Математическое моделирование движения несимметричного авторотирующего тела

Актуальность темы

.

Настоящая работа посвящена исследованию движения авторотирующего тела: математическому моделированию и разработке комплекса программ для проведения численного анализа.

В настоящее время динамика тел, взаимодействующих со средой, представляет собой хорошо развитый раздел механики. Этой теме посвящены фундаментальные труды Н. Е. Жуковского и С. А. Чаплыгина, создавших основы современной аэродинамики, работы авиаконструкторов и создателей ракетной техники: A.A. Туполева, C.B. Ильюшина, С. А. Микояна, A.C. Яковлева, В. М. Мясищева, O.K., Антонова, С. П. Королева, В. Н. Челомея, М. К. Янгеля и др., исследования В. П. Ветчинкина, К. Э. Циолковского, А. Н. Журавченко, B.C. Пышнова, М. В. Келдыша, Л. И. Седова, А. Ю. Ишлинского и др., а также зарубежных ученых JI. Прандтля Г. Глауэрта, Ч. Циммермана и др.

В задачах динамики тела, взаимодействующего со средой, существует проблема моделирования взаимодействия среды с авторотирующими телами разных конфигураций. Необходимость решения такой проблемы существует и в авиаракетостроении.

Простейшей моделью авторотирующего тела является аэродинамический маятник в потоке сопротивляющейся среды. Эту модель можно рассматривать как обобщение классической задачи о физическом маятнике. С другой стороны, с такой моделью можно сопоставить многие реальные механические системы, такие как крыло, парус, парашют, ветродвигатель в виде несущего винта. В начале XVII века окончательно сформировался шатровый тип голландской ветряной мельницы, имеющий форму несущего винта с горизонтальной осью вращения. Несущий винт с вертикальной осью служит еще одной простейшей моделью авторотирующего тела. Всем режима аварийной посадки. Вертикальная составляющая скорости при снижении быстровращающегося тела намного меньше окружной скорости лопастей. Это позволяет использовать такие модели в качестве систем торможения при спуске в атмосфере. В 1920 году Дарье предложил идею ветротурбины с вертикальной осью вращения, когда лопасти турбины вращаются с высокой угловой скоростью (рис. 5), которая имеет ряд преимуществ перед обычным ветродвигателем. Эта турбина работает по принципу преобразования силы ветра в подъемную силу профилированной лопасти и не требует устройств, отслеживающих направление и скорость ветра.

В настоящей работе построена математическая модель спуска в вертикальной плоскости тела сложной конфигурации, состоящего из стержня и двух параллельных пластинок, плоскости которых могут быть отклонены на малый угол 8 относительно нормали к стержню и разработан комплекс программ для проведения численных исследований движения тела.

Рассматриваемая конструкция представляет собой рабочий элемент ротора Дарье с двумя лопастями. Тело осуществляет плоскопараллельный спуск в вертикальной плоскости под действием силы тяжести и аэродинамических сил. Полученная математическая модель движения представляет собой систему дифференциальных и тригонометрических уравнений. Рассматриваются классические задачи о существовании у тела различных стационарных режимов спуска и исследовании их устойчивости по первому приближению. Наибольший интерес в исследовании представляет режим авторотации, при котором тело быстро вращается и снижается по вертикали или наклонной прямой подобно свободно вращающемуся несущему винту. При помощи метода осреднения для этого режима получены оценки для средних угловой скорости, скорости центра масс и угла отклонения скорости центра масс от вертикали. Показано, что режим авторотации является притягивающим и асимптотически устойчив. к/.

Проведено сравнение параметров снижения режима авторотации с & параметрами других режимов.

Спуск в режиме авторотации происходит с наименьшей скоростью по сравнению с другими режимами, поэтому авторотация — наиболее подходящий режим для применения этой конструкции в качестве системы вертикального спуска. Показано влияние величины установочного угла пластинок 8 на угол отклонения от вертикали при движении в режиме авторотации.

Цель и задачи исследования

.

Основной целью работы является исследование динамической системы, описывающей движение тела при помощи математического моделирования и разработка комплекса соответствующих компьютерных программ. Для достижения этой цели предстоит решить следующие задачи:

1. Построить математическую модель движения тела сложной конфигурации.

2. Провести основные аналитические исследования: найти множество положений относительного равновесия при поступательном движении тела,.

— исследовать устойчивость установившихся движений тела,.

— найти установившийся режим спуска тела с авторотацией,.

