Автономная немарковская система массового обслуживания и ее применение в задачах демографии

В настоящее время демографические прогнозы востребованы в самых разных отраслях экономики, в образовании, здравоохранении и т. д. В связи с этим возникает необходимость построения научно обоснованных демографических прогнозов, как на ближайшее, так и на более отдаленное будущее.

Среди методов демографического анализа выделяют следующие основные группы [16]: статистические методы изучения населения, социологические методы, графоаналитические и картографические методы, использование математических моделей в изучении населения. Использование математических моделей относится к современному методу демографического анализа и заключается в определении некоторых исходных предположений относительно динамики демографических процессов.

Для демографического прогнозирования численности и состава населения полезными являются статистические методы и методы математического моделирования (рисунок 1). Однако наиболее эффективным инструментом является математическое моделирование.

Рисунок 1 — Классификация методов, используемых для демографического прогнозирования

Остановимся более подробно на известных методах математического моделирования демографических процессов.

В зависимости от того, учитывает ли демографическая модель отклонение частот демографических событий от их вероятностей, демографические модели принято делить на стохастические (или вероятностные) и детерминированные. Также демографические модели подразделяют на непрерывные и дискретные.

К первым математическим моделям воспроизводства относятся модели воспроизводства биологических популяций. Простейшей моделью является задача о размножении одной пары кроликов, которая была описана в 1202 г. Leonardo Pisano (около 1170 — около 1250 гг.), известным как Фибоначчи

Fibonacci) [94]. Согласно его теории рост популяции происходит за счет рождения каждой парой кроликов новой пары.

Следующей по времени моделью общей численности популяции в демографии считается модель английского ученого Т. Мальтуса (Thomas Robert Malthus) (1766−1834 гг.) [15, 17, 31, 54, 57−58, 94, 103]. В модели Мальтуса население имеет экспоненциальный рост. Заметим, что модели популяции Мальтуса и популяции Фибоначчи являются детерминированными непрерывными моделями, в частном случае дискретными моделями.

Что касается простых детерминированных моделей роста человечества, то к ним относятся, прежде всего, модели линейного и экспоненциального роста [1, 17, 24, 36, 57−58, 100−101, 126, 156]. В модели линейного роста изменение численности населения происходит при постоянстве абсолютного прироста. Следует отметить, что модель линейного роста дает удовлетворительные результаты только на короткий период, продление же на более длительный срок ни в прошлое, ни в будущее не дает адекватных результатов.

В литературе также встречается стационарная модель воспроизводства населения [12, 17−18, 52, 99, 103, 120]. В такой модели предполагается, что рождаемость равна смертности, то есть при постоянстве численности прирост равен нулю. Таким образом, в стационарном населении остаются постоянными общая численность и численность в возрастно-половых группах.

Наиболее известный подход, позволяющий описать модель воспроизводства населения в целом, — теория стабильного населения [13, 17—19, 24, 26, 28, 30, 36, 43, 52, 57−58, 60, 94, 96, 101, 103, 120, 125, 139−140, 145]. Стабильное население характеризуется постоянными во времени возрастными интенсивно-стями рождаемости, смертности и возрастной структурой населения. Население, в котором не изменяются функция дожития, возрастная структура населения и коэффициент прироста называется экспоненциальным населением. Ему соответствуют все основные формулы теории стабильного населения, в которые не входит функция рождаемости. Очевидно, что стационарное населениечастный случай стабильного населения.

Известны непрерывные и дискретные аналоги модели стабильного населения. В основе непрерывных моделей лежит интегральное уравнение воспроизводства населения (уравнение Лотки), в основе дискретных — матричная модель (матрица Лесли).

Идея экспоненциального роста населений как основы стабильного населения впервые представлена английским актуарием М. Хейлом (М. Hale). Разработку теории стабильного населения связывают с такими именами как Л. Эйлер (L. Euler) (1707−1783 гг.), Г. Кнапп (G. Кпарр) (1842−1926 гг.), В. Лексис (V. Lexis) (1837−1914 гг.), Дж. Лотка (J. Lotka) (1880−1949 гг.), В. Борткевич (1868—1931 гг.). Заметим, что Дж. Лотка разработал теорию стабильного населения в непрерывной форме для одного пола. Дискретную теорию стабильного населения, используя дискретный подход У. Феллера (W. Feller) (1906—1970 гг.), построил П. Лесли (P. Leslie) [137]. Обобщением теории стабильного населения занимались П. Венсент (P. Vincent), Дж. Хаджнал (J. Hajnal) (1924;2008 гг.), П. Кармел (P. Carmel), К. Джини (К. Gini) (1884−1965 гг.), Ж. Буржуа-Пиша (J.Bourgeois-Pichat) (1912;1990 гг.) [111], Л. Анри (L. Anry), Н. Кейфиц (N. Keyfltz) [127−133], А. Я. Боярский (1906;1985 гг.), а также X. Хюрениус (Н. Hyrenius) (1914;1979 гг.), А. Роджерс (A. Rogers) [148−149] и В. Ф. Шукайло (1932;1983 гг.). Большой вклад в разработку методов практического применения стабильного населения привнесли советские демографы С. А. Новосельский (1872−1953 гг.), В. В. Паевский (1893−1934 гг.), А. Я. Боярский (1906;1985 гг.), И. Г. Венецкий (1914;1981 гг.) и др. [5−9, 17, 26, 56].

