Анализ и синтез интервальных систем с гарантируемой динамикой на основе робастных и адаптивных алгоритмов

В реальных системах автоматического управления (САУ) возможны случаи, когда некоторые их параметры не известны точно, либо меняются в процессе эксплуатации системы по заранее неизвестным законам, причем их значения в принципе не могут быть доступны измерению. Если при этом известны диапазоны возможных значений постоянных параметров или пределы изменения нестабильных параметров, то в таких случаях говорят о параметрической интервальной неопределенности [1, 2, 3, 4, 5, 6, 7]. Системы, имеющие интервально-неопределенные параметры, получили название интервальных систем (ИС).

Существует два основных подхода к исследованию ИС: детерминированный и стахостический. В отличии от стахостического подхода, в соответствии с которым в качестве постулата принимается гипотеза о вероятностной природе неопределенности, детерминированный подход использует гарантированные оценки. Выберем его для дальнейшего исследования вопросов анализа и синтеза ИС.

Пусть линейная ИС описывается следующими уравнениями: где все матрицы А, В, С, Di и D2 зависят от интервальных параметров, параметры образуют многогранник Мт, представляющий собой прямоугольный гиперпараллелепипед с числом вершин 2 т.

При описании ИС уравнениями (В.1) введем условие линейной неопределенности, означающее, что коэффициенты atfq) характеристического х = A (q) х + B (q)u + Dx (q)zy = C (q)x + D2(q)z,.

B.l) образующих вектор q. Так как-то интервальные полинома (или элементы arfq) матрицы A (q)) есть линейные функции от q. Особенно выделим два случая [8]:

1. Интервальная неопределенность;

2. Аффинная неопределенность.

В первом случае интервальный характеристический полином (ИХП) задается так где я, — = я, т-п, at = я.тах. В нем сами коэффициенты являются неопределенными параметрами, которые могут независимо принимать значения в своих интервалах неопределенности ]. Условие я&bdquo->0 обычно накладывается для того, чтобы обеспечить неизменность степени п полинома при всех.

Во втором случае коэффициенты характеристического полинома не имеют непосредственного физического смысла и зависят от параметров q линейным образом. Аффинная неопределенность является простейшей моделью такой зависимой структуры неопределенности. Аффинное семейство полиномов задается следующим образом.

P (s, Q) = {P (s, q) = р&bdquo-(s) + qlPl (s) +. + qlP,(s), qsP}, (B.3) где полиномы Pi (s), i = 0J фиксированы и известны (P (s, 0) = P0(s) также называют номинальным полиномом системы). В этом случае коэффициенты cti (q) полинома P (s, q) зависят аффинным образом от параметров q:

В.2) ап хап<�а".

Ф)-"? +, (В.4) м где а (- коэффициент Pj (s) при sl. Иными словами, коэффициенты atfq) не могут меняться независимо друг от друга при изменении q.

При проектировании ИС основная задача состоит в обеспечении желаемого качества ее функционирования при любых возможных значениях интервальных параметров. Иными словами, должен закладываться высокий уровень робастности ИС. Это свойство включает в себя в первую очередь наличие робастной устойчивости и робастного качества управления в разрабатываемой ИС [9,10,11, 12,13,14].

Робастной устойчивости соответствует расположение областей локализации всех полюсов ИС в левой половине комплексной плоскости. Рассмотрим существующие методы анализа робастной устойчивости.

Фундаментальные результаты, позволяющие исследовать робастную устойчивость системы с интервальной неопределенностью, получены В. Л. Харитоновым [15,16,17]. Пусть задан полином.

P (s) = {-P (s) = я0 + axs +. + ans", а{ <, ai 0, an> 0 }, параметрами которого являются сами коэффициенты полинома, изменяющиеся в прямоугольном параллелепипеде. Рассмотрим четыре полинома, составленные из крайних значений коэффициентов, чередующихся парами (два нижних значения — два верхних):

P (s) = Q.0+ G. lS + a2S2 + CI3S3 +. , P2(s) = ao + a{s + a2s2 + язя3 +., P3(s) = ao + as + o2s2 + a3s3 +. , Pt (s) = a0 + as + ais2 + a3s3 +.

Эти полиномы получили название полиномов Харитонова.

Теорема Харитонова звучит следующим образом: Для робастной устойчивости интервального семейства (В.5) необходимо и достаточно, чтобы все полиномы Харитонова были устойчивы.

Перейдем теперь к более сложной ситуации — аффинному семейству полиномов.

P (s, Q) = { P"{s) + q^s) +. + q, P,(s), q <.y, i = 1,.,/ } (B-6) с параметрами, изменяющимися в кубе.

