Распознавание конечных групп по спектру

Общая характеристика работы.

Постановка задачи и актуальность темы диссертации. Пусть G — конечная группа. Спектром ui (G) конечной группы G называется множество порядков ее элементов. Иными словами, oj (G) = {п е N I 3 re g G: х = п}.

Группа G называется распознаваемой по спектру, если любая конечная группа Н, удовлетворяющая условию uj (H) = w (G), изоморфна группе G.

Диссертация посвящена следующей проблеме.

Основной вопрос. Какие конечные группы распознаются по спектру?

Таким образом, мы имеем дело с классической математической задачей. Дан класс объектов и некоторый естественный набор параметров, присущих каждому объекту из этого класса. Спрашивается, какие объекты данного класса характеризуются в нем этим набором параметров. Безусловно, при постановке такой задачи важен выбор набора параметров, который должен быть с одной стороны достаточным для характеризации широкого семейства объектов данного класса, а с другой — достижимым, чтобы задача его отыскания была существенно проще самой задачи характеризации.

Оказывается, что спектр конечной группы является в указанном смысле «хорошим» набором параметров для характеризации конечных простых и близких к ним групп в классе всех конечных групп. С одной стороны, многие конечные простые группы характеризуются с точностью до изоморфизма в классе конечных групп (подробнее см. ниже). С другой стороны, при абстрактном представлении конечной группы как black-box group (см. [23,24,51]), наиболее популярном сейчас среди специалистов по вычислениям в теории конечных групп, спектр — самый естественный и достижимый набор параметров. Мы не затрагиваем в диссертации связанные с этой темой вычислительные вопросы (подробности можно найти в уже упомянутых работах [24,51]), а сконцентрируемся на теоретическом аспекте проблемы.

Для того, чтобы уточнить постановку задачи, обозначим через h (G) число попарно неизоморфных конечных групп с тем же спектром, что и конечная группа G.

Будем говорить, что для группы G проблема распознаваемости решена, если мы знаем точное значение h (G). Кроме того, если h (G) = 1, то в соответствии с данным выше определением группа G называется распознаваемой по спектру (кратко, распознаваемой)-, если 1 < h (G) < оо, то группа G называется почти распознаваемойнаконец, если h (G) = оо, то G называется нераспознаваемой.

Безусловно, вопрос о связи между спектром группы и ее строением изучался специалистами давно. Так, хорошо известно, что группы с u (G) = {1,2} являются элементарными абелевыми 2-группами. В 1932 году Леви и ван дер Вар-ден [52] доказали, что при условии cj (G) = {1,3} группа G нильпотентна и её ступень нильпотентности ограничена числом три. Нойман [64] описал группы G с = {1,2,3}. Санов [20] и М. Холл [47] установили, что группы G, для которых u){G) С {1,2,3,4}, соответственно, co (G) С {1,2,3,6} локально нильпотентны. Нейман [65] определил строение группы G, если u>(G) = {1,2,5}. Отметим, что все эти результаты получены без предположения о конечности группы G. Целый ряд результатов был получен и для конечных групп. Выделим среди них результаты Хигмана и Сузуки о конечных группах, спектр которых содержит только степени простых чисел (их называют ЕРРО-группами). В 1957 году Хигман [48] показал, что порядок конечной разрешимой ЕРРО-группы имеет не более двух простых делителей, а в 1962 году Сузуки [90] описал все конечные простые .ЕРРО-группы. В середине 80-х годов, рассматривая общую проблему строения конечных ЕРРО-групп, китайский математик Ши Вуджи обнаружил (см. [71,72]), что знакопеременная группа Alt5 и простая линейная группа Ь2 (7) однозначно характеризуются своим спектром в классе конечных групп. Именно Ши Вуджи принадлежит постановка вопроса о распознаваемости конечных групп по спектру в том виде, в котором он сформулирован в диссертационной работе. В 1988 году Ши удалось доказать распознаваемость уже бесконечной серии конечных простых групп L2(2k) (см. [73]), а затем совместно с немецким ученым Брандлом полностью решить проблему распознаваемости для простых линейных групп размерности два над произвольным конечным полем (см. [29]). Оказалось, что группы ?2(9) распознаваемы при q ф 9, а группа L2(9) ~ Alt6 нераспознаваема. Отметим, что позднее Журтов и Мазуров [7] доказали, что группы L2(2k) однозначно характеризуются своим спектром даже в классе всех групп.

