Фильтрация несмешивающихся жидкостей в призабойной зоне скважины

В настоящее время весьма актуальной проблемой является задача повышения коэффициента извлечения нефти и газа из продуктивных пластов.

При этом основными способами увеличения дебита эксплуатационной скважины являются заводнение пластов или вытеснение нефти оторочками из поверхностно-активных веществ, термическое воздействие, система газлифта и т. д. Однако достичь полного извлечения нефти или газа не удается. Это обусловлено рядом причин, как-то: — сложностью поровой структуры пласта, его неоднородностью, действием капиллярных сил, влиянием смачивающих свойств пород, слагающих пласт и т. п.

Далее, при современных методах бурения скважин с использованием промывочных жидкостей неизбежно тампонирование ими продуктивного пласта происходящее при бурении и перфорировании ствола скважины и ее остановки путем закачки жидкости за счет капиллярных сил и избыточного давления бурового раствора. Кроме того, в поровом объеме пород всегда имеется часть пластовых вод, остающаяся при замещении последних нефтью или газом.

С началом эксплуатации месторождения часть пластовых вод приходит в движение вместе с потоком нефти или газа. Это приводит к дополнительному тампонированию призабойной зоны скважины и снижению ее дебита.

В процессе вызова притока к эксплуатационной скважине часть тампонажных вод выбрасывается потоком нефти или газа, а часть остается в капиллярно-запертом состоянии, т. е. удерживается капиллярными силами. Эта часть жидкости снижает дебит эксплуатационной скважины, поскольку снижается проницаемость призабойной зоны.

Существуют различные методы воздействия на призабойную зону скважины, направленные на увеличение ее проницаемости. Например, химическая обработка, воздействие с помощью акустических или ультразвуковых полей.

Однако в настоящее время почти нет теоретических работ, в которых исследуется процесс фильтрации несмешивающихся жидкостей в призабойной зоне скважины, в частности образование режима капиллярно-запертой фазы, и изучается воздействие на последнюю различных способов повышения проницаемости пород.

Целью данной работы является всестороннее исследование фильтрации двухфазной жидкости в призабойной зоне скважины в следующих аспектах:

— Построение и исследование корректности математической модели, описывающей этот процесс.

— Способы численно-аналитического решения получаемой системы дифференциальных уравнений.

— Экспериментальное моделирование вышеописанного явления вытеснения фильтрата бурового раствора цри вызове притока к скважине.

— Теоретическое обоснование возможных методов воздействия на призабойную зону для повышения дебита скважины.

Заметим, что поскольку речь идет о вытеснении фильтрата нефтью или газом в гидрофильной пористой среде, то нефть (газ) является несмачивающей фазой, а промывочная жидкость — смачивающей. Поэтому целесообразно рассматривать более общую задачу о вытеснении смачивающей фазы несмачивающей.

Следовательно результаты цроведенных в настоящей работе исследований могут найти применение при изучении вытеснения водою нефти в гидрофобном пласте или нефти газом, в вопросах создания и эксплуатации подземных газохранилищ.

Необходимо отметить, что к настоящему времени существует ряд работ, в которых приведены результаты изучения разнообразных задач, возникающих в теории фильтрации несмешивающихся жидкостей и ее приложениях. Можно упомянуть работы Л. С. Лейбензона /34/, Г. И. Баренблатта, В. М. Ентова, В. М. Рыжика /8/, И. А. Чарного /51/, В. Л. Данилова, Р. М. Каца /14/, Р. Коллинза /24/, А. Н. Коновалова /26/, А. Э. Шейдеггера /57/ и ряда других авторов.

Общепринятой моделью для исследования фильтрации несмешивающихся жидкостей является модель Маскета-Леверетта /3/, или, в одномерном случае, модель Рапопорта-Лиса /77/.

Уравнения, описывающие фильтрацию двухфазной жидкости в не-деформируемой изотропной однородной пористой среде выводятся из уравнений неразрывности для каждой фазы /24/.

Jl + cLlv tf «О (I) dt.

— mlf + oLvT/ = 0 (2) дЬ и обобщенного закона Дарси (без учета сил гравитации) = -lHvp <3).

—Kvp, (4) ь —>

Здесь р^, р, , — давления и скорости фильтрации для смачивающей и несмачивагацей фаз соответственно, S — насыщенность несмачивающей фазой, УЪ — постоянная пористость,, у — относительные фазовые проницаемости,.

К «К^ - отнесенные к вязкостям абсолютные проницаемости фаз (т.е. проницаемости при полном насыщении пор данной жидкостью, К = Jt*j — вязкости, тЬ — абсолютная проницаемость). Функции, ^ обладают следующими свойствами /34/, с.104: l (o)=to=o, <�».

