Квантовые эффекты электромагнитного взаимодействия полей в пространствах Робертсона-Уокера

В течение последних десятилетий космологическая наука развивается бурными темпами, что в значительной степени обусловливается достижениями современной наблюдательной астрономии и успехами физики элементарных частиц в построении единой теории фундаментальных взаимодействий, включая гравитационное.

К числу наиболее важных результатов наблюдений можно отнести открытие флуктуаций температуры космического микроволнового излучения (СМВ), сделанное в экспериментах со спутником СОВЕ [1−4]- измерение анизотропии микроволнового излучения в малых угловых масштабах, проведенное в экспериментах с воздушными шарами MAXIMA и Бумеранг [5,6] и измерения зависимости видимая величина — красное смещение, выполненные по наблюдениям за вспышками далеких сверхновых звезд типа 1а [7,8]. Данные, полученные в этих экспериментах, несут, в частности, информацию о том, что космологическое расширение Вселенной происходит с ускорением, при этом пространственная кривизна однородной и изотропной Вселенной равна нулю.

Таким образом, отвечающая действительности метрика Вселенной описывается пространственно плоским элементом длины Робертсона-Уокера, который содержит одну произвольную функцию a (t) — закон расширения Вселенной. Вид функции a (t) определяется из решения уравнений Фридмана [9,10], в которых необходимо учитывать слагаемое, соответствующее уравнениям Эйнштейна с космологической постоянной Л. Для решения уравнений Фридмана необходимо задать уравнение состояния, связывающее плотность энергии космологической среды и давление в ней. Так, в горячей космологической модели, которая является стандартной моделью развития Вселенной, космологическая среда рассматривается как идеальная жидкость, состоящая из космологического вакуума (или квинтэссенции [11]), нерелятивистского вещества (включая темное вещество) и излучения (включая ультрарелятивистские частицы) с соответствующими уравнениями состояния [12].

Характерная черта фридмановских моделей состоит в том, что, практически при любом физически обоснованном выборе уравнений состояния, Вселенная должна была расширяться, постепенно остывая, из сингулярного состояния, в котором плотность энергии вещества во Вселенной и темпераit тура Т обращаются в бесконечность. Наличие сингулярности в космологических моделях, базирующихся на общей теории относительности, связано с неполнотой классической теории. При временах t < tp, где tp = Ю-43 спланковское время, когда плотность вещества во Вселенной и температура крайне высоки, динамика Вселенной должна описываться квантовой космологией, которая в настоящее время далека от своего завершения и в которой, ^ как полагают, начальная сингулярность будет отсутствовать [13].

Основы квантовой космологии были заложены Уилером и де Виттом [14]. В квантовой космологии состояние Вселенной описывается волновой функцией ^(hij, ср), которая зависит от трехмерной пространственной метрики hij и полей материи ср. Волновая функция удовлетворяет уравнению Уилера-де. Витта, которое является аналогом стационарного уравнения Шредингера.

Это уравнение описывает поведение функции Ф в так называемом суперпространстве — пространстве всех трехмерных метрик h^. Наиболее важные результаты в этой области были получены с помощью упрощенного подхода, в котором вместо полного суперпространства рассматривалась лишь его часть, называемая мини-суперпространством и описывающая однородную Вселенную Фридмана. Основная проблема квантовомеханического подхода (Ц заключается в выборе начальных условий для уравнения Уилера-де Витта.

Одно из наиболее интересных предложений о выборе начальных условий было сделано Хартлем и Хоукингом [15]. Они предположили, что у Вселенной имеется основное состояние, подобное вакуумному состоянию в квантовой теории поля в пространстве Минковского. Наблюдаемая Вселенная представляет собой виртуальное состояние с очень большим временем жизни, а вероятность того, что Вселенная окажется в таком состоянии можно было бы определить, зная волновую функцию основного состояния Вселенной. Другой выбор начальных условий был предложен А. Линде, А. Вилеикиным и рядом других авторов [16,17]. В этой модели волновая функция Ф описывает квантовое рождение Вселенной за счет туннелирования из вакуумного состояния. Однако, в целом проблемы, связанные с выбором наиболее адекватного решения уравнения Уилера-де Витта и его интерпретацией, пока далеки от того, чтобы считаться решенными.

В настоящее время наибольший интерес к решению проблемы квантовой гравитации вызывает подход, базирующийся на теории суперструн и ее дальнейшем обобщении — М-теории. Если в квантовой теории поля фундаментальными объектами являются точечные частицы, то в теории струн в роли квантовых объектов выступают одномерные протяженные элементыструны. Родоначальницей струнных теорий обычно считают дуальную модель, предложенную Венециано [18] для описания процесса рассеяния ад-ронов. В 1970 году в работах Намбу и Гото [19,20] было найдено действие для релятивистской бозонной струны, пропорциональное площади поверхности, которую заметает струна при своем движении. Годом позже, в 1971, в работах [21,22] была построена модель струны, инвариантная относительно нового вида симметрии — суперсимметрии, преобразования которой переводят друг в друга фермионные и бозонные поля. Такие струны называют суперструнами.

Струнные теории могут быть сформулированы непротиворечиво только при особых размерностях пространства-времени, называемых критическими размерностями. Для модели бозонной струны критическая размерность D = 26, для суперструннных моделей D = 10. Кроме того, процедура квантования струны полностью устанавливает спектр частиц, который имеет две специфических особенности. Безмассовый сектор спектра всегда включает частицу со спином 2 и частицу с мнимой массой — тахион. После того, как в работе [23] было показано, что безмассовая частица со спином 2 может быть отождествлена с гравитоном, а в [24−26] построены суперструнные модели, не содержащие тахионов, теория струн превратилась в теорию, объединяющую все известные взаимодействия, включая гравитационное [27].

Следует отметить, что предположение о том, то исходное пространство-время имеет размерность d > (3 + 1) не было новым. Впервые оно было выдвинуто в теории Калуцы-Клейна [28,29], которая представляла собой геометрическое объединение гравитации и электромагнетизма за счет расширения пространства-времени до (4+1) — мерного псевдориманова многообразия. В теории Калуцы-Клейна дополнительное пространственное измерение компактифицируется до масштабов порядка планковской длины lp ~ 1.7 • Ю-33 см и становится не доступным для наблюдения.