Кроме того, в [81] Ши показал, что группа, обладающая нетривиальной нормальной разрешимой подгруппой, нераспознаваема (точное доказательство этого утверждения см. в работе Мазурова [17]). Таким образом, каждая распознаваемая или почти распознаваемая группа является расширением прямого произведения М неабелевых простых групп с помощью некоторой подгруппы из Out (M). Поэтому основной интерес представляет вопрос о распознаваемости простых и почти простых групп (напомним, что группа G называется почти простой, если S < G < Aut (5) для некоторой неабелевой простой группы S). Понятно, что проблема распознаваемости конечных простых групп тесно связана с классификацией конечных простых групп. И хотя для некоторых простых групп известно доказательство их распознаваемости (причем в классе всех групп), не использующее классификацию (см. [7]), ясно, что общее решение вопроса распознаваемости возможно лишь по модулю классификации конечных простых групп. Для удобства дальнейшего изложения напомним, что классификационная теорема утверждает, что список конечных неабелевых простых групп включает в себя: а) знакопеременные группы Altn, при п ^ 5- б) 26 спорадических группв) простые группы лиева типа.

К настоящему времени проблема распознаваемости решена для многих конечных простых и почти простых групп (см. обзор Мазурова [59] и таблицы 1−3 в приложении к диссертации). Отметим, что с каждым годом растет количество работ, посвященных этой проблеме, расширяется и география стран, в которых работают специалисты, интересующиеся вопросом распознаваемости. Тем не менее, полное решение проблемы распознаваемости, даже если ограничиться рассмотрением только конечных простых групп, представляется достаточно отдаленным. Так, лишь в 2004 году М. А. Гречкосеевой совместно с автором диссертации удалось указать первые примеры бесконечных по рангу серий распознаваемых групп лиева типа (см. [98]).

Чтобы пояснить, какие трудности возникают при решении проблемы распознаваемости, остановимся вкратце на схеме доказательства.

Пусть L — конечная неабелева простая группа, a G — произвольная конечная группа, удовлетворяющая условию co (G) = ui (L). Доказательство распознаваемости группы L, как правило, включает в себя три основных этапа.

1. Доказывается, что фактор-группа G/K, где К — максимальная разрешимая нормальная подгруппа группы G, является почти простой. Другими словами, доказывается, что существует неабелева простая группа S такая, что S < G = G/K < Aut (5).

2. Доказывается, что S изоморфна L.

3. Доказывается, что G/S = 1 и К = 1.

Естественно, в некоторых случаях на одном из этапов может произойти «сбой».

Например, в случае, когда Ь = Ь3(5), не удается доказать, что С/5 = 1. Оказывается, что Ь (Ь) = 2 и группа Ь имеет тот же спектр, что и ее расширение с помощью графового автоморфизма порядка 2 (см. [15]). А группа Ь = ¿-З (3) имеет один и тот же спектр с разрешимой группой Фробениуса (см. [18, предложение 3[) и, следовательно, является нераспознаваемой. Однако, несмотря на исключения, в большинстве работ по распознаваемости реализуется именно указанная выше схема.

Вернемся к первому этапу. Отметим, что совпадение спектров групп I, и <3 влечет совпадение их графов простых чисел. Граф простых чисел или граф Грюнберга — Кегеля СК© конечной группы С? определяется следующим образом. Множество вершин этого графа образует множество 7 г ((2) простых делителей порядка группы (7. Простые числа р ид, рассматриваемые как вершины графа О К {С), смежны (т. е. соединены ребром) тогда и только тогда, когда в (7 найдется элемент порядка од. Обозначим через я (О) число связных компонент графа СК (0). Грюнберг и Кегель дали структурное описание конечных групп с несвязным графом простых чисел, а Уильяме и Кондратьев описали все конечные простые группы Ь с з{Ь) ^ 2 (см. [13,94] и таблицы 4−6 в приложении). Эти глубокие результаты имели целый ряд важных следствий. Для нас существенно, что из них, а также результата Алеевой [1] следует, что конечная группа (?, имеющая тот же спектр, что и конечная неабелева простая группа Ь, отличная от групп £з (3), С/з (3), ?>4(3) и удовлетворяющая условию з (Ь) ^ 2, содержит единственный неабелев композиционный фактор 5 и ^(?>) ^ й (1/). Иными словами, для всех простых групп с несвязным графом простых чисел, кроме групп Ь3(3), С/з (3), ?4(3) (для которых проблема распознаваемости уже решена — они нераспознаваемы), первый этап доказательства пройден. Более того, и на втором этапе структурная теорема Грюнберга — Кегеля оказывается важным вспомогательным инструментом, поскольку для неабелева композиционного фактора 5 имеет место неравенство в (3) ^ з (Ь), а значит, он, как и Ь, содержится в списке простых групп с несвязным графом простых чисел, полученном Уильямсом и Кондратьевым (см. таблицы 4−6). Эта информация помогает установить, что 5 ~ Ь. Иными словами, доказать квазираспознаваемость группы Ь. Уточним: конечная неабелева простая группа Ь называется квазираспознаваемой, если конечная группа (7 с тем же спектром, что и Ь, содержит единственный неабелев композиционный фактор и этот фактор изоморфен Ь. Определение квазираспознаваемости восходит к работе [2].