Современный этап развития теории стабильного населения связывают с обобщением основных выводов на случай демографических процессов с переменными интенсивностями (процессы рождаемости и смертности в виде временных рядов, случайных процессов) — А. Коул (A. Coale) (1917;2002 гг.) [114, 144] и А. Лопес (A. Lopes). А также Р. Лии (R. Lee) [135−136], Д. Ахлбург (D. Ahlburg) [107], 3. Сайкес (Z. Sykes) [153−154], Картер (Carter), М. Алхо (М. Alho) [108−109], Б. Спенсер (В. Spencer) [108], Дж. Поллард (J. Pollard) [142 143], Дж. Кохен (J. Cohen) [116−118], Н. Кейфица (N. Keyfltz) [127−133], X.

Касвелл (Н. Caswell) [112−113], М. Тревисан (М. Trevisan) [113], Л. Гудман (L. Goodman) [122−124] и другие [26, 110, 115, 119]. Применение теории стабильного населения встречается в работах [3, 18, 23, 32].

В конце ХЕК века учеными была предпринята попытка использовать в качестве модели, описывающей рост человечества, логистическую кривую [17, 24, 29, 57−58, 101, 103, 113, 120, 126, 139, 146]. Этой модели придерживались Р. Пирль (R. Pearl) (1879−1940 гг.) и JL Рид (L. Reed) [146]. Уравнение этой кривой было введено впервые в 1835 г. бельгийским математиком Ф. Ферхюльстом (F. Verhulst) (1804—1849 гг.), общая идея которого состояла в наложении на экспоненциальный рост численности населения некоторого фактора, замедляющего этот рост и увеличивающего свое действие по мере возрастания численности населения [27, 30]. Надо иметь в виду, что использование Р. Пирлем и другими демографами логистической кривой для абстрактных расчетов численности населения означало игнорирование влияния социально-экономических факторов на численность населения. В связи с этим попытки использовать логистическую кривую для прогнозирования численности населения на достаточно отдаленное будущее привели к ненадежным и неправильным выводам. Логистическая кривая может быть полезной лишь при краткосрочном прогнозе численности населения, а также как приближение динамики некоторых демографических показателей, например рождаемости, смертности, функции дожития и т. д. [134].

Еще одной детерминированной моделью воспроизводства населения является модель гиперболического изменения численности населения. Впервые предположение, что скорость роста численности населения пропорциональна квадрату численности, было замечено в 1960 г. Хайнцом фон Ферстером (V. Foerster) (1911;2002 гг.), П. Мором (P. Mora) и Л. Амиотом (L. Amiot). По этой же формуле И. С. Шкловский прогнозировал численность населения земного шара в период с 1600 по 1960 г. [17]. В настоящее время в этом направлении работает С. П. Капица [34—41]. Модель Ферстера встречается также в [46].

Значительный вклад в математическую демографию сделан Олегом Васильевичем Староверовым (1933;2006 гг.) [94−96], который рассматривал демографические процессы в виде марковских моделей в форме цепей Маркова. Староверов О. В., применяя теорию пуассоновских потоков, предполагал, что все демографические процессы, включая миграцию, обладают вероятностными свойствами: стационарностью, отсутствием последействия, ординарностью. Из простейших предположений Староверовым О. В. получены модели демографии, миграции, межотраслевого и социального движения населения. Модели естественного движения населения исследованы в дискретном и непрерывном виде, для них в [94, 96] получены основные уравнения.

В [95] Староверовым О. В. предлагается стохастическая модель развития населения с дискретным временем, учитывающая! случайность, как в рождаемости, так и в смертности. Суть исследования с помощью такой модели состоит в следующем: вводится понятие состояние индивидуума' в момент времени, определяемое возрастной группой, в которой он находится, и определяются возможныепереходы и вероятности этих переходов. Кроме этого, применение марковских цепей встречается в [42, 83−85, 121].

В отдельную группу можно > выделить модели, которые рассматривают демографический процесс изменения численности как ветвящийся процесс, в частном случае как процесс гибели и размножения [122−124, 142−143, 147].

Особое место в демографическом моделировании занимает метод передвижки возрастов [10−12, 17, 57−58, 105, 138, 145, 151, 157−158]. Метод компонент или метод передвижки разработан П. К. Уэлптоном (Р.К. Whelpton) (1893— 1964 гг.) [157—158]. В этом методе за основу принимают распределение населения по возрастам и постепенно передвигают численности отдельных возрастных групп в соответствии с показателями таблиц смертности.

В России перспективными расчетами численности населения методом возрастной передвижки занимались С. Г. Струмили" (1877−1974 гг.), А. Я. Боярский (1906;1985 гг.), П. П. Шушерин, М. С. Бедный [12, 48, 103].

В последнее время расчетами половозрастной структуры населения методом возрастной передвижки занимаются Государственный комитет Российской Федерации по статистике, Центр демографии и экологии человека, Отдел населения ООН, Международный Институт прикладного системного анализа (IISA) в г. Лаксенбург (Австрия), В. Лутц (W. Lutz), У. Сандерсон (Sanderson W.) и С. Щербов [19, 25, 57—58, 77−80]. Применение метода передвижки встречается в работах [2, 13, 21, 44, 51, 55, 86, 88−90, 92, 99], а также [17, 23, 100, 107, 109, 152].

