Экстремальные задачи теории однолистных функций

Результаты, содержащие оценки разного рода функционалов, играют ключевую роль в теории однолистных функций — основополагающем разделе геометрической теории функций. На протяжении XX-го века исследованием экстремального поведения объектов в рамках данной теории занимались: П. Кебе, Л. Бибербах, К. Левнер, Х. Греч, И. Е. Базилевич, Г. М. Голузин, В. К. Хейман, И. М. Милин, Н. А. Лебедев, Дж. А. Джен-кинс и многие другие математики.

Одним из актуальных направлений исследования в теории однолистных функций являются неравенства, связывающие модули функций-представителей заданных классов, их производные и значения аргумента (теоремы покрытия и искажения). В ходе развития теории был разработан ряд специальных методов, применяемых при доказательстве теорем покрытия и искажения: параметрический метод, вариационный метод, метод экстремальных метрик, метод симметризации и другие. Значительный прогресс в этом направлении за последние десять-пятнадцать лет связан с развитием метода экстремальных метрик и теории емкостей конденсаторов, включая исследования асимптотического поведения конденсаторов общего вида. При этом был разработан аппарат приведенного модуля, построены новые симметризационные преобразования, изучена связь емкости и модуля семейств кривых. Результаты теории находят многочисленные применения во многих разделах математики, особеннов математической физике и теории потенциала.

Другим направлением исследования в теории однолистных функций являются задачи об экстремальном разбиении. Под этим названием объединены задачи нахождения верхней грани сумм вида а-уМх + а2М2 +

——-сепМп, где а/, — заданные положительные числа, а М^ - модули или приведенные модули попарно неналегающих областей, удовлетворяющих определенным условиям. На сегодняшний день задачи об экстремальном разбиении имеют богатую историю, началом же направления считается известная теорема М. А. Лаврентьева о произведении конформных радиусов неналегающих областей. Пути дальнейшего развития этого направления обозначены целой серией нерешенных проблем, в числе которых до недавнего времени оставалась задача Г. В. Кузьминой об экстремальном разбиении круга на три неналегающие области.

Среди современных исследовании в области экстремальных задач теории однолистных функций отметим работы П. Дюрена, Г. В. Кузьминой, Д. В. Прохорова, Д. Минды, А. 10. Солынина, В. Н. Дубинина, А. Ю. Васильева.

Целыо диссертационной работы является получение новых неравенств для модулей колец общего вида, новых теорем покрытия и искажения, а также доказательство гипотезы Г. В. Кузьминой об экстремальном разбиении круга на три неналегающие области.

В первой главе изучаются неравенства для модулей колец (под кольцом мы понимаем произвольную двусвязную область). Каждое из таких неравенств влечет за собой оценки искажения при отображении кольцевых областей регулярными функциями, поскольку любую двусвязную область с невырожденными граничными компонентами можно интерпретировать как образ кругового кольца при некотором однолистном отображении. Примеры подобных приложений имеются в работах Дж. А. Дженкинса, Т. Кубо, Н. А. Лебедева, Г. В. Кузьминой, В. А. Шлыка.

Первый параграф главы носит вспомогательный характер. Здесь собраны сведения из теории емкостей конденсаторов, необходимые для дальнейшего изложения.

В начале второго параграфа сформулированы классические результаты Греча и Тейхмюллера для модулей кольцевых областей, а затем доказаны их обобщения в терминах емкости конденсатора. Дадим, предварительно, необходимые определения.

Определение 1.1.1. Конденсатором на сфере Сг называется всякая упорядоченная пара С = (Ео, Е) непересекающихся непустых замкнутых множеств Ео и Е. Открытое множество С2 {Ео и Е) называется 'полем, а сами множества Ео, Е — пластинами конденсатора С. Емкостью конденсатора С называется величина где точная нижняя грань берется по всевозможным функциям v{z). равным нулю на Ео, единице на Ei и удовлетворяющим условию Липшица на С2 (функция v (z) удовлетворяет условию Липшица на С2, если она непрерывна в точке оо и существует постоянная К, такая, что для любых конечных точек г и z' выполняется неравенство v (z) — ^ Kz —). Модулем, конденсатора С называется величина mod С = (cap С)-1.