Теорема Грюнберга — Кегеля используется в подавляющем большинстве работ по распознаваемости. В частности, в достаточно обширном списке групп, для которых проблема распознаваемости решена, до недавнего времени имелось всего две группы со связным графом простых чисел: группа с = 1 (см. [8]) и группа АНю с к (АИо) = оо (см. [17]). С другой стороны, в наиболее «объемном» классе конечных простых групп — классических простых группах — группы с несвязным графом простых чисел скорее исключение (полный список конечных простых групп с несвязным графом простых чисел см. в таблицах 4−6). Например, если простая линейная группа Ьп (д) имеет несвязный граф простых чисел, то п = р или п = р+1, где р — простое число. Таким образом, для дальнейших исследований вопроса распознаваемости крайне важным является решение проблемы прохождения первого этапа в случае, когда конечная простая группа имеет связный граф Грюнберга — Кегеля. В недавно опубликованной работе [58] показано, что группа <3, спектр которой совпадает со спектром конечной неабелевой простой группы Ь, отличной от групп ?3(3), из (3), 54(3) и АНю, является неразрешимой. Однако этот результат сложно использовать непосредственно, так как структура группы (? остается неопределенной.

Основная цель диссертации — построить теоретическую базу для решения проблемы распознаваемости конечных простых групп в ситуации, когда конечная простая группа имеет связный граф Грюнберга — Кегеля, и показать, как полученные результаты можно применить для доказательства распознаваемости конкретных серий простых групп со связным графом простых чисел.

Основные результаты диссертации.

В первой главе диссертации доказана структурная теорема о строении неразрешимых конечных групп, в графе простых чисел которых хотя бы одно нечетное простое число несмежно с числом 2.

Во второй главе для каждой конечной простой группы указан исчерпывающий арифметический критерий смежности вершин в графе простых чисел. На основе этого критерия для каждой конечной простой группы найдены характеристики графа ее простых чисел: неплотность и 2-неплотность, в терминах которых заданы условия структурной теоремы из первой главы. Оказывается, что за исключением некоторых знакопеременных групп конечные простые группы удовлетворяют условиям этой теоремы. Результаты второй главы получены автором совместно с Е. П. Вдовиным.

В третьей главе рассматриваются приложения результатов первых двух глав к вопросу распознаваемости конечных простых групп, а именно, доказаны: квазираспознаваемость бесконечной серии простых ортогональных групп 04″ п (2*) при п > 8- распознаваемость бесконечной серии простых линейных групп Ьп{2к), где п = 2 т ^ 32 (совместно с М. А. Гречкосеевой, ученицей автора диссертации).

В четвертой и пятой главе диссертации собраны результаты по проблеме распознаваемости, полученные автором до доказательства структурной теоремы из главы 1.

В четвертой главе доказана почти распознаваемость групп 1^(3) и и4(5). Эти результаты позволяют утверждать, что для всех конечных простых групп, простые делители порядков которых не превосходят 13, вопрос распознаваемости полностью решен. Отметим также, что простая унитарная группа Ь = и.4(5), для которой Н (Ь) = 2, дает первый пример почти распознаваемой группы со связным графом Грюнберга — Кегеля.

В пятой главе рассматриваются две серии исключительных групп лиева типа. А именно, доказана распознаваемость групп <32(3*) — групп ^(2*) (в составе международного коллектива авторов).

Новизна и научная значимость работы. Все основные результаты диссертации являются новыми. Работа носит теоретический характер. Результаты и методы работы могут быть использованы для дальнейших исследований как вопроса распознаваемости групп по спектру, так и других проблем теории групп. Они могут быть включены в спецкурсы для студентов и аспирантов, специализирующихся в области алгебры.