Для космологии представляет интерес то, что присутствующие в теории суперструн фундаментальные константы задаются в многомерном пространстве и при переходе к 4-мерному пространству могут меняться со временем. Космологические модели, построенные в рамках многомерной теории гравитации, могут найти применение для решения, например, таких проблем, как проблема начальной сингулярности, проблема происхождения Вселенной, проблема космологической постоянной [30−33].

Однако, теория струн имеет некоторые серьезные концептуальные проблемы. Главная проблема заключается в том, что существует пять последовательных суперструнных моделей, ни одну из которых нельзя назвать предпочтительной. Вторая проблема состоит в выборе способа компактификации теории струн на 4-мерное пространство среди огромного числа теоретически возможных способов.

Новый этап в развитии теории струн связан с появлением работы Витте-на [34], в которой были выдвинуты убедительные доказательства того, что различные суперструнные модели являются следствием использования теории возмущений и что непертурбативно все теории являются разными описаниями какой-то более глубокой теории, названной М-теорией, которая в низкоэнергетическом пределе переходит в 11-мерную супергравитацию.

Важную роль в М-теории и теории струн играют протяженные объекты размерности р, называемые р-бранами, среди которых наибольший интерес представляют браны Дирихле, или 1) р-браны [35]. Значение бран обусловливается тем, что они являются поверхностями, на которых заканчиваются открытые струны и определяются калибровочные поля [36]. Приложением физики бран явилось создание космологического сценария, согласно которому Вселенная представляет собой трехмерную брану в объемлющем пространстве 4 + п измерений, называемом балком. В отличие от традиционного подхода теории струн дополнительные п измерений не компактифицируются, в них локализуются состояния гравитонов. Четырехмерная гравитация на бране является своего рода проекцией многомерных гравитонных состояний [37]. Дальнейшим развитием сценария «мира на бране» являются модели, описывающие спонтанное рождение Вселенной на бране [38], изотропизацию однородной Вселенной на бране [39,40], а также представления о начальной сингулярности как столкновении двух бран [13]. Интерес к последней модели обусловлен тем, что процесс столкновения бран мог привести к эффектам, которые кажутся причинно не связанными, если их наблюдать с одной из бран.

Начиная с планковского времени t = tp, которому соответствует температура Тр ~ 1019 ГэВ, Вселенная описывается в рамках стандартной горячей модели, в которой гравитационное взаимодействие рассматривается классически, а физика элементарных частиц описывается одним из вариантов единой теории слабых, сильных и электромагнитных взаимодействий — так называемой теории Великого объединения (ТВО). Один из первых вариантов таких теорий, называемый моделью ДжорджиГлэшоу [41], появился в 1974 году. Эта модель является обобщением стандартной модели Глэшоу — Вайн-бергаСалама [42,43], описывающей электрослабые взаимодействия. Модель ДжорджиГлэшоу обладает группой симметрии 5?/(5), которая содержит в качестве подгруппы группу калибровочных преобразований SU (2) X (7(1), последняя является группой симметрии модели Глэшоу — Вайнберга — Са-лама. Основным положением теорий Великого объединения служит идея о спонтанном нарушении симметрии между разными типами взаимодействий, осуществляемом за счет возникновения во всем пространстве постоянных классических скалярных полей ф (хиггсовских полей). В отсутствие таких полей слабые, сильные и электромагнитные взаимодействия являются различными аспектами единых взаимодействий, переносчиками которых выступают безмассовые векторные мезоны. При температуре Tqut — Ю15ГэВ, которая соответствует времени t ~ Ю-37 с, происходит спонтанное появление во всем пространстве постоянных скалярных полей Хиггса, что можно рассматривать как фазовый переход системы, обусловленный изменением температуры. В результате этого перехода часть векторных мезонов приобретает массу порядка 1015 ГэВ. При этом исходная симметрия 5(7(5) нарушается, 517(5) -" 5(7(3) х 5(7(2) х (7(1), то есть сильные взаимодействия с группой симметрии 5(7(3) отделяются от электрослабых.

При дальнейшем понижении температуры, благодаря процессам аннигиляции и распада, сверхтяжелые бозоны быстро исчезают так, что в конце эпохи Tqut > Т > Tew — Ю2 ГэВ Вселенная наполнена равновесным идеальным газом безмассовых лептонов, антилептонов, четырех промежуточных векторных бозонов, кварков, антикварков и глюонов. При этом электрослабые взаимодействия лептонов описываются за счет обмена безмассовыми векторными бозонами, а глюоны являются переносчиками сильных взаимодействий.

При температуре Tew — Ю2 ГэВ, которой соответствует время tEW — Ю-11 с, в системе происходит второй фазовый переход, и симметрия электрослабых взаимодействий, заданная преобразованиями группы 5(7(2) х (7(1), спонтанно нарушается. При температурах ниже Tew все лептоны, кроме, возможно, нейтрино, приобретают массу. Промежуточные бозоны дают начало массивным бозонам и фотонам. Массивные бозоны быстро исчезают вследствие распада при температурах ниже 90 ГэВ. Эра фазовых переходов заканчивается при температуре Tq# ~ 200 — 300 МэВ, когда в рамках квантовой хромодинамики происходит последний — кварк-адронный — фазовый переход. В результате этого перехода из кварков образуются адроны, включая нуклоны и пионы. Единственная симметрия, которая остается в системе — это симметрия электромагнитных взаимодействий U (1).

В результате дальнейшего понижения температуры пионы аннигилируют или распадаются, и при Тж ~ 130 МэВ ~ 1012 К начинается эра лепто-нов, которая продолжается до момента времени te ~ 10 с, когда при температуре Те ~ 5 • 109 К аннигилируют электрон-позитронные пары. Процесс аннигиляции электрон-позитронных пар является началом эры излучения, которая продолжается до момента времени teq ~ 3 • 105 лет, при котором плотность энергии релятивистских частиц (фотонов и нейтрино) становится равной плотности энергии нерелятивистского вещества, что является началом эры преобладания вещества. Моменту времени teq соответствует красное смещение zeq ~ 200. Наконец, как полагают [12], при zy — 0,7 начинается эпоха доминирования космологического вакуума.