Введем обозначения: w = dt{z) = (z — t)/(z + t) — дробно-лпнейная функция, t — комплексный параметр, Rei > 0- d¹(w) — функция, обратная к w = dt{z) — Du — {z — rel9: 0< 7г/?г}, k = l??. 2. Для произвольных комплексных чисел с/, Ь, и действительных г и Л, удовлетворяющих условиям: Rea > 0, Heb >0, а ф b, г < |Ь| ^ Л, г ci < Л, 0 ^ г < Л ^ оо, обозначим через G (t, r, ci, b, R) двусвязную область {z: г' < z < R', z [-a1, a'] U [-Л, -Ь'] U [6', Л]}, где действительные числа а', Ь', г' и R' определяются следующими соотношениями: dt (а>) = ~dt (a)I, d]t](b') = dt (b)I, г' = Id~}(-eie)l R' = KlV4*" ^)!, в

— угол, под которым из точки? виден отрезок [—гг, гг], а — угол, под которым из той же точки виден [—iR, iR]. Заметим, что в случае положительных I выполняется г' — г и Я' = Л. По аналогии, определим двусвязпые области #1(г, Ь, R) = {г: г < < Я, г? [—Л, —Ь'] и Л]} и Н2{г, а, Я) =: г < г < Я, z $ [-«',"']}, где. в первом случае, Л, г и Ь — любые, удовлетворяющие условиям: 0 < г < |6| ^ Я ^ оо, Re6 > 0, Ь' = (1~1(^Г (Ь)) — во втором — Л, г и, а такие, что 0 ^ г ^ |а| < Л < оо, Rea > 0, а'= d-1(-dr (a)).

Лемма 1.2.1. Пусть а, Ь, г и R как и выше, и пусть конденсатор (Eq, Ei) удовлетворяет, следующим условиям: пластина Eg содержит круг z < г и соединяет точку, а с точкой —Ti, а пластина Е содержит множество z > R и соединяет тючки Ъ и —Ъ. Тогда для любого t, Rei > О, справедливо неравенство mod (E0,Ei) ^ mod G{t, r, a, b, R). (1.2.1)

Если, дополнительно, поле G конденсатора (Eq, Ei), является кольцом, то равенство в (1.2.1) достигается только при совпадении G с кольцом G (t, r, a, b, R), с точностью, бить может, до сдвига вдоль мнимой оси.

Лемма 1.2.2. Пуст, ь 0 < г < |Ь| ^ R ^ оо, Reb > 0. Если дополнение к пластине Ео конденсатора (Eq.Ei) не содержит точек Z2, связанных равенством ZZ2 = г2, а пластина Е содержит множество z > 1? u. соединяет точки Ь и —Ъ, то справедливо неравенство moa{E0,Ei) ^ mod Hi{r, b, R). (1.2.2)

Если, дополнительно, поле G конденсатора (Ео, Е), является кольцом, то равенство в (1.2.2) достигаетхя только при совпадении G с H (r, b, R).

Доказательство этих лемм основано на симметризациопиых преобразованиях и свойствах емкости конденсатора. В свою очередь, использование модуля конденсатора вместо модуля кольца позволяет применить разделяющее преобразование конденсаторов совместно с леммами 1.2.1 и 1.2.2 для доказательства основного результата первой главы — теоремы 1.2.3, с которой начинается третий параграф.

Теорема 1.2.3. Пусть G — двусвязная облает, ь на сфере С2, и пусть Ео, Еi — компоненты дополнения этой облает, и. Предположим, что для каждого к — 1,., п (п 2) область G удовлетворяет по крайней мере одному из следующих условий:

1) При некоторых rk: ак, Ък и Rk, 0 ^ rk < Rk <: оо, ak, bk? Dk П {z: rk ^ z ^ Rk}, одна компонента дополнения G, например Eq, содержит сектор {z: < rk}rDk и соединяет точку ак с границей Dkl, а другая {Е) содержит сектор {с: > /?/,.} П Dk и соединяет, точку bk с границей Dk.

