Исследование задач качественной теории вполне разрешимых уравнений

Дифференциальные уравнения с многомерной независимой переменной (многомерные дифференциальные уравнения, уравнения с «векторным временем») образуют важный и сравнительно малораз-работанный раздел теории дифференциальных уравнений. По формальным признакам этот раздел часто включают в теорию уравнений с частными производными (поскольку в случае конечномерных пространств — это специального вида уравнения с частными производнымиболее того, введением дополнительных переменных любую систему уравнений с частными производными можно записать в виде некоторой системы многомерных дифференциальных уравнений [154]). Однако по внутренней структуре теория уравнений с «многомерным временем» непосредственно примыкает к теории обыкновенных дифференциальных уравнений.

В настоящей работе основным объектом исследования является многомерное дифференциальное уравнение вида я. У), (I) где ос, Ц — элементы некоторых банаховых пространств Е и Г, а | - непрерывная функция, заданная на открытом множестве и х V" произведения Е * Г и принимающая значения в пространстве Ь (Е — Г) линейных ограниченных отображений Е в р, штрих означает производную Фреше (впрочем, для большинства полученных результатов производная Фреше могла бы быть замененной производной Гато, см. [146, 147]). Ба протяжении всей работы считается, что уравнение (I) вполне интегрируемоэто означает, что для любой точки Сэс0, уо) е и * V существует единственное решение ^ этого уравнения, удовлетворяющее начальному условию ^(3″,) = %. Если функция непрерывно дифференцируема, то уравнение (I) вполне интегрируемо тогда и только тогда, когда билинейное отображение симметрично при любых рс, е и*У С 33, 80].

Если пространства Е и Г конечномерны и в них выбраны некоторые базисы, то уравнению (I) соответствует система уравнений с частными производнымиили система уравнений в полных дифференциалах.

И-1 = (?-1,.,*). (3).

3=1.

Ва необходимость изучения уравнений (2), (3) неоднократно указывал А. Д. Мышкис (см., например, [Д27, 128]).

Системы уравнений вида (2) широко известны в дифференциальной геометрии и теории групп Ли [59, 149, 175], где они возникают в задаче о построении многообразия, имеющего в каждой точке заданное касательное пространство. В физической интерпретации эти геометрические задачи приводят, например, к электродинамической задаче о построении потенциала заданного электрического поля. Кроме того, эти системы часто используются при анализе управляемых систем с распределенными параметрами [ 3, 116]. Неожиданное применение системам (2), (3) было дано в [107]. Оказалось, что в терминах полной интегрируемости таких систем можно выделить класс стохастических систем, для которых можно говорить об индивидуальном отклике на индивидуальную реализацию шума.

Свойство полной интегрируемости системы вида (3) иногда играет решающую роль, при исследовании функциональных и функционально-дифференциальных уравнений Г159].

В работах [160, 177] вполне интегрируемые уравнения вида (2), (3) существенно используются при исследовании линейных систем обыкновенных дифференциальных уравнений с почти периодическими коэффициентами. Дело в том, что всякой почти периодической функции f (t) с частотным базисом ?.,., ^ соответствует функция FCt1,., im) переменных являющаяся периодической по каждой переменной «tс периодом, для которой f (0= Г C-t,. ,-fc). Это обстоятельство позволило для изучения обыкновенных уравнений с почти периодическими коэффициентами привлечь теорию вполне интегрируемых уравнений с периодическими коэффициентами.

Очевидно, что уравнение (I) содержит как частные случаи обыкновенные дифференциальные уравнения, обыкновенные дифференциальные уравнения в банаховом пространстве, различные типы ин-тегро-дифференциальных уравнений и др. Теория уравнения (I) может оказаться также базой для исследования уравнений на группах Ли (см. [ПО, I67J).

Предположим, что Г = R,? ~ С С 2)), где С (2)) — банахово пространство непрерывных числовых функций, определенных на компактном множестве 2) с R^. Рассмотрим функционал 21 С i?)—> И. Если вариация.

S’dCoz) функционала 0 в точке х 6. С (2}) может быть записана в виде то функция if называется вариационной (или функциональной) производной функционала J в точке х :

Т <Гх (0.