Достоинства стандартной модели горячей Вселенной, базирующейся на единой теории слабых, сильных и электромагнитных взаимодействий заключаются в том, что она описывает динамику Вселенной при сверхвысоких температурах, объясняет процесс бариосинтеза, предсказывает преимущественное образование ядер легких элементов в процессах нуклеосинтеза, объясняет происхождение космического микроволнового излучения, допускает возможность существования не барионных частиц в качестве кандидатов на роль частиц, составляющих темное вещество, и закладывает фундамент для теории образования галактик.

В то же время, кроме уже упомянутой проблемы начальной сингулярности, существует целый ряд проблем, которые не имеют объяснения в рамках этой модели. Это такие проблемы как проблема плоскостности Вселенной, проблема крупномасштабной однородности и изотропности Вселенной, проблема космологического горизонта, проблема происхождения начальных неоднородностей плотности в ранней Вселенной, проблема реликтовых монополей, проблема космологической постоянной и ряд других.

Большая часть перечисленных проблем была решена в результате создания сценария раздувающейся, или инфляционной, Вселенной. Основная идея большинства моделей инфляции состоит в том, что на ранней стадии эволюции Вселенной существовала эпоха, в течение которой основной вклад в плотность энергии давала плотность энергии вакуумного состояния скалярного поля ру = У (ф-, Т), где У (ф]Т) — эффективный потенциал поля, который зависит от температуры Т. В эту эпоху потенциал V изменялся очень медленно и закон расширения a (t) рос почти по экспоненциальному закону (стандартная инфляция). Затем происходил распад вакуумоподобпого состояния, Вселенная разогревалась и ее дальнейшее развитие описывалось стандартной моделью горячей Вселенной.

Первая инфляционная модель Вселенной была предложена Гусом [44], хотя многие его идеи первоначально были сформулированы в модели А. А. Старобинского [45]. Модель Гуса основана на теории скалярного поля ф, которое испытывает фазовый переход первого рода. Этот фазовый переход идет путем образования пузырьков, содержащих поле ф ф 0. За счет столкновения стенок пузырьков Вселенная подогревается и ее дальнейшее развитие описывается теорией горячей Вселенной. Однако, модель Гуса приводила к нарушению однородности и изотропии Вселенной после раздувания и по этой причине вскоре была отвергнута.

Новый сценарий раздувающейся Вселенной был независимо предложен А. А. Линде [17,46,47], а также А. Альбрехтом и П. Стейнхардом [48]. В моделях этого типа инфляция происходит не только до фазового перехода из переохлажденного состояния с ф = 0, но и после образования фазы ф ф 0 при условии, что поле ф растет до своего равновесного значения фо достаточно медленно так, что эффективный потенциал поля У (ф) остается почти постоянным. После медленной фазы поле ф быстро скатывается в минимум фо, где испытывает осцилляции. Разогрев Вселенной после раздувания происходит не за счет столкновения стенок пузырьков, а за счет рождения частиц классическим полем совершающим затухающие колебания вблизи минимума У{ф). После разогрева Вселенная опять эволюционирует как обычная фридмановская модель.

Несмотря на большие успехи, новый сценарий раздувающейся Вселенной имеет ряд недостатков, препятствующих его успешной реализации. Так, например, оказалось довольно трудным построить реалистическую теорию элементарных частиц, в которой эффективный потенциал У (ф) удовлетворял бы всем необходимым требованиям. Решением проблем нового сценария раздувающейся Вселенной явилось создание модели хаотического раздувания [49], которая в настоящее время имеет наибольшую популярность. Эта модель основана не на теории высокотемпературных фазовых переходов, а на изучении эволюции Вселенной, которая при временах близких к план-ковскому времени была заполнена хаотически распределенным скалярным полем ф.

Следует отметить, что в настоящее время существует большое число моделей инфляции [50]. Если первоначально скалярное поле, порождающее инфляцию (инфлантонное поле) ассоциировалось с хиггсовскими полями в теориях Великого объединения, то позднее появились модели, основанные на теории супергравитации, на модифицированной теории гравитации, в которой присутствуют скалярные поля, на глобальной суперсимметрии, на теориях Калуцы-Клейна и теории суперструн.

Рассматривая эволюцию Вселенной после инфляции, начиная, например, с адронной эры, обычно полагают, что частицы, составляющие космологическую среду, находятся в состоянии термодинамического равновесия. Для частиц участвующих в электромагнитных взаимодействиях (в частности, электронов, позитронов и фотонов) это равновесие обеспечивается процессами, разрешенными в плоском пространстве. Сюда относятся, во-первых, процесс двухфотонной аннигиляции электрон-позитронной пары, а также обратный процесс рождения электрон-позитронной пары двумя фотонами и, во-вторых, процесс комптоновского рассеяния. Все три процесса являются процессами 2-го порядка по, а = е2, где е — заряд электрона. При этом не принимается во внимание, что частицы, заполняющие Вселенную, находятся во внешнем гравитационном поле, описываемом классической метрикой искривленного пространства-времени. Основанием для этого, по-видимому, служит то, что процессы рождения электрон-позитронных пар из вакуума свободного квантованного поля в искривленном пространстве-времени ради-ационно-доминированной Вселенной заканчиваются при временах порядка tc ~ Ю-21 с, где tc — комптоновское время электрона, причем плотность энергии рожденных частиц пренебрежимо мала по сравнению с плотностью энергии фотонного газа [51].

Однако, учет взаимодействия между полями в искривленном пространстве-времени, уже в первом порядке теории возмущений по взаимодействию, приводит к появлению новых эффектов, запрещенных в пространстве Мин-ковского законами сохранения энергии-импульса. Это такие процессы как процесс излучения фотона из вакуума, процесс рождения электрон-позитронной пары фотоном, процесс однофотонной аннигиляции электрон-позитронной пары, процессы излучения и поглощения фотона электроном и некоторые другие процессы. Как показывают сделанные нами оценки [52], время окончания этих процессов зависит от импульсов частиц, участвующих в реакции. Для частиц с релятивистскими импульсами оно составляет порядка 102 с и приходится на начало эры преобладания излучения.

