Теоретические и вычислительные аспекты исследования одного варианта метода прямых для системы моментных уравнений переноса заряда в полупроводниках

Математическое моделирование физических явлений в полупроводниковых устройствах имеет огромное значение для технических приложений и в последнее время превратилось в быстро развивающуюся область прикладной математики. Современный уровень развития микроэлектронных технологий позволяет создавать полупроводниковые приборы (компоненты интегральных схем) столь малых размеров, что анализ и проектирование их с помощью упрощенных аналитических моделей становится затруднительным. Это связанно с тем, что традиционные упрощающие предположения, положенные в основу таких моделей, могут существенно нарушаться в современных приборах.

Моделирование процесса переноса заряда в полупроводниковых устройствах основывается на кинетическом уравнении Больцмана, описывающем движение носителей зарядов (электронов и дырок) в полупроводнике. Для электронной функции распределения / = /(?, ж, v) имеем уравнение: + - = W). t > о, х е ЛЗ, V е ЯЗ. (1) i—1.

Здесь х = (хцх2, ?3), v = (^1,^2, г>з) — вектор скорости, q — заряд электрона, т* - эффективная масса электрона, Е = (Ei, Е2, ?3) — вектор напряженности электрического поля, Q — оператор Больцмана, учитывающий взаимодействие электронов с решеткой. Уравнение (1) написано для случая, когда имеются только электронные носители заряда. При наличии нескольких типов носителей (электронов и дырок, «легких» и «тяжелых» дырок и т. д.) надо ввести свою функцию распределения для каждого типа. Соответственно мы будем иметь столько кинетических уравнений вида (1), сколько есть таких носителей. При этом в правой части формулы (1) появится сумма по всем типам частиц, на которых рассматриваемые носители заряда могут рассеиваться. Таким образом, если существенно взаимное рассеяние или превращение частиц разных типов, то мы приходим к системе связанных кинетических уравнений.

Для решения уравнения (1) предлагается много различных методов, из которых самый распространенный — метод Монте-Карло. Этот метод зарекомендовал себя, как дающий достаточно точные результаты. Однако прямое численное интегрирование полного уравнения переноса Больцмана для носителей заряда в полупроводниках требует больших вычислительных затрат. Кроме того, в некоторых случаях (например, если концентрация носителей заряда в отдельных областях прибора очень низкая) результаты вычислений с помощью этого метода могут значительно различаться.

Поэтому, возникает потребность в более простых моделях, представляющих собой разумный компромисс между физической точностью и вычислительной эффективностью. Например, приемлемая точность может быть достигнута при решении уравнений переноса, полученных для моментов уравнений Больцмана, таких как.

Здесь п — концентрация, и — средняя скорость, е — внутренняя энергия.

Простейшей моделью переноса заряда, которая получена методом моментов из уравнения Больцмана, является дрейф-диффузионная модель. Классическая дрейф-диффузионная модель физики полупроводников быносителей, |г>|2 = (v, v) и т. д. ла предложена в 1949 — 1950 годах Schockley [82] и van Roosbroeck’oM [79]. Она состоит из уравнений неразрывности для носителей заряда (п (ж, ?), р (ж, t) — концентрация электронов и дырок) и уравнения Пуассона для электрического потенциала (p (x, t): дть.

— divJ «= Д (р, п), (2) дрdivJp = Д (р, п), (3).

A (p=-±(p-n + Nd-Na), (4) где векторы плотностп электронного и дырочного токов записываются в таком виде:

Зп — DnVri — finriV (p,.

Jр = Dp/p — fippVip.

Здесь Dn, Dp — коэффициенты диффузии, /in, /ip — подвижность электронов и дырок, ?q — относительная диэлектрическая проводимость полупроводника. Предполагается, что структура полупроводника легирована до-норной и акцепторной примесями с концентрациями Nd (x), Na (x), а также в полупроводнике происходит рекомбинация частиц со скоростью R (p, п).

Надо сказать, что дрейф-диффузионная модель используется в основной массе моделирующих программ для электронных устройств и была достаточно полно изучена. Математические аспекты модели (2)-(4) хорошо исследованы многими авторами. Отметим в этой связи работы [46,58,67].

