороших высокочастотных свойств обусловлено также большим магнитным моментом кобальта, высоким полем магнитной анизотропии [65, 66, 67] и высоким электрическим сопротивлением в области выше порога перколяции. В этой области высокие значения магнитной проницаемости пленок с наночастицами кобальта были измерены в [62, 63, 64] в интервале частот до 1 ГГц. Были сделаны очень интересные предположения о магнитной структуре таких нанокомпозитов [62, 67, 68, 69, 70]. Однако до настоящего времени влияние магнитной структуры на высокочастотную магнитную проницаемость не было подробно изучено.

Графен.

Графен представляет собой двумерную структуру, составленную из атомов углерода, которые расположены в узлах кристаллической решетки типа «пчелиные соты» и соединены друг с другом ковалентными связями. Наиболее распространенная форма углерода — графит — может рассматриваться как стопка листов графена, относительно слабо связанных между собой силами Ван-дер-Ваальса. Широко известные углеродные наноструктуры — ианотрубки и фуллерены [103, 104] — можно рассматривать как свернутый в трубку лист графена или, соответственно, как замощение сферы решеткой графена. Таким образом, графен является ключевой квазидвумерной системой, с точки зрения классификации дающей начало трехмерному графиту, квазиодномерным нанотрубкам и квазинульмерным фуллеренам.

Изучение свойств графита и углеродных наноструктур всегда отправлялось от рассмотрения их элементарного блока — изолированного листа графена. Каждый атом углерода в графене окружен тремя ближайшими соседями и обладает четырьмя валентными электронами, три из которых образуют sp2 — гибридизованные орбитали, расположенные в одной плоскости под углами 120 градусов и формирующие ковалентные связи с соседними атомами. Четвертый электрон, представленный ориентированной перпендикулярно плоскости графена 2pz — орбиталью, может перескакивать с одного атома на другой и отвечает за низкоэнергетические электронные свойства графена. Квазиимпульс электрона, находящегося в поле кристаллической решетки графена, заключен в пределах первой зоны Бриллюэна, которая имеет форму шестиугольника.

Первым к теоретическому изучению электронных свойств графена и графита обратился Уоллес в 1947 г. [105]. В простом приближении сильной связи с учетом взаимодействия ближайших соседей он показал, что углы первой зоны Бриллюэна графена являются точками, в которых происходит касание валентной зоны и зоны проводимости 2р. — электрона и вблизи которых дисперсия электронов является линейной. Уровень Ферми химически чистого графена находится в точке касания зон, в связи с чем графен может быть назван квазидвумерным полупроводником с нулевой щелью.

Поскольку кристаллическая решетка графена не является решеткой Бравэ, но может рассматриваться как совокупность двух взаимопроникающих треугольных подрешеток, то эффективная волновая функция электрона в графене может быть представлена двумя огибающими блоховских волн, построенных на этих подрешетках. Низкоэнергетическая динамика электронов графена определяется их поведением вблизи двух точек касания зон в импульсном пространстве К и К' (в окрестности дираковских точек, или в двух долинах зоны проводимости), входящих в первую зону Бриллюэна [106]. Особенность зонной структуры графена, кардинально отличающая его от обычных металлов и полупроводников, заключается в том, что эффективное уравнение для огибающих вблизи точек К и К' имеет вид двумерного аналога релятивистского уравнения Дирака-Вейля для частиц с нулевой массой [107], в котором роль скорости света играет фермиевская скорость г>р ~ Ю6 м/с [108].

Позднее было показано, что вышеописанное поведение электронов вытекает из характера группы симметрии кристаллической решетки графена вне зависимости от используемого приближения [106]. Впоследствии не только развивалась и уточнялась зонная теория графена и графита [109, 110], но и, в связи с экспериментальным изучением интеркали-рованного графита [111], появился интерес к некоторым многочастичным аспектам электронных свойств графена (например, экранирование примесей [112], свойства плазмонов [113], время жизни квазичастиц [114], влияние беспорядка [115]).

Слабое сцепление и относительная независимость слоев графена в кристалле графита уже давно наталкивали исследователей на мысль о том, что графен может быть получен как изолированный объект, двумерная мембрана толщиной в один атом [116]. Но, помимо связанных с этим технических сложностей, существовали сомнения в том, что графен будет механически стабильным. Из аргументов Ландау и Пайерлса [117] следовало, что в чисто двумерной системе не может быть дальнего кристаллического порядка вследствие логарифмической расходимости длинноволновых флуктуаций двумерных смещений атомов из узлов решетки (хотя после классических работ Березинского [118], Костерлица и.