— провести сравнение значений установившейся скорости в режиме авторотации со скоростями на других установившихся режимах,.

3. Провести имитационное моделирование движения тела: разработать комплекс программ и при помощи численных методов осуществить параметрический анализ динамической системы.

Методы выполнения исследования.

В диссертационной работе используются методы, базирующиеся на общих теоремах динамики, метод Ляпунова определения устойчивости по первому приближению, метод осреднения. Для проведения численных исследований применяется математический пакет МАТЬАВ 6.5., имеющий развитые средства диалога, графики и комплексной визуализации. С его помощью проводится численное интегрирование уравнений движения тела методом Рунге-Кутта 4-го порядка. Достоверность.

Достоверность полученных в работе результатов обусловлена адекватностью построенных моделей классическим представлениям в теоретической механике, строгостью математической постановки задач и подтверждается сопоставлением аналитических результатов с результатами численных расчетов. Научная новизна.

1. Рассмотрено движение перспективной системы спуска твердого тела.

2. Впервые описано множество стационарных режимов планирования тела и найдено положение тела, при котором достигается наиболее пологое планирование.

3. Математическая модель спуска объекта имеет режим, аналогичный авторотации. Показано, что на этом режиме скорость спуска минимальна.

4. Показано, что изменение установочного угла пластинок влияет на угол планирования и служит эффективным управляющим воздействием.

Практическая ценность работы.

Разработанные математические модели, методы и программное обеспечение позволяют подготовить основу для перспективного предложения — принципиально нового аэродинамического тормозного устройства или системы спуска. Личный вклад автора.

Все результаты, оценки и алгоритмы, выносимые на защиту, получены автором диссертации лично.

Апробация результатов работы.

Основные результаты диссертации докладывались на следующих конференциях и семинарах: Шестнадцатых академических чтениях по космонавтике (30 января — 01 февраля 2002 г. Москва, МГУ), Пятом Международном Аэрокосмическом Конгрессе (27−31 августа 2006 г. Москва, МГУ.), Тридцать третьих Гагаринских чтениях (4−5 апреля 2007 г. ГОУ ВПО «МАТИ"-РГТУ им. К.Э. Циолковского), Всесоюзной научно-технической конференции «Новые материалы и технологии» НМТ-2008 (11−12 ноября 2008 г. ГОУ ВПО «МАТИ» -РГТУ им. К.Э. Циолковского).

Реализация и внедрение результатов работы.

Результаты диссертационной работы использованы ФГУП «МИТ» по акту № 1/534−117 при расчете динамических характеристик тел сложной конфигурации на атмосферном участке траектории полета, а также в учебном процессе при чтении лекций по курсу «Теория информационных систем» студентам факультета № 3 «Информационные системы и технологии» ГОУ ВПО «МАТИ» -РГТУ им. К. Э. Циолковского, о чем имеются акты внедрения.

Структура и объем диссертации

.

Диссертация состоит из введения, четырех глав, заключения, списка использованной литературы, включающего 30 наименований и приложения. Работа изложена на 112 страницах машинописного текста, содержит 56 рисунков и 3 таблицы.

Заключение

.

Перечислим основные результаты и выводы диссертационной работы:

1. Разработана математическая модель движения тела специальной формы как элемента системы спуска.

2. Указано множество неизолированных установившихся режимов планирования, в которых тело движется поступательно. Найдено максимально возможное значение угла планирования.

3. Показано, что вопрос об устойчивости найденных неизолированных установившихся режимов приводит к критическому по Ляпунову случаю. Для некоторых частных случаев получены условия неустойчивости поступательного движения тела по первому приближению.

4. Показано, что в широком диапазоне параметров существует стационарный режим авторотации, который является притягивающим. Это позволяет использовать рассматриваемую конструкцию в качестве системы вертикального спуска. Скорость спуска при движении в режиме авторотации минимальна по сравнению с другими режимами.

5. Установлена возможность управления углом отклонения скорости спуска от вертикали при движении рассматриваемого тела с помощью относительного поворота пластинок. Показано, что угол планирования в режиме авторотации пропорционален углу перекоса пластинок (при малых его значениях).

6. На базе специализированной системы компьютерной математики МАТЬАВ 6.5 разработан комплекс программ для имитационного моделирования движения тела и с его помощью осуществлен параметрический анализ динамической системы.

Уточнены количественные характеристики всех установившихся режимов спуска, подтверждены аналитические оценки.

На плоскости параметров: масса и установочный угол пластинок построена область существования ротационных режимов.