Диплом, курсовая, контрольная работа
Помощь в написании студенческих работ

Использование метода продолжения по параметру при численном решении задач, моделирующих сильное нелинейное деформирование в координатах Эйлера

Диссертация: Использование метода продолжения по параметру при численном решении задач, моделирующих сильное нелинейное деформирование в координатах Эйлера
ДиссертацияПомощь в написанииУзнать стоимостьмоей работы

Для решения задач МДТТ с учетом физической и геометрической нелинейностей используются численные методы, которые можно разделить на две группы. Первая предполагает использование итерационных методов (метод простой итерации, метод Ньютона и т. д.) для решения системы нелинейных трансцендентных или алгеброических уравнений. Но в рамках современных численных методов наиболее популярными являются… Читать ещё >

Содержание

  • Содежание
  • 1. Описание физико-математической модели
    • 1. 1. Геометрия деформаций
    • 1. 2. Уравнения равновесия
    • 1. 3. Физические соотношения
    • 1. 4. Уравнения продолжения решения
    • 1. 5. Описание численного алгоритма
  • 2. Одномерная задача
    • 2. 1. Постановка задачи
    • 2. 2. Построение численного алгоритма
    • 2. 3. Анализ численных результатов
    • 2. 4. Использование наилучшего параметра
    • 2. 5. Выводы ко второй главе
  • 3. Двумерная задача
    • 3. 1. Постановка задачи равномерного деформирования
    • 3. 2. Численная реализация равномерного деформирования
    • 3. 3. Задача деформирования с появление эффекта Пуассона
    • 3. 4. Выводы к третьей главе
  • 4. Трехмерная задача
    • 4. 1. Постановка задачи равномерного деформирования
    • 4. 2. Численные исследования
    • 4. 3. Выводы к четвертой главе

Использование метода продолжения по параметру при численном решении задач, моделирующих сильное нелинейное деформирование в координатах Эйлера (реферат, курсовая, диплом, контрольная)

Интерес исследователей к более точным нелинейным моделям механики твёрдого деформированного тела продолжает активно расти. Особенно актуален вопрос исследования больших деформаций. Сложности, связанные с расчётом материалов, возникают на производстве, где широко применяются материалы по физико-механическим свойствам сходными с резиной. Расчёт возникающих деформаций и распределения напряжения усложняется тем, что при больших деформациях начальная лагранжева сетка сильно искажается. Это не может не сказаться на вычислительном процессе. Поэтому многие исследователи серьёзно изучают эту проблему и предлагают различные варианты разрешения трудностей, с которыми сталкиваются на практике.

Настоящая работа посвящена разработке и численной реализации методики исследования напряженно-деформированного состояния (НДС) упругих тел с учётом больших перемещений и конечных деформаций в статических задачах. Используется метод продолжения решения по параметру совместно с методом Эйлера описания деформированной среды. Возможность его использования вытекает из введения параметра, тем самым сводя задачу к поиску производных по параметру. Численные вычисления на сетке Эйлера в исследуемой области основаны на методе конечных разностей (МКР).

Для решения нелинейных задач наиболее распространенными явлются два численных метода: МКР и метод конечных элементов (МКЭ).

Принцип конечных разностей используется достаточно давно, pi область его использования постоянно растет. Впервые конечно-разностные аппроксимации в механике ввел Исаак Ньютон в своём фундаментальном труде [115]. Хотя Л. Эйлер в своих работах по дифференциальному исчислению использовал предельные переходы в конечных разностях, основания современной теории конечных разностей были заложены в основном Ж. Лагранжем и П. Лапласом. Одним из самых больших толчков в развитии МКР и сфер его применения произошёл в начале 50-х гг. XX века в связи с появлением электронно-вычислительных машин и распространением численных методов. Из самых выдающихся трудов по этой тематике следует отметить [15, 20, 21, 23, 28, 29, 36, 37, 45, 53, 56, 57, 67, 76, 79].

МКЭ, в настоящее время, приобрел широкую популярность при решении практических задач механики деформируемого твердого тела (МДТТ). С его помощью проводят расчеты по определению НДС и несущей способности конструкций разнообразных форм в самых различных отраслях техники и строительства. При этом эффективно решаются задачи как общей, так и локальной проблематики. Практически все задачи МДТТ получили постановку и алгоритмы решения в рамках конечно-элементных методик. Существует множество публикаций, в которых обсуждаются теоретические и практические аспекты применения МКЭ. Среди них можно отметить работы [17, 18, 19, 27, 32, 34, 35, 47, 48, 51, 60, 61, 68, 69, 70, 71, 72, 73, 74, 87, 88, 89, 126]. В работе [75] разработан и применен математический аппарат по решению различных задач в геометрически нелинейной постановке, с условием пластичности. Расчеты проводились методом конечных элементов.