Таулесса [119] стало ясно, что хотя дальний кристаллический порядок в двумерной системе отсутствует, в низкотемпературной фазе существует квазидальний степенной порядок, сохраняющий основное свойство кристалла — наличие длинноволнового модуля сдвига). Кроме того, существовало сомнение в том, устойчив ли графен как двумерная мембрана, помещенная в трехмерное пространство — иными словами, не приводят ли флуктуации смещений атомов перпендикулярно листу к превращению графена в смятый комок.

Новая эпоха для графена началась в 2004 году, когда он был получен группой Новоселова и Гейма при помощи метода микромеханического расщепления графита [120, 121]. В этом методе поверхность графита плотно трется о ровную поверхность кремния, покрытого слоем оксида, и оставляет множество чешуек различной толщины. На поверхности двуокиси кремния чешуйки графена даже атомарной толщины можно было увидеть в оптический микроскоп. В первых экспериментах были получены образцы однослойного, а также двухслойного и многослойного графена и исследованы их транспортные свойства [120, 122]. Графен оказался устойчивым в воздухе при комнатной температуре. Находясь на подложке, он механически стабилен, но на нем образуются небольшие локальные искривления нанометровых размеров — «рипплы» [123]. Оказалось, что ангармоническая связь между колебаниями атомов в плоскости графена и изгибными колебаниями смягчает дисперсию последних и в каком-то смысле стабилизирует графеновую мембрану [124].

Первые же экспериментальные исследования графена дали подтверждение того, что его электроны ведут себя как безмассовые дираковские частицы [122]. Обработка данных по осцилляциям Шубникова-де Гааза показала, что дисперсия электронов действительно является линейной, а измеренное значение скорости электронов Vр согласуется с результатами вычислений в рамках зонной модели. Более яркой особенностью графена явился аномальный целочисленный квантовый эффект Холла. Энергии релятивистских уровней Ландау графена в сильном магнитном поле Н равны Е±п = /2пе11/с (см. напр. [125, 126, 127, 128]). Важным является наличие уровня нулевой энергии п = 0, который можно считать принадлежащим наполовину валентной зоне, а наполовину — зоне проводимости. Вследствие такой особенности уровня п — 0 удельная холловская проводимость листа графена в режиме квантового эффекта Холла принимает полуцелые значения в единицах кванта удельной проводимости [126, 127, 128] аху — (Ае2/Ь)(п + ½), где п — целое число, а множитель 4 отвечает вырождению по спину и долинам. Такая последовательность холловских плато, обнаруженная в эксперименте [122], явилась убедительным подтверждением «ультрарелятивистской» природы электронов в графене.

При изучении графена очень удобной оказалась возможность управления концентрацией носителей заряда при помощи электрического поля [120]. Графен, полученный механическим расщеплением графита, находится па кремниевой подложке, покрытой слоем БЮо толщиной 300 нм. Прикладывая затворное напряжение между листом графена и подложкой, можно создать плоский конденсатор, причем поверхностная плотность заряда на одной из его обкладок — листе графена — будет пропорциональна затворному напряжению. В недопированном химически чистом графене химический потенциал находится в дираковской точке, а прикладывание напряжения различной полярности позволяет до-пировать его как электронами, так и дырками. Концентрация носителей заряда может регулироваться таким способом от нуля до максимальных значений порядка 1013 см, ограниченных электрическим пробоем слоя ЭЮг.

Изготовление графена микромеханическим методом оказалось довольно трудоемким, поэтому большую популярность в последнее время приобретает альтернативный способ получения графена — эпитаксиальное выращивание [129], при котором слои графена образуются на поверхности кристалла ЭЮ, нагреваемого до высокой температуры в вакууме.

