Идентификация жесткостных характеристик конструкции ЛА с учетом физической нелинейности материала

Одна из основных задач, стоящих перед людьми, занимающимися проектированием и расчетом механических систем, состоит в построении адекватных математических моделей. Повысить точность модели путем ее усложнения не всегда возможно, а порой и нереально вообще: возникает следующая зависимость: чем сложнее механическая система, тем труднее для нее построить адекватную математическую модель. Реальным способом построения (создания) адекватных математических моделей представляется путь использования методов идентификации систем. В настоящее время методы идентификации активно развиваются как отечественными, так и зарубежными учеными.

Как правило, различают идентификацию двух видов. В первом случае определяется общая внутренняя структура изучаемого явления, уточняются взаимосвязи между ее отдельными элементами. Такую идентификацию принято называть структурной. Во втором случае, полагая, что внутренняя структура явления уже определена и может быть с достаточной точностью описана какой-либо математической моделью, уточняются лишь некоторые отдельные параметры выбранной модели. Такую идентификацию называют параметрической. Проведению параметрической идентификации посвящена большая часть всех проводимых исследований. Не являются исключением и работы автора данной диссертации.

Впервые необходимость в проведении идентификации возникла в теории автоматического управления [3, 13, 20, 21, 45, 91, 98, 128, 131], когда по отдельным измерениям объекта определялись его свойства параметры), необходимые для достижения некоторого заданного качества управления. В настоящее время методы идентификации широко применяются во многих областях практической деятельности, в частности, для решения обратных задач теплопереноса [4, 5, 8, 12,28,75, 124], определения гидропроводности [1,38,44,52,123], управления технологическими процессами в машиностроении [109], для определения характеристик воздушных судов [51, 60, 86, 88].

Большое число работ разных авторов посвящено идентификации механических систем [15, 17, 40, 41, 42, 46, 48, 61, 62, 65, 73, 80, 89, 90, 95, 96, 113, 128]. В области же прочности авиаконструкций и в настоящее время методы идентификации разработаны недостаточно, хотя первые работы появились еще в середине 70-х годов. Среди отечественных авторов здесь необходимо отметить, прежде всего, работы Я. М. Пархомовского [87, 88], В. Д. Ильичева и В. В. Назарова [51], Н. М. Гревцова и др. [40], И. Г. Колкера [60], Ю. Г. Одинокова и А. Ю. Одинокова [82, 83]. Коэффициентные обратные задачи исследовали О. М. Алифанов и М. В. Клибанов [5, 7, 8], П. Н. Вабищевич [28 — 30], A.M. Денисов и Р. А. Каюмов [56]. В частности работа [56] посвящена актуальным проблемам определения нелинейно-упругих характеристик композиционных материалов.

Методы численного решения коэффициентных обратных задач в связи с их приложениями разрабатывали П. Г. Данилаев [44], М. Т. Абасов, Э. Х. Азимов, Т. М. Ибрагимов [1], А. Д. Искандеров [52], М. Х. Хайруллин [123], Н. М. Цирельман [124] и др. Методы идентификации авиаконструкций развиваются и за рубежом: Дж. Д. Коллинз и др. [61], К. Й. Ли и С. А. Хоссейн [73], Дж. Мук [80] и др. Разработки в этой области не стоят на месте.

Активное развитие методов идентификации в инженерном деле в последнее время, очевидно, связано с развитием численных методов. Возможности компьютерной техники существенно расширяют класс решаемых задач. Причем, несмотря на громоздкость вычислительных процедур, время, необходимое ЭВМ для проведения непосредственно самих расчетов, становится значительно меньшим, чем требуется на написание и отладку рабочих программ.

От задач идентификации неотделимы различные алгоритмы для повышения устойчивости решения, проведения регуляризации. Это приводит нас к двум отдельным проблемам:

1) повышению качества исходных данных и.

2) получению непосредственно устойчивого алгоритма решения задачи.

Первая проблема обусловлена неизбежными погрешностями в исходных данных, как и в любых данных измерений. Важную задачу при этом представляет выделение из результатов измерений значения полезного сигнала на фоне помех. Известно большое количество методов, решающих эту задачу, например, фильтры Калмана-Бьюси [25, 49, 54], процедуры сглаживания Брайсона-Фразьера [132]. Полезным может оказаться применение методов обработки результатов измерений, основанных на теории вероятностей и математической статистике [72, 106, 111, 115, 116].