Для решения задач МДТТ с учетом физической и геометрической нелинейностей используются численные методы, которые можно разделить на две группы. Первая предполагает использование итерационных методов (метод простой итерации, метод Ньютона и т. д.) для решения системы нелинейных трансцендентных или алгеброических уравнений. Но в рамках современных численных методов наиболее популярными являются шаговые методы (методы последовательных нагруже-иий), в соответствии с которыми процесс деформирования представляется как последовательность равновесных состояний и переход из текущего состояния в последующее определяется приращением нагрузки изменением граничных условий, области определения и т. д.). Эти методы условно можно разделить на три широко используемые подгруппы [66]: первая — предполагает использование принципа виртуальных перемещений, в котором все величины отнесены к исходному недеформи-рованному состоянию (глобальная лагранжева постановка) — вторая — основана на том же вариационном уравнении, но в качестве базовой используется текущая метрика (модернизированная лагранжева постановка) [17, 18, 34, 14, 41, 49, 54, 71, 70, 87, 88, 89, 90, 91, 93, 122]- третья — представляет собой комбинированную лагранжево-эйлерову постановку, согласно которой отслеживается поведение материальной точки (элементарного объема) в соответствии с лагранжевым методом описания среды, но в текущем состоянии ставится задача о течении среды в соответствии с эйлеровым подходом [33, 97, 113, 121]. В данной работе рассматривается новый метод в глобальной эйлеровой постановке, где твердое тело рассматривается как сплошная среда, с подвижными границами. По аналогии, с задачами гидромеханики из краевой задачи находятся не сами неизвестные, а их производные по некому введенному параметру.

Традиционно в механике деформируемого твердого тела для решения геометрически нелинейных задач получило распространение лагранже-во описание среды, согласно которому состояние элементарного объема описывается в компонентах вектора перемещений из иедеформированно-го в деформированное состояние и второго тензора напряжений Пиолы-Кирхгофа, также отнесенного к недеформированному объему. В этом случае хорошо формулируется краевая задача в дифференциальной или вариационной форме, для решения которой возможно использование различных численных методов. Однако подобный подход имеет существенный недостаток в задачах с конечными деформациями. Он связан со сложностью построения определяющих соотношений между используемыми тензорами напряжений и деформаций, который особенно сильно проявляется при постулировании определяющих соотношений в дифференциальной скоростной) форме. Однако, если течение среды описывать в эйлеровой постановке, то эти трудности можно обойти. Для введения скоростной формы предлагается использовать некий параметр, выбор которого обусловлен частично искомыми величинами и граничными условиями. Тогда решение задачи можно поулчить, используя как метод продолжения решения по параметру.

Численный варинат метода продолжения решения по параметру впервые был сформулирован М. Лаэем (М. Lahaye)[lll], В трансцендентное уравнение Н (Х) = 0 он ввел параметр Р таким образом, что исследуемое уравнение преобразовывалось к виду F (X, Р) = 0. Параметр был введён так, что при Р — Р0 — 0 уравнение F (X, 0) = 0 можно было легко решить, а при Р = Рп = 1 имеет место F (X, 1) = Н (Х), т. е. уравнение обращается в исходное. М. Лаэй предложил при продвижении по последовательному ряду значений параметра Pq < Рг < • ¦ ¦ < Рп строить решение уравнения F (X, Р) = 0, на каждом шаге значения параметра методом Ньютона-Рафсона, используя предыдущие решение в качестве начального. Позже в статье [112] он обобщил этот подход на систему уравнений. Данный М. Лаэем пример шагового процесса итерационного построения решения уравнения явился истоком целого ряда работ, в которых идея продолжения решения по параметру использована для построения начального приближения и дальнейшего итерационного его уточнения. Отметим работы [22, 26, 44, 55, 77, 62]. В дальнейшем такой вид продолжения решения по параметру получил название дискретное продолжение.

Дифференцирование уравнения F (X) = 0 по параметру для исследования поведения его корней при изменении параметра впервые применил В. А. Фок в работе [78] в одной из задач дифракции волн.

Другую формулировку метода продолжения решения по параметру дал Д. Ф. Давиденко [42, 43]. Он предложил с помощью дифференцирования по параметру перейти от уравнения F (x) — 0 к уравнению J^p + Цр = 0, J = Щг, где под J подразумевается матрица Якоби. И если якобиан не равен нулю, то решение начального уравнения заменяется эквивалентной ему задачей Коши. Такая система позволяет использовать при решении хорошие известные методы интегрирования начальных задач, как-то схемы Эйлера, Рунге-Кутта, Адамса-Штермера и другие. В дальнейшем такой подход стал называться непрерывным продолжением.