С точки зрения приложений графен перспективен в первую очередь как материал для создания принципиально новых наноэлектронных, наномеханических и нанохимиче-ских устройств. Будучи системой атомарной толщины, графен обеспечивает абсолютный предел миниатюризации по крайней мере в одном измерении и хороню подходит к современным планарным технологиям создания интегральных схем. При помощи нанолито-графии из графена можно вырезать куски произвольной формы и устанавливать на них контактные и бесконтактные электроды [130]. Подвижность носителей заряда в чистых образцах графена достигает рекордных значений (см. [131, 132]) и почти не зависит от концентрации, что также является очень ценным для возможных приложений (в частности, для баллистической электроники, принципиально отличающейся от традиционной транзисторной). Отметим также, что щель между уровнями Ландау графена в типичных лабораторных магнитных полях 10 — 20 Тл достигает тысяч градусов, а это позволяет наблюдать квантовый эффект Холла и использовать его для создания эталонов сопротивления даже при комнатной температуре [133].

Интерес к исследованию графена с фундаментальной точки зрения вызван возможностью изучать в такой системе поведение безмассовых заряженных частиц, и особенно их коллективное поведение, в двумерной твердотельной системе («на лабораторном столе») [134]. Эффективно ультрарелятивистская динамика электронов в графене приводит к ряду электронных явлений, не имеющих аналогов в других физических системах (например, полуцелый квантовый эффект Холла, абсолютная прозрачность потенциальных барьеров при нормальном падении и т.н.) и позволяют надеяться на возможность достижения новых режимов поведения квантовых многочастичных систем в наноструктурах на его основе (см. обзорные статьи [135, 136, 137, 138]). Ряд электронных явлений, возможных в графене, имеет аналоги в релятивистской физике элементарных частиц и кварковой материи. Таким образом, можно сказать, что исследования графена находятся на стыке физики конденсированных сред и физики высоких энергий.

Коллективными электронными явлениями называют явления, в которых согласованно участвует макроскопическая доля электронов и которые несводимы к поведению отдельных электронов. В качестве примеров таких явлений можно назвать сверхпроводимость, образование экситоиного диэлектрика, бозе-конденсацию экситонов и магнитоэк-ситонов, плазменные колебания, вигнеровскую кристаллизацию, ферромагнетизм. Особенности коллективных электронных явлений в графене непосредственно вытекают из особенностей эффективно релятивистской динамики электронов, таких как двумерность системы, линейная дисперсия энергии электронов, близкое расположение и взаимное влияние валентной зоны и зоны проводимости, спинорная природа эффективной волновой функции, заселение электронами двух долин в окрестностях дираковских точек.

Двумерность графена делает некоторые свойства электронного газа в нем похожими на свойства квазидвумерных электронных систем на основе полупроводниковых квантовых ям [139]. Проявлением двумерности является, в частности, то, что фазовые переходы графена в сверхпроводящее и сверхтекучее состояния (в том числе, рассмотренные в данной диссертационной работе) будут иметь характер перехода Костерлица-Таулеса [119].

Линейная дисперсия электронов приводит к ряду последствий, самым ярким из которых является маргинальность кулоновского взаимодействия. Безразмерный параметр 7з, характеризующий отношение характерных величин кулоновской и кинетической энергий квантовой системы, в случае графена равен е2/ehvp ~ 2.19/е, где е — диэлектрическая проницаемость окружающей графен среды. Как видно, этот параметр не зависит от концентрации электронного газа, и может быть изменен только в довольно ограниченных пределах помещением графена в различные среды (максимальное значение rs составляет около 2.19, если графен подвешен в вакууме). Это резко контрастирует с обычным (трехмерным или квазидвумерным) электронным газом, в котором гк растет с уменьшением концентрации [140]. Недостижимость больших значений г8 в графене приводит, в частности, к невозможности существования в графене сильпокоррелированных фаз, таких как вигнеровский кристалл [141].

Похожим проявлением линейной дисперсии является то, что отношение характерного расстояния между уровнями Ландау в графене, помещенном во внешнее магнитное поле, к характерной величине кулоновского взаимодействия между электронами не зависит от напряженности поля. Магнитное поле напряженностью Н задает «магнитную длину» 1н = у/с/еН — параметр размерности длины, соответствующий радиусу циклотронных орбит электронов. Расстояние между уровнями Ландау имеет порядок Ур/1н [126, 127], а характерная величина кулоповской энергии есть е2/е1нОтношение этих величин не зависит от Н и сводится к параметру гв, который, как было сказано, может регулироваться только посредством изменения диэлектрической проницаемости окружающей среды е. В обычном квазидвумерном электронном газе ситуация иная: в сильных магнитных полях расстояние между уровнями Ландау всегда доминирует над кулоновской энергией.

