Методы с итерированием краевых условий для решения уравнений типа Стокса

Решение уравнений Навье — Стокса, описывающих движение вязкой жидкости [15], является одной из важнейших задач вычислительной математики и гидродинамики. Несмотря на большое число работ посвященных численным методам их решения, остаются вопросы требующие внимания. Одним из таких вопросов является математически обоснованное эффективное численное моделирование течений вязкой несжимаемой жидкости.

Типичной является следующая ситуация. После дискретизации по времени уравнений Навье-Стокса получающаяся дифференциально — разностная схема требует для своей реализации решения системы дифференциальных уравнений типа Стокса, классической или сингулярно возмущенной [10]:

Av + av + grad q = f в Q, div v = 0 в Q, (1) где Q область в W1, n = 2,3, с границей Ш, v = vn (x)) вектор скорости, q = q (x) скалярная функция давления, f = (fi (x), ., fn (x)) поле внешних сил, а = const > О вещественный неотрицательный параметр. При, а = 0 систему (1) называют классической задачей Стокса, при, а > 0 -сингулярно возмущенной (или обобщенной) задачей Стокса, в этом случае, обычно, а = {тк)~1, где т — шаг дискретизации по времени, к — кинематическая вязкость, и, как правило, а 1.

Для решения задач такого типа существует большое количество методов [38, 53, 54, 57, 59, 60, 65, 69, 73, 55, 58]. Это:

— алгоритмы типа Узавы-сопряженных градиентов [41, 61, 27, 51, 56, 63, 47, 19, 64];

— методы релаксации [41, 51, 27, 33, 36, 34, 35, 10, 46, 48];

— методы основанные на идеях симметризации и предобуслов-ливания [31, 32, 1, 45, 52, 67, 68];

— многосеточные и многоуровневые алгоритмы [37, 44, 52, 71, 74, 66, 72];

— расщепление граничных условий для давления [21, 22];

— метод фиктивных областей [2, 42];

— использование гармонической составляющей скорости [70];

— алгоритмы аналогичные обратным задачам [39, 40].

Однако, скорость сходимости большинства методов, используемых для решения задач такого рода, сильно зависит как от области, так и от параметра сингулярности [30, 43]. При, а —> оо спектральное число обусловленности дополнения Шура растет как 0(a) [62], а в случае прямоугольной области, при увеличении (уменьшении) отношения длин сторон, наблюдается его квадратичный рост [50].

Это означает, что для эффективного решения задач вида (1) требуется построение алгоритмов, равномерно сходящихся относительно внешних параметров задачи. Выделим ряд подходов к построению более эффективных алгоритмов.

До настоящего времени были известны два метода решения (1), равномерно сходящиеся относительно отношения сторон. Первый метод, предложенный в [64], основан на специальной конструкции предобусловливателя для дополнения Шура. Другой подход основан на расщеплении граничных условий для давления и использовании оператора Лапласа — Бельтрами [21, 22]. Отметим, что формальное обоснование сходимости было получено только для первого метода.

С другой стороны, известны три подхода к решению (1), обладающих равномерной сходимостью по параметру а: метод фиктивных областей [2, 42], алгоритм с блочным предобусловливанием дополнения Шура [47, 19] и уже упомянутый выше метод расщепления граничных условий [21, 22]. Для численного решения также применяется многосеточный метод, однако равномерность его сходимости по, а на сегодняшний день не доказана.

Таким образом, проблема построения новых методов решения уравнений типа Стокса с равномерной по параметрам задачи скоростью сходимости является актуальной.

Цель данной диссертационной работы — это построение новых итерационных методов решения системы дифференциальных уравнений типа Стокса в прямоугольной области, доказательство их сходимости на дифференциальном уровне, получение оценок скорости сходимости, равномерных относительно параметров задачи.

Простота рассматриваемой области нисколько не уменьшает ценности поставленной задачи. Детальное изучение свойств решений в модельных областях играет большую роль при построении эффективных численных алгоритмов для решения подобных задач в областях сложной формы. Кроме того, многие задачи можно свести к задаче в прямоугольной области.