Заметим, что, без ограничения общности, пористость можно считать равной единице (если не отмечено особо).

Система уравнений (I) — (2) замыкается форь/улой Лапласа для капиллярного давления, которую согласно Леверетту /71/ можно представить в виде р-р* = рк (5) (6) где рк — функция капиллярного давления, обладающая свойствами: dLpK/oljS >0 — рк (0) =0.

При качественном исследовании системы (I) — (4), (6) в плоском и пространственном случаях эффективным оказалось использование в качестве искомых функций насыщенности S и «приведенного» давления Р, определяемого формулой.

P = (7) о.

В терминах функций Я, Р система (I) — (4), (6) редуцируется к системе двух уравнений /3/ lw (a (s)VS +i"vP) (8) Н.

MKCs)vP)=o (9) где ,.

В силу свойств функций относительных фазовых проницаемостей (5) справедливо.

К>о, 5е[од] (ю).

CL (0) =01(1)-О, CL>0, S^CO.l) (П).

Таким образом, система уравнений (8), (9) представляет собой квазилинейную систему составного типа, состоящую из равномерно эллиптического уравнения для Р и вырождающегося параболического уравнения для S. Фильтрационное течение рассматривается в заданной ограниченной, вообще говоря многосвязной, области i = с кусочно-гладкой границей.

Пусть й^й x (0/T)fQ — замыкание, И/ - внешняя нормаль к Г. Граница Г включает в себя три компоненты: Гр ,.

Г г.

1 ± «1 I.

Компонента Г^ состоит из внешней границы зоны тампонажа, существовавшей к начальному моменту времени (контур питания),.

Г^ соответствует эксплуатационным скважинам, a FJ, состоит из непроницаемой поверхности.

Перейдем к постановке краевых условий на Г. На Г0 задается условие непротекания вытесняемой смачивающей фазы и смеси, имеющие вид.

0, Гот = Г>[0,Т] (к).

I от.

На П,, согласно /77/, задается условие отсутствия потока вытесняемой фазы tfjtln =0, rCT-rt" Co, n (и.

I ДГЦ и расход или давление вытесняющей фазы хД) еГ,.

ZT = coit^-k >0.

15).

Заметим, что в случае, когда на задано условие (14), г (можно включить в Г.* • ат • от.

Наиболее сложной является формулировка краевого условия на йце Леверетт /71/ отмечал наличие так называемого концевого эффекта при вытеснении одной жидкости другой. Сущность его кратко состоит в следующем.

Пусть смачивающая жидкость вытесняется несмачивающей. При подходе несмачивающей вытесняющей фазы к выходному сечению в силу наличия капиллярного скачка давление больше на стороне несмачивающей жидкости. Однако после выхода последней в свободное пространство кривизна границы раздела между жидкостями невелика и давления в фазах выравниваются. Следовательно из условия непрерывности давлении слева и справа от выходного сечения следует равенство давлений в фазах на выходе, фтоге это приводит к накоплению вытесняемой смачивающей фазы в области прилегающей к выходу. Аналогичная ситуация имеет место и при вытеснении несмачивающей жидкости смачивающей. Это явление экспериментально исследовалось Перкинсом /76/, Кайтом и Рапопортом /69/, Батики и др. /62/. Численные расчеты задач фильтрации двухфазной жидкости с учетом «концевого» эффекта приведены в работах /13, 58, 65, 66, 72/.

Однако следует отметить, что во всех этих работах главным образом рассматривалось вытеснение несмачивающей фазы смачиваю.

— ю щей.

Теоретическое исследование стационарной задачи о вытеснении смачивающей жидкости несмачивающей с учетом концевого эффекта дано В. И. Пеньковским /37/. Это решение, получаемое при изучении соответствующей краевой задачи, обнаружено ранее С. Н. Бузиновым /II/ как класс частных решений стационарных уравнений двухфазной фильтрации. Некоторое обобщение решения Бузинова на случай фильтрации жидкостей с вязко-пластическими свойствами дано в работе /32/.

Таким образом, при совместном истечении фаз краевое условие на выходе имеет вид.

Р^т'Р^т" *" 60″ -*^0 (16).

Дяя насыщенности ставится начальное условие вида s (x, o) = 5°(x), хб «0, хеГ, (17).

В терминах функций &, Р краевые условия (12) — (16) примут вид.

KvP-kL =(clvs lHvP)-Tt|p = о (I8).

1 от I от.

— Plrv-pc CI9).

20) civs — i, vP)-? I p = V (x Д € Г2т (21).