Уравнением в вариационных производных называется уравнение относительно функционала 3 .

При естественных предположениях уравнение (4) может быть представлено в виде следующего уравнения типа (I): где Н-Сса)< R-^LCCCa)fR)=C (а)и D для любого H С (Ф) • Уравнение (4) имеет широкое применение в различных разделах теоретической физики (теория квантованных полей [20], статистическая гидродинамика [173, 192] и др.). Следует отметить, что уравнения в вариационных производных в математику введены в начале нашего века французской школой математического анализа в рамках общей программы по распространению методов дифференциального исчисления на функциональные пространства (Ж.Адамар, Р. Гато, П. Леви, М. Фреше), изложению соответствующих результатов посвящена монография [115]. Широкое развитие теория уравнений в функциональных производных получила в последующих исследованиях [69, 71, 72, 88, 90, 97−102, 125, 133, 168−170, 172, 184].

В последние годы начаты исследования [201, 206, 208, 209], в которых уравнение (I) рассматривается в случае, когда Е и F есть топологические векторные пространства, при этом производная ij' понимается в различных смыслах (по поводу дифференциального исчисления в топологических векторных пространствах см. обзорную статью [I]). Кроме того, имеются некоторые результаты о линейных уравнениях вида (I) в банаховом пространстве с неограниченным оператором [162−164].

Уравнение (I) не охватывает все те объекты, которые относятся к вполне интегрируемым уравнениям. Например, классическое уравнение Пфаффа ж.

I?,'х, п) сЬс?='о, (5).

1=1.

Р >, не укладывается полностью в уравнение (I).

Уравнение (5) имеет весьма прозрачную геометрическую трактовку. Обозначим через векторное пространство, ортогональное векторным полям v- (x) = (*),•••, ^тсо) (1=1,-, ю (Р^ (х) — координаты вектор-функции (х)), Для кавдой точки требуется построить такое многообразие, что.

Й и 1х является касательным пространством к ?> в любой точке ос? ?. Такая геометрическая интерпретация уравнения (5) позволяет перейти к рассмотрению полей подпространств на произвольном гладком многообразии. Вопросы интегрируемости полей подпространств на гладком многообразии имеют тесную связь с теорией слоений этого многообразиянекоторые сведения в этом направлении содержатся в книгах [59, 166, 171] (см. также основополагающую работу С. П. Новикова Г134]). Исследованию полей подпространств с особенностями посвящены работы [30−32, 207].

К настоящему времени выполнено большое количество работ, посвященных различным вопросам теории вполне интегрируемых уравнений. В основном усилия исследователей были направлены на изучение уравнений вида (I), причем, как правило, в конечномерных пространствах Е и F. Теория уравнения (5) содержит лишь некоторые разрозненные результаты и к настоящему времени в значительной степени объединилась с топологической теорией слоений.

К первой группе результатов, касающихся уравнения (I), надо отнести различные условия полной интегрируемости. Классическим результатом в этом направлении является теорема Фробениуса, доказательство которой вошло во многие учебники (см., например, [178]). Рад других теорем полной интегрируемости содержится в работах [33, 129, 130, 131, 143, 146, 147, 162−164, 187, 190, 191, 194−196, 198−201, 208−210].

Вторую группу результатов образуют обшие вопросы теории линейных уравнений [ 64−66, 135, 136, 139, 188] (фундаментальная система решений, формула Коши, сопряженные системы, понижение размерности фазового пространства, различные оценки решений и др.). Исследование линейных уравнений с постоянными коэффициентами в ряде работ связывается со спектральной теорией операторов, А из пространства L СЕ — L (F-, F)), удовлетворяющих равенству.

АЬАк=АкАЬ, (6) для любых к, к из Е (такие операторы, следуя А. И. Перову, будем называть пермутабельными). Спектральная теория операторов (6) для конечномерных пространств Е и F была построена в работах [135, 142]. Распространению этой теории на бесконечномерные пространства посвящен ряд исследований [17, 150−153]. Применение ее к исследованию линейных уравнений вида (I) излагается в работах [142, 150]. Значительное число работ посвящено изучению линейных уравнений с периодическими и почти периодическими коэффициентами. Теория Флоке-Ляпунова и вопросы приводимости рассмотрены в [23, 119, 144, 165, 189, 202, 203], критерии существования периодических решений содержатся в [135, 144], теоремы Фавара и Еора-Нойгебауэра распространены на вполне интегрируемые уравнения с почти периодическими коэффициентами в статье [145]. Ряд работ связан с асимптотической теорией вполне интегрируемых уравнений, в частности, с вдеями, близкими к первому методу А. М. Ляпунова [63−66].