M.S. Mock в рамках модели van Blotekjaer’a (2)-(4) (считая Dn = Dp = Цп — Hp = 1) исследовал задачу Неймана. Для этой задачи при определенных ограничениях на область определения и начальные данные, доказано (см. [70]) существование единственного решения, гладким образом зависящего от начальных данных. В реальных физических задачах встречаются более интересные граничные условия, например, типично задание условия Неймана лишь на части границы и условия Дирихле на оставшейся. В работе [71] проведен анализ соответствующей стационарной задачи. Вопросы точности описания различных физических явлений обсуждаются в [83]. Численное моделирование переноса заряда в полупроводниковых устройствах восходит к известной работе [81], авторы которой предложили устойчивую дискретизацию дрейф — диффузионных уравнений, используемую и по сей день.

Некоторыми авторами (см. [69,72]) рассматривается упрощенная одномерная стационарная дрейф-диффузионная модель (при Dn — Dp = fin = iv = 1): f — n — p — N, n = rup + J", (5) p = -pip — Jp, где J’n = R, J’p= -R.

Однако возрастающая миниатюризация современных электронных приборов требует более точного моделирования процесса переноса энергии в полупроводниках, что имеет первостепенную важность для описания таких феноменов как горячие электроны, ударная ионизация, генерация тепла и тому подобное. Следовательно, возникает необходимость расширения общепринятой дрейф-диффузионной модели, принимая во внимание энергию носителей заряда. Эта цель достигается в моделях переноса носителей заряда в полупроводниковых приборах, обычно называемых гидродинамическими моделями.

При построении таких моделей выбирается подходящая процедура замыкания, которая позволяет из бесконечной системы моментов уравнения Больцмана получить замкнутую систему из конечного числа уравнений.

Существование процедур замыкания, основанных на различных предположениях, и определяет большое количество математических моделей, применяемых для описания переноса заряда в полупроводниковых устройствах. Обзор основных моделей приведен в работах [39,63,65].

Одна из самых первых гидродинамических моделей была получена Blotekjaer [57] и изучалась Baccarani, Vordeman [45] и другими авторами. В предположении одного типа носителей (электронов) модель записывается в виде системы для электронной плотности, скорости и плотности энергии р, и, Е (см. [65]): + div (pu) = 0, (6) + div (pu ® u) + Vp (p, Т) = pVV — ри, (7) д£ + div (?u + р (р, Т) и — pVT) = ри • W — (Е — EL), (8).

AV = p-C (x). (9).

Здесь Т — температура, р (р, Т) — давление, V — электрический потенциал, 3.

С (х) — профиль легирования, Еь = -рквТц,, кв ~ постоянная Больцмана, Ть — температура решетки. Плотность энергии имеет следующее выражение где m — эффективная электронная масса.

Однако полный математический анализ гидродинамической модели (6)-(9) пока отсутствует. В то же время хорошо изучена упрощенная, так называемая, изэнтропическая гидродинамическая модель, которая получается из (6)-(9) в предположении, что температура постоянна: + div (pu) = 0, (10) + div (pu u) + Vp = pW — pu, (11).

AV = p-C (x), (12) где p = v{p). Часто предполагается, что р (р) = — р1, 7 > 1. 7.

Для упрощенной модели исследовались такие вопросы, как существование и асимптотическое поведение решения [60,66,86]. Также существует большое количество работ, посвященных вычислительным аспектам модели (см., например, [64]). Некоторые численные аспекты модели (6)-(9) в стационарном случае обсуждаются, например, в работе [61]. А работа [62] посвящена моделированию ударных волн в стационарном случае для субмикронных полупроводниковых устройств.

В последние годы появилось много работ, в которых предлагаются и изучаются самые различные варианты гидродинамических моделей. Так в 1995 году итальянскими учеными Anile и Muscato [40] была предложена своя гидродинамическая модель переноса заряда в полупроводниках. Авторы отказываются от предположения идеальной среды (когда тензор напряжения считают шаровым) и от, обычно применяемого для замыкания гидродинамических моделей, закона Фурье для потока тепла:

Q = -kVT.

В настоящей диссертации изучается одна из последних моделей гидродинамического типа, которая была предложена Anile и Romano совсем недавно в работах [41,74]. Эта модель представляет из себя квазилинейную систему уравнений, записанных в форме законов сохранения. Эти законы сохранения получены из системы моментных соотношений для уравнения переноса Больцмана с помощью, так называемого, принципа максимума энтропии (или МЕР от Maximum Entropy Principle). Модель имеет следующий вид + div (nV) = О, V (InW^ + neE = nCp, dnW.

