Оценки равномерных и интегральных норм средних Валле-Пуссена для сумм Фурье-Лежандра в связи с некоторыми вопросами теории приближения

Актуальность темы

Ортогональные многочлены и ряды Фурье по этим многочленам находят широкое применение в различных областях. В частности, они применяются в задачах, связанных с обработкой, сжатием и передачей дискретной информации (например, использование быстрых преобразований Фурье и Фурье-Уолша, дискретного преобразования Фурье и т. д.), что позволяет значительно сократить количество арифметических операций и объем памяти ЭВМпри решении интегральных и дифференциальных уравнений, путем разложения функций, входящих в эти уравнения, в ряды по ортогональным многочленам и в других задачах. Эти задачи, в свою очередь, приводят к вопросам приближения функций, заданных на дискретном множестве точек (сетках) с помощью последовательностей линейных операторов — дискретных частных сумм Фурье, дискретных сумм Фейера, Валле-Пуссена, определенных по соответствующей системе ортогональных многочленов. Кроме того, представляют интерес вопросы сходимости частных сумм Фурье и их средних к разлагаемой функции. Отсюда, в свою очередь, возникают задачи исследования поведения норм операторов Валле-Пуссена в пространстве С[-1,1]. В частности, в работах [29], [30] были изучены нормы операторов Валле-Пуссена для сумм Фурье-Якоби и для дискретных сумм Фурье-Чебышева в пространстве С[-1,1].

Во многих вопросах теории приближения функций и численного анализа приходится рассматривать взаимосвязь между различными нормами в линейных пространствах алгебраических многочленов. В частности, в работах [4], [9], [18], [23], [31], [41] изучалась связь Ьр[а, Ь]~нормы многочлена и его дискретной нормы, определенной на конечной равномерной системе точек отрезка [а, Ь~.

Объект исследования. В работе изучаются средние Валле-Пуссена (операторы Валле-Пуссена) для дискретных сумм Фурье-Лежандра и вопрос об оценке Ьр[-, Ц-нормы алгебраического многочлена по его значениям на конечной системе точек отрезка [-1,1].

Цель работы:

1) доказать ограниченность норм операторов Валле-Пуссена, действующих в пространстве С[-1,1];

2) получить оценку максимума алгебраического многочлена на [-1,1] по его значениям в нулях многочлена Лежандра;

3) оценить? р[-1,1]-норму алгебраического многочлена по его значениям на конечной сетке отрезка [-1,1].

Общие методы исследования. В диссертации применяются общие методы теории функции и функционального анализа, а также методы теории ортогональных многочленов.

Научная новизна. С некоторыми ограничениями доказано, что нормы операторов Валле-Пуссена равномерно ограничены в пространстве С[-1Д] некоторой положительной константой. Как следствие предыдущего утверждения доказано, что, если значения алгебраического многочлена на конечной системе точек отрезка [-1,1] - нулей многочлена Лежандра — ограничены в совокупности, то и его максимум ограничен на [-1,1] некоторой положительной константой. Получены оценки между 1,1]-нормой алгебраического многочлена и дискретными нормами, определенными на конечной системе точек отрезка [-1,1]. Кроме того, получены оценки приближения непрерывной функции средними Валле-Пуссена для сумм Фурье-Лежандра.

Практическая ценность. Полученные в работе результаты могут быть использованы при изучении поведения норм операторов Валле-Пуссена в других функциональных пространствах, а также в теории приближения. Результаты глав II и IV могут быть использованы для дальнейшего изучения связей между дискретными нормами и нормами, определенными в различных функциональных пространствах.

Апробирование работы. Основные положения и отдельные результаты диссертации докладывались и обсуждались:

— на ежегодных научных семинарах кафедры математического анализа Дагестанского государственного педагогического университета (ДГПУ);

— на Воронежской зимней математической школе (1999, 2001 гг.);

— на 10-й Саратовской математической школе (2000 г.);

— на конференции профессорско-преподавательского состава ДГПУ (2000 г.).

Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в 5 работах.

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, четырех глав и списка литературы из 44 наименований.

1. Ахиезер Н. И. Лекции по теории аппроксимации. М.: Наука, 1965.