Вторая проблема связана с получением непосредственно устойчивого алгоритма решения задачи идентификации.

Самым простым вариантом решения задачи идентификации является так называемый «одношаговый» алгоритм, когда интересующие нас параметры находятся непосредственно входе решения системы уравнений, куда они входят в качестве неизвестных. Такой подход в решении задач идентификации практически неприменим. Как правило, такие задачи оказываются очень чувствительны к точности задания исходных данных. Возникает неустойчивость счета вследствие плохой обусловленности системы разрешающих уравнений. Для преодоления неустойчивости в настоящее время известны и хорошо разработаны различные математические алгоритмы регуляризации [9,74,78,79, 107,108,123], позволяющие уменьшить чувствительность задачи и добиться устойчивого счета: методы регуляризации, метод квазирешений [28], метод квазиобращения (как разновидность метода регуляризации) [71]. В настоящее время известна обширная литература по методам решения условно-корректных задач [26, 66 — 69, 72].

Но, на практике возможности методов регуляризации оказываются не безграничными. Часто складывается такая ситуация, когда алгоритм задачи становится устойчивым, а получаемое при этом решение — неприемлемым, так как регуляризация «уводит» решение от априорных оценок, которые можно наложить на искомое решение. Использование методов регуляризации позволяет в рамках определения корректности по А. Н. Тихонову получить устойчивое решение, но не гарантирует его единственности. Единственность решений условно-корректных задач исследовали М. М. Лаврентьев, В. Г. Романов и др. В работах [69, 97, 130] рассмотрен широкий круг условно-корректных задач математической физики, имеющих практическое приложение. Особенность данной работы в том, что в основу исследуемых постановок коэффициентных обратных задач положены результаты, полученные М. В. Клибановым [57, 58] при доказательстве соответствующих теорем единственности. Их сутьв необходимости рассматривать исследуемые уравнения совместно с переопределенным набором краевых условий. В качестве метода решения выбран метод квазиобращения, разработанный М. М. Лаврентьевым, Р. Латтесом иЖ. ЛЛионсом [71]. Вопросы развития и обоснования метода квазиобращения рассматривались в [27 — 31]. Прикладному использованию методов посвящены монографии [5, 6].

Самостоятельный интерес представляет исследование коэффициентной устойчивости решения дифференциальных уравнений, например, [99,110].

Организация вычислительного эксперимента по изучению коэффициентной устойчивости заключается в следующем. Либо следует решить пример, имеющий точное решение (что и всегда делалось в данной работе), либо в процессе расчета использовать различные способы вычисления интегралов, входящих в коэффициенты, сравнивая каждый раз результаты. Если решение обладает устойчивостью, то результаты не должны сильно отличаться.

В данной диссертации применяются численные методы решения как безытерационные, так и итерационные. Первые основаны на непосредственном решении обратной задачи, что позволяет сразу найти искомые величины из решения системы уравнений. Используя вторые, решение находится последовательно в процессе проведения нескольких итераций.

Итерационные численные методы не могут варьировать (искать) слишком большое количество параметров и требуют запоминания больших массивов промежуточной информации о результатах предыдущих приближений. Но зато они являются методами естественной регуляризации.

Одношаговые" методы не требуют итераций, так как искомые параметры непосредственно выражаются из уравнений математической модели, но для получаемого решения естественным образом возникает проблема единственности.

Наиболее универсальный вариант решения задачи идентификациирешать ее как задачу оптимизации, то есть на основе имеющейся в распоряжении расчетчика исходной информации подобрать параметры, характеризующие исследуемую систему таким образом, чтобы составленный определенным образом функционал цели достиг своего минимума (максимума) [6, 9, 20, 21, 55, 56, 77, 92, 112, 125, 131]. Такой подход О. М. Алифанов назвал решением задачи идентификации в экстремальной постановке [6]. Необходимым при этом является соблюдение определенных условий (ограничений) для уточняемых параметров и для модели.

Важным является и вопрос выбора (составления) целевой функции. В любой математической задаче оптимизации составляется функционал цели, который является критерием качества решения задачи. Функционал может быть простым и выражаться одним критерием или быть составным, т. е. представлять собой свертку нескольких критериев (условий) [77, 105]. Характерной особенностью при составлении функционала цели, как правило, является использование принципов метода наименьших квадратов [6, 92, 112, 125, 128].