Следует заметить, что соотношения для модели естественного движения населения в дискретном времени (матричная модель — матрица Лесли), полученные также О. В. Староверовым [94, 96], являются, так называемой передвижкой возрастов, то есть применение подхода Лесли приводит к тем же результатам, что и передвижка по возрастам. А модель Лотки есть не что иное, как аналог метода передвижки в непрерывном времени.

Общая теория стабильного населения на случай демографических процессов с переменными интенсивностями, применяемая А. Коулом, А. Лопесом, Р. Лии, Д. Ахлбургом, 3. Сайкесом, Картером, М. Алхо, Б. Спенсером, Дж. Поллардом, Дж. Кохеном, Н. Кейфицем, X. Касвеллом, М. Тревисаном, Л. Гуд-маном и другими, выделяются здесь в отдельный класс методов — стохастический вариант метода передвижки по возрастам [107−109, 112—114, 116−118, 122−124, 127−133, 135−136, 142−144, 153−154].

Отметим, что метод передвижки возрастов по своей сути не учитывает влияние социально-экономических факторов на демографические процессы. Кроме того, главным недостатком метода является невозможность расчета уровня рождаемости при проектировании прогнозных значений численности возрастных групп.

Подведем итог, проведенный анализ множества моделей, показывает, что в моделировании демографических процессов наиболее распространены детерминированные модели (дискретные и непрерывные) и стохастические дискретные. Преимущество стохастических моделей перед детерминированными моделями заключается в том, что они учитывают отклонение частот демографических событий от их вероятностей.

Однако демографические процессы протекают в непрерывном времени и являются, стохастическими. Методы исследования таких процессов в математической демографии недостаточно развиты. Именно поэтому актуальной является задача существенного расширения^ математических моделей процесса изменения демографической ситуации, а также развития методов их исследования.

Цель и задачи исследования

Основной целью данной работы является разработка и исследование математической модели процесса изменения’демографической ситуации в виде автономной немарковской системы массового обслуживания с неограниченным числом приборов, которая составляет новый класс в теории массового обслуживания и позволяет моделировать, технические, биологические и другие автономные стохастические системы, функционирующие в непрерывном времени.

Таким образом, поставлены следующие задачи:

1. Разработка математического метода исследования* автономных стохастических систем с непрерывным и дискретным временем.

2. Разработка стохастических моделей демографии ввиде упрощенных автономных систем массового обслуживания1 с РН-распределением. времени обслуживания и развитие методов моментов и асимптотического анализа для их исследования.

3. Разработка новой математической модели процессаизменения демографической ситуации в виде автономной немарковской системы массового обслуживания с неограниченным числом приборов и произвольным временем, обслуживания.

4. Разработка метода виртуальных фаз и модификация метода асимптотического анализа для исследования автономной немарковской системы массового обслуживания, с неограниченным числом приборов и произвольным временем обслуживания.

5. Применение разработанных математических моделей к исследованию процесса изменения демографической ситуации.

Научная новизна и результаты, выносимые на защиту, состоят в следующем:

1. Сформирован новый класс систем обслуживания в виде автономной немарковской системы массового обслуживания с неограниченным числом приборов и ее упрощенные варианты, позволяющий применять их к исследованию широкого класса автономных стохастических систем.

2. Разработан метод виртуальных фаз. для-исследования автономной немарковской системы массового обслуживания1 с неограниченным числом приборов, позволяющий находить многомерное распределение вероятностей чис-ленностей обслуживаемых заявок различных возрастов и основные характеристики, определяющие эти распределения.

3. Для исследования упрощенных моделей (трехфазной" и пятифазной автономных систем, автономной системы с двумя типами заявок, автономной системы с РН-распределением времени обслуживания) предложены модификации метода моментов и метода асимптотического г анализаНайдены распределения вероятностей числа обслуживаемых заявок в таких системах и> их основные характеристики. 4. На основе метода прямой передвижки возрастных групп предложен метод обратной передвижки, позволяющий выполнять интерполяцию демографических данных между датами переписей населения, а также восстанавливать функцию интенсивности процесса рождаемости. Метод прямой и обратной передвижки возрастных групп применены для оценки величины людских потерь РФ в годы ВОВ. Значение оценки составляет 17 млн. человек.

Методы исследования. В ходе исследования автономных систем массового обслуживания с неограниченным числомприборов разных типов применялся аппарат теории вероятностей, случайных процессов, теории массового обслуживания, теории возмущений, математической демографии. В работе использовались методы моментов и асимптотического анализа.

Результаты, представленные в работе, имеют как теоретическое, так и практическое значение.

Теоретическая ценность для теории массового обслуживания заключается в существенном совершенствовании и расширении классов систем массового обслуживания, а именно в создании автономной немарковской системы массового обслуживания с неограниченным числом приборов, функционирующей в непрерывном времени, а также в разработке метода виртуальных фаз и в модификации метода асимптотического анализа для ее исследования. Кроме того, теоретическая ценность работы отражается в дальнейшем развитии математической демографии, а именно в разработке новой математической модели процесса изменения демографической ситуации и методов ее исследования.

Практическая ценность предложенной автономной немарковской системы массового обслуживания с неограниченным числом приборов, функционирующей в непрерывном времени, и методов ее исследования заключается в возможности их применения для моделирования широкого класса технических систем и социально-экономических явлений и нахождения их основных вероятностных характеристик. В частности в диссертации рассмотрено применение для демографического прогнозирования на среднесрочную и долгосрочную перспективу.