Методы исследования. В работе используются классические методы теории групп: теория конечных простых групп, теория групп лиева типа, алгебраическая теория групп, теория представлений, методы линейной алгебры, а также элементы теории графов и теории чисел.

Апробация работы. Результаты диссертации в период с 2000 по 2005 год были представлены на международных конференциях в Новосибирске, Москве, Екатеринбурге, Красноярске, Иркутске (см. [104−114]). В частности, на международной конференции «Мальцевские чтения», проходившей в Новосибирске в 2004 году, автором был сделан пленарный доклад по теме диссертации. Результаты работы неоднократно докладывались на семинарах Института математики СО РАН и НГУ «Теория групп» и «Алгебра и логика». Дважды, в 2004 и 2005 годах, автор выступал на семинаре по теории групп университета г. Сучжоу, Китай (руководитель — проф. Ши Вуджи, автор первых работ по проблеме распознаваемости).

Публикации. Результаты автора по теме диссертации опубликованы в работах [97−114].

Структура и объем диссертации

Диссертация состоит из 5 глав, введения, приложения и списка литературы. Она изложена на 110 страницах, включает 18 таблиц и 1 рисунок, библиография содержит 114 наименований.

Перейдем к более подробному изложению работы.

Содержание диссертации.

Общая структура диссертации. Диссертация разбита на главы, которые в свою очередь подразделяются на параграфы. Основные результаты каждой главы (теоремы и их следствия) явным образом сформулированы в первом параграфе главы. Их нумерация двойная: первая цифра — номер главы, вторая — номер теоремы в главе. Вспомогательные утверждения (леммы, предложения и их следствия) имеют тройную нумерацию: первая цифра — номер главы, вторая — номер параграфа в текущей главе, третья — номер утверждения в текущем параграфе. Обозначения из общей теории групп в основном стандартны и соответствуют широко известным монографиям [36,44]. Необходимые новые понятия определяются по ходу изложения. Обозначения из теории групп лиева типа взяты из [31]. Отметим лишь, что классические группы лиева типа обозначаются либо в соответствии с обозначениями принятыми в «Атласе конечных простых групп» [36], либо в соответствии с лиевой нотацией. Эти разночтения в обозначениях связаны со спецификой конечных простых групп — иногда удобно рассматривать соответствующие классические группы, как матричные группы, а иногда, как группы лиева типа. Во избежание путаницы мы обозначаем симметрическую и знакопеременную группы степени п через 5утп и АИп соответственно (а не 5П и Ап как принято в «Атласе»), оставляя обозначение Ап для простой алгебры Ли ранга п. Все таблицы собраны в приложении к диссертации.

1. Алеева М. Р. О конечных простых группах с множеством порядков элементов как у группы Фробеннуса или двойной группы Фробениуса, Мат. заметки, Т. 73, № 1 (2003), 323−339.

2. Алексеева О. А., Кондратьев А. С. О распознаваемости группы Е$(д) по множеству порядков элементов, Укр. матем. ж., Т. 54, № 7 (2002), 998−1003.

3. Алексеева О. А, Кондратьев А. С. Квазираспознаваемость одного класса конечных простых групп по множеству порядков элементов, Сиб. матем. журн., Т. 44, № 2 (2003), 241−255.

4. Васильев А. В. Минимальные подстановочные представления конечных простых исключительных групп типа (?2 и Алгебра и логика, Т. 35, № 6 (1996), 663−684.

5. Гречкосеева М. А. Распознаваемость группы 0^(2) по ее спектру, Сиб. матем. журн., Т. 44, № 4 (2003), 737−741.

6. Дынкин Е. Б. Полупростые подалгебры полупростых алгебр Ли, Матем. сб., Т. 30, № 2 (1952), 349−462.

7. Журтов А. X. Мазуров В. Д. О распознавании конечных простых групп Ь2(2т) в классе всех групп, Сиб. матем. журн., Т. 40, № 1 (1999), 75−78.

8. Заварницин А. В. Распознавание знакопеременных групп степени г + 1 и г+ 2 для простого г и группы степени 16 по их множествам порядков элементов, Алгебра и логика, Т. 39, № 6 (2000), 648−662.