2. Бабенко В. Ф., Вакарчук М. Б. О неравенствах типа Колмогорова-Хермандера для функций, ограниченных на дискретной сетке // Укр. мат. ж. 1997. Т.49. № 7. С.988−992.

3. Бернштейн С. И. Собрание сочинений. T. I, Т.Н. М.: Изд-во АН СССР, 1952, 1954.

4. Бернштейн С.H. Sur une classe de formules d’interpolation // Изв. AH СССР. OMEH. 1931. № 9. C.1151−1161.

5. Геронимус Я. Л. Теория ортогональных многочленов. M.: Гостехиз-дат, 1950.

6. Дзядык В. К.

Введение

в теорию равномерного приближения функций полиномами. М.: Наука, 1977. 512с.

7. Джексон Д. Ряды Фурье и ортогональные полиномы. М.: ИЛ, 1948.

8. Загиров Н. Ш. О порядке роста полиномов // Тез. докл. 9-й Саратовской зимней школы «Современные проблемы теории функций и их приложения». Саратов: Изд-во СГУ, 1998. С. 68.

9. Коркмасов Ф. М. Об ограниченности в С-1,1. нормы средних Валле-Пуссена дискретных сумм Фурье-Лежандра // Ж. Вестник ДНЦ РАН. Махачкала, 2000. № 6. С.5−13.

10. Коровкын П. П. Линейные операторы и теория приближений. М., 1959.

11. Крылов В. И. Приближенное вычисление интегралов. М.: Наука, 1967.18 .Лозинский С. М. О сходимости и суммируемости рядов Фурье и интерполяционных процессов // Матем. сб. 1944. Т. 14(56). № 3. С.175−268.

12. Натансон И. П. Конструктивная теория функций. М.: Гостехиздат, 1949.Ю.Нахман АД. Оценки С-норм сумм Валле-Пуссена // Вест. ТГТУ. 1996. Т.2. № 4. С.434−444.

13. Никифоров А. Ф., Суслов С. К., Уваров В. Б. Классические ортогональные многочлены дискретной переменной. М.: Наука, 1974.

14. Никольский С. М. Квадратурные формулы. М.: Наука, 1974.

15. Никольский С. М. Неравенства для целых функций конечной степени и их применение в теории дифференцируемых функций многих переменных // Труды МИАН. 1951. Т.38. С.244−278.

16. Сеге Г. Ортогональные многочлены. М.: Физматгиз, 1962.

17. Суетин П. К. Классические ортогональные многочлены. М.: Наука, 1979.

18. Тиман А. Ф. Теория приближения функций действительного переменного. М.: Физматгиз, 1960.

19. Титчмарш Е. Теория функций. М.: Гостехиздат, 1951.

20. Чебышее П. Л. Полное собрание сочинений. Т.Н. М.: Изд-во АН СССР, 1947.

21. Шарапудинов И. И. Об ограниченности в С-1,1. средних Валле-Пус-сена для дискретных сумм Фурье-Чебышева // Матем. сб. 1996. Т.187. № 1. с. 143−160.

22. Bojanov В., Nikolov G. Duffm and Schaeffer type inequality for ul-traspherical polynomials // J. of Approxim. Theory. 1996. V.84. P.56−63.

23. Coppersmith D., Rivlin T.J. The growth of polynomials bounded of equally spaced points // SIAM J. Math. Anal. 1992. V.23. P.970−983.

24. Dewan K.K., Bhat Aijaz Ahmad, Pukhta Mohammad Sayeed. Inequalities concerning the Zp-norm of a polynomial // J. Math. Anal, and Appl. 1998. V.224. № 1. P. 14−21.96.

25. Ehlich H., Zeller K. Schwankung von Polynomen zwischen Gitterpunkten //Math. Z.1964. V.86. P.41−44.

26. Ehlich H., Zeller K. Numerische Abschatzung von Polynomen II Z. Angew. Math. Mech. 1965. V.45. P. T20-T22.

27. Ehlich H., Zeller K. Polynome zwischen Gitterpunkten II Math. Z. 1966. V.93. P.144−153.