Публикации. По материалам диссертации опубликованы 13 работ, из них 3 статьи [65, 69, 71] в журналах перечня ВАК:

В журналах перечня ВАК:

1. Назаров А. А. Многофазная автономная система массового обслуживания и ее применение к задачам демографии / А. А. Назаров, М. Г. Носова // Известия Томского политехнического университета. Серия Управление, вычислительная техника и информатика. — 2009. — Том 315, № 5. — С. 183−186.

2. Назаров А. А. Исследование математической модели демографических процессов в виде пятифазной системы массового обслуживания / А. А. Назаров, М. Г. Носова // Вестник Сибирского государственного аэрокосмического университета им. академика Решетнева. — 2010. — Том 1. — С. 53−58.

3. Назаров А. А. Математическая модель процесса изменения демографической ситуации и ее исследование / А. А. Назаров, М. Г. Носова // Доклады Томского государственного университета систем управления и радиоэлектроники. — 2009. — Т. 2 (20). — С. 100−105.

В других изданиях:

4. Назаров А. А. Стохастическая модель демографических процессов как автономная система массового обслуживания / А. А. Назаров, М. Г. Носова // Обозрение прикладной и промышленной математики. — 2009. — Т. 16, Вып. 6. — С. 1098−1099.(

5. Назаров А. А. О нецелесообразности аппроксимации процесса рождаемости потоками Пуассона при долгосрочном прогнозировании / А. А. Назаров, М. Г. Носова // Вестник Томского государственного университета. Серия Управление, вычислительная техника и информатика. — 2009. — № 3(8). — С. 75— 80.

6. Назаров А. А. Метод передвижки возрастных групп в демографии и его приложения / А. А. Назаров, М. Г. Носова // Вестник Томского государственного университета. Серия Управление, вычислительная техника и информатика. — 2009.-№ 3(8).-С. 67−75.

7. Носова М. Г. Статистическая инвариантность во времени распределения вероятностей значений репродуктивного возраста // Информационные технологии и математическое моделирование (ИТММ-2004): Материалы Ш Всероссийской научно-практической конференции. — Томск: ТТУ, 2004. — Ч. 2. — С. 32−33.

8. Назаров А. А. Исследование демографических процессов методами теории массового обслуживания / А. А. Назаров, М. Г. Носова // ММПЭИТС: Материалы международной научной конференции. — Минск: БГУ, 2005. — С. 156−161.

9. Морозова А. С. Исследование основных характеристик математической, модели сценария развития демографической ситуации / А. С. Морозова, М. Г.

Носова // Научное творчество молодежи: Материалы IX Всероссийской научно-практической конференции. — Томск: ТГУ, 2005. — Ч. 1. — С. 42-^45.

10. Назаров А. А. Долгосрочный прогноз значений процесса изменения демографической ситуации / А. А. Назаров, М. Г. Носова // Научное творчество молодежи: Материалы IX Всероссийской научно-практической конференции. -Томск: ТГУ, 2005. — Ч. 1. — С. 37⁰.

11. Назаров А. А. Упрощенная стохастическая модель демографии в виде автономной системы обслуживания с неограниченным числом приборов / А. А. Назаров, М. Г. Носова // Информационные технологии и математическое моделирование: Материалы V Международной научно-практической конференции. — Томск: ТГУ, 2006. — С. 134−137.

12. Назаров А. А. Исследование системы с РН-распределением времени обслуживания / А. А. Назаров, М. Г. Носова // Научное творчество молодежи: Материалы XI Всероссийской научно-практической конференции. — Томск: ТГУ, 2007. — Ч. 1. — С. 41−44.

13. Назаров А. А. Автономная немарковская система обслуживания с неограниченным числом приборов / А. А. Назаров, М. Г. Носова // ММПЭИТС: Материалы международной научной конференции. — Минск: РИВШ, 2007. — С. 175−180.

Апробация работы. Основные положения работы и отдельные ее результаты докладывались и обсуждались:

1. III Всероссийская научно-практическая конференция «Информационные технологии и математическое моделирование (ИТММ-2004)», г. Анжеро-Судженск, 2004 г.

2. Международная научная конференция «Математические методы повышения эффективности функционирования телекоммуникационных сетей», г. Минск, 2005 г.

3. IX Всероссийская научно-практическая конференция «Научное творчество молодежи», г. Анжеро-Судженск, 2005 г.

4. V Международная научно-практическая конференция «Информационные технологии и математическое моделирование», г. Анжеро-Судженск, 2006 г.

5. XI Всероссийская научно-практическая конференция «Научное творчество молодежи», г. Анжеро-Судженск, 2007 г.

6. Международная научная конференция «Математические методы повышения эффективности функционирования телекоммуникационных сетей», г. Минск, 2007 г.

7. VII Российская конференция с международным участием «Новые информационные технологии в исследовании сложных структур», г. Томск, 2008 г.

Работа выполнена при поддержке АВЦП «Развитие научного потенциала высшей школы (2009—2010 гг.)» Федерального агентства по образованию РФ по проекту «Разработка методов исследования немарковских систем массового обслуживания и их применения к сложным экономическим системам и компьютерным сетям связи».

Структура работы. Работа состоит из введения, четырех глав, заключения, списка использованной литературы и приложений.

В первой главе предлагаются решения некоторых задач математической демографии с помощью математических методов.