—b div (nS) + net (E, V) = nCw, -ne—E = nCw, и рассматривается совместно с уравненим Пуассона бДФ = е (п — N).

14).

Здесь п, V, И7, S — соответственно электронная плотность, средняя скорость электрона, средняя энергия электрона, поток энергииР = m*V — средний момент кристалла, е — абсолютное значение заряда электрона, Е = —7Ф — электричесчкое поле, Cp (W), Cw (W), Cw (W) — члены производства балансных уравнений, е — диэлектрическая постоянная, N = Nd — N, Nd, Na ~ плотности доноров и акцепторов.

Исследование новой модели (13)-(14) представляет большой интерес. Естественно, какая бы математическая модель ни была предложена, она должна быть адекватна описываемому физическому явлению. С этой точки зрения, очень важной проблемой при исследовании гидродинамических моделей переноса заряда в полупроводниках, является проблема устойчивости состояния термодинамического равновесия. Дело в том, что выбранная модель должна правильно описывать переходный процесс при снятии напряжения смещения. Известно, что при отсутствии напряжения смещения в реальных полупроводниковых приборах должен отсутствовать перенос носителей зарядов (то есть электрический ток). Другими словами, требуется, чтобы состояние термодинамического равновесия было асимптотически устойчивым (по Ляпунову) для гидродинамической модели переноса заряда. Так в статьях [47,48] доказана асимптотическая устойчивость состояния равновесия для одномерной МЕР модели переноса заряда в полупроводниках при определенных ограничениях на функцию плотности легирования и начальные данные. Однако, эти статьи содержат только краткое обсуждение вопроса о глобальном существовании решения для упомянутой выше одномерной задачи. Подробно этот вопрос рассматривается в статье [49]. Для типичной двумерной МЕР модели, вопрос об асимптотической устойчивости глобального термодинамического состояния равновесия рассматривается в [50].

Необходимо отметить, что проводятся и численные исследования гидродинамических моделей переноса заряда в полупроводниках. Так численное моделирование одномерных задач о баллистическом диоде рассматриваются в [42−44,51,73,75,76,78], двумерной задачи, описывающей кремниевый полевой транзистор со структурой металл-проводник (Metal-semiconductor field-effect transistor или MESFET) в [77,78]. Авторы работы [78] для моделирования непротиворечивой энергетически-транспортной модели для переноса электронов в полупроводниковых устройствах используют конечно-разностную схему.

Собственно конструированию численных алгоритмов и их обоснованию для нахождения приближенных решений таких моделей и посвящена настоящая диссертация. Для вышеупомянутой гидродинамической модели предлагаются новые оригинальные вычислительные алгоритмы. В основу предложенных алгоритмов положены идея классического метода прямых и метод установления.

Метод прямых довольно широко распространен в вычислительной практике. Как известно (см., например [4]), суть этого метода заключается т в том, что в исходном дифференциальном уравнении с частными производными производится дискретизация только по части независимых переменных, т. е. исходное уравнение в частных производных аппроксимируется системой обыкновенных дифференциальных уравнений. Полученную таким образом вычислительную модель, мы будем называть дифференциально-разностной моделью.

Однако возможны и другие способы получения вычислительных моделей в методе прямых. Например, наряду с дискретизацией, скажем, по одной из независимых переменных можно использовать аппроксимацию производной по другой переменной с применением интерполяционных многочленов. Кроме того, исходная дифференциальная задача может быть заменена на другую (например, для нахождения приближенных решений стационарных задач математической физики можно применить метод установления). Такой подход, связанный с применением интерполяционных многочленов и метода установления, обсуждается в данной диссертации на примере модельной смешанной краевой задачи для уравнения Пуассона.

Поскольку при применении метода прямых мы сводим исходную проблему к краевой задаче для системы обыкновенных дифференциальных уравнений, то возникает вопрос о нахождении ее приближенного решения. Хотя в настоящее время существует достаточно много алгоритмов численного решения краевых задач для систем обыкновенных дифференциальных уравнений, мы в данной диссертации обсуждаем еще один способ нахождения приближенных решений таких краевых задач, использующий методы теории сплайн-функций. Хорошие аппроксимирующие свойства в сочетании с простой реализацией на ЭВМ сделали их эффективным средством решения самых разнообразных прикладных задач, причем влияние ошибок округления при вычислениях оказывается незначительным.

