Колебания и устойчивость упругой и вязкоупругой пластины в сверхзвуковом потоке газа

В диссертационной работе исследуются колебания и устойчивость пластин, взаимодействующих с потоком газа. Численными методами решается основная задача — установление области значений параметров, при которых колебания упругой или вязкоупругой полосы или пластины будут устойчивыми. При заданной геометрии и механических свойствах колеблющегося элемента конструкции речь идет об определении скорости потока, по достижении которой колебания становятся неустойчивыми. Когда скорость потока превышает некоторое критическое значение, взаимодействие деформируемой поверхности с потоком приводит или к резкому возрастанию деформации обтекаемой поверхности в квазистатическом режиме, или к возникновению колебаний с нарастающей амплитудой. Оба эти явления представляют собой потерю устойчивости. То, что происходит в первом случае, называется дивергенцией, во втором — флаттером (от английского «flutter» — вибрировать, трепетать).

В 194 6 году была опубликована работа [64] (Garric I.E., Rubinow S.E.), в которой впервые было получено уравнение движения пластины в сверхзвуковом потоке газа. Через 10 лет, в 1956 году в работе [65](Nelson Н.С., Cunningham H.J.) впервые исследовалась устойчивость такой пластинкив 1958 году Дун Мин-Дэ [2 6] свёл задачу исследования устойчивости к некоторому алгебраическому уравнению относительно частоты колебаний, в результате получилось достаточно сложное уравнение, которое исследовалось с помощью рекуррентных соотношений.

Прогресс в развитии теории колебаний и устойчивости пластин был обусловлен открытием закона плоских сечений в аэродинамике больших сверхзвуковых скоростей, в рамках которого связанная, вообще говоря, задача аэроупругости «развязывалась» с помощью формулы «поршневой теории».

Закон плоских сечений был открыт в 1947 г. А. А. Ильюшиным и проблема панельного флаттера пластин получила на тот момент законченную математическую формулировку, приведшую к эффективным аналитическим методам исследования.

Первые постановки задач в рамках поршневой теории и строгие аналитические результаты принадлежат.

А.А.Мовчану с группой сотрудников [53−5 6]. Была рассмотрена задача о флаттере прямоугольной пластины в простейшем случае, когда вектор скорости потока параллелен плоскости пластины и также параллелен одной из её сторон. Если изучать асимптотическую устойчивость (а именно так поступали и поступают до сих пор практически все), то дело сводится к задаче о поведении спектра несамосопряженного оператора четвертого порядка (основная часть — бигармонический оператор) в зависимости от скорости потока. Как видно, даже в этой простейшей постановке задача оказывается далеко не тривиальной, тем не менее A.A. Мовчану с сотрудниками удалось получить результаты, благодаря которым во многом выявились принципиальные моменты проблемы, которые долгое время оставались эталонными.

Работы, которые последовали за этими (теперь уже ставшие классическими) публикациями, в той или иной степени использовали постановку A.A. Мовчанабольшое число конкретных результатов (и соответственно публикаций) обусловлено разнообразием методов решенийчисленных, приближенных, типа Бубнова-Галёркина и др.- различной геометрией и строенем пластин, наличием электромагнитных полей и т. д. Итоги этих исследований подведены в известных монографиях и обзорах Н.В.Баничука[10], С. М. Белоцерковского, Ю. А. Кочеткова и.

A.A.Красовского [11], А. С. Вольмира [24], Дауэлла [25], Р. Е. Лампера [48], П. М. Огибалова и М.А.Колтунова[58], Г. Фершинга[61], Р. Л. Бисплинхоффа и Н. Эшли[63] и др.

Ситуация изменилась в середине 90-х годов XX в., когда были сформулированы новые постановки задач панельного флаттера (А.А.Ильюшин, И.А.Кийко) [31], установлены некоторые общие свойства спектра бигармонического оператора, разработан численно-аналитический метод для его исследования[1−8], решены классы новых задач и обнаружены новые механические эффекты (И.А.Кийко, С.Д.Алгазин)[9].

Впоследствии были получены некоторые частные результаты по флаттеру пластин переменной толщины или жесткости[33−34], а также в частной постановке — задача оптимизации (В.И.Исаев, А.А.Кадыров) [35], [37] .