Если считать, что в начале космологическая среда находилась в состоянии термодинамического равновесия и описывалась моделью идеального ультрарелятивистского невырожденного газа, то начальная плотность числа электронов пи позитронов п+ отличалась от плотности числа фотонов гг7 лишь множителем порядка единицы. Полное число актов взаимодействия в единице физического объема в единицу времени для процессов распада пропорционально плотности числа начальных частиц тг, а для реакций с двумя начальными частицами число актов взаимодействия пропорционально произведению плотностей пП2. Поскольку плотность числа частиц г-го вида щ ~ Т3, то в ранней Вселенной, при высоких температурах, процессы однофотонной аннигиляции пар должны были доминировать как над процессами двухфотонной аннигиляции пар, так и над процессами рождения пар одним или двумя фотонами. Точно также процессы поглощения фотонов электронами должны были доминировать над процессами их излучения. Таким образом, процессы 1-го порядка по радиационному взаимодействию нарушают термодинамическое равновесие и могут в значительной степени изменить историю развития ранней Вселенной. Поэтому изучение радиационных процессов в искривленном пространстве-времени, отвечающем ранней Вселенной, имеет для космологии существенное значение.

Характерная черта радиационных процессов в искривленном пространстве-времени состоит в том, что в большинстве случаев они сопровождаются рождением пар из вакуума. Один из важных вопросов, возникающих при учете взаимодействия полей в искривленном пространстве-времени, заключается в том, чтобы оценить в какой мере взаимодействие стимулирует или подавляет рождение частиц гравитационным полем по сравнению со случаем свободных полей.

Математическое описание квантовых эффектов, протекающих в сильных гравитационных полях, базируется на квантовой теории поля в искривленном пространстве-времени, которую можно рассматривать как некоторое приближение к квантовой теории гравитации. В рамках этой теории материальные поля рассматриваются как квантованные, а гравитационное поле описывается классической метрикой искривленного пространства-времени. Поскольку типичные пространственно-временные масштабы, в которых проявляются квантовые эффекты электромагнитного взаимодействия полей, имеют порядок комптоновской длины волны Ас > /р и комптоновского времени tc tpi частиц поля, причем (l^/Xf) а, где, а — константа взаимодействия, использование теории с внешним гравитациоиным полем для описания эффектов взаимодействия квантованных полей полностью оправдано [53,54].

Специфической чертой квантовой теории в искривленном пространстве-времени, отличающей ее от квантовой теории в плоском пространстве, является отсутствие естественного критерия для определения понятия частицы и, как следствие, неоднозначность выбора вакуумного состояния свободного квантованного поля. В литературе, посвященной квантованию полей в искривленном пространстве-времени, существует целый ряд методов и критериев для определения положительно-частотных состояний (см., например, [53]). Мы отметим здесь лишь те из них, которые получили широкое распространение при исследовании квантовых эффектов в космологических моделях Робертсона-Уокера. Так, в работах А. А. Гриба, С. Г. Мамаева и других авторов [53,55−57] была предложена корпускулярная интерпретация квантованного поля во внешнем гравитационном поле, основанная на методе диагонализации мгновенного гамильтониана преобразованиями Боголюбова. В работах JI. Паркера по рождению пар из вакуума в расширяющейся Вселенной [58,59] одночастичные состояния определялись с помощью WKB-решений соответствующих уравнений движения. Определенное таким образом вакуумное состояния квантованного поля называют адиабатическим [54, гл. 3.5]. Понятие адиабатического вакуума получило развитие в работах [60−63]. В работах [64−66] вакуумное состояние квантованного поля в искривленном пространстве-времени определялось как состояние, минимизирующее полную энергию поля. Как было отмечено в [64], данный метод эквивалентен методу диагонализации мгновенного гамильтониана. Заметим, что в пределе бесконечно медленного изменения масштабного фактора пространства Робертсона-Уокера при rj —> ±-оо определение понятия частицы с помощью W/ТВ-решений совпадает с его определением по методу диагонализации мгновенного гамильтониана.

Расчеты квантовых процессов взаимодействия в искривленном пространстве-времени можно проводить с помощью теории возмущений по взаимодействию квантованных полей, при этом взаимодействие квантованных полей с внешним гравитационным полем учитывается точно. Характерная черта S-матричного подхода в квантовой теории поля в искривленном пространстве-времени состоит в том, что в общем случае начальные и конечные вакуумные состояния квантованных массивных полей не эквивалентны, что проявляется в эффекте рождения частиц из вакуума [53,54]. Вследствие нестабильности вакуума в квантовой теории с внешним гравитационным полем присутствуют матричные элементы двух типов. Во-первых, это матричные элементы, соответствующие переходам системы из заданного начального состояния в конечное состояние с фиксированным числом частиц, в таких матричных элементах начальный и конечный вакуумы не совпадают. Во-вторых, в теории поля появляются матричные элементы, описывающие переходы системы полей с учетом рождения произвольного числа пар из вакуума, эти матричные элементы представляют собой средние значения по начальному вакууму.

Отмеченная особенность квантовой теории поля с внешним гравитационным полем присуща любой квантовополевой модели с нестабильным вакуумом. Впервые и в полном объеме она была исследована на примере квантовой электродинамики (КЭД) с внешним электромагнитным полем в работах [67−70]. Формализм S — матрицы в КЭД с внешним гравитационным полем, рождающим пары, был построен в работах И. JI. Бухбиндера, Д. М. Гитмана и Е. С. Фрадкина [71−74], которые основаны на обобщении S — матричного формализма, развитого в [67−70], на случай искривленного пространства-времени. Поэтому методы расчета матричных элементов в КЭД с внешним гравитационным полем, рождающим пары, имеют ряд сходных моментов с методами расчета квантовых переходов в КЭД с внешним электромагнитным полем. Изучение квантовых эффектов в КЭД с внешним гравитационным полем являются естественным продолжением исследований квантовых процессов в КЭД с внешним электромагнитным полем (см., например, [75−85]).

Подробное изучение квантовых эффектов в искривленном пространстве.