Отметим основные особенности работы. Строятся алгоритмы с итерированием краевых условий для решения задач вида (1) в прямоугольнике, что является новым подходом к решению задач данного типа. Исходная задача (1) сводится к однородной задаче Стокса с заданной касательной составляющей скорости вдоль границы. Приближение к решению полученной однородной задачи ищется через аналитические (в виде рядов) решения последовательности вспомогательных задач с некоторыми модельными краевыми условиями. Для доказательства сходимости построенных методов применена новая для подобных задач методика, основанная на свойствах интеграла Дирихле и гармонических функций.

Оценки скорости сходимости равномерны' по всем параметрам задачи. Достоверность полученных результатов подтверждена результатами проведенных численных экспериментов.

Основные результаты диссертации опубликованы в [5, 6, 7, 8, 49].

Диссертация состоит из введения, трех глав, приложения и списка литературы.

1. Аристов П. П. Об ускорении сходимости одного итерационного метода решения задачи Стокса. // Известия вузов. Математика. 1994, N 9, с. 3 — 10.

2. Бахвалов Н. С. Эффективный итерационный метод решения уравнений Ламе для почти несжимаемых сред и уравнений Стокса. // ДАН СССР. 1991, Т.319, N 1, с. 13 -17.

3. Бахвалов Н. С., Жидков Н. П., Кобельков Г. М. Численные методы. Москва: Наука, 1987.

4. Каргин А. В. О решении задачи Стокса с параметром с помощью итерирования краевых условий. / / Вычислительные методы и программирование. 2005, Т. 6, № 2, с. 181 191.

5. Каргин А. В., Чижонков Е. В. Итерирование краевых условий для решения задачи Стокса. // Материалы Шестого Всероссийского семинара «Сеточные методы для краевых задач и приложения». Казань: Казанский государственный университет, 2005, с. 125 — 129.

6. Кобельков Г. М. О теоремах существования для некоторых задач теории упругости. // Матем. заметки, 1975, Т. 17, No. 4, с. 599 609.

7. Кобельков Г. М. О численных методах решения уравнений Навье-Стокса в переменных скорость-давление. / / Вычислительные процессы и системы. М.: Наука, 1991, вып. 8, с. 204 236.

8. Колмогоров А. Н., Фомин С. В. Элементы теории функций и функционального анализа. Москва: Наука, 1972.

9. Кудрявцев Л. Д. Математический анализ. T.I. Москва: Высшая школа, 1970.

10. Кудрявцев Л. Д. Математический анализ. Т. Н. Москва: Высшая школа, 1970.

11. Ладыженская О. А. Математические вопросы динамики вязкой несжимаемой жидкости. М.: Наука, 1970.

12. Ландау Л. Д., Лифшиц Е. М. Теоретическая физика: Т. IV. Гидродинамика. Москва: Наука, 1988.

13. Лебедев В. И. Функциональный анализ и вычислительная математика. М.: Физматлит, 2000.

14. Марчук Г. И. Методы вычислительной математики. -Москва: Наука, 1977.

15. Непомнящих С. В. Метод альтернирования Шварца для вырожденной задачи Неймана. // Вычислительные алгоритмы в задачах математической физики, Новосибирск, 1985, с. 99 112.

16. Ольшанский М. А. Об одной задаче типа Стокса с параметром. // ЖВМ и МФ, 1996, Т. 36, N. 2, с. 75 86.

17. Ольшанский М. А. О задаче Стокса с модельными краевыми условиями. // Матем. сб., 1997, Т. 188, N. 4, с. 127 144.

18. Пальцев Б. В. О быстросходящихся итерационных методах с неполным расщеплением граничных условий для многомерной сингулярно возмущенной системы типа Стокса. // Матем. сб., 1994, Т. 185, No. 4, с. 101 150.

19. Пальцев Б. В. О быстросходящихся итерационных методах с полным расщеплением граничных условий для многомерной сингулярно возмущенной системы типа Стокса. // Матем. сб., 1994, Т. 185, No. 9, с. 109 138.

20. Понтрягин Л. С. Обыкновенные дифференциальные уравнения. Москва: Наука, 1965.