Так же Д. Давиденко отметил, что в качестве параметра продолжения решения можно использовать не только параметр задачи, но и любую из неизвестных. В [40, 98] было показано, что наилучшие вычислительные свойства обеспечиваются, если в качестве параметра продолжения используется длина вдоль кривой множества решений. На этой основе сформулирован метод продолжения по наилучшему параметру или наилучшая параметризация [40, 98]. В книге [85] показано, что метод продолжения по наилучшему параметру применим в любой математической задаче, решением которой является кривая или другое однопараметриче-ское множество. В [85] рассмотрены задача Коши для обыкновенных дифференциальных уравнений, интерполяция и аппроксимация кривых и др. Численная реализация метода, осуществляемая в виде шагового процесса по параметру нагрузки и получившая название метода последовательных нагружений В. З. Власова, нашла применение в работах [58, 64]. Являясь, по существу, аналогом метода Эйлера, этот метод характерен тем, что в нем не предусмотрена компенсация погрешности вычислений, вызванной линеаризацией нелинейных уравнений на каждом шаге. Поэтому достижение требуемой точности может быть получено путем, уменьшения величины приращения нагрузки. Имеются такие варианты неявных схем интегрирования задачи Коши по параметру с применением различных способов улучшения сходимости итерационных процессов типа метода Ныотона-Рафсона [24, 25, 39, 84].

Известный метод последовательных нагружений, сформулированный В. З. Власовым, и В. В. Петровым [65] независимо от метода продолжения решения по параметру, может быть понят как алгоритм интегрирования задачи Коши по параметру, методом Эйлера. Такое понимание метода последовательных нагружений впервые, по-видимому, было достигнуто в работе [52], что позволило модифицировать его на основе схемы Рунге-Кутта, существенно повысив тем самым его точность и избавив его в значительной мере от накопления погрешности, особенно свойственной методу Эйлера.

Работа [50] посвящена реализации метода продолжения по параметру в геометрически и физически нелинейных задачах. Уравнения продолжения записаны в недеформированной конфигурации тела, параметром продолжения служит параметр длины интегральной кривой множества решений. Приводятся результаты численных расчетов.

Работы [87, 109, 113] посвящены исследованиям конечных упругопла-стических деформациям в лагранжевой и эйлеровой формулировках. Обсуждаются недостатки и преимущества той или иной формулировок, показано, что при определенных физических соотношениях оба подхода приводят к одинаковому результату.

Книги [82, 83] посвящены изучению нелинейной теории упругости и применению этой теории в практических задачах. Автором проведены подробные исследованию в области механики твердого тела, в частности, приводятся примеры расчетов автомобильных шин.

Исследованию напряженно-деформированного состояния различных конструкций с учетом геометрической нелинейности посвящены работы [30, 31, 38, 51, 94, 99, 101, 108, 117, 119, 120, 122, 125]. В работе [46] рассматриваются различные варианты постановок геометрически нелинейных соотношений и на примере некоторых задач показаны плюсы и минусы каждого из подхода. Оценена погрешность вносимая каждой из рассмотренных постановок.

Работы [80, 81] посвящены выводу определяющих уравнений для упругих и упругопластических сред при конечных деформациях. При формулировке физических соотношений в рамках скоростной постановки возникает вопрос о выборе объективной производной тензора напряжений. В работах [87, 91, 92, 93, 96, 100, 102, 103, 104, 105, 106, 107, 109, 113, 116, 122, 123, 124] в качестве скорости изменения напряжений используется производная Яуманна тензора напряжений Коши, в [118] используется производная Трузделла. В статье [95] рассмотрены как производная Яуманна так и Трузделла.

В [114] исследуются большие деформации геоматериалов. Используется модель Максвелла. В [86] рассматриваются задачи о больших деформациях гиперупругих твердых тел в модернизированной лагранжевой постановке.

Таким образом, исходя из анализа научных публикаций в данном направлении, перед автором была поставлена следующая задача: на основе метода продолжения решения по параметру в рамках эйлеровою описания сплошной среды разработать методику статического деформирования упругих областей с учетом больших перемещений и конечных деформацийполучить разрешающие уравнения и разработать алгоритм решения задачи механики твердого тела с учетом физической нелинейностиисследовать полученную систему при различных подходах выбора параметрана основе метода конечных-разностей разработать алгоритм и создать программное обеспечение для решения указанного класса задачрешить ряд тестовых статических задач деформирования. Результаты научной деятельности автора нашли отражение в диссертации, которая состоит из введения, четырех глав и списка литературы из 126 наименований.

4.3. Выводы к четвертой главе.