Одномерное семейство вида.

P (s, q):qi = y, i*k, qkzy} (В.8) названо реберным полиномом. Вершинными полиномами названы полиномы вида P (s, q), qt = ±-у, i = 1,1.

Геометрически вершинные и реберные полиномы соответствуют вершинами ребрам куба (В.7), т. е. реберный полином «соединяет» два соседних" вершинных полинома (соответствующих соседним вершинам куба), и всего имеется /2/1 реберных полиномов. Справедлива следующая теорема [18]. Пусть deg^ =sdegP0 =л, / = 1,./, 1 1.

Off.

В.9) (В. 10) / = 1,.,/, — коэффициенты при sk полиномов Pi (s). Пусть полином Pj (s) устойчив. Тогда для робастной устойчивости семейства (В. 6) необходима и достаточна устойчивость всех реберных полиномов. Щ.

Даная теорема названа реберной. Она позволяет получить эффективную формулировку критерия робастной устойчивости, лишь, если число / неопределенных параметров мало. В этом случае следует проверить все реберные полиномы. Они представляют собой однопараметрические семейства вида AM (5) + (1 — A) N (s) (где M (s), N (s) — два соседних вершинных полинома), и в соответствии с критерием Найквиста (роль точки -1 здесь играет — (1 — А)/Я) их устойчивость при 0<�Л<1 эквивалентна тому, что полиномы M (s), N (s) устойчивы, а годограф G (ja)) = M (jco)/N (j (o) не пересекает отрицательной вещественной полуоси. Однако если / велико, то число таких проверок значительно (даже для 1=5 нужно проверить /2м = 80 реберных полиномов), что потребует большого объема вычислений.

В связи с этим актуальна проблема исследования возможности сокращения числа проверяемых ребер. Побудительным мотивом к такой постановке задачи явились работы[18, 19], где в соответствии с реберной теоремой путем отображения всех ребер многогранника строятся области миграции корней интервального полинома. Из рассмотрения этих областей следует очевидный вывод о том, что для анализа устойчивости конкретного интервального полинома достаточно проверить только те его существенные ребра, образы которых составляют границы областей локализации корней полинома. Однако для этого необходимо уметь заранее определять существенные ребра по имеющейся информации о структуре полинома и интервалах неопределенности его коэффициентов.

Очевидно, что наряду с проверкой робастной устойчивости, отвечающей только на вопрос: устойчива ИС или нет, для проектировщика желательно гарантировать также и робастное качество ИС, соответствующее расположению ее полюсов в некоторой заданной области комплексной плоскости.

В литературе данная проблема рассматривается как анализ робастной ^ относительной устойчивости [5, 20, 21, 22, 23]. Понятие относительной устойчивости связано с разнообразными вариантами расположения корней ИХП соответственно возможным сочетаниям варьируемых параметров в рамках фиксированных интервалов.

До настоящего времени исследования в этой области велись преимущественно алгебраическим и частотным методами в двух направлениях: формулирование необходимых и достаточных условий [5, 24, 25, 26, 27, 28, 29] и вывод сравнительно неконсервативных достаточных условий робастной относительной устойчивости [5, 7, 30, 31]. При этом основная часть публикаций оперирует с результатами В. J1. Харитонова.

Так установлено, что необходимые и достаточные условия требуют анализа 2″ полиномов с постоянными коэффициентами, принимающими свои граничные значения [5, 21]. Такая процедура, безусловно, оказывается весьма трудоемкой. Поэтому предлагается использовать достаточные условия, обеспечивающие выполнение интересующих проектировщика требований. В частности, эффективными являются условия попадания корней ИХП в сектор, заданным углом ж±<�р*, основанные на достаточном критерии устойчивости Ф Липатова — Соколова [7, 31]. Эти условия имеют вид:

2 9-t.

Qi-ai.

8 i = 1,., я-1,.

B.ll) где 8* - действительная функция величин п и (р* (ее значения представлены на соответствующих номограммах [7]).

Заметим, что исследования робастной относительной устойчивости ведутся преимущественно для случая интервальной неопределенности в системе. Среди работ, рассматривающих аффинную неопределенность, можно выделить работы [32, 33], связанные с построением гарантированных областей локализации полюсов ИС.

Наиболее перспективным для исследования ИС согласно [34,35, 36, 37,38, 39] является корневой подход [40]. Он основан на отображении многогранника интервальных параметров на корневую плоскость и позволяет наиболее точно оценить робастную устойчивость и робастное качество ИС. Реализовать корневой подход можно на основе робастного расширения известного метода корневого годографа, который предусматривает получение информации о границах областей локализации корней системы, соответствующих известной области изменения интервальных параметров.