21. Соболев С. Л. Некоторые применения функционального анализа в математической физике. Новосибирск: Наука, 1988.

22. Самарский А. А., Гулин А. В. Численные методы. -Москва: Наука, 1989.

23. Самарский А. А., Николаев Е. С. Методы решения сеточных уравнений. Москва: Наука, 1978.

24. Темам Р. Уравнения Навье-Стокса: Теория и численный анализ. М.: Мир, 1981.

25. Тихонов А. Н., Васильева А. Б., Свешников А. Г. Дифференциальные уравнения. Москва: Наука, 1980.

26. Фихтенгольц Г. М. Курс дифференциального и интегрального исчисления. T. III Москва: Наука, 1969.

27. Чижонков Е. В. Релаксационные методы решения седловых задач. М.: ИВМ РАН, 2002.

28. Чижонков Е. В. О сходимости одного алгоритма для решения задачи Стокса. // Вестник Моск. ун-та. Сер. 15. Вычисл. матем. и киберн. 1995, N 2, с. 12 17.

29. Чижонков Е. В. К оптимизации алгоритмов решения задачи Стокса. // Вестник Моск. ун-та. Сер. 1. Математика. Механика. 1995, N б, с. 93 96.

30. Чижонков Е. В. О сходимости алгоритма Эрроу-Гурвица для алгебраической системы типа Стокса. // Доклады Академии наук. 1998, Т. 361, N 5, с. 600 602.

31. Чижонков Е. В. О сходимости модифицированного метода Якоби для алгебраической системы типа Стокса. // Оптимизация численных методов: Труды межд. научной конф. Часть I / Отв. ред. М. Д. Рамазанов. Уфа: ИМВЦ УНЦ РАН, 2000, с. 169 — 177.

32. Чижонков Е. В. О сходимости модифицированного метода SSOR для алгебраической системы типа Стокса. // Численный анализ: методы и программы. М.: Изд-во МГУ, 1998, с. 83 — 91.

33. Шайдуров В. В. Многосеточные методы конечных элементов. М.: Наука, 1989.

34. Aboulaich R., Fortin М. Iterative methods for solution of Stokes equations. // Comput. Methods Appl. Mech. Engrg., 1989, v.8, p. 317 324.

35. Agoshkov V.I. Optimal control methods in invers problems and computational processes. //J. Invers Ill-Posed Problems. 2001, V.9, N 3, p. 205 218.

36. Agoshkov V., Bardos C., Buleev S. Solution of the Stokes problem as an inverse problem. // Preprint 9935. Centre de Mathematiques et de Leurs Applications (CMLA), E.N.S. de Cachan, France, 1998.

37. Arrow K.J., Hurwicz L., Uzawa H. Studies in Linear and Nonlinear Programming. Stanford: Stanford University Press, 1958.

38. Bakhvalov N.S. Solution of the Stokes nonstatonary problem by the fictitious domain method // Russ. J. Numer. Anal. Math. Modelling, 1995, T.10, N 3, p. 163 172.

39. BenziM., Golub G.H., Liesen J. Numerical solution of saddle point problems. // Acta Numerica, 2005, v. 14, p. 1 137.

40. Bramble J.H., Pasciak J.E. A Preconditioning Technique for Indefinite Systems Resulting from Mixed Approximations of Elliptic Problems. // Mathem. Comput. 1988, V. 50, N 181, p. 1- 17.

41. Bychenkov Yu.V., Chizhonkov E.V. Optimization of one three-parameter method of solving an algebraic system of the Stokes type. // Russ. J. Numer. Anal. Math. Modelling. 1999, V. 14, N 5, p. 429 440.

42. Cahouet Ch.H., Chabard J.P. Some fast 3D finite element solvers for the generalized Stokes problem. // Int. J. Numer. Methods Fluids, 1988, v.8, p. 869 895.

43. Chizhonkov E. V., Kargin A. V. On solution of the Stokes problem by iteration of boundary conditions. // Russ. J. Numer. Anal. Math. Modelling. 2006, Vol. 21, № 1, p. 21 38.