Аномальные электронные свойства недопированного графена, в котором химический потенциал, отсчитываемый от дираковской точки, равен нулю, также являются следствием линейной дисперсии. Из-за нее плотность состояний электронов ведет себя как А/" ос [1 и обращается в нуль в дираковской точке Е = 0, что приводит, в частности, к отсутствию существенного экранирования кулоновского взаимодействия на больших расстояниях в недопированном графенеэкранирование при этом является нелинейным [112, 142]. В недопированпом графене отсутствуют характерные параметры размерности длины (за исключением периода решетки, играющего роль только в высокоэнергетической динамике), поэтому сила кулоновского взаимодействия, не меняясь при масштабных преобразованиях, является маргинальной переменной [143, 144]. Более того, в недопированном графене отсутствуют хорошо определенные квазичастицы, поскольку скорости распада квазичастиц растут линейно с ростом их энергии [145].

Близкое расположение валентной зоны и зоны проводимости проявляется в свойствах квазичастичных возбуждений электронного газа в графене. В частности, обменное кулоновское взаимодействие приводит к логарифмической перенормировке скорости Ферми в области малых импульсов [143], а межзонные электронные переходы открывают соответствующий канал затухания плазменных колебаний [114, 146, 147).

Кроме того, отсутствие щели между валентной зоной и зоной проводимости наводит на мысль о возможности перестройки основного состояния электронной системы в результате спонтанного образования конденсата электрон-дырочных пар, сходного с состоянием экситонного диэлектрика [148, 149, 150]. В работах [151, 152, 153] была рассмотрена возможность такой неустойчивости основного состояния графена в зависимости от параметра N — числа спиновых компонент электронов. Недавние результаты численного моделирования [154] показали, что графен, помещенный в вакуум, действительно может перейти в состояние экситонного диэлектрика.

Спинорная природа эффективной волновой функции неразрывно связана с сосуществованием валентной зоны и зоны проводимости: состояния электрона в этих зонах отличаются друг от друга только различными соотношениями амплитуд спинорных компонент [138]. Следствием спинорной природы волновой функции является наличие у электронов фазы Берри, равной 7г: при обходе электрона в импульсном пространстве по замкнутому контуру вокруг одной из двух дираковских точек его волновая функция меняет знак [155].

Заселение электронами двух долин является аналогом киральности безмассовых частиц [156] — состояниям электронов в двух долинах соответствуют значения киральности +1 и —1. Дополнительная долинная степень свободы электронов может проявляться в ряде эффектов, например, в возможности образования параметров порядка с различными долинными структурами при спаривании в графене [157].

Краткий обзор содержания глав.

Данная диссертационная работа посвящена теоретическому исследованию состояний мелкомасштабного фазового расслоения манганитов и ряда коллективных электронных явлений в графене. Все особенности поведения электронов, перечисленные выше, находят свое отражение в полученных в работе результатах, которые опубликованы в статьях [75, 100, 101, 102, 163, 165].

Большое внимание в диссертационной работе уделено коллективным явлениям в бис-лое графена — системе, состоящей из двух параллельных слоев графена, разделенных диэлектриком. Пространственное разделение слоев графена допускает существование долгоживущих нар, состоящих из электронов и дырок, находящихся в разных слоях. В таком электрон-дырочном бислое можно ожидать появления различных сильно коррелированных фаз благодаря кулоновскому притяжению электронов и дырок. Вислой графена может оказаться более подходящей системой для изучения коллективных явлений, чем связанные полупроводниковые квантовые ямы, благодаря атомарной толщине слоев графена, позволяющей сблизить электроны и дырки на очень малые расстояния. В образцах бис-лоя графена, которые были изготовлены и изучены в недавних экспериментах [166, 167], расстояние между слоями составляет несколько ангстрем.