В разделе 1.1 дано математическое обоснование метода прямой передвижки возрастных групп [157−158, 70]. Метод прямой передвижки применяется для определения оценок значений численности 7V (x + x,/ + x) группы лиц возраста х-Нв году t+z при условии, что известна численность N (pc, t), т — шаг прогнозирования. Получены основные равенства для применения метода передвижки возрастных групп. В частности, для метода прямой передвижки основное равенство записывается в виде

N (x + x, t + x) = N (x, t) + б2 > где S (x) — функция дожития [102], N (x, t) задано, a N (x + x, t + т) является оценкой значения численности демографической группы лиц возраста х+т в году t+т, а 82 — случайная ошибка с математическим ожиданием Ме2=0.

Показано, что оценка значения численности возрастных групп по методу прямой передвижки обладает достаточно высокой точностью, поэтому ошибкой е2 здесь можно пренебречь.

Введено понятие обратной передвижки возрастов. Для метода обратной передвижки основное равенство записывается в виде

Щхz, t — т) = Щх, t) + е4>

S (x) где N (x, t) задано, a N (x — x, t — т) является оценкой значения численности демографической группы лиц возраста х-т в году t—т, е4 — случайная ошибка с математическим ожиданием Ме4=0. Данное равенство позволяет определить оценку значения численности демографической группы в прошлые моменты времени.

В разделе 1.2 проведено дополнительное исследование оценки значения численности N (x-i, tт), полученной методом обратной передвижки возрастных групп. Найдены условные математическое ожидание и дисперсия величины N{x — x, t — x) при условии, что выполняется равенство N (x, f)=n.

Заметим, что в смысле значений коэффициентов вариации, показано, что оценки, полученные методом обратной передвижки, на порядок (в 10 раз) точнее оценок, полученных методом прямой передвижки, при одинаковом горизонте прогнозирования т. Поэтому случайной ошибкой е4 здесь также можно пренебречь.

В разделе 1.3 на основе полученных формул применены методы прямой и обратной передвижки возрастов к решению задачи оценки величины людских потерь Российской Федерации в годы Великой Отечественной Войны. Показано, что суммарные значения людских потерь РФ в годы ВОВ при методах прямой и обратной передвижки возрастных групп совпадают и составляют 5=17 млн. чел.

В разделе 1.4 представлено математическое обоснование нецелесообразности аппроксимации в математической демографии процесса рождаемости потоком Пуассона при долгосрочном прогнозировании [72, 75, 96]. Для этого на первом этапе рассматривается наиболее простая для исследования математическая модель случайного потока, управляемого цепью Маркова. Такая модель определяется как поток заявок в автономной системе массового обслуживания с неограниченным числом приборов и средним значением m (f) числа занятых приборов. Для системы определено распределение вероятностей P (i, t) и составлена система дифференциальных уравнений Колмогорова, найден аналитический вид характеристической функции H (u, t)

•л N i±i? 1) ехр{(Ь-[i)t]

H (u, t) b b eju — H (eju -1) exp{(? — ц)*} b

Далее исследуется, открытая система массового обслуживания с неограниченным числом приборов, на вход которой поступает нестационарный пуас-соновский поток с интенсивностью выбираемой из условия совпадения средних значений числа приборов, занятых в автономной системе и в открытой системе с пуассоновским входящим потоком. Аналогично предыдущей системе массового обслуживания записано и решено дифференциальное уравнение для характеристической функции числа занятых приборов G (u-t). Характеристичная функция G (u, t) имеет вид

G{u, t) = {l-e^ +ejue-v)N ехр{(<> -l)}

Через обратное преобразование-Фурье [14] найдены распределения вероятностей P (i, t) и Pi (i, t) — определяемые характеристическими функциями G (u, t) и H (u, t). Определено расстояние между распределениями вероятностей P (i, t) и Р2(л0 как p (b, t) — max

UPx (n, t)-P2{n, t)) п=О

Получены значения расстояния p{b, t) для различных значений параметров but, показано, что расстояние р (b, t) возрастает с ростом значений параметров but. Поскольку, характеристики таких систем массового обслуживания существенно различаются, следовательно, делается вывод о нецелесообразности аппроксимации процесса рождаемости потоком Пуассона при долгосрочном прогнозировании.

В главе 2 [65, 71, 74] предлагается математическая модель женского населения в виде автономной немарковской системы массового обслуживания с РН-распределением времени обслуживания и неограниченным числом приборов. Особенностью такой системы является отсутствие внешнего источника1 заявок.

Продолжительность обслуживания т каждой заявки складывается из про-должительностей случайного числа фаз

Т = Т] Т2 где т, — — продолжительность /-й фазы обслуживания. Величины т, являются независимыми экспоненциально распределенными случайными величинами с параметрами ц,/, характеризующими продолжительности фаз обслуживания, i — U v .

В терминах демографии обслуживаемая заявка интерпретируется как женщина, время обслуживания заявки — продолжительность жизни этой женщины, величина b,(t) — интенсивность рождения девочек у женщины i-й возрастной группы в году t. Входящим потоком заявок является* процесс рождения девочек, то есть последовательность моментов рождения девочек от всей совокупности женщин.

В этой главе рассматриваются некоторые упрощенные варианты автономной системы с РН-распределением времени обслуживания и методы их исследования, а именно, трехфазная система массового обслуживания (раздел 2.2), пятифазная система массового облуживания (раздел 2.3) и система массового обслуживания с двумя типами заявок (раздел 2.4).