Рассмотрена задача равномерного деформирования объемной области. К задаче был применен предлагаемый алгоритм. Рассматривалась задача на трехмерной эйлеровой сетке. С помощью введения параметра задача была сведена к системе линейных дифференциальных уравнений. Построенный численный алгоритм показал удовлетворительную точность z.

Рис. 21: Последовательное равномерное деформирование трехмерной области. при больших перемещениях и конечных деформациях. г.

О 004 D03.

Q0D2 001а, Па.

8 10 12 14.

Рис. 22: Относительная ошибка вычислений в зависимости от приложенного усилия.

Заключение

.

Настоящая работа посвящена разработке методики исследования упругих тел с учетом больших перемещений и конечных деформаций. Решение основано на методе продолжения решения по параметру в рамках эйлерова подхода.

Описаны разрешающие уравнения в переменных Эйлера для упругих тел. Рассматривались геометрические нелинейные соотношения. Для этой нелинейной системы дифференциальных уравнений был построен и опробован численный алгоритм с помощью введения параметра, позволяющий свести исследуемую систему уравнений к линейной.

Работоспособность алгоритма была показана на одномерной задаче. В одномерном случае были получены результаты с заданной точностью. Были рассмотрены различные алгоритмы экстраполяции для поиска границы и показано не значительность выбора их при достаточно не большом шаге. Так же на одномерной задаче была продемонстрирована возможность поиска точек соответствующих не равновесному состоянию благодаря использованию наилучшего параметра.

На двумерной задаче была показана эффективность алгоритма при сравнении с точным решением, если такое было возможно. Было проведено сравнение метода Эйлера и Лагранжа на примере удлинения прямоугольной пластины в два раза. Численные результаты показали эффективность предлагаемого подхода на менее насыщенной сетке. Так же на двумерной задаче алгоритм был успешно опробован на криволинейной границе.

В рассмотренной трехмерной задаче была продемонстрирована возможность использования предлагаемого подхода и в трехмерном случае. Численное решение задачи деформирования трехмерной области хорошо согласовывалось с существующем аналитическим решением.

Итого, для выявления пригодности предлагаемого метода, он был опробован на различных задачах механики твердого деформированного тела.

Показанные хорошие результаты подтвердили широкие возможности и эффективность настоящей методики решения нелинейных задач механики твердого деформированного тела.

В рамках предложенной теории был исследован вопрос определения границы в подходе Эйлера. Так же был разработан и успешно опробован алгоритм поиска границы с помощью экстраполяции.

Численное решение задач сравнивалось с численными результатами решения этих задач подходом Лагранжа. Предлагаемый алгоритм показал более быструю, при увеличении узлов сетки, сходимость к интересующему результату, чем численные реализации построенные на подходе Лагранжа.

Представленная в настоящей работе алгоритм решения задач механики деформируемого тела позволяет исследовать широкий класс материалов. В описанную методологию можно вписать разнообразные физические модели поведения сред. Описанная методика позволяет формулировать и решать задачи моделирования технологических процессов обработки материалов, движения многофазных сред и др. При этом нет никаких ограничений на величины деформаций.