9. Заварницин А. В. Порядки элементов в накрытиях групп Ьп (д) и распознаваемость знакопеременной группы Ав, Новосибирск: НИИДМИ. Препринт N 48 (2000).

10. Заварницин А. В. Распознавание по множеству порядков элементов симметрических групп степени г и г + 1 для простого г. Сиб. матем. журн., Т. 43, № 5 (2002), 1002−1006.

11. Заварницин А. В. Веса неприводимых SL3(q)-модулей в характеристике определения, Сиб. матем. журн., Т. 45, К0- 2 (2004), 319−328.

12. Заварницин А. В., Мазуров В. Д. О порядках элементов в накрытиях симметрических и знакопеременных групп, Алгебра и логика, Т. 38, № 3 (1999), 296−315.

13. Кондратьев А. С. О компонентах графа простых чисел конечных простых групп, Матем. сб., Т. 180, № 6 (1989), 787−797.

14. Кондратьев А. С., Мазуров В. Д. Распознавание знакопеременных групп простой степени по порядкам их элементов, Сиб. мат. журн., Т. 41, № 2 (2000), 360−371.

15. Мазуров В. Д. О множестве порядков элементов конечной группы, Алгебра и логика, Т. 33, № 1 (1994), 81−89.

16. Мазуров В. Д. Характеризация конечных групп множествами порядков их элементов, Алгебра и логика, Т. 36, № 1 (1997), 37−53.

17. Мазуров В. Д. Распознавание конечных групп по множеству порядков их элементов, Алгебра и логика, Т. 37, № 6 (1998), 651−666.

18. Мазуров В. Д. Распознавание конечных простых групп S^q) по порядкам их элементов, Алгебра и логика, Т. 41, № 2 (2002), 166−198.

19. Мазуров В. Д., Су М. Ч., Чао X. П. Распознавание конечных простых групп L3(2m) и U3(2m) по порядкам их элементов, Алгебра и логика, Т. 39, № 5 (2000), 567−585.

20. Санов И. Н. Решение проблемы Бернсайда для экспоненты 4, Учёные зап. Ленингр. гос. ун-та, мат. сер., Т. 10 (1940), 166−170.

21. An J. В., Shi W. The characterization of finite simple groups with no elements of order six, Comm. Algebra, V. 28, N 7 (2000), 3351−3358.

22. Aschbacher M., Seitz G. M. Involutions in Chevalley groups over fields of even order, Nagoya Math. J., V. 63 (1976), 1−91.

23. Babai L., Szemeredi E. On the complexity of matrix group problem I, Proc. 25th IEEE Symp. Found. Сотр. Sci (FOCS'84), 1984, 229−240.

24. Babai L., Beals R. A polynomial-time theory of black-box group I, Groups St. Andrews 1997 in Bath, London Math. Soc. Lecture Note Ser. 260, Cambridge University Press, 1999, 30−64.

25. Borel A., de Siebental J. Les-sous-groupes fermes de rang maximum des groupes de Lie clos, Comment. Math. Helv., V. 23 (1949), 200−221.

26. Borel A., Carter R., Curtis C. W., Iwahori N., Springer T. A., Steinberg R. Seminar on algebraic groups and finite groups, Berlin: Springer-Verlag, 1970. Русский перевод: Семинар по алгебраическим группам, М., Мир, 1973.

27. Brandi R., Shi W. Finite groups whose element orders are consecutive integers, J. Algebra, V. 143, N 2 (1991), 388−400.

28. Brandi R., Shi W. A characterization of finite simple groups with abelian Sylow 2-subgroups, Ricerche di Mat., V. 42, N 1 (1993), 193−198.

29. Brandi R., Shi W. The characterization of PSL (2,q) by its element orders, J. Algebra, V. 163, N 1 (1994), 109−114.

30. Brauer R., Suzuki M. On finite groups of even order whose 2-Sylow subgroup is a quaternion group, Proc. Nat. Akad. Sci., V. 45 (1959), 1757−1759.

31. Carter R. W. Simple groups of Lie type, London: John Wiley & Sons, 1972.

32. Carter R. W., Conjugacy classes in the Weyl group, Compositio Mathematica, V. 25, N 1 (1972), 1−59.

33. Carter R. W. Centralizers of semisimple elements in the finite classical group, Proceedings of London Mathemetical Society (3), V. 42, N 1 (1981), 1−41.