Различия между моделями следующие: в трехфазной модели репродукция новой-заявки, возможна только на 2-й фазе с интенсивностью b (t)=b, в пятифазной — на 2-й, 3-й и 4-й фазах с интенсивностью b{t)=b, b2(t)=b2 и Ь3(г)=6з соответственно. В системе массового обслуживания с двумя типами заявок рассматриваются заявки первого типа, продолжительность обслуживания, которых в системе состоит из трех фаз, и заявки второго типа, их время обслуживания состоит из единственной фазы. В терминах демографии под заявкой первого типа подразумевается женщина, а под заявкой второго типа — мужчина, репродуктивная 2-я фаза — репродуктивный возраст женщины, а время обслуживания в системе — продолжительность жизни человека. В перечисленных системах массового обслуживания рассматриваются фазы разной продолжительности.

Состояние упрощенной автономной системы в момент времени t определяется вектором n{t) соответствующей размерности. Для указанных моделей определены многомерные распределения! вероятностей P (n, t), где п={п, п2, и3,.}, для которых составлены системы дифференциальных уравнений Колмогорова [76] и записаны дифференциальные уравнения для многомерных характеристических функций H{u, t) числа заявок, обслуживаемых в системах, здесь и—{щ, г/2, из,.}.

Для нахождения распределения вероятностей, а также основных его характеристик применены методы моментов и асимптотического анализа [62].

Метод моментов позволил найти числовые характеристики (моменты) многомерного случайного*процесса n (t). Для исследования распределения вероятностей его значений использован метод асимптотического анализа, модифицированный к рассматриваемой задаче.

При методе асимптотического анализа уравнение для характеристической функции H{u, t) рассматривалось в асимптотическом условии большой численности групп, пропорциональных некоторой бесконечно большой величине N, чтовполне обосновано в демографических исследованиях, где численности стандартных возрастных групп измеряются миллионами.

В1 первой асимптотике были предложены замены u = ew, H (u, t) = F (w, t, z), где ?=1 IN, е — малый положительный параметр [53], которые позволили перейти к сингулярно возмущенным по малому параметру 8 задачам для Fi (w, t, E).

Считаем, что получаемые в результате замен сингулярно возмущенные задачи обладают некоторыми особенностями, которые приводят к тому, что для решений Fi (w, t, е) сингулярно возмущенных задач существуют пределы F (w, f), которые определяются решением предельных невозмущенных задач. Данное предположение относится ко всем сингулярно возмущенным задачам, рассматриваемым в диссертации.

Показано, что где аналитическое среднее Nm (t) является решением системы обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка.

Для нахождения асимптотики второго порядка в задаче для Fx{w, t,?) выполнены замены где элементы матрицы ковариаций NR=[NRjj] являются также решением системы обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка.

Определено, что многомерная величина n (t) имеет асимптотически нормальное распределение с вектором математических ожиданий Nm (t) и матрицей ковариаций NR=[NRij, где Rij=M{}, очевидно, что Rf=Rji. Величины i и j определяются типом системы массового обслуживания.

На примере упрощенных стохастических моделей сформулированы основные идеи метода асимптотического анализа в условии большой численности lim Fy (w, t, e) = Fx (w, t) = exp {jm (t)w}, групп, которые изложены в доказательствах Теорем 2.1 и 2.2 раздела 2.2, Теорем 2.3 и 2.4 раздела 2.3, Теорем 2.5 и 2.6 раздела 2.4. Все рассмотренные асимптотики данной диссертации реализованы в условии большой численности групп.

Отметим, что асимптотические средние значения Nm{t) числа заявок, обслуживаемых в рассмотренных системах в момент времени t, найденные в предельном асимптотическом условии JV—>оо, совпадают с допредельными, полученными методом моментов. Заметим, что такое совпадение справедливо и для вторых моментов в предельной и допредельной моделях.

Предложенная упрощенная стохастическая модель в виде автономной системы массовогообслуживания с РН-распределением времени обслуживания, а также частные ее виды, применяется для анализа демографической ситуации. В таком случае, аналитические результаты метода моментов и метода асимптотического анализа позволяют построить долгосрочный сценарий развития демографической ситуации, как это продемонстрировано в разделах 2.2.3, 2.3.3, 2.4.3. t

В главе 3 [63, 66−69, 73] предложена стохастическая модель в виде автономной немарковской системы массового обслуживания с неограниченным числом приборов и произвольным временем обслуживания. Принципиальное отличие от модели главы .2 заключается в том, что здесь исследуется стохастическая плотность численности заявок. Предложен метод ее исследования, названный методом виртуальных фаз, заключающийся в аппроксимации времени обслуживания суммой случайного числа независимых одинаково экспоненциально распределенных случайных величин и предельным переходом при неограниченном возрастании числа фаз, а также пропорциональном уменьшении длительности каждой фазы.

В разделе 3.2 исследована общая система массового обслуживания с РН-распределением-времени обслуживания. В этой модели время обслуживания аппроксимировано суммой случайного числа независимых одинаково экспоненциально распределенных случайных величин. Для распределения вероятностей P (ni, n2,., t) числа обслуживаемых заявок записана система дифференциальных уравнений Колмогорова [76] P (nl-l, n2,., t){(nl-l)bl{t) + 1 ntbt{[)} + 2

00 ЦХ (и, — +){P{nx, n2,., ni +½/+1,., 0(1-//) +

1=1 Р (щ, П2,., П- + 1, И/+1 -1, Л/+2.,*>/}, где

Г Л (i-i

S

1 мJ вероятность перехода заявки на следующую фазу, a .S'(x)=l—fi (x), где 5(х) — функция распределения времени обслуживания заявки.