Показать весь текст

Список литературы

  1. М.С., Кузнецов Е. Б., Шалашилнн В. И. Численное моделирование задачи сильного нелинейного деформирования в координатах Эйлера // Математическое моделирование Т.20. № 3. 2008. с. 17−28.
  2. М.С., Кузнецов Е. Б., Шалашилин В. И. Численное решение задачи сильного нелинейного деформирования в переменных Эйлера // Материалы VII международной конференции по неравновесным процессам в соплах и струях. М.: Изд-во МГУ, 2008. С.29−30.
  3. Д., Грин А. Большие упругие деформации и нелинейная механика сплошной среды. // М.: Мир. 1965. 455 с.
  4. И.В., Гулин А. В. К обоснованию устойчивости разностных схем для уравнений акустики.//Препринт. ИПМ АН СССР.-М. 1978 № 96
  5. Н.С., Жидков Н. П., Кобельков Г. М. Численные методы. // М.: Бином. 2004.
  6. В.А., Сахаров А. С., Цыхановский В. К. Моментная схема метода конечных элементов в задачах нелинейной механики сплошной среды // Прикл. механика. 2002. № 6. с. 24−63.
  7. В.А., Гуляр А. И., Сахаров А. С., Топор А. Г. Полуаналитический метод конечных элементов в механике деформируемых тел. К.: Изд-во НИИ Строймеханики. 1993. 376 с.
  8. В.Г., Кибец А. И. Численное моделирование трехмерных задач нестационарного деформирования упругопластических конструкций методом конечных элементов // Изв. РАН МТТ. 1994. № 1. с. 52−59.
  9. О.М. Численное моделирование в механике слошных сред // М.: Наука 1984. 520 с.
  10. С.Н. Экстремальные свойства полиномов и наилучшие приближения фунции одной вещественной переменой // М.: ОНТИ 1937.
  11. В.Ю. Использование метода продолжения решения по параметру для решения нелинейных краевых задач теории топких пластин // Теория автоматизированного проектирования: Сб. Статей Харьков, 1980. № 2. с. 97−100.
  12. Е.А. Численные методы // М.: Наука 1987. 248 с.
  13. И.И., Зипалова В. Ф. К решению нелинейных краевых задач теории упругости методом перехода к задаче Коши // МТТ. 1965. № 29. вып. 5. с. 894−901.
  14. И.И., Минакова Н. И. Проблемы устойчивости и численные методы в теории сферических оболочек // Итоги науки и техники. ВИНИТИ. Сер. Механика деформируемого твердого тела. 1973. № 7. с.5−86.
  15. М.К. Нелинейные функциональные уравнения и непрерывные аналоги итеративных методов // Изв. вузов. Математика. 1958. № 5. с. 18−31.
  16. Р. Метод конечных элементов. Основы. // М.: Мир. 1984. 428с.
  17. А.О. Исчисление конечных разностей. // М.: ИПМ АН СССР 1959.
  18. В. А. Рябенький B.C. Разностные схемы // М.: Наука 1977.
  19. М.В., Тетере Г. А. Исследование устойчивости анизотропных композитных панелей при помощи вырожденного конечного элемента оболочек в геометрически нелинейной постановке. // Механика композитных материалов. 1989. № 4. с. 664−670.
  20. М.В., Тетере Г. А. Исследование устойчивости оболочек вращения из волокнистых композитов в геометрически нелинейной конечно- элементной постановке // Механика композитных материалов. 1987. № 2. с. 286−292.
  21. А.И., Бережной Д. В. Метод конечных элементов в механике деформируемых твердых тел // Казань. Изд-во «ДАС2001. 301 с.
  22. А.И. Расчет однородных и многослойных оболочек произвольной геометрии методом конечных элементов // дис. докт. физ.-мат. Наук: 01.02.04 Казань, 1992.
  23. А.И., Султанов Л. У. Численный расчет больших упруго-пластических деформаций трехмерных тел // Математ. моделир. и краевые задачи / Тр. Всерос. науч. конф. Ч. 1. Самара. 2004. с. 6062.
  24. В.М., Самарский А. А., Фаворитовский А. П. Вариационный подход к построению конечно-разностных моделей в гидромеханике. //ДАН СССР. 1977. Т 235 № 6 с1285−1288
  25. В.Л. Теория интерполирования и приближения функций.// М. ГТТИ 1934.
  26. .А., Орлов Н. Н. Исследование поведения цилиндрической в начальном состоянии оболочки при конечных осесимметричных деформациях // Вопросы расчета прочности конструкций летательных аппаратов. Казань. 1982. с. 25−31.
  27. Э.И., Мамай В. И. О методах сведения нелинейной краевой задачи к задаче Коши // Прикл. проблемы прочности и пластичности: Методы решения задач упругости и пластичности. Горький. Изд-во горьк. ун-таю. 1979. с. 3−49.
  28. Э.И., Шалашилин В. И. Проблемы нелинейного деформирования. Метод продолжения решения по параметру в нелинейных задачах механики твердого деформируемого тела // М: Наука. 1988. 232 с.