34. Carter R. W. Finite groups of Lie type: conjugacy classes and complex characters, New York: John Wiley & Sons, 1985.

35. Chigira N., Shi W. More on the set of elements orders in finite groups, Northeast Math. J., V. 12, N 3 (1996), 257−260.

36. Conway J. H., Curtis R. T., Norton S. P., Parker R. A., Wilson R. A. Atlas of finite groups, Clarendon Press, Oxford, 1985.

37. Darafsheh M. R., Moghaddamfar A. R. A characterization of some finite groups by their element orders, Algebra Colloq., V. 7, N 4 (2000), 467−476.

38. Darafsheh M. R., Moghaddamfar A. R. Characterization of the groups PSL5{2), PSL6(2), and PSL7(2), Comm. in Algebra, V. 29, N 1 (2001), 465−475. Corrigendum: Comm. in Algebra, V 32, N 9 (2003), 4651−4653.

39. Deng H. W., Shi W. The characterization of Ree groups 2F±{q) by their element orders, J. Algebra, V. 217, N 1 (1999), 180−187.

40. Deriziotis D. Conjugacy classes and centralizers of semisimple elements in finite groups of Lie type, Vorlesungen aus dem Fachbereich Mathematic der Universitat Essen, 1984, Heft 11.

41. Deriziotis D. The centralizers of semisimple elements of the Chevalley groups E-j and E8, Tokyo J. Math., V. 6, N 1 (1983), 191−216.

42. Feit W., Thompson J. G. Solvability of groups of odd order, Pacific J. Math., V. 13 (1963), 775−1029.

43. The GAP Group, GAP — Groups, Algorithms, and Programming, Version 4.4, 2004; (http://www.gap-system.org).

44. Gorenstein D. Finite groups, New York: Harper & Row, 1968.

45. Gorenstein D., Walter J.H. On finite groups with dihedral Sylow 2-subgroups, 111. J. Math., V. 6 (1962), 553−593.

46. Gorenstein D., Walter J.H. The characterization of finite groups with dihedral Sylow 2-subgroups, I, II, III, J. Algebra, V. 2 (1965), 85−151, 218−270, 334−393.

47. Hall M. Solution of the Burnside problem for exponent six, Illinois J. Math., V. 2 (1958), 764−786.

48. Higman G. Finite groups in which every element has prime power order, J. London Math. Soc., V. 32 (1957), 335−342.

49. Humphreys J. E. Linear algebraic groups, Springer-Verlag, New York, 1972.

50. Jansen C., Lux K., Parker R. A., Wilson R. A. An atlas of Brauer characters, Clarendon Press, Oxford, 1995.

51. Kantor W. M., Seress A. Black box classical groups, Mem. Amer. Math. Soc. 149, Nr. 708, Amer. Math. Soc., Providence, RI, 2001.

52. Levi F., van der Waerden B. L. Uber eine besondere Klasse von Gruppen, Abh. Math. Semin. Hamburg Univ., V. 9 (1932), 154−158.

53. Li H., Shi W. A characteristic property of M12 and PSU (6,2) (in Chinese), Acta Math. Sin., V. 32, N 6 (1989), 758−764.

54. Li H., Shi W. A characteristic property of some sporadic simple groups (in Chinese), Chinese Ann. Math, 14A, N 2 (1993), 144−151.

55. Lipschutz S., Shi W. Finite groups whose element orders do not exceed twenty, Progress in Natural Sci., V. 10, N 1 (2000), 11−21.

56. Lipschutz S., Shi W. A new classification of finite simple groups, Proceedings of the MFI '99.

57. Liu F. J., A characteristic property of projective special linear group ?3(8) (in Chinese), J. Southwest-China Normal Univ. (N.S.), V. 22, N 2 (1997), 131−134.

58. Lucido M. S., Moghaddamfar A. R. Groups with complete prime graph connected components, J. Group Theory, V. 7, N 3 (2004), 373−384.

59. Mazurov V. D. Characterization of groups by arithmetic properties, Algebra Colloc., V. 11, N 1 (2004), 129−140.

60. Mazurov V. D., Moghaddamfar A. R. Recognition of simple group 5g (2) by its spectrum Algebra Colloq. (to appear).

61. Mazurov V. D., Shi W., A note to the characterization of sporadic simple groups, Algebra Colloq., V. 5, N 3 (1998), 285−288.

62. Moghaddamfar A. R. On spectrum of linear groups over the binary field and recognizability of ?12(2), Intern. J. Algebra and Comput. (to appear).