— времени начинается с работ J1. Паркера, А. А. Гриба и С. Г. Мамаева [55,56,58,59]. В настоящее время имеется значительное число работ, посвященных изучению эффекта рождения пар из вакуума зависящими от времени гравитационными полями и нахождению вакуумных средних тензора энергии-импульса свободного квантованного поля. В большинстве работ расчеты проводились на примерах различных расширяющихся и сжимающихся космологических моделей, описываемых метрикой пространства Робертсона—Уокера. Современные достижения квантовой теории поля в искривленном пространстве-времени нашли отражение в монографиях [53,54,86,87]. Исследование радиационных процессов электромагнитного взаимодействия полей в пространствах Робертсона-Уокера является следующим этапом в развитии теории квантовых эффектов во внешних гравитационных полях.

Эффекты взаимодействия квантованных полей в искривленном пространстве-времени в первом порядке теории возмущений впервые были рассмотрены в [88−98]. В результате проведенных исследований было установлено, что:

1. Эффекты взаимодействия полей могут давать заметный вклад в полное число частиц, рожденных из вакуума, более того, рождение частиц за счет взаимодействия полей может доминировать над их. рождением из вакуума свободного квантованного поля [88−91].

2. Процессы взаимодействия полей в искривленном пространстве-времени в общем случае не инвариантны относительно СРТ-преобразований [92].

3. Сильное внешнее гравитационное поле модифицирует выражения для сечений и вероятностей процессов, разрешенных в пространстве Минковско-го, в них появляются дополнительные члены, обусловленные влиянием гравитационного поля, вклад которых при определенных условиях может стать доминирующим [95,96].

Во всех этих работах искривленное пространство-время описывалось метрикой Робертсона-Уокера с заданным масштабным фактором. Общей чертой перечисленных работ является также то, что в них рассматривались исключительно модельные теории, выбор которых был обусловлен их простотой.

Исследование эффектов взаимодействия полей в искривленном пространстве-времени в более реалистических моделях было начато в [99−110] на примере квантовой электродинамики. Именно, в [99] был рассмотрен процесс поглощения фотона электроном в классическом поле плоской гравитационной волны, работы [100−110] посвящены изучению квантовоэлектродинами-ческих эффектов в в пространственно-плоских моделях Робертсона-Уокера. Так, в работах К. Г. Лоце [100−104] в рамках квазиевклидовой модели ради-ационно-доминированной Вселенной были впервые рассчитаны суммарные вероятности процесса рождения фотона из вакуума [100,101], процесса рождения произвольного числа пар фотоном [103] и рассмотрена суммарная вероятность излучения фотона электроном [102]. Им же в [105] был исследован процесс рождения фотона и произвольного числа пар из вакуума в некоторых асимптотически плоских моделях Робертсона-Уокера, а в [103,104] на примере двух пространственно-плоских моделей рассмотрен вопрос о СРТ-инвариантности КЭД в пространствах Робертсона-Уокера. Результаты наших исследований представлены в данной работе.

Целью диссертационной работы, которая посвящена систематическому исследованию квантовых эффектов электромагнитного взаимодействия полей в конформно-плоских пространствах Робертсона-Уокера, является следующее:

— развить методы расчета матричных элементов в квантовой электродинамике в конформно-плоском пространстве Робертсона-Уокера и, используя общий вид решений полевых уравнений движения, получить для вероятностей радиационных процессов первого порядка и среднего числа рожденных частиц представления, удобные для описания квантовых эффектов в пространствах Робертсона-Уокера специального вида;

— используя метод суммирования решений, выразить функции Грина спи-норного поля в конформно-плоском пространстве Робертсона-Уокера с нестабильным вакуумом через функции, описывающие зависимость од-почастичных решений от конформного времени 77- с помощью полученных общих выражений исследовать причинный вакуумный ток спинорного поля в пространстве Робертсона-Уокера и получить представления для функций Грина в пространствах Робертсона-Уокера специального вида;

— используя найденные общие выражения, рассчитать и исследовать основные процессы первого порядка в квазиевклидовой модели пространства де Ситтера;

— с помощью найденных общих выражений рассчитать и исследовать основные процессы первого порядка в радиационно-доминированной модели Вселенной;

— исследовать эффекты излучения классических заряженных частиц в квазиевклидовых моделях пространства де Ситтера и радиационно-домини-рованной Вселенной с целыо сравнения результатов классического и кваи-товомеханического расчетов.

Научная новизна работы заключается в том, что в ней: а) впервые получены общие выражения для дифференциальных вероятностей трех процессов первого порядка в произвольном конформно-плоском пространстве Робертсона-Уокера с нестабильным вакуумом, а именно: процесса рождения одной электрон-позитронной пары и фотона из вакуума, процесса рождения одной электрон-позитронной пары фотоном и процесса излучения фотона электрономб) впервые получены общие выражения для среднего числа электрон-по-зитронных пар, рождающихся из вакуума в процессе распада фотона и в процессе неупругого рассеяния электрона в конформно-плоском пространстве Робертсона-Уокера с нестабильным вакуумом, исследована структура полученных выраженийв) функции Грина спинорного поля в конформно-плоском пространстве.