44. Chizhonkov E.V., Olshanskii M.A. On the domain geometry dependence of the LBB condition. // Mathematical Modelling and Numerical Analysis, 2000, v.34, N 5, p. 935 951.

45. Crouzeix M. Etude d’une methode de linearisation. Resolution des equations de Stokes stationaries. Application aux equationsdes Navier-Stokes stationares. // Cahiere de 1'IRIA. 1974, N 12, p. 139 244.

46. Elman H.C. Multigrid and Krylov Subspace Methods for the Discrete Stokes Equations. //J. Numer. Methods Fluids. 1996, V.22, p. 755 770.

47. Elman H.C., Silvester D.J., Wathen A.J. Finite Elements and Fast Iterative Solvers. Oxford: Oxford University Press, Numerical Mathematics and Scientific Computation, 2005.

48. Fortin M. Finite element solution of the Navier-Stokes equations. // Acta Numerica, 1993, p. 239 284.

49. Fortin M., Glowinski R. Augmented Lagrangian Methods. Applications to the Numerical Solution of Boundary Value Problems. Amsterdam: North-Holland Publishing Co., 1983.

50. Girault V., Raviart P.A. Finite element methods for Navier-Stokes equations. Berlin: Springer, 1986.

51. Glowinski R. Numerical Methods for Incompressible Viscous Flow. Amsterdam: North-Holland Publishing Co., Handbook of Numerical Analysis. Numerical Methods for Fluids (Part 3). v. IX, 2003.

52. Gresho P.M., Sani R.L. Incompressible Flow and the Finite Element Method. Chichester: John Wiley and Sons Ltd., Advection-Diffusion and Isothermal Laminar Flow, 1998.

53. Gunzburger M. Finite Element Methods for Viscous Incompressible Flows. San Diego: Academic Press, 1989.

54. Hestenes M.R., Stiefel E. Methods of conjugate gradients for solving linear systems. // J. Res. Nat. Bur. Standarts Sect. B. 1952, V. 49, p. 409 436.

55. Kobelkov G.M., Olshanskii M.A. Effective Preconditioning of Uzawa Type Schemes for Generalized Stokes Problem. // Nu-merische Mathematik, 2000, V.86, pp. 443−470.

56. Langer U., Queck W. On the convergence factor of Uzawa’s algorithm. // J. Сотр. Appl. Math. 1986, V.15, p. 191 202.

57. Ol’shanskii M.A. On numerical solution of nonstationary Stokes equations. // Russ. J. Numer. Anal. Math. Modelling, 1995, v.10, N 1, p. 81 92.

58. Quarteroni A., Valli A. Numerical Approximation of Partial Differential Equations. Berlin: Springer-Verlag, Springer Series in Computational Mathematics, v.23, 1994.

59. Silvester D.J., Wathen A.J. Fast iterative solution of stabilized Stokes systems. Part II: using general block preconditioned. // SIAM J. Numer. Anal. 1994, V.31, N 5, p. 1352 1367.

60. Silvester D.J., Wathen A.J. Fast iterative solution of stabilized Stokes systems. Part I: using simple diagonal preconditioned. // SIAM J. Numer. Anal. 1993, V.30, N 3, p. 630 -649.

61. Turek S. Efficient Solvers for Incompressible Flow Problems. An Algorithmic and Computational Approach. Berlin: Springer-Verlag, Lecture Notes in Computational Sience and Engineering, 1999.

62. Valedinsky V.D., Chizhonkov E. V. Structure of Solution to Stokes Problem and an Efficient Numerical Method. // Sov. J. Numer. Anal. Math. Modelling. 1990, V.5, N 4/5, p. 419 423.

63. Verfurth R. A combined conjugate gradient-multigrid algorithm for the numerical solution of the Stokes problem. // IMA J. Numer. Anal. 1984, V.4, p. 441 455.

64. Verfurth R. A multylevel algorithm for the mixed problem. // SIAM J. Numer. Anal. 1984, V.21, p. 264 271.

65. Wittum G. Multi-grid methods for the Stokes and Navier-Stokes equations. // Numer Math. 1989, V.54, p. 543 564.

66. Mathematica Version 4. // www.wolfram.com/bookstore.