63. Moghaddamfar A. R., Pournaki M. R. Recognition of some symmetric groups by the set of the order of their elements, Acta Math. Hung., V. 99, N 4 (2003), 263−270.

64. Neumann B. H. Groups whose elements have bounded orders, J. London Math. Soc., V. 12 (1937), 195−198.

65. Newman M. F. Groups of exponent dividing seventy, Math. Scientist., V. 4 (1979), 149−157.

66. Praeger C. E., Shi W. A characterization of some alternating and symmetric groups, Commun. Algebra, V. 22, N 5 (1994), 1507−1530.

67. Shi W., Tang C. Y. A characterization of some orthogonal groups, Progr. Nat. Sc., V. 7, N 2 (1997), 155−162.

68. Shi W. A new characterization of some projective special linear groups and the finite groups in which every element has prime order or order 2p (in Chinese). J. Southwest-China Teach. Univ. (N.S.), V. 8, N 1(1983), 23−28.

69. Shi W. A characterization of some PSL2(q) (in Chinese), J. Southwest-China Teach. Univ. (N.S.), V. 10, N 2 (1985), 25−32.

70. Shi W. A characterization of some projective special linear groups, J. Math. (PRC), V. 5 (1985), 191−200.

71. Shi W. A characteristic property of A5 (in Chinese), J. Southwest-China Teach. Univ., V. 11, N 3 (1986), 11−14.

72. Shi W. A characteristic property of PSL2(7), J. Austral. Math. Soc. (Ser. A), V. 36, N 3(1984), 354−356.

73. Shi W. A characteristic property of Jx and PSL2(2n), Adv. in Math., V. 16 (1987), 397−401.

74. Shi W. A characteristic property of As, Acta Mathematica Sinica, New Series, V. 3, N 1 (1987), 92−96.

75. Shi W. A characteristic property of Mathieu groups (in Chinese), Chinese Ann. Math., 9A, N 5 (1988), 575−580.

76. Shi W. On the simple AVgroups (in Chinese), J. Southwest-China Teach. Univ. (N.S.), V. 13, N 3 (1988), 1−4.

77. Shi W. A characterization of the Conway simple group Co2, J. Math. (PRC), V. 9 (1989), 171−172.

78. Shi W. A characterization of the Higman-Sims group, Houston J. Math., V. 16, N 4 (1990), 597−602.

79. Shi W. A characterization of Suzuki simple groups, Proc Amer. Math. Soc., V. 114, N 3 (1992), 589−591.

80. Shi W. A characterization of the finite simple group U4(3), Analele Universit&tii din Timi§ oara, Ser. § tiin?e Mat., V. 30, N 2−3 (1992), 319−323.

81. Shi W. The characterization of the sporadic simple groups by their element orders, Algebra Colloq., V. 1, N 2 (1994), 159−166.

82. Shi W. A characterization of ?/3(2™) by their element orders, J. Southwest-China Normal Univ. (N.S.), V. 25, N 4(2000), 353−360.

83. Shi W. A characterization of Uz{9), J. Southwest-China Normal Univ. (N.S.), V. 27, N 5 (2002), 633−636.

84. Shi W., Yang W. Y. A new characterization of A5 and finite groups in which every nonidentity element has prime order, J. Southwest-China Teachers College (Ser. B, Chinese), N 1 (1984), 36−40.

85. Shi W., Wang L. H. and Wang S. H. The pure quantitative characterization of linear groups over the binary field (in Chinese), Chinese Annals of Math. (Ser.A), 24A, N 6 (2003), 675−682.

86. Shinoda K. The conjugacy classes of Chevalley groups of type (F4) over finite fields of characteristic 2, J. Fac. Sci. Univ. Tokyo Sect. IA Math., V. 21 (1974), 133−159.

87. Steinberg R. Automorphisms of finite linear groups, Canad. J. Math., V. 12, N 4 (1960), 606−616.

88. Steinberg R. Endomorphisms of algebraic groups, A.M.S. Memoirs, V. 80 (1986).

89. Steinberg R. Lectures on Chevalley groups, New Haven, Conn.: Yale University, 1967.

90. Suzuki M. On a class of doubly transitive groups, Ann. Math., V. 75 (1962), 105— 145.

91. Testerman D. M. yli-Type overgroups from induction of order p in semisimple algebraic groups and the associated finite groups, J. Algebra, V. 177 (1995), 3476.