2) При некоторых rk, bk и Rk, О < rk < Rk ^ оо, bk G Dk П {z: rk < z ^ Rk}, одна из компонент дополнения G, допустим Е. содержит сектор {z: z > Rk} П Dk и соединяет точку bk с границей Dk. Множество (G U Е) П Dk не содержит точек zi, Z2, связанных равенством ZZ2 = .

3) При некоторых rk, ak и Rk, 0 ^ rk < Rk < оо, ak? Dk П {z: rk ^ z < Rk), одна из компонент дополнения G, допустим Ео, содержит сектор {z: z < rk) П Dk и соединяет тючку cik с границей Dk. Множество (G U Eq) П Dk не содержит точек ?1,22, связанных равенством ?1−2 — .

Тогда справедливо неравенство mod G ^ ji ?(mod, (1−2.3) где кольца Gk, k = 1,., п, определены следующим обра. зом: если при дам-ном к область G удовлетворяет условию (1), то Gk = {z: zn/2 6 G (t, r², а², b², R²)}, где iлюбое комплексное число с Rei > 0- если же исходная область удовлетворяет условию (2), то Gk имеет вид {z: zn/2 G Hi (r7², b², R²)}, а в случае, когда при да, ином к област. ь G удовлетворяет условию (3), Gk = {z: zn!2 Е а², R²)}.

Равенство в (1.2.3) имеет место только для пкратно симметричного кольца G, совпадающего с одним из Gk, 1 ^ k ^ п, где, в случае выполнения условия (1), параметр t выбирается действительным и удовлетворяющим, неравенству |я)У2| ^ t ^

В ряде частных случаев модуль кольца G (t, r, a, b, R) нетрудно посчитать с использованием эллиптических интегралов. К одному из примеров применения этих результатов мы обратимся позднее. Здесь же в третьем параграфе сформулирован принцип частичной симметризации Хэ [39] см. также [10, стр.42]), к которому в идейном плане восходит теорема 1.2.3.

Вторая глава разбита на три параграфа, объединяющих теоремы покрытия и искажения по методу их получения (см. [2], [4−10], [37−45]).

В первом параграфе рассматриваются теоремы покрытия и искажения, вытекающие из решения известной задачи Тейхмюллера о модуле двусвязной области. В частности, для мероморфных и однолистных в единичном круге функций, с нормировкой /(0) = 0, доказаны неравенства:

Чп) м ы (f{ri) — ды v/ы, r2(l-ri):

2.1.7) l ('*l ~ г2)(1 — ?ТГ2) где ТОЧКИ 7*1, Г2 отличны от полюсов, 0 < Г2 < г 1 < 1 или —1 < /'2 < О < Г1 < 1, и

Чп) <

Ы f (r l) ff (ri) 1 r2(l-'-l):

2.1.7a) г) /(гг) J ri (r2 — rx)(l — rir2)

0 < < r2 < 1. Равенство в (2.1.7) и (2.1.7a) достигается для суперпозиций функции Кебе и функции h (w) = aiv/(w — Ь) при всех а, Ь ф 0, Ь ф к (г к), к = 1,2. Эти неравенства связаны с известной задачей Мокану [45] и были получены ранее А. Ю. Васильевым и Г. Н. Камышовой для регулярных и однолистных в единичном круге функций с нормировкой /(0) = 0, /'(0) = 1, и вещественными коэффициентами разложения в ряд (класс Sr). Следующее неравенство справедливо для регулярных и однолистных в единичном круге функций с нормировкой /(0) = 0:

1-п)(1 + г2): Г2(1 + Г!)3 Ы м

1+Г!)(1-Г2): г2(1-п)3

2.1.10) где 0 < г2 < 7'1 < 1. В случае —1 < 7−1 < ?-2 < 0 знаки неравенств в (2.1.10) меняются на противоположные. Равенство в правой части (2.1.10) достигается для функций аг{ 1 — .?)~2, а в левой — для аг (1 + г)~2 при любом, а ф 0. Правая часть неравенства (2.1.10) для 0 < г2 < 7*1 < 1 и функций класса ¿->л была также получена ранее А. Ю. Васильевым и