Робертсона-Уокера с нестабильным вакуумом выражены через интегралы Фурье от произведений функций, описывающих зависимость одночастич-ных решений от конформного времени 77, с помощью найденных выражений вычислен причинный вакуумный ток спинорного поля в пространстве Робертсона-Уокера общего видаг) построены полные наборы одночастичных решений уравнения Дирака и Клейна-Гордона в квазиевклидовой модели пространства де Ситтера, удовлетворяющие условию адиабатичности при 77 —> ±-оорассчитаны и исследованы вероятности основных процессов первого порядка в квазиевклидовой модели пространства де Ситтера, исследован классический предел вероятности излучения фотона электроном и найден спектр излучения классической заряженной частицы, свободно движущейся в пространстве де Ситтерад) впервые рассчитаны и исследованы дифференциальные вероятности трех квантовых процессов в квазиевклидовой модели радиационно-домини-рованной Вселенной: процесса рождения одной электрон-позитронной пары и фотона из вакуума, процесса рождения одной электрон-позитронной пары фотоном и процесса излучения фотона электрономе) впервые вычислены и изучены суммарные вероятности (учитывающие рождение произвольного числа пар из вакуума) для процесса излучения и процесса поглощения фотона электроном в квазиевклидовой модели ради-ационно-доминированной Вселенной, исследован классический предел процесса излучения фотона электроном и вычислен спектр излучения классической заряженной частицы в радиационно-доминированной Вселеннойпроведено подробное исследование суммарных вероятностей процесса излучения фотона из вакуума и процесса распада фотонаж) впервые вычислено среднее число электрон-позитронных пар, рождающихся в радиационно-доминированной Вселенной в процессах распада фотона и неупругого рассеяния электрона, исследована зависимость числа рожденных пар от импульсов участвующих в процессе частиц, сделаны численные оценки полного числа фотонов и полного числа пар, рождающихся в этих процессах взаимодействия в ранней Вселеннойз) в рамках скалярной КЭД в радиационно-доминированной Вселенной вычислены суммарные вероятности основных квантовых процессов, сопровождающихся рождением произвольного числа бозонных пар из вакууманайдены выражения для среднего числа скалярных пар, рождающихся в процессе излучения фотона из вакуума, в процессе распада фотона и в процессе неупругого рассеяния заряженной скалярной частицы во внешнем гравитационном полеи) на основе теории асимптотических решений линейных дифференциальных уравнений с иррегулярными особыми точками разработан метод нахождения асимптотических представлений вырожденных гипергеометрических функций, встречающихся в теории квантовых процессов в радиационно-доминированной Вселенной.

Основные положения, выносимые на защиту:

1. Изучены процессы тормозного излучения классического электрона во внешних гравитационных полях, отвечающих квазиевклидовым моделям пространства де Ситтера и радиационно-доминированной Вселенной, найдены и исследованы спектры излучения классической частицы в этих полях.

2. В рамках теории возмущений по радиационному взаимодействию в КЭД с внешним гравитационным полем развит метод расчета матричных элементов первого порядка в конформно-плоских моделях Робертсона-Уоке-ра общего вида. С помощью данного метода найдены общие выражения для вероятностей трех радиационных переходов системы полей в состояния с фиксированным числом неполяризованных частиц. Именно, получены представления для вероятности рождения одной электрон-позитронной пары и фотона из вакуума, вероятности рождения одной электрон-позитронной пары фотоном и вероятности излучения фотона электроном.

3. Для конформно-плоского пространства Робертсона-Уокера с нестабильным вакуумом получены общие выражения, описывающие суммарные вероятности четырех квантовых процессов, сопровождающихся рождением произвольного числа электрон-позитронных пар из вакуума. Найдены суммарные вероятности: процесса излучения фотона из вакуума, процесса распада фотона, процесса излучения и процесса поглощения фотона электроном. Изучен механизм излучения фотонов и рождения пар из одноэлектрон-ного состояния в искривленном пространстве с нестабильным вакуумом. Показано, что эффект излучения фотона складывается из двух процессов — процесса спонтанного излучения фотона электроном и процесса рождения фотона и произвольного числа пар из вакуума, индуцированного начальным электроном. Точно также, эффект поглощения фотона электроном состоит из собственно процесса обратного тормозного излучения и процесса распада фотона в произвольное число пар, индуцированного начальным электроном.

4. Развита скалярная теория радиационных эффектов 1-го порядка в конформно-плоском пространстве Робертсона-Уокера с нестабильным вакуумом. Получены общие выражения для суммарных вероятностей 3-х радиационных процессов, сопровождающихся рождением произвольного числа пар из вакуума: процесса излучения фотона из вакуума, процесса распада фотона и процесса излучения фотона заряженной скалярной частицей.

5. В спинорной и в скалярной теории найдены общие выражения, описывающие среднее число пар, рождающихся в искривленном пространстве-времени Робертсона-Уокера, в процессе излучения фотона из вакуума, в процессе распада фотона и в процессе излучения фотона электроном. Изучена структура найденных выражений и показано, что внешнее гравитационное поле стимулирует рождение бозевских и подавляет рождение дираковских пар частиц в этих процессах.

6. Построены полные наборы одночастичных решений уравнений Дирака и Клейна-Гордона в пространстве де Ситтера в системе координат Лемет-ра-Робертсона. Показано, что начальное и конечное вакуумные состояния квантованных полей, определяемые с помощью найденных решений, эквивалентны и удовлетворяют условию адиабатичности. Исследован безмассовый предел найденных решений и показано, что адиабатический вакуум в пространстве де Ситтера не совпадает с конформным вакуумом. Как в скалярном, так и в спинорном случае найдены и исследованы вероятности рождения фотона и пары из вакуума, вероятность рождения пары фотоном и вероятность излучения фотона электроном. Показано, что в классическом пределе спектральное распределение энергии излучения электрона совпадает со спектром излучения классической релятивистской частицы, совершающей равномерно ускоренное движение.

7. Методом суммирования одночастичных решений уравнения Дирака найдены общие выражения для функций Грина спинорного поля в конформно-плоском пространстве Робертсона-Уокера. Показано, что в рамках данного подхода построение функций Грина сводится к нахождению интегральных представлений для произведений функций, описывающих зависимость одно-частичных решений от конформного времени т]. С помощью найденных выражений вычислен причинный вакуумный ток спинорного поля в пространстве Робертсона-Уокера общего вида и получены известные интегральные представления для in — out и in — in причинных функций Грина спинорного поля в квазиевклидовой модели радиационно-домипированной Вселенной.

8. На основе общих выражений для вероятностей переходов в состояния с фиксированным числом частиц вычислены дифференциальные вероятности 3-х квантовых процессов в квазиевклидовой модели радиационно-доминиро-ванной Вселенной: процесса рождения одной электрон-позитронной пары и фотона из вакуума, процесса рождения одной электрон-позитронной пары фотоном и процесса излучения фотона электроном. Найдена область формирования этих процессов. Подробно исследовано поведение вероятностей в различных кинематических областях участвующих в процессах частиц.