Название «метода прямых (method of lines или MOL)» применяется различными авторами к различным методам. Самое узкое понимание — получение аппроксимирующей системы обыкновенных дифференциальных уравнений (АС ОДУ) только с помощью конечно-разностного метода. Более широкое толкование включает применение на этапе дискретизации интерполирующих полиномов и конечных тригонометрических рядов. В том и другом случае метод относится к семейству полудискретных методов.

Аппроксимирующая система ОДУ называется также «системой метода прямых», задача для нее — «дифференциально-разностной», «полудискретной» моделью. Если рассматривать метод прямых, как метод понижения размерности задач, то этот метод иногда называют «методом плоскостей» (или «гиперплоскостей»). Развитием метода прямых является метод интегральных соотношений (МИС). Его также называют «метод кривых» или «метод полос». Различные варианты метода прямых (в широком смысле) иногда называют именами авторов — «метод Роте», «метод Теленина» .

Первые работы по методу прямых появились в 20−30-е годы. В 1929 году Э. Роте (Е. Rothe) [80] применил поперечную схему метода прямых для доказательства существования решения квазилинейного параболического уравнения. В нашей стране также проводились исследования разрешимости задач для уравнений с частными производными с помощью метода прямых. На примере отдельных уравнений различного типа была описана идея метода, исследовалась сходимость, были получены оценки погрешности.

Второй пик интереса к этому семейства методов приходится на 50−60-е годы с появлением ЭВМ. В эти годы появилось множество публикаций и было разработано много алгоритмов приближенного решения уравнений в частных производных, основанных на идее получения аппроксимирующей задачи для обыкновенных дифференциальных уравнений. Был решен ряд конкретных задач для уравнений различного типа. В эти годы данный метод занял свое место среди других методов численного решения уравнений в частных производных и за ним в нашей литературе закрепилось название «метода прямых» .

Исследованиями с помощью этого подхода занимались многие известные советские математики. Серию работ по этому методу выполнили Б. М. Будак [11−13], В. И. Крылов [33,34]. В их работах показано, что метод прямых имеет существенные отличия в зависимости от типа рассматриваемого уравнения и поставленной задачи. Метод прямых становится методом, на основе которого было получено наиболее универсальное математическое обеспечение численного решения уравнений в частных производных, включающих зависимость от времени.

В качестве одного из классических методов приближенного решения дифференциальных уравнений в частных производных метод прямых приводится в учебниках по методам вычислений. Так, например в [4,35] можно найти описание метода прямых для приближенного решения отдельных уравнений различного типа, примеры получения оценок погрешности метода и доказательства разрешимости и сходимости.

Особенно важно отметить, что с помощью методов, типа метода прямых, были численно решены многие задачи гидроаэродинамики. Большое значение для таких задач имеет метод интегральных соотношений (МИС), предложенный А. А. Дородницыным [20−22], развитый в дальнейшем О. М. Белоцерковским, П. И. Пушкиным [3].

Серия работ по методу прямых выполнена В. Л. Макаровым с сотрудниками [14,19]. В этих работах исследуется сходимость метода прямых для обобщенных решений уравнений различного типа, получены оценки в соболевских пространствах, уделяется внимание применению конечно-разностных схем высокого порядка точности.

Из иностранных работ следует отметить серию работ, выполненных J.G. Verwer’oM с сотрудниками [85]. В них исследуется сходимость метода прямых с применением на втором этапе методов, типа Рунге-Кутта, используется сглаживание полиномами Чебышева.

Следующим этапом развития методов, типа метода прямых, является создание нестационарных схем и использования метода установления для решения стационарных задач аэродинамики. В этом случае численный алгоритм основан на эквивалентной псевдонестационарной процедуре. Вопросы установления процесса, получения устойчивых по времени решений становятся здесь центральными и требуют специальных приемов (введение искуственной вязкости в исходное уравнение или диссипативных членов в разностное уравнение). Точность при этом оказывается ниже, чем в стационарных методах, но такой подход позволил решить ряд новых задач. Отметим в этой связи работы [52,53].

1. Бабенко, К. И. Основы численного анализа / К. И. Бабенко. — Москва-Ижевск: НИЦ «Регулярная и хаотическая динамика», 2002. — 848с.

2. Белман, Р.

Введение

в теорию матриц / Р. Белман. М.: Наука, 1976.

3. Белоцерковский, О. М. Численный метод интегральных соотношений / О. М. Белоцерковский, П. И. Чушкин //Ж. вычисл. матем. и матем. физ. 1962. — Т.2. — № 5. — С. 731−759.