Значительное число работ посвящено нелинейным (в основном, автономным) уравнениям типа (I). Здесь имеется большое разнообразие в выборе задач, в методах исследования, в конечных результатах. По-видимому, первыми работами, в которых рассматривались вопросы качественной теории автономных уравнений (I), были статьи Б. Пини[ 204, 205]. В первой из них исследовался вопрос о поведении орбит в окрестности изолированного тораэти результаты позже были усовершенствованы А. И. Перовым [141]. Во второй — изучалась структура грубой особой точкиисследования в этом направлении проводились так же в работах С 61, 62, 78, 79, 81, 112, 138]. В работах [ 7, 1361 решается вопрос о топологических типах орбит. Статьи [91−96, 113, 114, 148, 155−157] посвящены вопросам топологической классификации автономных уравнений при различных предположениях. Хотя известный пример С. Смейла (пример динамической системы, в окрестности которой нет ни одной структурно устойчивой системы) и показывает, что полное решение вопроса о топологической классификации невозможно, различные частные факты в этом направлении являются интересными и полезными. Наиболее полные результаты здесь связаны с линейными системами [lI3, 148, 155]. В вопросах классификации нелинейных уравнений обычно приходится ограничиваться либо локальной теорией либо исследованием квазилинейных систем.

Метод функций Ляпунова для исследования вопросов устойчивости решений получил развитие в [21−23, 68]. Ряд элементов асимптотической теории нелинейной механики Крылова-Боголюбова перенесен на вполне интегрируемые уравнения в работах [87, 118, 123, 124].

Большое количество исследований связано с уравнениями типа Фукса (а так же с близкими к ним уравнениями с сингулярными коэффициентами). Результаты в этом направлении важны не только сами по себе, но и возможными связями с фейнмановскими интегралами, широко используемыми в физике (см. работу [60]).

Как уже отмечалось, существует тесная связь между вполне интегрируемыми уравнениями и теорией слоений и поэтому некоторые результаты качественного характера могут быть получены из теории слоений. Хотя теория слоений сравнительно молодая ветвь математики, количество публикаций в этой области очень значительно и дать достаточно исчерпывающий обзор их практически невозможно. Надо отметить, что результаты, полученные в настоящей работе, с теорией слоений почти не связаны и, естественно, не могут быть выведены из нее (если связь с теорией слоений имеется, то это указывается в соответствующем месте).

Многомерные дискретные системы как дискретные аналоги вполне интегрируемых уравнений были изучены автором в работах [36−42, 44, 47, 52]. В систематическом виде эти результаты в настоящей работе излагаются впервые.

Приведем краткий обзор результатов, полученных в предлагаемой диссертации. Диссертация состоит из трех глав, которые охватывают теорию линейных уравнений, некоторые факты теории нелинейных автономных уравнений, а так же многомерные дискретные системы.

Первая глава посвящена в основном теории линейных уравнений. Однако два ее начальных параграфа носят более общий характер: в одном из них рассматриваются нелокальные вопросы существования решений нелинейных уравнений, в другом — общий подход к задачам устойчивости движений.