  29. О.Н. Расчет слоистых оболочек в геометрически нелинейной постановке МКЭ// Дисс. канд. физ.-мат, наук: 01.04.02. Казань. 2000. 166 с.
  30. Д.Ф. Об одном новом методе численного решения систем нелинейных уравнений// ДАН СССР 1953. Т.88. Ш с. 601−601.
  31. Д.Ф. О приближенном решении решении систем нелинейных уравнений // укр. мат журнал 1955. Т.7. № 1 с. 18−28.
  32. Д.Ф. О применении метода вариации параметра к по-стоению итерационных формул повышенной точности для определения численных решений нелинейных интегральных уравнений// ДАН СССР 1965 Т.162. № с. 499−502.
  33. Ю. М. Скотников В.П. Дифференциальные уравнения приближения разностных схем // М.: ВЦ АН СССР 1978.
  34. А.Н., Зуев Н. Н., Костриченко А. Б., Шалашилин В. И. О различных вариантах геометрически нелинейных соотношениях при больших деформациях. // МТТ № 3 2004 г. с. 53−62.
  35. С.Ю. Методы конечных элементов в механике деформируемых тел // Харьков. «Основа». 1991. 272 с.
  36. О. Метод конечных элементов в технике // М.: Мир. 1975. -542с.
  37. Зуданс 3. Исследование упруго-пластических деформаций сосудов давления методом конечных элементов// Тр. Амер. Об-ва ипж.-мех. Сер. В. Конструирование и технология машиностроения. Ч. 1. 1970. № 2. с. 33−43.
  38. Н.Н., Князев Э. Н., Костриченко А. Б., Шалашилин В. И. Реализация продолжения по наилучшему параметру в геометрически и физически нелинейных статических задачах метода конечных элементов // Изв. РАН. МТТ. 1997. № 6. с. 136−147.
  39. С.А. Численный анализ нелинейных квазистатических процессов деформирования составных конструкций // Прикл. проблемы прочности и пластичности. Горький. 1979. Вып. 10. с. 68−80.
  40. В.В. Применение процедуры Рунге-Кутта к функциональным уравнениям нелинейной теории пластин и оболочек // Расчёт пространственных систем в строительной механике: Сб. Статей. Саратов. 1972. С.3−8.
  41. А. В. Попещенко Ю.А. Попов Ю. П. Двухслойный полностью консервативные разностные схемы для уравнений газовой динамики в переменных Эйлера // ЖВМ и МФ. 1987 Т.27 № 5
  42. С.Н. Нелинейное деформирование твердых тел // Новосибирск. 2000. 262 с.
  43. Ю.В. метод решения нелинейных краевых задач теории оболочек // Механика деформированного твердого тела Сб. Статей. Тула. 1983. с.87−95.
  44. А.А. Исчисления конечных разностей // Одесса. 1910 г.
  45. Г. И. Шайдуров В.В. Повышение точности решений разностных схем. // М. Наука 1979. 320 с.
  46. В.М. К решению нелинейных уравнений строительной механики методом последовательных нагружений // Строительная механика и расчет сооружений. 1970. № 3. с. 61−62.
  47. В.В. Теория упругости // Л.: Судпромгиз 1958. 370 с.
  48. Д., де Фриз. Введение в метод конечных элементов // М.: Мир. 1981. 304 с.
  49. Д. Конечные элементы в нелинейной механике сплошных сред // М.: Мир. 1976. 464 с.
  50. Д., Рейболдт В. Итерационные методы решения нелинейных систем уравненй со многоими неизвестными // М.:Мир, 1975 588 с.
  51. Я.Г., ГубановаИ.И. Устойчивость и колебания упругих систем. // М.: Наука. 1964. 336 с.
  52. В.В. Метод последовательных нагружений в нелинейной теории пластин и оболочек // Саратов. Изд-во сарат. ун-та. 1975. 173 с.
  53. В.В. К расчету пологих оболочек при конечных прогибах // Науч. Докл. Высшей школы. Строительство. 1959. № 1 с.27−35.
  54. А.А., Трусов П. В., Няшин Ю. И. Большие упругопластические деформации: теория, алгоритм, приложения // М.: Наука. 1986. 232 с.
  55. Д. Вычислительные методы в физике // М.: Мир 1975.
  56. Р.В. Метод конечных элементов в теории оболочек и пластин // Рига: Зинатне. 1988. 284 с.
  57. JI.A. Метод конечных элементов в применении к упругим системам // М.: Стройиздат. 1977. 129 с.
  58. А.С., Кислоокий В. Н., Киричевский В. В., Альтенбах И., Габ-берт У., Данкерт Ю., Кепплер X., Кочык 3. Метод конечных элементов в механике твердых тел // Киев: Вища школа. 1982. 480 с.
  59. А.С. Моментная схема конечных элементов МСКЭ с учетом жестких смещений // Сопротивление материалов и теория сооружений. // Киев. 1974. Вып. 24. с. 147−156.
  60. Л. Применение метода конечных элементов // М.: Мир. 1979. 392 с.
  61. Л.У. Расчет больших деформаций упругих тел МКЭ // Студенты Зеленодольску: городская научн.-практ. конф. / сб. докл. Зе-ленодольск: 2003. с. 53−64.