Для построения таких границ при условии линейного вхождения интервальных параметров в коэффициенты характеристического полинома системы разработаны подходы [18], основанные на отображении на плоскость корней ребер многогранника характеристических полиномов. Его вершинами являются полиномы, соответствующие крайним значениям интервальных параметров. Однако рекомендуемая в [18] проверка относительной устойчивости на всех ребрах является сверхдостаточной, о чем свидетельствуют приведенные там же примеры. Поэтому возникает естественное желание знать существенны ребра, которые являются образами границ корневых областей. Для их определения предлагается использовать интервальный аналог метода корневого годографа.

Синтезу ИС также посвящено большое количество публикаций [41, 42, 43, 44]. Под задачей синтеза ИС будем понимать определение настроек линейного регулятора заданной структуры, гарантирующего желаемое качество. Многие из предлагаемых методик синтеза робастных ИС основаны на результатах Харитонова. Так, например, полиномы Харитонова используются при синтезе двух параметров линейного регулятора на основе робастного D-разбиения [45, 46]. Данный метод позволяет выбрать настройки регулятора из параметрической области устойчивости, обеспечивающее попадание корней ИХП в заданную односвязную область комплексной плоскости.

Известно, что динамика любой линейной системы главным образом зависит от расположения ее доминирующих полюсов. Поэтому для обеспечения гарантированных динамических свойств ИС следует при синтезе робастного регулятора использовать принцип доминирования. В соответствии с ним для получения требуемого качества необходимо расположить желаемым образом доминирующие полюса и отдалить от них остальные свободные полюса. Решение задачи размещения доминирующих полюсов в заданных точках комплексной плоскости рассматривается в ряде работ для стационарных систем. В [47, 48, 49, 50, 51], например, эта задача решается с помощью полиномиальных уравнений синтеза. В [47, 49, 50] используется интерполяционный метод назначения доминирующих полюсов. При этом недоминирующие полюса системы могут располагаться на комплексной плоскости произвольно. Поэтому на заключительном этапе предусматривается дополнительная проверка выполнения условий доминантности.

Для интервальной системы также представляет интерес задача размещения ее полюсов. При этом желательно, чтобы доминирующие полюса принимали предписанные значения или локализовались необходимым образом, а остальные располагались в заданной области комплексной плоскости.

Среди реальных систем автоматического управления с интервальными параметрами можно выделить класс систем, обладающих ярко выраженными резонансными свойствами. При этом особый интерес представляют системы, интервальными параметрами которых являются параметры упругих связей.

Заметим, что простые интервальные упругие системы низкого порядка имеют, как правило, интервальную неопределенность, а более сложные — аффинную неопределенность. Характерной особенностью интервальных упругих систем является частотная нестабильность упругих тонов колебаний. Степень их отрицательного влияния на динамику системы определяется в каждом конкретном случае с помощью построения частотных характеристик. Как правило, учету подлежат те тона колебаний, которые деформируют логарифмическую амплитудночастотную характеристику выше оси частот или пересекают эту ось, являясь источниками неустойчивости системы. При этом, интервалы изменения резонансной частоты могут лежать в низкочастотных, среднечастотных и высокочастотных областях в зависимости от параметров упругих связей.

Применение в интервальных упругих системах линейных робастных регуляторов может обеспечить робастную устойчивость, но при этом не всегда позволяет получить желаемую динамику системы. Так, например, если диапазон изменения частоты резонанса находится в области высоких частот, то с помощью линейных фильтров, в принципе, возможно подавлять упругие колебания в САУ, не снижая ее быстродействия. Если же диапазон изменения резонансной частоты лежит в среднечастотных или низкочастотных областях, то демпфирование системы с помощью линейного робастного регулятора приведет к ее существенному загрублению и потере желаемого быстродействия.

Выходом из этой ситуации может служить использование нелинейных законов компенсации влияния нестабильных резонансов [52, 53]. Разработанные в соответствии с этими законами различные схемы псевдолинейных корректирующих устройств приведены в [52, 54, 55, 56,]. Для указанной цели, особенно в случае изменения параметров упругих связей, необходимы такие корректирующие устройства, которые формировали бы логарифмические амплитудно-частотные характеристики (JIA4X), инверснми по отношению к частотнонестабильным амплитудным пикам, и при этом создавали необходимый запас устойчивости по фазе. Они должны быть щ способны независимо корректировать АЧХ и ФЧХ системы в известном заранее диапазоне частот, сохраняя при этом ее динамику.