ГГ или.

I ат (22).

1 лт 0.

Здесь VifcyO «заданная функция.

Начально-краевую задачу для системы (8), (9) с условиями (17) — (21) назовем задачей с заданным суммарным расходом, а с условиями (17) — (20), (22) — задачей с заданным перепадом давлений. Отметим, что, по терминологии авторов / 3/, задача (8), (9), (17) — (21) относится к основным начально-краевым задачам двухфазной фильтрации несмешивающихся жидкостей, следовательно к ней применимы результаты полученные в /3/ для этого класса задач.

Задача с заданным перепадом в данной постановке ранее не изучалась.

Для случая одномерного течения система (8), (9) сводится к одному уравнению для насыщенности имеющего вид где.

V (t) = - К v Р — суммарная скорость фильтрации, которая в зависимости от граничных условий является заданной величиной или функционалом от S. Начально-краевые условия (17) ~ (22) при одномерном движении специализируются к виду.

H’VSJUt-o <*> ж, 0) = S’Cx), S ° (о) = 0. <25>

Если выполнено условие (21), то V= ~Q («t) «гДе Q ^ 0 — известная функция. При условии (22) суммарный расход определяется следующим образом. Т.к. 1/+ l^ = V («t), то из формул (3), (4), (6) следует c ol? Dx.

Интегрируя последнее равенство по ос, с учетом краевых условий (13) и (16), получим vw=-(AP-F (S (m)))/3(0 (26) где Р = -]" = [р (5)^х^нК" !дрнро-р,>0.

В работе также будет рассматриваться случай осесимметричного притока к скважине, поэтому проведем необходимые преобразования системы уравнений осесимметричной фильтрации, которая включает в себя (6) и i^u L& a^-t dx UtrW.

27).

Здесь •x-'fc2', *Ъ — радиус-вектор, отсчитываемый от оси скважины до границы зоны тампонажа, — радиус скважины. Складывая уравнения (27) и аналогично одномерному случаю проводя соответствующие преобразования, окончательно нетрудно получить уравнение дяя насыщенности в виде.

4 1) t^xV ^х v v где в случае заданного перепада давлений суммарная скорость определяется из соотношения.

Здесь 3*.= Jj (5)/xix.

Легко видеть, что уравнения (23), (28), функционалы (26), (29) и начально-краевые условия (24), (25) для случаев одномерной и осесимметричной фильтрации можно записать в следующей общей форме s (*, o) = S°(x), (33) где ^ = L = 0 в случае одномерной фильтрации, t — i, ^ > О при осесимметричном притоке, 3- = ] p (?)/xLaX. Подразумевается, что осуществлено преобразованиеL.

Здесь уместно привести некоторые результаты, относящиеся к исследованию начально-краевых задач фильтрации несмешивакхцихся жидкостей.

Г. В.Алексеев и Н. В. Хуснутдинова /2/ рассмотрели первую краевую задачу при заданных насыщенностях и задачу Коши для уравнения (23) при известном суммарном расходе. Ими показано, что обобщенные решения этих задач являются непрерывными функциями. Аналогичный вопрос для случая заданных перепада давлений и насыщенностей исследовался в работе /50/.

В плоском и пространственном случаях начально-краевые задачи двухфазной фильтрации исследовались в работах С. Н. Антонцева и.

B.Н.Монахова (см. в /3/ подробную библиографию), С. Н. Кружкова и.

C.М.Сукорянского /28/, /29/, в /30/, /35/.

Для уравнений вида (23) корректность постановки ряда начально-краевых задач, дифференциальные свойства обобщенных решений этих задач изучались Аронсоном /60/, /61/, Кружковым /30/, Олей-ник О.А. и др. /36/, Калашниковым А. С. /22/. Частные решения ряда вырождающихся задач двухфазной фильтрации строились в /7, 39, 41, 42, 43/. Теорема единственности обобщенного решения в случае первой краевой задачи для «приведенного» давления и насыщенности анонсирована в /29/. Единственность и устойчивость обобщенных решений задач двухфазной фильтрации в данной выше постановке (заданных на границе области фильтрации давлений и/или потоков фаз) была доказана лишь в некоторых частных случаях: либо наперед заданной во всей области суммарной скорости фильтрации, либо в случае, когда класс решений таков, что функцияcC^SCx^t)) суммируема с некоторой положительной степенью, т. е. при наличии вырождения на множестве меры нуль /3/.

В настоящей работе получены теоремы единственности и устойчивости обобщенных решений начально-краевых задач двухфазной фильтрации для общего случая, т. е. вырождения на множестве положительной меры.