Г. Н. Камышовой (см. [5], также [16]). Пусть Л" (п, г2, гз, г 4) = {г: |г| < 1} и [г2,г3] и [г4,1]}, где -1 <�С г 1 < 7−2 < г3 < г4 ^ 1: (а.Ь.с.с/)-ангармоническое отношение четырех точек а, Ь, с и с1 на сфере Сг [33]. Неравенства (2.1.7), (2.1.7а), (2.1.10) и ряд других оценок содержатся в следующем утверждении:

Теорема 2.1.1. Пусть функция ги = /(.-) мероморфна и однолистна в единичном круге г < 1, и пусть —1 ^ ?'1 < г2 < г3 < ?-4 ^ 1. Пусть^2, юз — произвольные различные тючки на кривой /([?'2, г3]), а ги и ги4 — различные точкгь на другой компоненте дополнения образа кольца / (/'!, т2, з, г4) при отображении ги — Тогда справедливы неравенства где к^) := ~(1 + г)~2 — функция Кебе. Равенство в каждом из (2.1.1) и (2.1.2) имеет место т. олько для суперпозиций функции /.:(.:) и произвольного дробно-линейного отображения, и для точек ги к, являющихся образалш точек гк, или г^-к, к = 1,2,3,4, соответ, ст.венно.

Аналогичный результат имеет место для функций, заданных в кольце.

Второй параграф второй главы содержит двуточечные теоремы искажения, полученные с помощью техники приведенного модуля [11−13]. Среди них — теорема 2.2.6, связывающая два известных инварианта: выражение — /(г2))2 и производную Шварца: Sf (z) —

Теорема 2.2.6. Если функция /(-) мероморфна. и однолистна в круге г < 1, и /(±7-) ф оо, 0 < г < 1, то имеют м, есгпо неравенства з, Ш1, ги2,го4) ^ -{к (гз), к{г1), к{г2), к{г4)), |(шз,'Ш2, Ш1,">4)| ^ (к (г3), к (г2), к{г1), к{г4)),

2.1.1) (2.1.2)

Г" (г)/Г (г)-(г/2)(Г (г)//'(г))2.

5/(г) + 5/(-г) — 12 г) — /(-Г))2 + Г2 ^(1-Г4)2'

1'(г)/'(-г), 3. 48 г2

2.2.4)

Sf® + Sf (-r) +

1 + г2)2

— 12 Re f'®f'(-r)

3(6r2 r4 ^

2.2.5) г)-/(-г))2- «г2(1-Г2)2 •

Равепст.во в (2.2.4) и (2.2.5) достигается для суперпозиций фунщии. Кебе и произвольного дробно-линейного автоморфизма сферы.

В третьем параграфе второй главы с применением частного случая первого пункта теоремы 1.2.3 доказана теорема искажения, в которой экстремальная функция обладает п-кратной симметрией.

Теорема 2.3.1. Пусть функция ги = /(.г) мероморфна, а однолистна в круге г < 1, и пусть — произвольные точки, удовлетворяющие условиям: = г, 0 < г < 1, и /(-А,-)? Вк, к = 1,., л (п ^ 2). Тогда П fc=i fi~zk)f>(zk) 1

Г (1 + Гп)

2.3.1)

R ef*(zk)

Равенство имеет место для функций вида f{z) = c (A-(c"))1/?i и т. очск zk = ret2k7T/n. ]¦ — 1?.?77, где с — произвольная положительная постоянная.

Неравенство (2.3.1) было получено ранее В. Н. Дубининым при дополнительном условии: arg f (zk) = 2nk/n, k = 1,., n [10, с. 59]. В этом случае левая часть (2.3.1) имеет вид? JJ f'(zk)/f (zk).