92. Thompson J. G. Finite groups with fixed-point free automorphisms of prime order, Proc. Nat. Akad. Sci., V. 45 (1959), 578−581.

93. Veldkamp F. D. Representations of algebraic groups of type F4 in characteristic 2, J. Algebra, V. 16, N 2 (1970), 326−339.

94. Williams J. S. Prime graph components of finite groups, J. Algebra, V. 69, N 2 (1981), 487−513.

95. Zavarnitsine A. V. Recognition of the simple groups Lz{q) by element orders, J. Group Theory, V. 7, N 1 (2004), 81−97.

96. Zsigmondy K. Zur Theorie der Potenzreste, Monatsh. Math. Phys, V. 3(1892), 265−284.Работы автора no теме диссертации.

97. Васильев А. В. Распознаваемость групп С?2(3П) по порядкам их элементов, Алгебра и логика, Т. 41, № 2 (2002), 130−142.

98. Васильев А. В., Гречкосеева М. А. О распознаваемости конечных простых ортогональных групп размерности 2 т, 2 т + 1 и 2т+2 над полем характеристики 2, Сиб. мат. журн., Т. 45, № 3 (2004), 510−526.

99. Васильев А. В., Гречкосеева М. А., Мазуров В. Д., Чао X. П., Чен Г. Ю., Ши В. Дж. Распознавание конечных простых групп F^(2m) по спектру. Сибирский матем. жури., Т. 45, № 6 (2004), 1256−1262.

100. Васильев А. В. О распознавании всех конечных неабелевых простых групп, простые делители порядков которых не превосходят 13, Сиб. мат. журн., Т. 46, № 2 (2005), 315−324.

101. Васильев А. В. О связи между строением конечной группы и свойствами ее графа простых чисел, Сиб. мат. журн., Т. 46, № 3 (2005), 511−522.

102. Васильев А. В., Гречкосеева М. А. О распознавании по спектру конечных простых линейных групп над полями характеристики 2, Сиб. мат. журн., Т. 46, № 4 (2005), 749−758.

103. Vasil’ev А. V., Vdovin Е. P. An adjacency criterion for two vertices of the prime graph of a finite simple group. Sobolev Institute of Mathematics. Preprint № 152 (2005).

104. Васильев А. В., Вдовин В. П., Заварницин А. В., Макаренко Н. Ю., Пожи-даев А. П. Конечные группы и алгебры Ли, Материалы конференции молодых ученых, посвященной 100-летию М. А. Лаврентьева, Математика, Новосибирск, 2000, 8−11.

105. Васильев А. В. Распознавание конечных простых исключительных групп типа С?2 по порядкам их элементов, Тезисы докладов международной конференции «Алгебра и ее приложения», Красноярск, 2002, 25−26.

106. Васильев А. В., Вдовин В. П., Заварницин А. В., Макаренко Н. Ю. Теория конечных групп и алгебры Ли, Материалы конференции молодых ученых СО РАН, посвященной М. А. Лаврентьеву, Ч. I, Новосибирск, 2002, 16−19.

107. Vasil’ev А. V. Recognition of finite simple groups by their spectrums, Fifth International Summer School «Intermediate problems of Universal Algebra and Model Theory», Novosibirsk, 2003.

108. Васильев А. В., Гречкосеева М. А. О распознаваемости конечных простых ортогональных групп, Труды XXXV Региональной молодежной конференции «Проблемы теоретической и прикладной математики», Екатеринбург, 2004, 17−19.

109. Васильев А. В., Гречкосеева М. А. О распознавании конечных простых групп по их спектрам, Материалы международной конференции, посвященной 75-летию со дня рождения профессора А. И. Кокорина, Иркустк, 2004, 13−14.

110. Vasil’ev А. V. On connection between the structure of a finite group and the properties of its prime graph, Sixth International Summer School «Intermediate problems of Universal Algebra and Model Theory», Novosibirsk, 2005.

111. Vasil’ev A. V, Vdovin E. P. On the prime graph of a finite group, Тезисы международной алгебраической конференции, посвященной 100-летию со дня рождения П. Г. Конторовича и 70-летию Л. Н. Шеврина, Екатеринбург, 2005.

112. Grechkoseeva М. A., Vasil’ev А. V. On recognition of finite simple linear groups by spectrum, Тезисы международной алгебраической конференции, посвященной 100-летию со дня рождения П. Г. Конторовича и 70-летию Л. Н. Шеврина, Екатеринбург, 2005.