9. Исследован процесс излучения фотона из вакуума в радиационно—доминированной Вселенной, сопровождающийся рождением произвольного числа электрон-позитрониых пар. В скалярной КЭД вычислена суммарная вероятность рождения фотона и произвольного числа бозонных пар из вакуума, а также среднее число пар, рождающихся в данном процессе. Получены интегральные представления для полных вероятностей процесса в скалярном и спинорном случае. Даны численные оценки полных вероятностей процесса и среднего числа пар, рождающихся из вакуума.

10. Исследован процесс распада фотона в произвольное число скалярных и спинорных пар в радиационно-доминированной Вселенной. В скалярной КЭД вычислена суммарная вероятность рождения произвольного числа бо-зонных пар фотоном. В скалярном и спинорном случае найдены асимптотические оценки суммарной вероятности распада мягкого и жесткого фотона. Получены точные выражения для среднего числа фермионных и бозонных пар, рождающихся в процессе распада фотона. Даны оценки среднего числа электрон-позитронных пар, рожденных в процессе распада фотонов в ранней Вселенной.

11. Исследованы процессы излучения и поглощения фотона электроном в радиационно-доминированной Вселенной с учетом рождения произвольного числа пар из вакуума. В скалярной и спинорной теории вычислены точные выражения для суммарных вероятностей спонтанного излучения и спонтанного поглощения фотона электроном и изучена их зависимость от импульса начальной частицы. Получены оценки для среднего числа фотонов, излучаемых из одноэлектронного состояния. В скалярном и спинорном случае найдено среднее число пар, рождающихся из вакуума в процессе рассеяния заряженной частицы. Исследован классический предел суммарной вероятности спонтанного излучения фотона электроном.

12. На основе теории асимптотических решений для линейных дифференциальных уравнений с иррегулярными особыми точками разработан метод нахождения асимптотических представлений для вырожденных гипергеометрических функций, встречающихся в теории квантовых эффектов в радиационно-доминированной Вселенной, который может быть также использован для нахождения асимптотических представлений вероятностей процессов в КЭД в постоянном электрическом поле.

Структура и объем диссертации

Диссертация состоит из введения,.

Заключение

.

В диссертации получены следующие основные результаты:

1. Найден спектр излучения классического электрона, свободно движущегося в пространстве де Ситтера относительно системы отсчета Леметра—Робертсона. Показано, что этот спектр совпадает со спектром релятивистского заряда, совершающего неограниченное гиперболическое движение в пространстве Минковского. Исследована зависимость спектра от кривизны пространства де Ситтера R.

2. Получен спектр излучения классического электрона, движущегося в квазиевклидовом пространстве-времени радиационно-доминированной Вселенной. Найдена область формирования спектра, которая представляет собой конечный временной интервал Д77 с центром в точке 77 = 0. Исследована зависимость спектра от импульса электрона.

3. В рамках .S-матричного формализма в КЭД с внешним гравитационным полем развит метод расчета матричных элементов 1-го порядка в квантовой электродинамике в конформно-плоском пространстве Робертсона-Уокера общего вида. Вероятности радиационных переходов, просуммированные по состояниям поляризации частиц, выражаются через интегралы Фурье от произведений функций, описывающих зависимость одночастичных решений уравнения Дирака от конформного времени 77. Получены представления для дифференциальных вероятностей трех квантовых переходов в состояния с фиксированным числом частиц в искривленном пространстве-времени с нестабильным вакуумом: процесса рождения одной электрон-позитронной пары и фотона из вакуума, процесса рождения одной электрон-позитронной пары фотоном и процесса излучения фотона электроном.

4. Для конформно-плоского пространства Робертсона-Уокера с произвольным масштабным фактором получены общие выражения, описывающие вероятности 4-х радиационных переходов, сопровождающихся рождением произвольного числа электрон-позитронных пар из вакуума. Найдены суммарные вероятности: процесса излучения фотона из вакуума, процесса распада фотона, процесса излучения и процесса поглощения фотона электроном.

Изучен механизм излучения и поглощения фотона одноэлектронным состоянием в конформно-плоском пространстве Робертсона-Уокера с нестабильным вакуумом. Показано, что процесс излучения фотона складывается из процесса спонтанного излучения фотона электроном и процесса рождения фотона и произвольного числа электрон-позитронных пар из вакуума, индуцированного начальным электроном. Точно так же, эффект поглощения фотона электроном состоит из процесса спонтанного поглощения фотона электроном и процесса распада фотона в произвольное число пар, индуцированного начальной частицей.

5. Развита скалярная теория радиационных эффектов 1-го порядка в конформно-плоском пространстве Робертсона-Уокера с нестабильным вакуумом. Получены общие выражения для суммарных вероятностей 3-х радиационных процессов, сопровождающихся рождением произвольного числа пар из вакуума: процесса излучения фотона из вакуума, процесса распада фотона и процесса излучения фотона заряженной скалярной частицей.

6. Как в спинорной, так и в скалярной теории получены общие выражения, описывающие среднее число пар, рождающихся в процессе излучения фотона из вакуума, в процессе распада фотона и в процессе неупругого рассеяния электрона в конформно-плоском пространстве Робертсона-Уоке-ра общего вида. Изучена структура найденных выражений и показано, что внешнее гравитационное поле стимулирует рождение пар скалярных частиц и подавляет рождение фермионных пар в данных процессах. Присутствие массивной частицы в начальном состоянии системы полей приводит к дополнительному усилению эффекта в случае бозонов и подавлению в случае фермионов.

7. Построены полные наборы одночастичных решений уравнений Дирака и Клейна-Гордона в квазиевклидовой модели пространства де Ситтера. Начальное и конечное вакуумные состояния квантованных полей, определяемые с помощью найденных решений, не зависят от наблюдателя, удовлетворяют условию адиабатичности и эквивалентны. Исследован безмассовый предел найденных решений и показано, что адиабатический вакуум в пространстве де Ситтера не совпадает с конформным вакуумом.

Для квазиевклидовой модели пространства де Ситтера в скалярном и спинорном случае найдены и исследованы: вероятность рождения пары и фотона из вакуума, вероятность рождения пары фотоном и вероятность излучения фотона электроном. Показано, что в квазиклассическом пределе спектральное распределение энергии излучения электрона совпадает со спектром излучения классического релятивистского электрона, совершающего равномерно ускоренное движение.