Например, в [61] задача уточнения жесткостных и массовых характеристик решается на конечноэлементной модели конструкции. Метод сохраняет характер модели, но модифицирует заданные начальные значения так, чтобы получить формы колебаний, сходные с экспериментальными. Используются соотношения, в соответствии с которыми при помощи разложения в ряд Тейлора выражены собственные значения и перемещения по отдельным формам колебаний системы через конструктивные параметры системы. Метод требует порядка 50 итераций.

Велика роль вычислительной техники в решении задач идентификации, особенно при использовании итерационных методов, т. е. методов оптимизации. Применение ЭВМ приводит к разработке дискретных моделей механических систем [37, 40, 65, 90, 93, 126] и использованию различных численных методов [21, 31, 32, 47, 53, 70, 99, 100, 114, 121, 122]. Например, последовательность решения задач идентификации механических систем с использованием дискретных модальных моделей описана в [129].

Необходимо отметить, что природа задач идентификации вероятностная. Исходные данные таких задач — результаты измерений, а любые измерения являются случайными величинами. Поэтому необходимо разрабатывать соответствующие методы их решения, основанные на теории вероятностей, математической статистике, теории случайных функций, статистической динамике. Здесь можно отметить работы Е. С. Вентцель и JI.A. Овчарова [36], В. С. Пугачева [91], A.M. Арасланова [10, 11], В. В. Болотина [22 — 24], А. С. Гусева, В. А. Светлицкого [43, 102],.

М.Ф. Росина и B.C. Булыгина [98], А. Ф. Селихова иВ.М. Чижова [103], Дж.Д. Коллинза [61] и др.

Как правило, решение стохастических задач с использованием аналитических зависимостей в общем случае является весьма трудоемкой задачей.

Представляет интерес преобразование случайного воздействия, когда характеристика самой системы (конструкции) изменяется случайным образом. Случайность параметров системы обусловлена, например, технологическими допусками производства, неоднородностью материалов, деталей их старением и износом. Она может вызываться также неизбежными возмущающими воздействиями среды, что сказывается на усталостных характеристиках конструкции. Приближенные методы определения плотности вероятности выходного процесса (деформаций) нелинейной системы базируется, как правило, на основе нормализации негауссовских случайных процессов. Однако, как показано в ряде работ по радиофизике даже в линейной системе при определенных условиях может происходить денормализация выходного сигнала. Подобные условия, содействующие образованию смеси распределений, могут существовать и в механике конструкций. В этих случаях приближенные методы анализа, основанные на свойстве нормализации, могут приводить к грубым и принципиально ошибочным результатам.

В свою очередь необходимо отождествление статистических данных результатов испытаний конструкций с моделями параметров-критериев и, следовательно, требуется развитие методов идентификации моделей распределения вероятностей случайных величин. Так как модель после возможного изменения свойств неизвестна, необходимо уметь определять состояние модельного объекта по экспериментальному полю, заданному в пространстве наблюдений. При этом возможны разновидности моделей для наблюдений, характеризующие как качественное (балка, пластинка, оболочка, конструкция), так и количественное состояние объекта (неизвестные значения коэффициентов уравнений). Требуются алгоритмы обработки экспериментальных данных, приводящие к решению о том или ином состоянии объекта (например, слоеная конструкция или с расслоениями). Построение такого алгоритма в большинстве случаев сводится к выбору двух элементов: функции отклика, принимающей различные значения при подстановке конкретной реализации экспериментального материала, и правила принятия решения о состоянии объекта по значениям функции отклика.

Сказанное определяет актуальность решаемой в диссертации проблемы разработки математических методов, алгоритмического и программного обеспечения для анализа и оценивания состояния тонкостенных конструкций со структурными изменениями.

Недостаточная разработанность методов качественного анализа и количественного оценивания состояния конструкций с возможными изменениями параметров препятствуют решению задачи в практическом аспекте.

Цель, задачи, методика исследования, результаты, выносимые на защиту.

Целью исследования является разработка подходов, методов алгоритмического и программного обеспечения для анализа свойств и оценивания состояния тонкостенных картированных конструкций, с возможностью приложения методики к задачам определения работоспособности планера летательного аппарата. Для достижения этой цели в работе поставлены и решены следующие задачи:

1. Идентификация переменных параметров упругости тонкостенных конструкций, а также их балочных и пластинчатых элементов.

При решении этих задач использовались подходы, основанные на сведение дифференциальных уравнений состояния (равновесия) к интегральным и их решению с помощью метода конечных сумм (интегрирующих матриц).