  62. Л.У. Исследование больших вязкоупругопластических деформаций в трехмерной постановке МКЭ // дис. канд. физ.- мат. Наук: 01.02.04 Казань, 2005.
  63. А.И. Компактные разностные схемы и их применение в задачах аэрогидродинамики // М. Наука 1990. 230 с.
  64. В. И. Коровайцев А.В. Об одном алгоритме решения деформирования мягких оболочек из высоко эластичных материалов //Механика эластомеров Сб. Статей 1981 с.60−65.
  65. Фок В. А. Дифракция радио волн вокруг земной поверхности. // JL: АН СССР 1946 с. 42−44.
  66. З.И. регцение задачи для уравнений смешенного типа методом сеток // ДАН СССР. IX. 4 1953. 189−194.
  67. А.Д. Определяющие уравнения для упругопластического тела при конечных деформациях // Изв. РАН МТТ. 2000. № 1. С. 120−128.
  68. А.Д. Простые определяющие уравнения для упругой среды при конечных деформациях // Изв. АН МТТ. 1993. № 1. с. 75−81.
  69. К.Ф. Нелинейная теория упругости в машиностроительных расчетах // JL: Машиностроение 1986 г.
  70. К.Ф. Теория больших упругих деформаций // Л.: Изд-во С.-Петерб. Ун-а 1988 г.
  71. В.И. Метод продолжения по параметру в задаче больших осесимметричных прогибов оболочек вращения // Тр. XII Всесоюз. конф. по теории оболочек и пластин. Ереван: Изд-во ереван. ун-та. 1980. Т. 3. с. 264−271.
  72. В.И., Кузнецов Е. Б. Метод продолжения по параметру и наилучшая параметризация в прикладной математике и механике // М.: Эдиториал УРСС. 1999. 224 с.
  73. Arif A.F.M., Pervez Т., Pervez М.М. Performance or a finite element procedure ror hyperelasticviscoelastic large deformation problems // Int. J. of Solids and Structures. 2000. V. 34. p. 89−112.
  74. Bathe К.J., Ozdemir H. Elastic-plastic large deformation static and dynamic analysis // Comput and Struct. 1976. V. 6. N 2. p. 81−92.
  75. Bathe K.J., Ramm E., Wilso E.X. Finite element formation for large deformation dynamic analysis // In. J. for Numer. Meth. in Eng. 1975. V.9. p.353−386.
  76. Bathe K. J. Finite element procedures in engineering analysis // Englewood Cliffs. NJ. USA: Prentice-Hall. 1982.
  77. Capurso M. On the incremental solution of elasto: piastic continue in the rang on large displacements // Meccanica. 1970. V. 5. N2. p. 98−106.
  78. Cheng J.H., Kikuchi N. An analysis of metal forming processes using large deformation elastic-plastic formulations // Comput. Meth. Appl. Mech. Eng. 1985. V. 49. N 1. p. 71−108.
  79. Dems K., Kleiber M. Physically and geometrically nonlinear analysis finite elements // Pozpr. inz. 1976. V. 24. N 4. p. 771−786.
  80. Dieterle K. Anwendung der Methode der finiten Eleniente zum naherung // sweisen Bcrechnen grosser Formanderungen beim Flanschstauchen. Industr. Anz. 1975. Bd. 97. N98. p. 2080−2081.
  81. Dinis L.M.S., Owen D.R.J. Elasto-viscoplastic and elasto-plastic large-deformation analysis of thin plates and shells // Intern. J. Numer. Meth. Eng. 1982. V. 18. N 4. p. 591−606.
  82. Gadala M.S., Wang J. Computational implementation of stress integration in FE analysis of elasto-plastic large deformation problems // Finite Elements in Analysis and Design. 2000. V. 35. p. 379−396.
  83. Gadala M.S., Oravas G.A.E., Dokainish M.A. Geometric and material nonlinearity problems // In: Numer. meth. non-linear problems: Proc. Intern, conf. Swansea. 1980. V. 1. p. 317−331.
  84. Gouveia В.P.P.A., Rodrigues J.M.C., Martins P.A.F. Finite element modeling of cold forward extrusion using updated Lagrangian and combined Eulerian-Lagrangian formulations // J. of Materials Processing Technology. 1998. 80−81. p. 647−652.
  85. Grigolyuk E.I., Shalashilin V.I. Problems of Nonlinear Deformation // Dordrecht etal: Kluwer. 1991. 262 pp.
  86. Gupta A.K., Mohraz В., Schnobrich W.C. Elasto-plastic analysis of three-dimensional structures using the isoparametric element // Nucl. Eng. andDes. 1972. V. 22. N2. p. 305−317.
  87. Hibbit H.D., Marcal P.V., Rice J.R. A finite element formulation for problems of large strain and large displacement // Int. J. Solids Stuct. 1970. V. 6. p. 1069−1086.
  88. Hofmeister L.D., Greenbaum G.A., Evensen D.A. Large strain, elasto plastic finite element analysis // AIAA J. 1971. V. 9. N7. p. 1248−1254.
  89. Hughes TJ.R., Winget J. Finite rotation effects in numerical integration of rate constitutive equations arising in large-deformation analysis // Int. J. Numer. Methods Eng. 1980. V. 15. p. 1862−1867.