V k-1

Третья глава целиком посвящена решению задачи Г. В. Кузьминой об экстремальном разбиении круга на три непалегающие области [27] (см. также [28−30]). В терминах внутренних радиусов эта задача формулируется следующим образом: показать, что максимум произведения внутренних радиусов трех односвязных попарно непересекающихся областей, принадлежащих кругу z < 1, достигается в случае трех равных секторов. С другой стороны, в силу эквивалентности для односвязных областей понятий внутреннего и конформного радиуса, эта задача заклюз чается в исследовании на максимум выражения f] |//. (0)|, где функции fc=i ги = fk (z) конформно и однолистно отображают круг |.г| < 1 на непересекающиеся области Бк, принадлежащие кругу ш < 1. Внутренний радиус г (Бк, Д-(0)) области Бк относительно точки Д-(0) равен |/(.(0)|. Аналогичная проблема для двух функций, однолистно отображающих круг на непересекающиеся области в плоскости Сяи, была решена в 1934 г. М. А. Лаврентьевым:

Л (0)Й (0)|<|а1-а2|2, где ак = Д (0)еВк =: И<1}), к = 1,2, Б! ПБ2=0. Случай трех непересекающихся областей в плоскости С^ был рассмотрен Г. М. Го-лузнным:

П /?(°) к=1 i (0)-/2(0))(/I (0)-/3(0))(/2(0)-/3(0))|. (3.2.1)

В 1950 г. П. П. Куфарев решил задачу об экстремальном разбиении круга на две неиалегающие области [31]. Вопрос об экстремальном разбиении круга тремя областями до недавнего времени оставался открытым1. Ответ дает следующая теорема:

Теорема 3.3.4. Для любых попарно непересекающихся односвязных областей Ик С {-: <1} и точек zk 6 Ок, к = 1,2,3, верна оценка:

П г{Ои, гк) <: Ц (223 — 7Ол/То). (3.3.7) к=1

Равенство в (3.3.7) достигается только для сектюров раствора 2к/3, и точек z^, | = VVTo — 3, лежащих на их биссекпцтсах.

Доказательство теоремы основано на построении конформного отображения специального вида с последующим применением неравенства (3.2.1). Техническая часть исследования включает в себя вычисления на ЭВМ. Текст основного программного модуля на языке Pascal вынесен в конец работы в виде приложения.

1 Вскоре после публикации препринта [19] автор получил оттиск статьи Г. В. Кузьминой [30] с принципиально иным подходом к решению той же задачи.

Подводя итоги, перечислим основные результаты диссертационной работы:

1. Получены новые неравенства для модулей колец общего вида, содержащие в виде частных случаев обобщения классических неравенств Греча, Тейхмюллера и принципа частичной симметризации Хэ.

2. Доказаны новые теоремы покрытия и искажения. В частности, по-, лучены распространения двуточечных теорем искажения А. Ю. Васильева и Г. Н. Камышовой на более широкие классы функций. Дано обобщение теоремы В. Н. Дубинина об искажении с? г-кратно симметричной экстремальной функцией.

3. Решена задача Г. В. Кузьминой об экстремальном разбиении круга на три неналегающпе области.

По теме диссертации опубликовано 12 работ [14]—[15], [17]-[26].

Результаты диссертации по мере их получения докладывались на Дальневосточных конференциях студентов и аспирантов по математическому моделированию (Владивосток, 1997;2000), на Дальневосточных математических школах-семинарах им. академика Е. В. Золотова (Владивосток, 1997, 1999, 2000), на семинарах по геометрической теории функций Института прикладной математики (руководитель д.ф.-м.п. В. Н. Дубинин), на семинаре кафедры теории функций и функционального анализа ДВГУ (руководитель д.ф.-м.н. Н.Н.Фролов), на научных семинарах Института прикладной математики ДВО РАН (руководитель чл.-корр. РАН Н. В. Кузнецов).

1. Альфорс J1. Лекции по квазиконформным отображениям. М.: Мир, 1969.

2. Антонюк Г. К. Некоторые вопросы теории экстремальных метрик. Краснодар, изд. Кубан. гос. ун-та, 1983.