Наряду с исследованием допредельной модели, предложено ее асимптотическое исследование. Асимптотическое условие, а также замены асимптотик первого и второго порядков аналогичны главе 2. Основные идеи метода асимптотического анализа изложены в доказательствах Теорем 3.1 и 3.2. Найдена асимптотика первого порядка оо

Hx (u, t) = exp{/iV?>v/wv (/)}>

V=1 где компоненты m^t) являются решением системы обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка + t),

I '=1 т- (0 = -xnii (0 + (0, /' > 1.

Асимптотика второго порядка определена в виде

00 J 00 00

Н2 (и, 0 = exp {jN^uvmv (t) —Nj^ Z uiRy (*)uj }" v=i 2 i=i j=i где ^ = 1,°°, у = l, co, определяются из неоднородной системы обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка

ЯМО = -2iRn (t)+Y, bv (t){Rlv (t)+Rvm+qu (t),

V=1

R’n (0 = -2¹ (0+Д/-11 (0 ¦+ X К (0 ** (0 + 4i (0,

V—1

R[j Сf) = -2цЯ1у (0 + (0 + E К (t)RVJ (0 + <7U (0,

V=1

0 = -2[iRjj (t) + м^-Л-и (О + K/-1 Vi W +)" а функции имеют вид

00 n (0 = №(0+X>v (0&v (0>

V = 1

0 = Vv+lv (0 = OK > V = 1, 00, tfw (0 = unv (0 + (O'V-I" V = 2, GO,

0 = 0, N>2, /, y=2,oo.

Заметим, что равенства, определяющие средние характеристики в допредельной и предельной моделях совпадают.

Показано, что в условии предельного уменьшения длительностей фаз, то есть при ц—>оо, рассматриваемое РН-распределение сходится к распределению, определяемому функцией S (x), где S (x) — функция дожития, вид которой можно выбирать достаточно произвольно. Поэтому, сделав замены щ=и{Их), nt{t) = n (i/x, t),

Н (и, t) = Н (и, t, ц) = М< ехр

00 (I (i 1 т

I 1 -, t vH-) И и полагая, что при (i—>оо, г—>оо отношение Иь—>х и существуют следующие пределы lim u (i/x) = и (х),

7ц->дс lim Н (и

1->оо i/i->x ехр V jju (x)^(x, t) dx = F (u, t), V о / а также существует предел по распределению lim m (i I x., = x, t), в разделе 3.4 перешли к рассмотрению автономной системы массового обслуживания с произвольным временем обслуживания. Случайная функция?? x, f) названа стохастической плотностью численности заявок возраста х в момент времени t. Записано основное уравнение для характеристического функционала

Г (00 Л

F (u, t) = M

1 — б>(0) }Ь (х, 0 + (е~Мх) -1) — ju'(x)clx.

S (x) I dt 0 ди (х)

Для уравнения найдены асимптотики первого и второго порядков его решения. Асимптотическое условие, а также замены асимптотик первого и второго порядков аналогичны заменам главе 2. Получены аналитические решения, определяющие средние характеристики Nm (x, t) и вторые моменты стохастической плотности численности заявок x, t).

Полученные аналитические решения полностью определяют параметры гауссовского распределения, которому удовлетворяет распределение вероятностей стохастической плотности численности заявок £,(х,/) возраста х в году t, то есть полностью решают поставленную задачу исследования автономной немарковской системы массового обслуживания с неограниченным числом приборов и произвольным временем обслуживания.

В главе 4 [61, 64, 82] предложено применение исследованной в главе 3 автономной немарковской системы массового обслуживания с неограниченным числом приборов и произвольным временем обслуживания к изучению процесса изменения демографической ситуации. Функционирование математической модели определяется двумя функциональными параметрами S (x) и b (x, t), которые имеют очевидную демографическую интерпретацию функции дожития женщин и функции фертильности [26]. Для применения полученных результатов к исследованию демографических процессов функции S (pc) и b (x, t) выбраны в следующем виде.

Функция дожития S (x) в виде модели Гомперца-Мейкема [102, 141, 155]

S{x) = ехр{-)(А + BeCu) du} = exp{-Jjt-В (еСх -1)/С}, о где параметр, А учитывает риски, связанные с несчастными случаями, а слагае

Сх мое Be учитывает влияние возраста на смертность.

Интенсивность процесса рождаемости b (x, t) определим в виде b (x, t) = 0.488г|(?)|/(х, 0, где т](У) — суммарный коэффициент рождаемости в момент времени t [26], а функция имеет смысл плотности распределения вероятностей значений репродуктивного возраста женщины. Функция y (x, t) задана как плотность смещенного двупарамерического у-распределения [97].

На основе сделанных предположений относительно динамики суммарного коэффициента рождаемости г|(?) в разделе 4.3 построены сценарии развития демографической ситуации в Российской Федерации на долгосрочную перспективу. А также найдены дисперсия численности возрастных групп, а также кова-риация между численностью возрастной группы нулевого возраста и численностью возрастной группы возраста х на период с 2005 по 2105 год.

Заметим, что автономная немарковская система массового обслуживания с неограниченным числом приборов и ее упрощенные варианты, а также методы их исследования, предложенные в диссертации, являются инструментами анализа сложившийся демографической ситуации, наблюдения за эффективностью политических решений и прогнозирования будущих динамик демографических процессов.