Данным требованиям в определенной мере отвечает, например, многоканальное нелинейное корректирующее устройство из [52]. Однако главной причиной, ограничивающей его использование при изменении резонансной частоты в широком диапазоне, является частотная дискретность коррекции и, как следствие, трудность обеспечения высокой точности компенсации резонансов без значительного увеличения числа каналов и усложнения устройства.

Согласно [57, 58], перспективным направлением в этом случае является адаптивная коррекция интервальной упругой системы с самонастройкой на резонансную частоту, которая позволяет осуществлять точную частотнонепрерывную компенсацию амплитудного всплеска.

Таким образом, в результате проведенного обзора существующих подходов к анализу и синтезу ИС можно сделать следующие выводы и предложения.

Анализ гарантируемого робастного качества ИС.

Для анализа робастного качества системы с интервальной или аффинной неопределенностью целесообразно применять корневой подход с использованием метода корневого годографа и реберной теоремы. В основу этого подхода предлагается положить определение свойств отображения ребер и вершин параметрического многогранника ИС на комплексную плоскость корней. Целью при этом является нахождение существенных ребер, отображающихся на границы областей локализации полюсов ИС. Задача анализа робастного качества в данном случае будет сводиться к оценке качества ИС на этих существенных ребрах. Для ее решения можно использовать как графические методы (построение интервального корневого годографа, реберное D-разбиение), так и аналитические с применением уравнения корневого годографа (уравнения Теодорчика-Эванса).

Синтез ИС с гарантируемой динамикой.

В зависимости от упругих свойств интервальной системы задача ее синтеза с целью обеспечения гарантированной динамики может быть разделена на две задачи:

— если ИС является жесткой или упругой с интервалом неопределенности частоты резонанса в области высоких частот, то следует синтезировать линейный робастный регулятор на основе принципа доминирования корней характеристического полинома,.

— если ИС является упругой системой с интервалом неопределенности частоты резонанса в области средних или низких частот, то следует синтезировать адаптивный компенсатор нестабильных резонансов, сохраняющий полосу пропускания системы, и следовательно, ее требуемые динамические свойства.

Таким образом, целью работы является разработка методик анализа и синтеза интервальных систем с применением робастного и адаптивного подходов на основе решения следующих задач:

1. реберная маршрутизация параметрического многогранника системы для определения границ областей локализации корней характеристического уравнения;

2. анализ робастного качества линейной интервальной системы на основе отображения реберного маршрута на корневую плоскость;

3. параметрический синтез линейных регуляторов, обеспечивающих гарантированную динамику в интервальных системах на основе доминантного расположения полюсов;

4. структурно-параметрический синтез псевдолинейных компенсаторов упругих частотно-нестабильных колебаний.

Научная новизна работы заключается в следующем:

— разработка алгоритмов реберной маршрутизации параметрического многогранника системы на основе свойств корневого годографа (КГ), позволяющей определить образы границ областей локализации корней интервального характеристического уравнения;

— разработка методики анализа региональной робастной устойчивости интервальных систем на основе реберной маршрутизации с применением методов корневого годографа, D-разбиения, уравнения Теодорчика-Эванса;

— разработка методики синтеза адаптивного и робастного линейных регуляторов для региональной локализации и стабилизации доминирующих полюсов интервальной системы;

— разработка способа компенсации частотно-нестабильных резонансов в интервальных системах;

— разработка структуры адаптивного и робастного псевдолинейных компенсаторов, демпфирующих упругие частотно-настабильные колебания в интервальных системах.

Практическая ценность работы определяется:

— доведенными до уровня инженерного проектирования с использованием ЭВМ в интерактивном режиме методиками анализа и синтеза робастных и адаптивных линейных регуляторов, обеспечивающих гарантированную динамику в интервальных системах;

— практической разработкой робастного и адаптивного псевдолинейных компенсаторов, техническая новизна и оригинальность которых подтверждена патентом на изобретение;

— возможностью использования результатов работы при решении соответствующих задач управления промышленными упругими электромеханическими системами (бумагоделательными машинами, подъемно-спускными механизмами шахт и шлюзов, приводами манипуляторов и металлообрабатывающих станков, антенными установками), в объектах управления которых имеются нестабильные параметры.

Апробация работы. Основные положения и результаты диссертационной работы докладывались и обсуждались на Русско-Корейской международной конференции KORUS'99 III. (Россия, г. Новосибирск, 1999 г.), на международной конференции «Информационные системы и технологии» (г. Новосибирск, 2000 г.), на VI международной научно-практической конференции «Современные техника и технологии» (г. Томск, 2000), на VII международной научно-практической конференции «Современные техника и технологии» (г.Томск, 2001 г.), на X международной научно-технической конференции «Состояние и перспективы развития электротехнологии» (г.Иваново, ИГЭУ, 2001 г.), на VII Международной научно-технической конференции «Радиоэлектроника, электротехника и энергетика» (г. Москва, МЭИ, 2001 г.).