3. Ахиезер Н. И. Элементы теории эллиптических функций. М.: Наука, 1970.

4. Васильев А. Ю. Вариационно-геометрические методы решения экстремальных и метрических задач теории конформных и квазиконформных отображений // Дис.. д-ра физ.-мат. наук. Саратов, 1997.

5. Васильев А. Ю., Камышова Г. Н. Модули полосообразных областей в решении изопериметрической задачи конформного отображения // Сиб. матем. журн. 1996, Т. 31, № 2. С. 60−69.

6. Голузин Г. М. О теоремах искажения в теории конформных отображений // Матем. сборник. 1946, Т. 18(60), № 3. С. 379−390.

7. Голузин Г. М. Геометрическая теория функций комплексного переменного. М.: Наука, 1966.

8. ДженкинсДж. Однолистные функции и конформные отображения. М.:ИЛ, 1962.

9. Дубинин В. Н. Теоремы покрытия отрезков при конформном отображении кольца Изв. вузов. Математика. 1987, № 9, С. 42−50.

10. Дубинин В. Н. Симметризация в геометрической теории функций комплексного переменного // Успехи матем. наук. 1994, Т. 49, № 1(295), С. 3−76.

11. Дубинин В. Н. Асимптотика модуля вырождающегося конденсатора и некоторые ее применения // Зап. научн. семин. ПОМИ. 1997, Т. 237, С. 56−73.

12. Дубинин В. Н. Приведенные модули открытых множеств в теории аналитических функций // Докл. РАН. 1998, Т. 363, № 6, С. 731−734.

13. Дубинин В. Н., Ковалев Л. В. Приведенный модуль комплексной сферы // Зап. научн. семин. ПОМИ. 1998, Т. 254, С. 76−94.

14. Дубинин В. Н., Костюченко Е. В. Экстремальная задача Тейхмюллера и теоремы искажения в теории однолистных функций // Сиб. мат. Ж}фн. 1999, Т. 40, № 2, С. 302−306.

15. Дубинин В. Н., Костюченко Е. В. Экстремальные задачи теории функций, связанные с п-кратной симметрией // Зап. научн. семин. ПОМИ. 2001, Т. 276, С. 83−111.

16. Камышова Г. Н. Задачи Мокану и Гронуолла в классах однолистных функций // Автореф. дис.. канд. физ.-мат. наук. Саратов, 1997.

17. Костюченко Е. В. Оценки некоторых функционалов в классах однолистных функций // Тезисы докладов первой ДВ конф. студ. и асп. по матем. моделированию, Владивосток, ИПМ ДВО РАН, 1997, С. 29.

18. Костюченко Е. В. Доказательство гипотезы Г. В. Кузьминой о внутренних радиусах трех областей // Тезисы докладов второй ДВ конф. студ. и асп. по матем. моделированию, Владивосток, ИПМ ДВО РАН, 1998, С. 38.

19. Костюченко Е. В. Задача об экстремальном разбиении круга на три неналегающие области // ИПМ ДВО РАН, препринт № 18, Владивосток, 1998.

20. Костюченко Е. В. Применение ЭВМ в решении задач об экстремальном разбиении // Сборник докладов Всероссийской научно-технической конференции «Фундаментальные и прикладные вопросы физики и математики», Владивосток, 1998, Т. 2, С. 105−106.

21. Костюченко Е. В. Двуточечные теоремы искажения для однолистных функций // Тезисы докладов третьей ДВ конф. студ. и асп. по матем. моделированию, Владивосток, ИПМ ДВО РАН, 1999, С. 32.

22. Костюченко Е. В. Оценки искажения для однолистных в кольце функций // Тезисы докладов Дальневосточной математической школысеминара им. академика Е. В. Золотова, Владивосток, ИПМ ДВО РАН, 1999, С. 50.

23. Костюченко Е. В. Неравенства для модулей колец // Тезисы докладов 4-ой ДВ конф. студ. и асп. по матем. моделированию, -Владивосток, ИПМ ДВО РАН, 2000, С. 28−29.