В последние три десятилетия, в связи с большой практической важностью, интенсивно развиваются методы численного решения задач двухфазной фильтрации. По численным расчетам на ЭВМ разнообразных задач фильтрации многофазной жидкости имеется весьма обширная библиография. В качестве примера можно привести сборники /54/ - /56/. Наряду с многочисленными работами прикладного характера' существует ряд работ, посвященных теоретическому обоснованию решения задач двухфазной фильтрации конечно-разностным методом, например, /3/, /28/, /25/, /46/.

Различные трудности, возникающие при численной реализации этих задач, достаточно полно освещены в работах А. Н. Коновалова /26/, /27/.

Отметим, что обобщенные решения вырождающихся задач двухфазной фильтрации строятся, как правило, методом? — регуляризации. Поэтому важное значение при численной реализации этих задач может иметь оценка близости решений регуляризованной и исходной задач которая получена в данной работе.

Не утратили своего значения и методы получения приближенного аналитического решения краевых задач фильтрации, т.к. они позволяют качественно оценить влияние различных параметров, входящих в математическую модель, на характер процесса, а также, в некоторых случаях, дать достаточно точную количественную характеристику изучаемого явления. Кроме того, эти методы незаменимы при выяснении характера различных особенностей решения и дают достаточно простые формулы, годные при проведении инженерных расчетов.

Таким методом, применяемым в настоящей работе, является метод последовательной смены стационарных состояний, развитый И. АЛар-ным /52/ и затем усовершенствованный Г. И. Баренблаттом /9/ в более общий метод интегральных соотношений. Расчеты по этому методу автомодельных задач двухфазной фильтрации проводились в /31, 51 /.

В данной работе метод последовательной смены стационарных состояний впервые применен к расчету одноразмерных неавтомодельных нестационарных задач двухфазной фильтрации.

Довольно длительную историю имеет использование метода вибровоздействия в технологии добычи нефти и газа. Одно из самых ранних упоминаний сделано в /73/. Подробное описание различных аспектов использования этого метода дано в /12/. Исследование влияния акустических или ультразвуковых полей, получаемых цри вибровоздействии, на проницаемость пористой среды проводилось в работах /49/, /53/, /67/.

Основы математического моделирования с целью объяснения влияния способа вибровоздействия на фильтрацию не см вшивающихся жидкостей в призабойной зоне скважины заложены в /38/.

В настоящей работе излагаются результаты дальнейших исследований по построенной в /38/ математической модели.

Кроме того, теоретически показана возможность использования и других методов воздействия на призабойную зону для повышения проницаемости последней.

Охарактеризуем подробно основные результаты работы. В первом параграфе главы I рассмотрены вопросы единственности и непрерывной зависимости обобщенного решения пространственной задачи двухфазной фильтрации от коэффициентов уравнений и начально-краевых условий для случая вытеснения при заданном суммарном расходе фаз на границе области фильтрационного течения. Доказательство проводится методом построения и последующего исследования линейной соцряженной задачи. Аналогичным образом дается оценка близости обобщенного решения вспомогательной Сретуляризован-ной задачи к решению исходной вырождающейся.

Второй параграф главы I посвящен исследованию корректности постановки одномерной и осесимметричной задач вытеснения цри заданном перепаде давлений. Доказаны теоремы существования обобщенного решения, а для частного вида начальной функции и единственности, обнаружен ряд свойств обобщенного решения. Например, следует отметить, что принцип максимума имеет вид, отличный от доказанного ранее /3/, и это отличие состоит в том, что предельное значение насыщенности сверху определяется величиной перепада давлений.

В § 3 этой же главы изучены различные качественные свойства обобщенных решений задач при заданных перепаде давлений или суммарном расходе в случае одноразмерных течений, обнаруженные в ходе дальнейших исследований.

Доказаны свойства монотонной зависимости обобщенного решения задачи с известным суммарным расходом от функции суммарного расхода и ее производной. Они состоят в следующем.

Если два расхода Q1(t) и связаны неравенством.

G^ ^ Q^, то аналогичное неравенство имеет место и дяя соответствующих обобщенных решений. Далее, если функция Q (-fc.) является монотонно неубывающей функцией времени, то и обобщенное решение есть монотонно неубывающая функция времени. В качестве следствия приведена оценка решения нестационарной задачи через решение стационарной. Выяснено влияние функции капиллярного давления на структуру обобщенного решения. Получены оценки сверху и снизу для обобщенных решений через некоторые известные функции.

Следует отметить, что для уравнений нелинейной нестационарной однофазной фильтрации аналогичные теоремы сравнения получены В. М. Ентовым в работе /19/.