Публикации. По теме диссертационной работы опубликовано 10 работ, получен 1 патент на изобретение.

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, пяти глав, заключения, списка литературы, включающего 111 наименований, и приложенийсодержит 131 печатную страницу основного текста, 43 рисунка и 1 таблицу.

5.4. Основные результаты.

В данной главе были разработаны: 1) варианты практической реализации методов определения реберного маршрута интервальной системы, необходимые для ее анализа и синтеза- 2) практическая реализация адаптивной следящей системы с использованием алгоритма частотнонезависимой антирезонансной коррекции. При анализе полученных результатов можно сделать следующие выводы.

1. Разработанные алгоритмы и приведенные программы определения реберного маршрута на ЭВМ в диалоговом (интерактивном) режиме в значительной мере помогут проектировщику при анализе и синтезе робастных систем. При этом будет обеспечиваться точность анализа робастной региональной устойчивости интервальной системы, а также простота синтеза робастных регуляторов.

2. Для реализации способа адаптивной антирезонансной коррекции предложены варианты схем основных устройств, входящих в состав адаптивного компенсатора и обеспечивающих его работу.

При этом в качестве устройства измерения амплитуды рекомендуется использовать импульсную схему измерения и запоминания максимального значения амплитуды, а в качестве устройства определения фазового сдвига — устройство с запоминающей емкостью.

Моделирование интервальной системы с адаптивным компенсатором резонансов показало эффективность разработанного метода.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

.

В ходе выполнения диссертационной работы были получены следующие основные научные и практические результаты:

1. Разработаны алгоритмы реберной маршрутизации ПМ, позволяющие определить образы границ областей локализации полюсов ИС. Для этого решены следующие задачи:

— Установлены основные свойства отображения ребер ПМ на комплексную плоскость корней и сделан вывод о том, что для определения искомых границ нет необходимости отображать все ребра ПМ, а достаточно найти и отобразить только существенные граничные ребра.

— Разработаны методики проверки плоскостей граней ПМ на наличие особых прямых при интервальной и аффинной неопределенности системы. Наличие данных прямых указывает на возможность существования особых корневых узлов, в которых могут пересекаться граничные реберные ветви интервального корневого годографа.

— Получено условие принадлежности корневого узла границе области локализации комплексного корня.

— Разработаны методики определения реберного маршрута ПМ при аффинной и интервальной неопределенностях на основе значений углов выхода реберных ветвей из граничного корневого узла и информации о наличии особого корневого узла.

— Показано, что реберный маршрут ПМ является единственным для построения областей локализации всех комплексных полюсов ИС.

2. На основе реберной маршрутизации разработаны методики анализа робастной региональной устойчивости, гарантирующей допустимые показатели качества ИС. Предложены три методики, использующие различные способы оценки робастной региональной устойчивости на реберном маршруте:

— методика анализа региональной робастной устойчивости на основе построения многопараметрического интервального корневого годографа по реберному маршруту;

— методика анализа региональной робастной устойчивости на основе робастного D-разбиения по реберному маршруту;

— методика анализа региональной робастной устойчивости на основе решения уравнений Теодорчика-Эванса для всех ребер маршрута.

3. На основе применения робастного и адаптивного подходов к доминантному расположению полюсов ИС разработаны следующие методики синтеза линейных регуляторов, обеспечивающих в ИС гарантируемую динамику:

— методика синтеза линейного робастного регулятора для региональной локализации доминирующих полюсов ИС, гарантирующей минимально-допустимую степень устойчивости;

— методика синтеза адаптивно-робастного регулятора для стабилизации доминирующих полюсов в заданных точках комплексной плоскости.

4. На основе разработанного способа компенсации частотнонестабильных резонансов проведен структурно-параметрический синтеза псевдолинейных компенсаторов для упругих ИС. При этом синтезированы:

— адаптивный псевдолинейный компенсатор для ИС с низкочастотными резонансами;

— робастный псевдолинейный компенсатор для ИС с высокочастотными резонансами;

— комбинированый адаптивно-робастный компенсатор.

5. Рассмотрены вопросы практической реализации разработанных алгоритмов.

— варианты практической реализации на ЭВМ методов определения реберного маршрута интервальной системы, необходимые для ее анализа и синтезапрактическая реализация адаптивной следящей системы с использованием алгоритма частотнонезависимой антирезонансной коррекции.