На защиту выносится подход, связанный с представлением разрешающих уравнений состояния системы или ее элемента к виду, разрешенному относительно искомых жесткостей, а если это не удаетсяконкретные рекомендации по сведению обратной задачи к экстремальным постановкам.

С этих позиций рассмотрено определение переменных параметров упругости тонкостенной конструкции, в том числе входящих в функции влияния.

2. Обнаружение изменений свойств конструкций на основе теории стохастических процессов.

Исследование ведется для следующего круга вопросов: а) Преобразование случайных процессов в детерминированных статических и динамических системах (применительно к уточнению жесткостей по известной реакции конструкции). б) Построение процедур оценивания (применительно к задачам, связанным с деградацией свойств материалов).

Научная новизна.

Новыми являются разработанные автором:

1. Решение задачи определения переменных параметров упругости тонкостенных конструкций итерационными алгоритмами с учетом пластических свойств материала.

2. Развитие методов идентификации переменных параметров упругости тонкостенных конструкций применительно к задачам термоупругости и ползучести.

3. Преобразование смещенных случайных процессов в конструкциях, описываемых уравнениями с квазидетерминированными операторами.

Практическая ценность и внедрение результатов.

Практическую ценность имеют:

• методика, алгоритмы, программы идентификации жесткостных параметров конструкций и их элементов, как при их проектных значениях, так и в случае структурных изменений;

• подходы к решению задач обнаружения изменения свойств конструкций в целях диагностики.

Результаты, полученные в работе, использованы в Казанском государственном техническом университете им. А. Н. Туполева при изучении дисциплины «Экспериментальные методы исследования прочности JIA».

Апробация работы и публикации.

По теме диссертации опубликованы 2 статей и тезисы докладов.

Основные результаты диссертации докладывались и обсуждались на XII и XIV Международных молодежных научных конференциях «Туполевские чтения», Казань, КГТУ им. А. Н. Туполева, 2004, 2006 гг.- на I и II научно-технических конференциях зарубежных аспирантов и магистрантов КГТУ им. А. Н. Туполева, Казань, 2005, 2006 гг.- на VIII всероссийской молодёжной научной конференции с международным участием «Королёвские чтения», Самара, 2005 г.

Настоящая диссертация состоит из трех глав и приложения.

Первая глава посвящена математическим особенностям задач идентификации и методам их решения. Приведены математические модели, используемые в диссертации. Даны численные методы решения задач прочности. В качестве основы проведения численных расчетов выбран аппарат метода конечных сумм в форме интегрирующих матриц.

М.Б. Вахитова [32]. Кратко описаны методы и средства получения экспериментальных величин как исходных данных для решения обратных задач прочности.

Во второй главе задачи идентификации решаются непосредственно как обратные. Рассмотрены задачи:

1) для модели тонкостенной конструкции Ю. Г. Одиноковаопределение переменных параметров упругости элементов конструкции продольных ребер и панелей обшивки, находящейся в температурном поле с учетом пластических деформаций и ползучести;

2) для балочной и пластинчатой модели — определение функции Грина и коэффициентов влияния.

Третья глава посвящена решению задач идентификации в вероятностной постановке. Определены способы получения решений как в общем виде, используя аналитические выражения, так и в случае численного решения. Для выявления значимости факторов приведен пример однофакторного дисперсионного анализа.

В приложении приводятся вспомогательные вопросы, необходимые для решения рассматриваемых задач идентификации.

Заключение

.

Диссертация посвящена решению практически важных вопросов, возникающих при расчете на прочность: определению жесткостей конструкции, адекватного деформированному состоянию, и идентификации в линейной и физически нелинейной постановке одномерных задач.

Автором получены следующие научные результаты:

1. На базе модели Ю. Г. Одинокова с помощью одношагового алгоритма решена обратная задача термоупругости для тонкостенной конструкции, работающей в условиях нагрева.

2. Предложен алгоритм расчета и решена задача восстановления нелинейного участка кривой деформирования для элементов тонкостенной конструкции, работающая за пределом пропорциальности.

3. Предложен алгоритм и решена задача построения изохронных кривых для конструкции, находящейся в условиях установившейся ползучести.

4. Предложена методика применение в целях идентификации экспериментально найденных функций Грина.

5. Предложена методика обнаружения явлений деградаций структуры материала конструкции путем анализа закона плотности распределения выходных параметров (деформации, местной перегрузки, кривизны и т. п.).