Классические теоремы существования решений носят локальный характер, в связи с чем возникает важный вопрос о продолжении решений. Б отличие от обыкновенных дифференциальных уравнений, где причинами, не позволяющими продолжить решение, • являются I) либо неограниченность решения, 2) либо выход решения на границу области определения уравнения, при продолжении решений уравнений с «векторным временем» появляются дополнительные обстоятельства, в частности, продолжимость может оказаться невозможной из-за ветвления решений (этот факт впервые обнаружен А. Д. Мышкисом [128]). В § I вводится понятие непродолжимого решения в классах множеств, доказана теорема о существовании непродолжимого решения в классе связных и в классе односвязных множеств, показано, что непродолжимые в классе шаров решения обладают свойствами, аналогичными свойствам непродолжимых решений обыкновенных дифференциальных уравнений. Именно, если В (х0д) область определения непродолжимого в классе шаров решения^, = уо «то выполняется хотя бы одно из условий: ъир ||^(эс)|| = ¿-О, (7) п? с1((-х, ух)), Гг (и*У))= О, ^ВСЯо.'О где (ч, (1Г* V) — граница множества и ХУ, оС — расстояние, порожденное нормой произведения Е * Г. Условия (7), (8) при 1 Г = Е, V® Г позволили получить критерий продолжимости всех решений на Е, обобщающий критерий Винтнера—Еругина Г83, 84] и некоторые результаты М. А. Красносельского [104] .

В связи с тем, что в банаховом пространстве размерности больше единицы возможны различные способы удаления точки в бесконечность, в динамических системах с «многомерным временем» возможны различные трактовки понятий устойчивости и асимптотической устойчивостина это обстоятельство, по-видимому, впервые указано в работе [22]. В § 2 на базе теории фильтрующихся множеств [27] предлагается общий подход к вопросам устойчивости движений, который с единой точки зрения позволяет охватить широкий круг задач устойчивости (устойчивость решений обыкновенных дифференциальных уравнений, импульсных систем, стохастических систем, систем уравнений Пфаффа, корректная разрешимость операторных уравнений, устойчивость регулируемых систем, отождествляемая с непрерывностью оператора «вход-выход» и др.).

Простейшим уравнением вида (I) является линейное автономное уравнение, которое можно записать следующим образом й’Ь^АЬц, (9) где к — произвольный элемент из Е, АеЬСЕЧЬС^И).

В § 3 для уравнения (9) рассмотрен ряд вопросов, касающихся поведения решений. Выделены конусы стремления к нулю, неограниченности и ограниченности решений. Найдены условия почти периодичности по направлению. Показано, что все решения почти периодичны в смысле Бохнера — фон Неймана тогда и только тогда, когда все орбиты относительно компактныв случае гильбертова пространства и полной непрерывности операторов Дк (. h? Е) это позволило доказать, что все решения уравнения (9) почти периодичны, если для некоторого обратимого оператора Т^ L (F-F) выполняется равенство Т АК, Т-1 -«-(Т*) 1 (АЬ,)*у* = Q для любых Ь^Е (в случае climE = l этот результат получен в [185]). Проведена топологическая классификация орбитоказалось, что топологический тип орбиты зависит только от группы периодов соответствующего решения (в случае конечномерных пространств Е и Г этот результат получен Е.А.Барба-шиным в [7], а затем повторен в других терминах А. И. Перовым [136]). С помощью теоремы Крейна-Рутмана [109] выделен класс уравнений, обладающих решениями вида С-эср (Л то, где X — линейный непрерывный функционал.

В § 4 для вполне интегрируемого уравнения s’li = A (*oHij + f (x)fu СКбЕ) (Ю) введено понятие фундаментального оператора, изучены свойства фундаментального оператора, установлена формула Коши. Приведено понятие сопряженного уравнения и исследована связь между уравнением (10) и сопряженным ему уравнением. Дано представление фундаментального оператора в виде мультипликативного криволинейного интеграла (в случае Е = R., (Lim. F < °о мультипликативный интеграл построен и изучен Вольтерра. Дальнейшее продвижение в этом вопросе содержится в [137], где фактически построен мультипликативный криволинейный интеграл для конечномерных пространств Е и f).

В § 5 исследуется возможность представления Флоке-Ляпуно-ва для фундаментального оператора линейного однородного уравнения с периодическими коэффициентами. В этом вопросе существенную роль играют два обстоятельства: I) структура спектра оператора монодромии (спектр должен быть устроен так, чтобы оператор монодромии обладал логарифмомэтот факт хорошо известен для обыкновенных дифференциальных уравнений в банаховом пространстве [70, 120]), 2) строение группы периодов операторной функции, А (является она тотальной в пространстве Е или нет). Установлено следующее утверждение. Пусть XI — группа периодов функции, А и Н — замыкание линейной оболочки множества XI. Если подпространство Н дополняемо в Е, то фундаментальный оператор IK" *), U (0) = 1 г, допускает представление (представление Флоке-Ляпунова).