4. Березин, И. О. Методы вычислений / И. С. Березин, Н. П. Жидков. -М.: Физматгиз, 1962. т.Н. — 620с.

5. Бибердорф, Э. А. Гарантированная точность современных алгоритмов линейной алгебры / Э. А. Бибердорф, Н. И. Попова. Новосибирск: Изд-во СО РАН, 2006.

6. Блохин, A.M. Об одном варианте метода прямых для симметрических t-гиперболических систем / A.M. Блохин, А. С. Ибрагимова // Вычислительные технологии. 2006. — Т.11. — № 6. — С. 11−21.

7. Блохин, A.M. Об одном варианте метода прямых для уравнения Пуассона / A.M. Блохин, А. С. Ибрагимова, Н. Ю. Красников // Вычислительные технологии. 2007. — Т.12. — № 2. — С. 33−42.

8. Блохин, A.M. Конструирование вычислительного алгоритма для системы моментных уравнений, описывающих перенос заряда в полупроводниках / A.M. Блохин, А. С. Ибрагимова, Б. В. Семисалов // Математическое моделирование. 2009. — Т21. — № 4. — С. 15−34.

9. Блохин, A.M. Элементы теории гиперболических систем и уравнений/ A.M. Блохин. Учеб. пособие. Новосибирск: Изд-во НГУ, 1995.

10. Блохин, A.M. Интегралы энергии и их приложения к исследованию устойчивости разностных схем/ A.M. Блохин, Р. Д. Алаев. Новосибирск: Изд-во НГУ, 1993.

11. Будак, Б.М. К решению краевой задачи параболического типа / Б. М. Будак // Вестник МГУ. 1955. — № 8. — С. 33−38.

12. Будак, Б.М. О методе прямых решения некоторых краевых задач / Б. М. Будак // ДАН СССР. 1956. — 109:1. — С. 9−12.

13. Будак, Б.М. О методе прямых для некоторой квазилинейной краевой задачи параболического типа / Б. М. Будак // ЖВ и МФ. 1961. — 1:6. — С. 1105−1112.

14. Войцеховский, С. А. Сходимость метода прямых для обобщенных решений параболических уравнений в произвольной области / С. А. Войцеховский, И. П. Гаврилюк, B.JI. Макаров // Выч. прикл. мат. Киев, 1983. — № 50. — С. 3−10.

15. Гаевский, X. Нелинейные операторные уравнения и операторные дифференциальные уравнения / X. Гаевский, К. Грегер, К. Захариас. М.: Мир, 1978.

16. Годунов, С. К. Разностные схемы / С. К. Годунов, B.C. Рябенький. -М.: Наука, 1973.

17. Годунов, С. К. Уравнения математической физики / С. К. Годунов. -М.: Наука, 1979. 392с.

18. Годунов С. К. Матричная экспонента, матрица Грина и условие Лопа-тинского / С. К. Годунов. Учеб. пособие. Новосибирск: Изд-во НГУ, 1983.

19. Джураев, И.Н. О точности метода прямых для гиперболических уравнений с малым параметром у произвольной по времени наибольшего порядка / И. Н. Джураев, Т. В. Колесник, B.JI. Макаров // Диф. ур. -Киев, 1985. № 21. — С. 1164−1170.

20. Дородницын, А. А. Об одном методе численного решения некоторых нелинейных задач аэрогидродинамики / А. А. Дородницын // Тр. III Всес. матем. съезда. М.: Изд-во АН СССР, 1958. — Т. 3. — С. 447−453.

21. Дородницын, А. А. Лекции по численным методам решения уравнений вязкой жидкости / А. А. Дородницын. М.: ВЦ АН СССР, 1969. — № 49. С. 447−453.

22. Дородницын, А.А. Method of integral relations for the numerical solution of partial differential equations / А. А. Дородницын // Applic. Advanced numerical Analys. digital computer problems. Ann Arbor: Univ. Michigan.- 1958. P. 281−306.

23. Завьялов, Ю. С. Методы сплайн-функций / Ю. С. Завьялов, Б. И. Квасов, В. Л. Мирошниченко. М.: Наука, 1980.

24. Ибрагимова, А. С. Конструирование вычислительного алгоритма для системы моментных уравнений, описывающих перенос заряда в полупроводниках / А. С. Ибрагимова // Фундаментальная математика и ее.