24. Костюченко Е. В. Теоремы искажения с n-кратной симметрией // Тезисы докладов ДВ матем. школы-семин. им. Е. В. Золотова, -Владивосток, ИПМ ДВО РАН, 2000, С. 67−68.

25. Костюченко Е. В. Экстремальная задача с n-кратно симметричным кольцом Тейхмюллера // Материалы научн. конф. студ. и асп. ДВГУ, Владивосток, ДВГУ, 2000, С. 190.

26. Костюченко Е. В. Решение одной задачи об экстремальном разбиении // Дальневосточный матем. журнал, 2001, Т. 2, Aru 1, С. 3−15.

27. Кузьмина Г. В. Модули семейств кривых и квадратичные дифференциалы // Труды Матем. ин-та им. В. А. Стеклова, Т.139, JL: Наука, 1980.

28. Кузьмина Г. В. Геометрическая теория функций: методы и результаты // Изв. вузов. Математика. 1986, № 10, С. 17−33.

29. Кузьмина Г. В. Методы геометрической теории функций. I, II // Алгебра и анализ. 1997, Т. 9, вып. З, С. 41−103- вып. 5, С. 1−50.

30. Кузьмина Г. В. О связи различных задач об экстремальном разбиении // Зап. научн. семин. ПОМИ. 1998, Т. 254, С. 116−131.

31. Куфарев П. П. К вопросу о конформных отображениях дополнительных областей // Докл. АН СССР. 1950, Т. 73, С. 881−884.

32. Лаврентьев М. А., Шабат В. В. Методы теории функций комплексного переменного. М.: Наука, 1965.

33. Маркушевич А. И. Теория аналитических функций т.1. М.: Наука, 1967.

34. Полна Г., Сеге Г. Изопериметрические неравенства в математической физике. М.: Физматгиз, 1962.

35. Солынин А. Ю., Граничное искажение и экстремальные задачи в некоторых классах однолистных функций // Зап. иаучн. семин. ПОМИ. 1993, Т. 204, С. 115−142.

36. Стой л ов С. Теория функций комплексного переменного. Т. 2. М.: ИЛ, 1962.

37. Blatter С. Ein Verzerrungssatz fur schlichte Functionen // Comment. Math. Helv. 1978, V. 53, P. 651−659.

38. Fan Ky, Distortion of univalent functions //J. Math. Anal, and Appl. 1978. V. 66, № 3, P. 626−631.

39. He Ch. Piecewise symmetrization in geometric function theory //J. Fuel an. Univ. Nat. Sei. 1985, V. 24, № 4, P. 445−451.

40. Jenkins J. A. On weighted distortion in conformal mapping. II // Bull. Loncl. Math. Soc. 1998, V. 30, № 2, P. 151−158.

41. Juneja O. P., Ponnusamy S., Rajasekaran S. Two-point, distortion and rotation theorems // Glasnik Math. 1995, V. 30(50), P. 221−242.

42. Kim Seong-A, Minda D. Two-point distortion theorems for univalent functions // Pacific J. Math. 1994, V. 163, № 1, P. 137−157.

43. Krzyz J. On the region of variability of the ratio f{zi)/f (z2) within the class. S1- of univalent functions // Ann. Univ. Mariae Curie-Sklodowska.Sect. A. 1963, V. 17, P. 55−64.

44. Ma W., Minda D. Two-point distortion for univalent functions // Journ. of Computational and Applied Math. 1999, V. 105, P. 385−392.

45. Mocanu P. Т., Reade M. 0., Zlotkiewicz E. On the functional /(zi)/ /'(z2). for typically-real functions // Rev Anal. Numer. et de la Teor. Approx. 1974, V. 3, № 2, P. 209−214.

46. Polya G. Sur la symetrisation circulaire // C.r. Acad. sei. Paris. 1950, V. 230, № 1, P. 25−27.

47. Rengel E. Uber einige Schlitztheoreme der konformen Abbildung, Sehr. Math. Sem. und Inst, fur angew. Math. Univ. Berlin. Bd. 1 H.4 (1933), P. 141−162.