В § 4 для решения вырождающейся одномерной задачи вытеснения при известном суммарном расходе доказано свойство стабилизации при бесконечном возрастании времени к стационарному решению с оценкой скорости сходимости.

В § I главы 2 предложен алгоритм численного решения и приведены данные расчетов одномерной и осесимметричной задач вытеснения смачивающей жидкости несмачивакзцей, а также обсуждаются полученные результаты. Выяснены некоторые особенности задачи вытеснения смачивающей фазы несмачивакзцей с учетом концевого эффекта.

Во втором параграфе этой главы методом последовательной смены стационарных состояний решена нестационарная задача вытеснения при заданном перепаде давления. Посредством сравнения с результатами расчетов по конечно-разностному методу выяснена область применимости полученного приближенного решения.

В § 3 дана экспериментальная проверка полученных теоретических результатов. В нем изложена методика проведения эксперимента, приведены его результаты и дано сравнение экспериментальных данных с результатами численных расчетов.

В главе 3 в первых двух параграфах приведена математическая модель воздействия виброисточника на призабойную зону скважины и рассмотрены два способа получения решения по этой модели: -метод конечных разностей и квазистационарное приближение. Дано сравнение полученных решений.

В § 3 посредством анализа стационарных решений для случая кусочно-однородной пористой среды изучена еще одна возможность устранения капиллярного запирания фильтрата бурового раствора.

В четвертом параграфе главы 3 на основе полученных стационарных решений оценено влияние сжимаемости вытесняющей фазы на расход этой фазы и распределение насыщенности в режиме капиллярного запирания вытесняемой фазы.

Материалы диссертации изложены в работах / 5, 16−18/, а также ряде отчетов по НИР, выполненных в лаборатории фильтрации Института гидродинамики СО АН СССР им. М. А. Лаврентьева.

Результаты диссертации докладывались на республиканской конференции по нелинейным задачам математической физики (г.Донецк,.

1983), на семинаре теоретического отдела Института гидродинамики СО АН СССР под руководством члена-корреспондента АН СССР Л. В. Овсянникова, на семинаре «Краевые задачи механики сплошной среды» в Институте гидродинамики СО АН СССР под руководством профессора В. Н. Монахована семинаре «Большие задачи математической физики» в Новосибирском госуниверситете под руководством профессора А. Н. Коновалова, на семинарах лаборатории фильтрации Института гидродинамики СО АН СССР, на семинаре по механике жидкости и газа под руководством академика АН АзССР А. Х. Мирзаджанзаде и академика С. А. Христиановича в Институте проблем механики АН СССР (г.Москва),.

Автор выражает искреннюю благодарность д.ф.-м.н. С.Н.Антонце-ву и к.ф.-м.н. В. И. Пеньковскому за научное руководство и поддержку, а также помощь в работе.

— 103-ЗАК1ЮЧЕНИЕ.

Результаты проведенного исследования:

1) Сформулирована математическая модель для описания фильтрации несмешивающихся жидкостей в призабойной зоне скважины и исследована корректность постановок соответствующих начально-краевых задач.

2) В одномерном и плоском осесимметричном случаях обнаружен ряд качественных свойств обобщенных решений задач вытеснения смачивающей фазы несмачивагацей в однородной пористой среде с учетом выходного концевого эффекта.

3) Предложен способ численного расчета и проведено численное исследование одномерной и плоской осесимметричной задач вытеснения смачивающей фазы несмачивающей при заданных перепаде давлений и суммарном потоке фаз. Изучено влияние различных физических параметров на характер процесса вытеснения.

4) Проведено экспериментальное исследование процесса образования режима капиллярного запирания вытесняемой фазы. Дано сравнение экспериментальных данных с результатами численных расчетов.

5) На основе известной математической модели проведено численное исследование воздействия виброисточника на призабойную зону скважины.

6) Предложены приближенные формулы для расчета фильтрации несмешивающихся жидкостей в призабойной зоне скважины и вибровоздействия на эту зону.

7) Изучено влияние сжимаемости вытесняющей фазы на характеристики фильтрационного течения в режиме капиллярного запирания вытесняемой фазы.

8) Проведенное исследование позволяет дать некоторые рекомендации по оптимальному выбору параметров промывочных жидкостей: а) Необходимо применять промывочные жидкости с наименее возможным значением коэффициента поверхностного натяжения их фильтрата. б) Повышения дебита скважины можно достичь использованием таких промывочных жидкостей, фильтрат которых изменяет смачивающие свойства пород в окрестности скважины в сторону их гидрофобиза-ции. в) Вязкость фильтрата бурового раствора должна быть минимальновозможной.