U (x)=Q (x)eBx, QCx+w)=Q (x), id":il, ВЬВк = ВкВЬ,(1., юеЕ* когда тогда и только тогда^оператор монодромии Ufa) обладает логарифмом для любого со eil, и существует такая постоянная С>о, что для любого конечного множества ДбЦ и любого набора (<*Д^д действительных чисел выполняется неравенство cotA.

Важный класс линейных уравнений образуют приводимые уравнения (в смысле А.М.Ляпунова), исследованию которых посвящен § 6. Здесь рассмотрены вопросы приводимости линейных уравнений в конусе и на подпространстве, а так же описаны инварианты приводимых уравнений. Основной результат этого параграфа связан с обобщением теоремы Н. П. Еругина [82] о канонической форме приводимой системы обыкновенных дифференциальных уравнений. Пусть однородное уравнение (10) с помощью некоторого преобразования Ляпунова приведено к уравнению a’t = Bbj (KeE) с постоянным оператором Б. Оператор ?> зависит от выбора преобразования Ляпунова. Поэтому возникает естественный вопрос об инвариантах приводимых уравнений. Предположим, что спектр бЧВк) оператора В краспадается на конечное число непересекающихся спектральным множеств ^ ,., , ЪСК) 2−1. Оказывается, что с помошью преобразований Ляпунова спектральные множества <5j можно произвольным образом передвигать параллельно мнимой оси, не меняя их формы. Если пространство Б конечномерно, то справедливо более сильное утверждение: при любом Е действительная часть спектра оператора В>к не зависит от выбора преобразования Ляпунова, приводящего уравнение (10) к уравнению с постоянными коэффициентами (аналог теоремы Н. П. Еругина [82]).

В § 7 рассматриваются вопросы, связанные с асимптотикой решений однородного уравнения (10). Здесь доказано, что при определенных ограничениях всякое ненулевое решение имеет характеристический функционал, при этом под характеристическим функционалом отображения Е —> F понимается элемент X сопряженного пространства Е*, удовлетворяющий условиям:

К*!!" 1 Un|| о для любого ненулевого X*, где % - замкнутый выпуклый телесный выступающий конус в Е, допускающий оштукатуривание [105], — сопряженный конус, f — фильтр в X, базисом которого являются множества *f? П { хJ ЦосЦ^-а ^ аъ-О.

Нетрудно привести примеры уравнений, решения которых тлеют континуум характеристических функционалов. Выделен класс уравнений, каждое решение которых имеет единственный характеристический функционалв случае cUm Е:=1, dim f< °о этот класс образуют правильные в смысле А. М. Ляпунова уравнения. Для E=R2, F-= ЯЛ, аналогичные вопросы изучались.

Э. И. Груд о в работах [63−66].

Известно, что в вопросах существования периодических решений обыкновенных дифференциальных уравнений с периодическими коэффициентами основополагающую роль играют неподвижные точки оператора сдвига (на период) вдоль решений. В случае «многомерного времени» получается не один оператор сдвига, а целое семейство операторов, зависящее от параметра, пробегающего группу периодов правой части, поэтому вопрос о существовании периодического решения сводится к вопросу существования неподвижной точки, общей для всех операторов сдвига. В § 8 с помощью теоремы Маркова-Какутани о неподвижной точке семейства аффинных операторов доказано, что если уравнение (10) имеет такое решение у, что замкнутая выпуклая оболочка множества Q.={%!%=Ц (и)), собЛ] слабо компактна, то уравнение (10) имеет SLпериодическое решениеесли пространство Г рефлексивно, то отсюда вытекает, что для существования периодического решения достаточно, чтобы замкнутая выпуклая оболочка множества Q была ограниченной.

Во второй главе (§§ 9−17) получен ряд результатов, относящихся к нелинейным автономным вполне интегрируемым уравнениям. В § 9 для уравнения.

