Статистический синтез и анализ алгоритмов обработки сигналов с неизвестной длительностью

Обработка сигналов на фоне помех, включающая задачи обнаружения сигналов и оценивания их неизвестных параметров, относится к классическим направлениям статистической радиофизики. Методы статистического синтеза алгоритмов обработки наблюдаемых данных и анализа качества их работы рассматривались в таких работах, как [6,9,29,64]. В настоящее время развивается также исследование обработки сигналов в условиях комплексной априорной неопределённости: совместное различение сигналов и оценка их параметров на фоне помех, оценивание параметров при неуверенности в наличии сигнала [36,40,60,67,71,72]. Такого рода задачи могут решаться при разработке многофункциональных систем передачи информации, сочетающих дискретную и непрерывную модуляцию сигнала-переносчика, систем связи, использующих неустойчивые каналы передачи и каналы с многолучевым распространением, систем синхронизации при передаче дискретной информации в режиме без специальных синхросигналов, исследовании каналов связи [60 и др.].

Можно выделить два основных подхода к синтезу алгоритмов обработки — метод максимального правдоподобия и байесовский метод. Достоинства и недостатки каждого из подходов хорошо известны: алгоритмы максимального правдоподобия позволяют выносить решение только на основе наблюдаемых данных, тогда как байесовские алгоритмы, при синтезе которых необходимо использовать дополнительную априорную информацию, позволяют учесть весь комплекс данных, относящихся к рассматриваемой задаче обработки. Таким образом, байесовские алгоритмы, требуя больших затрат априорной информации при синтезе, являются потенциально более эффективными, чем алгоритмы максимального правдоподобия. Методам анализа характеристик максимально правдоподобных алгоритмов приёма сигналов посвящено множество работ [9,21,22,43,60 и др.] Исследования показали, что для широкого класса регулярных сигналов, используемых в статистической радиофизике, в практически важных условиях высокой апостериорной точности, максимально правдоподобные алгоритмы совпадают по своим характеристикам с байесовскими алгоритмами. Это позволяет ограничиться применением на практике максимально правдоподобных алгоритмов как относительно более простых в реализации.

В то же время, существует класс сигналов, для которых подобное утверждение не доказано. Это класс разрывных сигналов [43,46,60], у которых сигнальная функция недифференцируема, что не позволяет применить традиционные методы анализа. К классу разрывных сигналов относятся сигналы со скачкообразно изменяющимися параметрами, с неизвестными моментами появления и исчезновения, с неизвестной длительностью. Необходимо отметить, что разрывные модели сигналов, как и любые другие, являются определённой идеализацией реальных сигналов, используемых в системах кодирования и передачи информации. В действительности, изменение параметров сигнала, его появление и исчезновение занимает некоторый малый, но не равный нулю, отрезок времени. Однако в практически важных случаях применение разрывной модели реального сигнала вполне допустимо [60].

Методам анализа алгоритмов приёма разрывных сигналов в последнее время посвящено множество работ [3,10,17,19 и др.]. Разработан метод локально-марковской аппроксимации, при котором логарифм функционала отношения правдоподобия в окрестностях максимума сигнальной функции представляется отрезками марковского случайного процесса, что позволяет использовать хорошо известный аппарат уравнения Фоккера-Планка-Колмогорова для анализа характеристик алгоритмов максимального правдоподобия. Так, в работах [19,42,48,51,56] рассматривается относительно простая квазидетерминированная модель разрывного сигнала — прямоугольный импульс — и выполняется синтез алгоритмов его обработки для различных случаев априорной неопределённости. Более сложная, но и более ценная с практической точки зрения модель импульсного сигнала со стохастической субструктурой рассматривается в работах [3,32,52−55,59]. Теоретическим аспектам анализа приёма разрывных сигналов посвящены некоторые главы в [16,43,58,60].

В большинстве работ, посвящённых синтезу и анализу алгоритмов приёма разрывных сигналов с неизвестными параметрами, применяется максимально правдоподобный подход. Это позволяет синтезировать относительно простые алгоритмы обработки и аналитически рассчитать их характеристики. Однако при приёме разрывных сигналов применение байесовских алгоритмов может обеспечить существенный выигрыш [16,17], что делает актуальной задачу синтеза байесовских алгоритмов и сопоставление их характеристик с характеристиками алгоритмов максимального правдоподобия. Кроме того, в приведённых работах, как правило, рассматривается либо обнаружение сигнала, либо оценка некоторого параметра. Вопросы совместного обнаружения-оценивания разрывных сигналов недостаточно полно отражены в литературе.

Таким образом, представляется необходимым в рамках класса разрывных сигналов провести систематическое исследование возможных алгоритмов обработки и сопоставление их характеристик в целях определения оптимального способа построения приёмного устройства в случае различных условий априорной неопределённости. Для исследования были выбраны разрывные сигналы с неизвестной длительностью. Были использованы две модели — квазидетерминированный прямоугольный импульс и импульс со стохастической субструктурой, хорошо известные в литературе и часто использующиеся для аппроксимации реальных сигналов [14,33,60].