8. Функции Грина спинорного поля в конформно-плоском пространстве Робертсона-Уокера с нестабильным вакуумом выражены через интегралы Фурье (по импульсу) от произведений функций, описывающих временную зависимость одночастичных решений уравнения Дирака. С помощью найденного представления для причинной функции Грина Sc (x, x') показано, что причинный вакуумный ток спинорного поля в произвольном пространстве Робертсона-Уокера равен нулю.

Полученные представления удобны для нахождения функций Грина в пространстве с заданным законом расширения. В качестве примера их применения вычислены известные интегральные представления причинных функций Грина Sc (x, x') и Sfn (x, x') спинорного поля в квазиевклидовой модели радиационно-доминированной Вселенной. Результат представлен в виде контурных интегралов в комплексной плоскости собственного времени s от ядра Швингера-де Витта.

9. На основе общих выражений для вероятностей квантовых переходов в состояния с фиксированным числом частиц вычислены дифференциальные вероятности 3-х процессов в искривленном пространстве-времени радиационно-доминированной Вселенной: процесса рождения одной электрон-позитронной пары и фотона из вакуума, процесса рождения одной электрон-позитронной пары фотоном и процесса излучения фотона электроном. Найдена область формирования этих процессов. Показано, что радиационные процессы с участием мягких фотонов и нерелятивистских электронов в основном заканчиваются при временах порядка комптоновского времени электрона rjc, а процессы взаимодействия с участием релятивистских электронов и жестких (или очень мягких) фотонов заканчиваются в начале эры преобладания излучения при t ~ 102 с. Подробно исследовано поведение вероятностей в различных кинематических областях участвующих в процессе частиц. Найдена вероятность того, что вакуум свободного квантованного поля останется вакуумом.

10. В скалярном и спинорном случае исследован процесс рождения фотона и произвольного числа пар из вакуума в радиационно-доминированной Вселенной. В спинорной КЭД вычислены суммарная вероятность процесса и среднее число фермионных пар, рождающихся из вакуума. Полученные выражения согласуются с результатами К. Г. Лоце [100,101]. В скалярной КЭД вычислена суммарная вероятность процесса и среднее число рожденных пар. Получены интегральные представления для полных вероятностей процесса в скалярном и спинорном случае. Сделаны численные оценки полной вероятности процесса и среднего числа пар, рождающихся из вакуума.

11. Исследован процесс распада фотона в радиационно-доминированной Вселенной. Вычислены суммарные вероятности распада фотона в произвольное число пар скалярных и спинорных частиц. Вероятность процесса в спинорной КЭД совпадает с результатом К. Г. Лоце [103]. Найдены асимптотические оценки суммарной вероятности распада мягкого и жесткого фотонов в скалярном и спинорном случае. Показано, что с увеличением энергии начального фотона вероятность распада стремится к постоянному, не равному нулю, значению, при этом интервал формирования процесса (время распада фотона) неограниченно растет. Получены точные выражения для среднего числа фермионных и бозонных пар, рождающихся в процессе распада фотона. Даны оценки среднего числа фермионных пар, рожденных в процессе распада фотонов в ранней Вселенной, которые показывают, что в радиационно-доминированной Вселенной рождение пар в процессах распада фотонов доминирует над их рождением из вакуума свободного квантованного поля.

12. Исследованы процессы излучения и поглощения фотона электроном.

Ч' в радиационно-доминированной Вселенной с учетом рождения произвольного числа пар из вакуума. Найдены суммарные вероятности спонтанного излучения и спонтанного поглощения фотона электроном и изучена их зависимость от импульса начального электрона. Получены оценки для среднего числа фотонов, излучаемых из одноэлектронного состояния. Найдено среднее число электрон-позитронных пар, рождающихся из вакуума в процессе рассеяния электрона. Найдена суммарная вероятность процесса и вычислено среднее число пар, рождающихся из вакуума в процессе излучения фотона скалярной частицей. Исследован классический предел суммарной вероятности спонтанного излучения фотона электроном. Спектр излучения в классическом пределе переходит в выражение, полученное в рамках классической электродинамики. Ц

13. В рамках теории асимптотических решений для линейных дифференциальных уравнений с иррегулярными особыми точками разработан метод нахождения асимптотических представлений для вырожденных гипергеометрических функций, встречающихся в теории квантовых эффектов в радиационно-доминированной Вселенной, который может быть также использован для нахождения асимптотик вероятностей процессов в КЭД в пощ стояниом электрическом поле.

Таким образом, в диссертации разработана теория квантовых эффектов первого порядка по радиационному взаимодействию в квантовой электродинамике в конформно-плоском пространстве Робертсона-Уокера общего вида. В ней также исследованы основные радиационные процессы первого порядка в двух квазиевклидовых моделях Робертсона-Уокера специального вида. Первая модель — пространство де Ситтера — представляет пример пространства Робертсона-Уокера со стабильным вакуумом. Вторая модель — радиаци-онно-доминированная Вселенная — является примером искривленного пространства-времени, которое рождает пары из вакуума свободного квантованного поля. Учет взаимодействия между квантованными полями в радиационно-доминированной модели Вселенной показывает, что радиационные процессы 1-го порядка, протекающие в лептонную эру, будут нарушать термодинамическое равновесие в ранней Вселенной. Полученные оценки для полных вероятностей процесса распада фотона и процесса неупругого рассеяния электрона могут быть использованы при математическом описании эволюции ранней Вселенной в рамках неравновесной статистической механики.

Автор глубоко благодарен И. JI. Бухбиндеру, который ввел его в круг задач квантовой теории поля в искривленном пространстве-времени и вместе с которым был выполнен ряд цитированных здесь работ.

Автор признателен А. А. Грибу, А. А. Старобинскому, Н. А. Черникову, Н. С. Шавохиной, В. Н. Мельникову, К. А. Бронникову, Д. В. Гальцову, В. Ч. Жуковскому, А. В. Борисову, Ю. В. Грацу, В. Я. Эппу за стимулирующие обсуждения и ценные замечания.

Автор особенно благодарен своему учителю В. Г. Багрову за внимание и поддержку.