  90. Kawahara M., Horii K. Large strain, elasto-plastic numerical analysis by means of finite element metbod // Trans. Jap. Soc. Civ. Eng. 1972. V. 3. N2. p. 154−155.
  91. Kawahara M. Large strain, viscoelastic and elasto viscoplastic numerical analysis by means of the finite element method // Arch, mech. stosow. 1975. V. 27. N3. p. 417−443.
  92. Kitagawa H., Tomita Y. An incremental finite element analysis of two-dimensional large strain and large displacement problems for elasto-plastic material // Proc. 21st Jap. nat. cougr. appl. mech. (Tokyo, 1971). Tokyo. 1973. V.21. p. 243−255.
  93. Kitagawa H., Segnchi Y., Tomita Y. An incremental theory of large strain and large displacement problems and its finite-element formulation // Ing. Arch. 1972. Bd. 41. N3. p. 213−224.
  94. Klee K.D., Paulun J. On numerical treatment of large elastic-visco-plastic defomiations // Arch. mech. stosow., 1980. V. 32. N 3. p. 333−345.
  95. Kleiber M. Finite elements in nonlinear mechanics and large deformation elasto-plasticity // Probl. non-lineaires mech.: Symp. fr.-pol. (Cracovie, 1977). Varsovie. 1980. p. 273−296.
  96. Kleiber M. Lagrangian and eulerian finite element formulation for large strain elasto-plasticity // Bull. Acad. pol. sci. Ser. sci. teclm. 1975. V. 23 N3. p. 109−126.
  97. Kobayashi S., Altan. Oh SI. T. Metal forming and the finite-element methods New York, Oxford: Oxford University Press. 1989.
  98. Lahaye M.E. Une metode de resotion d’une categotie d’equations transcentes / / Computer Rendus hebdomataries des seances de L’Academie des scences. 1934. V. 198 N 21. p 1840−1842.
  99. Lahaye M.E. Solution of sistem of transcendental equations // Acad. Roy. Belg. Bull. CI. Sci. 1948.
  100. McMeeking R.M., Rice J.R. Finite-element formulations for problems of large elastic- plastic deformation // Int. J. Solids Stuct. 1975. V. 11. N 5. p. 601−616.
  101. Moresi L., Dufour F., Muhlhaus H.-B. A Lagrangian integration point finite element method for large deformation modeling of viscoelastic geomaterials // J. of Comput. Physics. 2003. V. 184. p. 476−497.
  102. Newton I. Philosophiae naturalis principia mathematica // 1726.
  103. Oh S.I., Kobayashi S. Finite element analysis of plane-strain sheet bending // Intern. J. Mech. Sci. 1980. V. 22. N 9. p. 583−594.
  104. Owen D.R.J., Figueiras J.A. Anisotropic elasto-plastic finite element analysis of thick and thin plates and shells // Int. J. Numer. Meth. Eng. 1983. V. 19. N 4. p. 541−566.
  105. Pinsky P.M., Ortiz M., Pister K.S. Numerical integration of rate constitutive equations in finite deformation analysis // Сотр. Methods Appl. Mech. Eng. 1983. V. 40. p. 137−158.
  106. Reed K.W., Atluri S.N. Analysis of large quasistatic deformations of inelastic bodies by a new hybrid-stress finite element algorithm // Cormput. Meth. Appl. Mech. and Eng. 1983. V. 39. p. 245−295.
  107. Rubin M.B., Attia A. Calculation of hyperelastic response, of finite deformed elastic viscoplastic materials // Int. J. Numer. Meth. Eng. 1996. V. 395. N 2. p. 309−320.
  108. Synka J., Kainz A. A novel mixed Eulerian-Lagrangian finite-element method for steady-state hot rolling processes // Int. J. of Mech. Sc. 2003. V. 45. p. 2043−2060.
  109. Taylor L.M., Becker E.B. Some computational aspect of large deformation, rate-dependent plasticity problems // Comput. Meth. Appl. Mech. Eng. 1983. V. 41. N 3. p. 251−277.
  110. Wifi A.S. An incremental complete solution of the stretch-forming and deepdrawing of a circular blank using a hemispherical punch // Int. J. Mech. Sci. 1976. V. 18. N 1. p. 23−31.
  111. Yamada Y., Wifi A.S., Hirakawa T. Analysis of large deformation and stress in metal forming processes by the finite element method // In. metal, form, plast. symp. (Tutzing, 1978). 1979. p. 158−176.
  112. Yamada Y. Nonlinear matrices, their implication and applications in inelastic large deformation analysis // Comput. Meth. Appl. Mech. Eng. 1982. V. 33. N 1−3. p. 417−437.
  113. Zienkiewicz O.C., Valliapan S., King I. Elasto-plastic solution of engineering problems initial stress, finite element approach // Int. J. Numer. Meth. Eng. 1969. V. 1. N 1. p. 75−100.
Заполнить форму текущей работой

На отлично!