В первой главе представлены результаты исследования мелкомасштабных фазовых расслоений в манганитах. Мы обобщаем модель, рассмотренную в работе [75], на случай (2D) фрустрированных решеток. Мы рассматриваем два типа таких решеток. Первый тип — квадратная решетка с взаимодействием ближайших соседних решеточных (локальных) спинов (ВС взаимодействие) и взаимодействием следующих после ближайших соседних решеточных спинов (СБС или диагональное взаимодействие). Второй тип — треугольная решетка, обладающая сильной геометрической фрустрацией даже в отсутствии СБС взаимодействия. Все эти взаимодействия носят АФМ характер. Далее мы коротко рассматриваем свободные магнитные ноляроны на треугольной решетке с учетом СБС взаимодействия. Эти результаты важны не только сами по себе, но и для последующего сравнения со свободными орбитальными поляронами, которыми мы также уделяем внимание в диссертационной работе.

Дальнейшее исследование посвящено орбитальному сектору в физике манганитов и родственных им соединений [76]. Мы покажем, что описание этого сектора очень похоже на описание спинового сектора, и, таким образом, представляется возможным сформулировать идею орбитальных поляроиов [77]. Мы также обсуждаем возможность медленного спада искажений орбитального порядка, являющегося аналогом «шубы» спиновых искажений в спиновом секторе.

Наконец, в завершении главы мы более подробно обсуждаем некоторые приближения, такие как пренебрежение диагональным перескоком на квадратной решетке, пренебрежение спиновыми квантовыми флуктуациями, приближение классической матрицы перескока, влияние температуры и приближение невзаимодействующих магнитных поляроиов, сделанные в процессе работы, и их следствия.

Во второй главе представлены результаты исследования электрон-дырочного спаривания в бислое графена в режиме слабой и сильной связи. При помощи затворных электродов можно независимо управлять типом и носителей в каждом из двух слоев графена, и если установить в них равные концентрации электронов и дырок, то из-за совпадения поверхностей Ферми и кулоновского притяжения между ними система окажется неустойчивой по отношению к спариванию электронов и дырок с противоположными импульсами (аналоги — спаривание электронов в сверхпроводниках [175], и электронов и дырок в экситонном диэлектрике [148, 149] и в связанных полупроводниковых квантовых ямах [176, 177]). Такое спаривание сопровождается появлением параметра порядка в системе и щели в спектре ее одночастичных возбуждений, а также сверхтекучими свойствами, связанными с появлением незатухающих токов, движущихся в противоположных направлениях по разным листам графена, и эффектами, подобными эффекту Джозефсона.

В диссертационной работе найдены параметры системы, задающие величину безразмерного параметра, характеризующего относительную силу экранированного электрон-дырочного притяжения — силу связи. Мы показали, что при достаточно малых межслой-ных расстояниях сила связи не зависит от концентрации электронов и дырок и определяется параметром rs, который зависит только от диэлектрической проницаемости окружающей среды. Это резко контрастирует с экситонным спариванием в связанных квантовых ямах, при котором сила связи возрастает при снижении концентрации [176].

Далее, мы показали, что в режиме слабой связи основное состояние электрон-дырочного бислоя графена аналогично обычному состоянию спаривания, описываемому теорией Бардина-Купера-Шиффера (БКШ) [175]. Для этого случая получены выражения для щели в спектре при нулевой температуре. При увеличении силы связи в обычных системах спаривающихся фермионов происходит плавный переход от состояния типа БКШ к бозе-эйнштейновской конденсации (БЭК) в газе локальных пар, носящий название кроссовера БКШ-БЭК [178]. В графене же невозможно образование локализованных пар, что приводит к отсутствию кроссовера БКШ-БЭК. Вместо него при увеличении силы связи состояние типа БКШ переходит в ультрарелятивистское состояние типа БКШ, при котором существуют парные корреляции электронов и дырок с противоположными импульсами, но вместе с тем существенную роль играет играет эффективно ультрарелятивистская динамика спаривающихся частиц. В то время как при слабой связи спаривание охватывает лишь небольшие окрестности поверхностей Ферми электронов и дырок, находящиеся в зоне проводимости электронного слоя и валентной зоне дырочного слоя, при сильной связи снаривание захватывает и удаленные от поверхностей Ферми зоны: валентную зону электронного слоя и зону проводимости дырочного слоя. Похожие состояния могут возникать при «цветной» сверхпроводимости в плотной кварковой материи [179].