Целью диссертационной работы является:

1. Синтез байесовских и максимально правдоподобных алгоритмов обнаружения, оценивания, в том числе при неуверенности в наличии сигнала, и алгоритмов совместного обнаружения-оценивания прямоугольного и стохастического импульса с неизвестной длительностью при различных априорных условиях.

2. Теоретический анализ помехоустойчивости синтезированных алгоритмов максимального правдоподобия. Получение аналитических выражений для характеристик максимально правдоподобных алгоритмов. Исследование возможности улучшения характеристик максимально правдоподобных алгоритмов при использовании дополнительной априорной информации.

3. Проверка работоспособности синтезированных алгоритмов методом статистического моделирования на ЭВМ. Экспериментальное определение характеристик синтезированных байесовских алгоритмов. Определение границ применимости для найденных теоретических зависимостей характеристик максимально правдоподобных алгоритмов.

4. Сопоставление помехоустойчивости предложенных алгоритмов обработки импульсов с неизвестной длительностью. Определение целесообразности их применения при различных априорных условиях.

В диссертационной работе рассмотрен синтез и анализ алгоритмов обнаружения, оценивания, оценивания при неуверенности в наличии сигнала и совместного обнаружения-оценивания длительности прямоугольного импульса и стохастического импульса с гауссовской субструктурой, наблюдаемых на фоне аддитивного гауссовского белого шума.

Диссертационная работа состоит из введения, четырёх глав, приложения, заключения и списка литературы.

Основные результаты работы имеют достаточно общий характер и могут быть использованы в радиофизических измерениях, а также при проектировании систем связи, основанных на широтно-импульсной модуляции, в том числе и в условиях сложной помеховой обстановки и ненадёжных каналов передачи. Также возможно применение полученных соотношений при разработке систем передачи информации со сложными алгоритмами кодирования.

Заключение

.

В диссертационной работе выполнено теоретическое и экспериментальное (методами статистического моделирования на ЭВМ) исследование алгоритмов приёма прямоугольного и стохастического гауссовского импульса с неизвестной длительностью на фоне аддитивного белого шума. Выполнен синтез максимально правдоподобных и байесовских алгоритмов обработки. Решены задачи обнаружения импульсов, оценивания их длительности, в том числе при неуверенности в наличии сигнала, совместного обнаружения-оценивания. Получены аналитические выражения для характеристик максимально правдоподобных алгоритмов приёма. Характеристики байесовских алгоритмов обработки получены экспериментальным путём — с помощью статистического моделирования на ЭВМ.

В диссертационной работе получены следующие основные результаты:

1. Синтезированы максимально правдоподобные и байесовские алгоритмы обнаружения, оценки длительности, оценки длительности при неуверенности в наличии сигнала и совместного обнаружения-оценивания для прямоугольного импульса с неизвестной длительностью. На основе анализа свойств решающей статистики на выходе приёмника найдены точные выражения для характеристик алгоритмов максимального правдоподобия. Методами статистического моделирования получены характеристики байесовских алгоритмов.

2. Определена эффективность алгоритмов, оптимальных для квазидетерминированного импульса, при наличии стохастической модуляции. Получены асимптотически точные выражения для характеристик приёмников максимального правдоподобия, характеристики байесовских приёмников найдены экспериментально.

3. Синтезированы максимально правдоподобные и байесовские алгоритмы обнаружения, оценки длительности, в том числе при неуверенности в наличии сигнала и совместного обнаружения-оценивания для стохастического импульса с неизвестной длительностью с гауссовской субструктурой. Найдены асимптотически точные выражения для характеристик алгоритмов максимального правдоподобия. При помощи статистического моделирования на ЭВМ получены характеристики байесовских алгоритмов и установлены границы применимости асимптотических выражений для характеристик максимально правдоподобных приёмников.

4. Предложен метод улучшения безусловных характеристик алгоритмов максимального правдоподобия посредством оптимизации значения порога.

На основании полученных в диссертационной работе результатов можно сделать следующие основные выводы:

1. Максимально правдоподобный и байесовский алгоритм обработки импульсов с неизвестной длительностью могут быть реализованы в одноканальном варианте.

2. Синтез специализированных алгоритмов оценивания при неуверенности в наличии сигнала, учитывающих возможность исчезновения сигнала на входе приёмного устройства, позволяет обеспечить более высокое качество оценивания, чем традиционные алгоритмы.

3. Использование дополнительной априорной информации, необходимой для построения байесовского алгоритма, в процессе синтеза максимально правдоподобных алгоритмов обнаружения, оценивания при неуверенности в наличии сигнала и совместного обнаружения-оценивания позволяет заметно улучшить их безусловные характеристики. При равномерном априорном распределении неизвестной длительности импульсов средние вероятности ошибки байесовского алгоритма и максимально правдоподобного алгоритма с оптимальным порогом совпадают.

4. Безусловное рассеяние байесовской оценки длительности рассмотренных сигналов при любых априорных предположениях меньше, чем рассеяние оценки максимального правдоподобия. Выигрыш байесовского алгоритма растёт с увеличением сконцентрированности априорного распределения неизвестной длительности. В условиях высокой апостериорной точности отношение рассеяний оценок является величиной постоянной ~ 0.75.