Отдельное направление в исследовании вязкоупругой полосы и пластины было сформировано в основополагающих работах А. А. Ильюшина и И. А. Кийко и продолжено в работах.

B.И.Матяша [52] и Г. С. Ларионова [4 9−50]. Первоначально работы по исследованию флаттера вязкоупругих пластин проводились с использованием так называемого метода усреднения и тогда же был обнаружен парадокс, согласно которому малая вязкость материала пластины приводила к почти двукратному уменьшению критической скорости флаттера. В последующем этот парадокс был разрешен в работах И. А. Кийко и В.В.Показеева[41], [59], [60] .

Новый интерес к исследованию панельного флаттера возникает в связи с новейшими (начиная с 2000 г.) результатами исследований, в которых используется выражение для давления аэродинамического взаимодействия, существенно уточняющее известную формулу поршневой теории слагаемыми, имеющими качественно новый механический смысл.

Первые результаты в этом направлении в условиях поперечного обтекания полосы были получены в уже упомянутых работах [64], [65]. Так, в 1946 г. в работе [64] в двумерной постановке было получено интегро-дифференциальное уравнение движения конечной пластины, обтекаемой однородным сверхзвуковым потоком. В 195 6 г. Нельсон и Каннингхем [65] рассмотрели задачу об устойчивости такой пластины. Были проведены конкретные вычисления с помощью метода Бубнова-Галёркина в двухи четырехчленном приближении и получены границы устойчивости. Их сравнение с экспериментальными результатами показало очень хорошее совпадение.

В 1958 г. Дун Мин-Дэ[26] аналитически нашел общее решение интегро-дифференциального уравнения движения пластины и получил частотное уравнение. Эта работа сводит решение задачи о флаттере в точной постановке к решению алгебраического частотного уравнения.

В работах А. Г. Куликовского и В. В. Веденеева [17]-[23] исследуются задачи устойчивости безграничной упругой пластины, конечной упругой прямоугольной пластины, обтекаемой с одной стороны потоком газа, при наличии с другой стороны покоящегося газа. В указанных статьях была получена система уравнений и граничных условий и показано, что устойчивость пластин определяется поведением корней дисперсионного определителя системы. При этом для нахождения спектра собственных частот применялся асимптотический метод глобальной неустойчивости. В результате были обнаружены два типа неустойчивости: низкочастотный и высокочастотный флаттер. Первый является флаттером связанного типа, этот тип неустойчивости хорошо описывается с помощью поршневой теории и подробно исследован в литературе. Второй является флаттером с одной степенью свободы и не может быть получен в приближении поршневой теории. В. В. Веденеевым были описаны физические механизмы возбуждения обоих типов флаттера, критерии устойчивости и частоты, при которых происходит наиболее интенсивный рост колебаний. Была проведена оценка точности и показано, что используемый асимптотический метод даёт очень хорошие результаты для пластин. Помимо этого в указанных работах было рассмотрено влияние конструкционного демпфирования и рассеяния энергии в материале пластины на высокочастотный флаттер. Показано, что возможно сочетание параметров, при которых демпфирование не сможет подавить флаттер. В трёхмерной постановке решена задача о высокочастотном флаттере прямоугольной пластины. Для собственных форм колебаний пластин получено условие усиления их в потоке газа и описан простой физический механизм возбуждения. Исследованы возможности искажения флаттерных форм колебаний по сравнению с колебаниями в вакууме. Сформулирован алгоритм расчёта флаттера и проведены конкретные вычисления. Показано, что возможны ситуации, когда пластина совершает высокочастотные флаттерные колебания при отсутствии низкочастотного флаттера.

В 200 6 г. была опубликована работа И. А. Кийко и С. Д. Алгазина [9], в 200 9 — работа И. А. Кийко и В. В. Показеева[40], где было получено выражение для давления аэродинамического взаимодействия на основе линеаризованного уравнения потенциала возмущения потока. В этих работах предполагается, что полоса и пластина обтекаются с одной стороны потоком газа, который направлен, в общем случае, под углом к её кромкам. Было показано, что выражение для давления аэродинамического взаимодействия и соответствующее уравнение колебаний полосы имеет существенно различную структуру в тех случаях, когда вектор скорости потока немного отклоняется от поперечного направления («почти поперечное» обтекание) и когда вектор скорости потока направлен вдоль полосы параллельно её кромкам, в предположении задания однородных граничных условий (шарнирное опирание или заделка).