3'=f"), f'.E-L (E-F), fe (^. <н> проведена следующая классификация точек фазового пространства Г: точка *|0&euro-Г называется регулярной, если оператор осуществляет гомеоморфизм пространства Б на подпространство ?(Йо)Ес Г и подпространство дополняемо в Г, остальные точки называются сингулярнымисингулярная точка Ц, называется особой точкой или точкой покоя, если £(яг0) = о (в случае сШ-п Е= %, ¿-луг Г= 5 такая классификация впервые дана Б. Пини [204]). Пусть некоторая точка пространства Г ядро оператора. Если подпространство^ дополняемо в Е и — его топологическое дополнение, то орбита ?(У0)=У (Е1У0) уравнения (II) совпадает с орбитой? у-(У0) уравнения.

М Р (*о ^ где Р (у0) — непрерывный проектор пространства Е на Ж^. Топо-логизируем орбиту, приняв за топологию в £(у0) минимальную топологию, содержащую образы открытых множеств пространства ЛЛц при отображении X—> «УСх,^), где Ц’Оэс^о) — решение уравнения (12) с начальным условием Уо)= У*. Тогда, если подпространство Е замкнуто в Г, орбита является чистым С^ -многообразием типа «АЦ (в смысла [28]). Обозначим через группу периодов функции х—Т^С^Уо) и пусть ^ • Две орбиты и $!(Х0) уравнения (II) являются гомеоморфными, если изоморфны топологические группы и — фундаментальная группа орбиты ¿-(у0) изоморфна группе И ^ о .

Результаты § 10 связаны с работами Е. А. Барбашина [8, по выпрямляемым динамическим системам, допускающим изоморфное отображение, переводящее траектории в параллельные прямые гильбертова пространства. Мы говорим, что уравнение (II) выпрямляемо вернее, выпрямляема динамическая система, им определяемая) если существует такой гомеоморфизм^: Г —> $ (Г) <=. Г*£, что для всякого решения X—выполняется равенство + (*"!/•))= С&(У0Ь с. Сх, у0″, где&.'Г-^ - инъективное отображение, С — непрерывно дифференцируемая функция, а отображение х—> с (ъ, у0) является диффеоморфизмом Е на Е и с" СЕ) (С1(£) — группа обратимых элементов алгебры ЬСЕ-Е)). Показано, что уравнение (II) выпрямляемо тогда и только тогда, когда для некоторой функции, а ¦ Г —> Е класса С выполняется равенство.

1 г (13).

Этот результат соответствует основному результату Е. А. Барбашина [13], однако доказательство его построено на соображениях, отличных от [13]. В терминах выпрямляемости охарактеризовано строение регулярной точки: установлено, что достаточно малая окрестность регулярной точки допускает выпрямление.

В § II вопрос о выпрямляемости уравнения (II) связывается с наличием у этого уравнения интегральных инвариантов и устанавливается грубость свойства выпрямляемости в классе малых возмущений, не нарушающих полной интегрируемости рассматриваемого уравнения.

В работах Е. А. Барбашина Г8, 13] свойство выпрямляемости динамической системы (и ряд других ее свойств) связывается с наличием гомоморфизмов на две простейшие динамические системы, определяемые соответственно группой переносов прямой и группой вращений окружности. В § 12 аналогичные исследования проводятся для динамических систем с «многомерным временем». Пусть (2),£, ф) — динамическая система в смысле Е. А. Барбашина [б, II]. Непрерывное отображение <р: 0.—* Е называется Jгомоморфизмом динамической системы (2>, Е,(2), если (9>(х, рУ) = =, д е GL. CE). Обозначим через N дискретную тотальную подгруппу векторной группы Е. Пусть То*, = - фактор-группа, наделенная фактор-топологией,: Е —> Тог — естественный гомоморфизм. Непрерывное отображение —>7ог называется Кгомоморфизмом, если *($(х,|>У)= *(Р) + % (Ах), ЛебЬСЕ). Если ¿-¿-т Е = 1, то 3 -гомоморфизмы и Кгомоморфизмы совпадают с одноименными понятиями Е. А. Барбашина. Доказаны следующие утверждения: динамическая система (2), Е,(2) выпрямляема тогда и только тогда, когда она допускает Угомоморфное отображениеесли динамическая система обладает Кгомоморфизмом, то она выпрямляемаесли динамическая система обладает достаточным множеством К-гомоморфизмов (позволяющим различать точки пространства 0.), то каждая устойчивая по Лагранжу точка будет почти периодической (почти периодичность здесь понимается в том же смысле, что и в статье [8]).