Заключение

В представленной диссертационной работе предлагается математическая модель демографии в виде автономной немарковской системы массового обслуживания с неограниченным числом приборов, а также ее частные случаи, а именно автономная система с РН-распределением времени обслуживания, трехфазная система массового обслуживания, пятифазная система массового обслуживания и система массового обслуживания с двумя типами заявок. Для исследования таких систем предложены метод моментов и метод асимптотического анализа и представлена возможность их применения к исследованию демографической ситуации.

В главе 1 предлагаются решения некоторых задач математической демографии с помощью математических методов. А именно, дается математическое обоснование известного метода прямой передвижки. Впервые математически определен метод обратной передвижки возрастных групп. Важным результатом является оценка с помощью данных методов величины людских потерь в годы Великой Отечественной Войны. Кроме того, в главе показана нецелесообразность аппроксимации процесса рождаемости потоком Пуассона при долгосрочном прогнозировании.

В главе 2 предлагается математическая модель динамики численности женского населения в виде автономной системы массового обслуживания с неограниченным числом приборов и РН-распределением времени обслуживания, которая формирует новый класс систем массового обслуживания. Особенностью такой системы является, то, что в системе отсутствует внешний источник заявок, а продолжительность обслуживания т каждой заявки складывается из продолжительностей конечного числа фаз. В главе рассматриваются некоторые упрощенные варианты автономных систем массового обслуживания с РН-распределением времени обслуживания и методы их исследования, а именно, трехфазная система массового обслуживания (раздел 2.2), пятифазная система массового облуживания (раздел 2.3) и система массового обслуживания с двумя типами заявок (раздел 2.3).

Для указанных моделей составлены системы дифференциальных уравнений Колмогорова для распределения вероятностей числа обслуживаемых заявок и записаны дифференциальные уравнения для характеристических функций. Для решения дифференциальных уравнений для характеристических функций применены методы моментов и асимптотического анализа. Показано, что асимптотическое среднее значение Nm (t) числа заявок, обслуживаемых в рассмотренных системах в момент времени t, найденные в предельном асимптотическом условии iV—>оо, совпадает с допредельным, полученным методом моментов. Заметим, как показали численные результаты, вторые моменты в предельной и допредельной моделях также совпадают.

В главе 3 предложена стохастическая демографическая модель с произвольным временем обслуживания в виде автономной немарковской системы массового обслуживания с неограниченным числом приборов. Принципиальное отличие от модели главы 2 заключается в том, что здесь исследуется стохастическая плотность численности заявок ?(x, t) возраста х.

Предложен метод ее исследования, названный методом виртуальных фаз. Согласно которому, в разделе 3.2 исследована вспомогательная общая система массового обслуживания с РН-распределением времени обслуживания. Для распределения вероятностей числа обслуживаемых заявок записана система дифференциальных уравнений Колмогорова. В изучении характеристик вспомогательной системы с РН-распределением времени обслуживания применены методы асимптотического анализа и моментов.

Показано, что при ji—>оо рассматриваемое РН-распределение сходится к распределению, определяемому функцией S (x), где S (x) — функция дожития. Поэтому, сделав соответствующие замены, в разделе 3.4 перешли к рассмотрению автономной системы с произвольным временем обслуживания.

Для основного уравнения относительно характеристического функционала найдены асимптотики первого и второго порядков его решения. Получены аналитические решения, определяющие средние характеристики Nm (pc, t) и вторые моменты стохастической плотности численности заявок ?(x, t) возраста jc в году t.

В главе 4 предложено применение исследованной автономной системы массового обслуживания с произвольным временем обслуживания к изучению процесса изменения демографической ситуации. Для применения полученных результатов к исследованию демографических процессов функции S (x) и b (x, t) выбраны в аналитическом виде. Функция дожития — в виде модели Гомперца-Мейкема, а плотность распределения вероятностей значений репродуктивного возраста женщины была задана как плотность смещенного двупарамерического у-распределения.

На основе сделанных предположений относительно динамики суммарного коэффициента рождаемости в разделе 4.3 построены сценарии изменения демографической ситуации на долгосрочную перспективу.

Таким образом, результаты работы имеют как теоретическое, так и практическое значение. Теоретическое значение заключается в дальнейшем развитии теории массового обслуживания, математической демографии и их аналитических методов, а именно

1. Сформирован новый класс систем массового обслуживания, включающий в себя автономную немарковскую систему массового обслуживания с произвольным временем обслуживания заявок и ее упрощенные варианты.

2. Разработаны методы исследования автономных немарковских систем массового обслуживания с неограниченным числом приборов, позволяющие находить распределение вероятностей численности заявок, обслуживаемых в системе, и основные характеристики, определяющие это распределение.

3. Предложенные модели и методы применимы к исследованию процесса изменения демографической ситуации.

Предложенная в диссертации автономная немарковская система массового обслуживания с неограниченным числом приборов и ее упрощенные варианты, а также разработанные методы их исследования, являются инструментом анализа сложившийся демографической ситуации, наблюдения эффективности политических решений и прогнозирования будущих динамик демографических процессов. Актуальность этой тематики не вызывает сомнения.

Данная математическая модель, достаточно адекватно моделирующая процесс изменения возрастной структуры женского населения, имеет довольно широкие возможности к обобщению и модификации.

Прикладное значение работы состоит в возможности использования полученных результатов для моделирования технических, биологических и других автономных стохастических систем.