При помощи построенной в работе многозонной диаграммной техники рассмотрено ультрарелятивистское БКШ-состояние в бислое графена, описываемое системой уравнений самосогласования для двух щелей: в зоне проводимости и в валентной зоне. Путем решения этих уравнений получены оценки величины щели в спектре возбуждений системы. Показано, что величина щели при сильной связи отличается от оценок, даваемых теорией БКШ, и может превышать их на несколько порядков при большой ширине области спаривания в импульсном пространстве. Спаривание в бислое графена в режиме сильной связи рассмотрено также с учетом динамических эффектов в духе подхода Элиашберга [180, 181], т. е. с учетом частотной зависимости собственно-энергетических частей и динамически экранированного электрон-дырочного взаимодействия. Последнее в таком подходе может быть разделено на прямое кулоновское притяжение и отталкивающий вклад виртуальных плазмонов и одночастичпых возбуждений, между которыми существует серьезная конкуренция. Оценки величины щели, полученные при таком рассмотрении, составляют несколько градусов Кельвина при максимальном значении гь. Соответствующие результаты опубликованы в статьях [165].

В третьей главе рассмотрено сверхпроводящее спаривание электронов в графене, вызванное обменом фононами. В качестве возможных источников собственной сверхпроводимости графена различными авторами были предложены фононный механизм [182, 183], плазмонный механизм в графене, покрытом слоем металла [182], электронные корреляции [184, 185] и существенно анизотропное электрон-электронное взаимодействие вблизи сингулярностей Ван-Хова электронной подсистемы [186]. Фононный механизм сверхпроводимости может осуществляться посредством плоских фононов, соответствующих колебаниям атомов в плоскости графена, и изгибных фононов, соответствующих изгибу листа графена (если графен свободно подвешен). Среди плоских фононов наиболее сильное взаимодействие с электронами демонстрируют 4 оптические моды, наблюдающиеся в спектрах комбинационного рассеяния [187, 188]. Взаимодействие электронов с изгпбными фононами, представленными двумя модами, имеет необычный вид — оно квадратично по операторам фононов [189, 190, 183].

Снаривание электронов в графене посредством плоских фононных мод описано в диссертационной работе при помощи диаграммной техники, оперирующей с матричными функциями Грина, строки и столбцы которых соответствуют состояниям электронов на двух подрешетках кристаллической решетки графена и в двух долинах К и К'. Выражения для гамильтониана электрон-фононного взаимодействия в графене отражают тот факт, что волновые функции электронов распределены по двум подрешеткам, в то время как разные фонопные моды соответствуют различным совместным и относительным колебаниям двух подрешеток. Как следствие, аппарат матричных функций Грина необходим для корректного описания электрон-фононного взаимодействия в графене, разрешенного по подрешеткам и долинам электронов.

Полученные в работе матричные уравнения Горькова, описывающие спаривание в графене, допускают, в принципе, различные виды параметра порядка. В данном случае исследовалось такое спаривание, которое диагонально по зонам (и, как в случае электрон-дырочного спаривания в бислое графена, характеризуется двумя щелями — в зоне проводимости и в валентной зоне), но при этом может иметь произвольную структуру вида SU (2) в пространстве долин К и К'. Решение уравнений Горькова приводит к системе двух уравнений самосогласования для щелей, похожих на уравнения Элиашберга [180, 181]. Были найдены аналитические решения такой системы в приближении эйнштейновского спектра фононов как в пределе сильного допирования графена, когда спаривание, фактически, существует только в одной из зон, так и при малом допировании — в квантовой критической точке недопированного графена по константе связи и в ее окрестности. Оценки константы связи, отвечающей плоским оптическим фононам, показывают, что при сильном химическом допировании графена температура перехода в сверхпроводящее состояние может достигать долей градуса Кельвина.

Разработанный формализм применен к исследованию спаривания на акустических фо-нонах, что может быть интересно в иных физических системах помимо графена (в контексте спаривания безмассовых фермионов при обмене скалярным бозоном). Соответствующие результаты опубликованы в статьях [163].

Все выкладки is диссертационной работе представлены в гауссовой системе единиц и в соглашении h = 1.

Основные результаты.

Перечислим вкратце основные результаты, представленные в диссертации:

1. Исследовано состояние мелкомасштабного фазового расслоения в манганитах. Обнаружено, что в спиновом секторе физики манганитов на квадратной и треугольной двумерных решетках с фрустрацией «одетые» магнитные поляроны (состоящие из ферромагнитной сердцевины и «шубы» спиновых искажений вокруг нее) отвечают основному состоянию системы в то время, как жесткие магнитные поляроны (состоящие из ферромагнитной сердцевины, но без «шубы» спиновых искажений) оказываются метастабильными объектами.