В случае обтекания, близкого к поперечному, было получено точное выражение для избыточного давления, которое принципиально отличается от формул поршневой теории, что приводит к новым малоизученным задачам на собственные значения. Предложена новая приближенная постановка задачи флаттера прямоугольной пластины, удлиненной поперек потока.

В случае обтекания, близкого к продольному, было получено точное выражение для потенциала, а при продольном обтекании — и для избыточного давления. Показано, что при чисто продольном обтекании, при условии М 1, критическая скорость флаттера совпадает с фазовой скоростью распространения возмущений по полосе, что совпадает со следствием поршневой теории.

Несмотря на большое количество исследований, многие из существенных сторон явления флаттера изучены недостаточно. В настоящее время задача исследования панельного флаттера остается весьма актуальной: совершенствование характеристик современных летательных аппаратов неизбежно требует уменьшения их массы и жесткости панелей обшивки, что повышает возможность возникновения флаттера, поэтому требуется более строгая постановка задачи и исследование флаттера пластин из новых конструкционных материалов.

Целями диссертационной работы являются:

1. Постановка новых задач о флаттере полосы и пластины из упругого и вязкоупругого материала.

2. Исследование этих задач и обнаружение новых, представляющих интерес механических эффектов.

НАУЧНАЯ НОВИЗНА РАБОТЫ.

1. Обнаружен одномодовый флаттер упругой полосы при близком к поперечному обтекании.

2. Обнаружен одномодовый флаттер упругой пластины при близком к поперечному обтекании.

3. Получены оценки критической скорости флаттера для вязкоупругой полосы и пластины при поперечном и близком к поперечному обтекании в уточненной поршневой теории.

АПРОБАЦИЯ РАБОТЫ Результаты работы обсуждались на следующих научных конференциях: научная конференция «Ломоносовские чтения» (Москва, МГУ им. М. В. Ломоносова, 16−25 апреля 2008 года, 16−24 апреля 2009 года, 16−24 апреля 2010 года) — международная научная конференция «Современные проблемы математики, механики, информатики» (Тула, ТулГУ, 19−2 3 ноября 200 9 года) — международная научная конференция «Современные проблемы математики, механики, информатики» поев. 85-летию со дня рождения проф. Л. А. Толоконникова (Тула, ТулГУ, 17−21 ноября 2008 года.

ПУБЛИКАЦИИ.

Всего теме диссертационного исследования посвящено 8 опубликованных работ автора. Основные научные результаты отражены в [44,51].

СТРУКТУРА РАБОТЫ.

Диссертация состоит из введения, трех глав и заключения.

3.4. ВЫВОДЫ.

Проведены расчёты критической скорости флаттера вязкоупругой полосы и пластины в уточненной поршневой теории при граничных условиях шарнирного опирания и заделки кромок. Расчёты по уточненной поршневой теории показывают, что значения критической скорости флаттера уменьшаются на 10−15% по сравнению с аналогичными расчётами в поршневой теории. При этом показано, что вязкость материала практически не влияет на значения критической скорости флаттера. Характер изменения критической скорости флаттера вязкоупругой полосы и пластины в целом повторяет картину, наблюдаемую в упругом случае: при отклонении вектора скорости потока от поперечного направления критическая скорость слабо возрастает до некоторого значения, а затем, с ростом угла отклонения происходит её резкое снижение.

Заключение

.

1. Предложена новая постановка задачи о флаттере полосы и пластины из упругого и вязкоупругого материала.

2. Обнаружен одномодовый флаттер упругой полосы при обтекании, отличном от поперечного.

3. Обнаружен одномодовый флаттер упругой пластины при поперечном и отличном от поперечного обтекании.

4. Впервые исследован флаттер вязкоупругой полосы и пластины при граничных условиях заделки кромок.

5. Получены оценки значений критической скорости флаттера упругой и вязкоупругой полосы и пластины при поперечном и отличном от поперечного обтекании в уточненной поршневой теории.