2. Показано, что описание орбитального сектора физики манганитов эквивалентно описанию спинового сектора. Таким образом, представляется возможным сформулировать идею орбитальных поляронов. Обсуждена возможность степенного спада искажений орбитального порядка, являющегося аналогом «шубы» спиновых искажений в спиновом секторе.

3. Исследовано спаривание пространственно разделенных электронов и дырок в бислое графена в режимах слабой и сильной связи. Обнаружено, что при переходе от слабой связи к сильной в графене и бислое графена реализуется переход от однозонного спаривания типа БКШ к многозонному «ультрарелятивистскому» спариванию.

4. В рамках построенной теории двумерного «ультрарелятивистского» электронного и электрон-дырочного газа вычислено значение сверхпроводящей щели. Отмечено, что многозонное рассмотрение спаривания в бислое графена при сильной связи дает значение щели большее, чем одпозонное значение БКШ. Учтено влияние динамических эффектов (частотной зависимости экранированного потенциала спаривания) на величину щели и продемонстрирована серьезная конкуренция между неэкранирован-ным кулоновским притяжением, с одной стороны, и совместным отталкивающим вкладом виртуальных плазмонов и одночастичных возбуждений, с другой стороны. Также отмечены необычные сверхтекучие свойства системы, в частности, образование четверть-вихрей при фазовом переходе Костерлица-Таулеса.

5. Исследовано s-спаривание электронов в графене посредством плоских оптических фонониых мод. Параметр порядка был выбран в виде, диагональном по валентной зоне и зоне проводимости, но имеющем произвольную структуру в пространстве долин. Получены и аналитически решены в предельных случаях двухзонные уравнения Элиашберга, описывающие спаривание посредством фононов. Рассмотрено применение разработанного формализма для случая акустических фононов.

Значение полученных результатов.

Обсудим теперь практическую значимость полученных результатов и возможные направления дальнейших исследований электронных свойств манганитов и графена при помощи развитых в диссертационной работе методов. Представленные в первой главе результаты — характеристики состояния мелкомасштабного фазового расслоения — могут быть сопоставлены с экспериментальными данными, полученными посредством нейтронного рассеяния. Изучение фазовых диаграмм манганитов может оказаться полезным с точки зрения инженерных приложений в области колоссального магнитосопротивления (KMC).

Рассмотренное во второй главе многозонное спаривание в электрон-дырочном бислое графена может быть реализовано экспериментально при низких температурах. Сверхтекучесть конденсата электрон-дырочных пар и сопутствующие ей эффекты Джозефсона могут быть использованы в различных напоэлектронных устройствах. С фундаментальной точки зрения представляют интерес разработка теории сверхтекучести системы с многозонным спариванием, поиск новых типов топологических возбуждений в такой системе и исследование роли корреляционных эффектов в режиме сильной связи.

Изученное в третьей главе сверхпроводящее спаривание электронов в графене посредством фононного механизма может быть обнаружено в экспериментах при сильном химическом допировании образцов и примыкает к явлениям сверхпроводимости в интеркалированном графите.

Таким образом, в диссертационной работе проведены теоретические исследования ряда коллективных электронных явлений в манганитах и графене. Результаты указывают на множество их интересных особенностей. Бурное развитие исследований манганитов и графена и перспективы их технологических применений придают особую значимость полученным результатам.

Благодарности.

В заключение автору хочется выразить особую благодарность своему научному руководителю Юрию Ефремовичу Лозовику за постановку задач в области графена, научное руководство и постоянную поддержку на всех этапах исследования графена. Работа выполнена в НИЯУ МИФИ. Часть работы (по графену) выполнена в сотрудничестве с A.A. Соколиком (Институт спектроскопии РАН). Автор глубоко обязан К. И. Кугелю и А.О. Сбойчако-ву за совместное решение задач в области манганитов. Мы все благодарны М. Ю. Кагану, Д. И. Хомскому и А. Л. Рахманову за обсуждение основных результатов по манганитам, A.B. Клапцову и И. Гонзалезу за помощь на ранних стадиях исследований манганитов.

Заключение

.