В связи с результатами § 10 определенное значение приобретает вопрос о разрешимости уравнения (13) относительно а. В § 13 рассматривается следующее обобщение уравнения (13): для исследования которого используется уравнение характеристик.

В предположении, что система (15) вполне интегрируема, для уравнения (14) построена общая теория (установлена связь между свойствами первых интегралов системы (15) и вопросами разрешимости уравнения (14), найдены условия разрешимости задачи Коши и т. п.). Простые примеры показывают, что полная интегрируемость системы (15) не является необходимой для разрешимости уравнения (14). Однако, она становится таковой, если потребовать полную разрешимость уравнения (14) в следующем смысле. Пусть пространство Е является дополняемым подпространством пространства Г. Семейство топологических дополнений подпространства Е называется полным, если каждое обладает таким топологическим дополнением Е^, что из условия (теТ) вытекает = 0 (- непрерывный проектор пространства Г на Gt параллельно Et). Предположим, что оператор 2) имеет непрерывный левый обратный для любой точки (J, 2)€F*E Возьмем открытое подмножество Vjпространства GT и обозначим через Af множество пар функций Vr—> Е, f: Vr —-> F, А класса С, для которых отображение (fi, x)-* (&'(*) ^(рбЯ, 0^)осесть гомеоморфизм F на F Уравнение (14) называется вполне разрешимым, если какое бы Т ни взять и как бы ни выбрать открытое множество Vr с и функции (<*, рО? А^ на нем, задача Коши =• } Ъе Vr, для этого уравнения имеет единственное решение. Доказано, что уравнение (14) вполне разрешимо тогда и только тогда, когда система характеристик (15) вполне интегрируема.

Результаты § 14 в идейном плане близки к § 2. Здесь на базе теории фильтрующихся множеств приводится общее определение сопредельных и oi-предельных точек движений динамических систем и изучаются свойства этих множеств. Пусть (S), T, Q) — динамическая система (Т — топологическая группа, Q — метрическое пространство), ЗС — линейно связное подмножество группы Т, содержащее единицу, — фильтр в 0I. Множества х^ к? называются сопредельным и оСпредельным множествами точки х еО, или движенияЬ—*вй (±, х) (эти понятия включают в себя как частный случай ряд понятий, введенных многими авторами (см. [II, 67, 132, 141, 186])). Вообще говоря, множества 4)(х) и <*(*) инвариантными не являютсяинвариантность можно гарантировать лишь для фильтров Г, обладающих следующим свойством согласованности: фильтр Г называется согласованным справа (слева) со структурой группы Т «если для любого? и любого I: 6 Т существует такое Х^ Г, что? Хс-Х (Х'Ь^Х'). Если фильтр согласован слева (справа) со структурой группы Т, то множество со (х) (множество о1(х)) инвариантно. Если фильтр 5» обладает базисом, состоящим из связных подмножеств, то для всякого устойчивого по Лагранжу движения множество он*) связнодля локально компактного пространства 0. с помощью компактификации П. С. Александрова доказано, чтопредельное множество всякого движения либо компактно и связно либо не содержит ни одной компактной связной компоненты (ср. с соответствующим результатом Р. Э. Винограда [29]).

В § 15 на основании результатов § 14 изучаются устойчивые по Пуассону движения (движение {—> 2)(¿-, х) или точка х называется положительно (отрицательно) устойчивой по Пуассону, если для любой окрестности V точки х и любого $ найдется такое X, что &(-Цх)бУ (ФСГ1,х)е V)). Получены следующие результаты: I) в случае коммутативной группы Т любая точка орбиты положительно (отрицательно) устойчивого по Пуассону движения является положительно (отрицательно) устойчивой по.

Пуассону- 2) если фильтр Г согласован со структурой группыТ и точка х положительно (отрицательно) устойчива по Пуассону, то.

6L (X) с gu («l) = 3) (Т, х) (о>(х)С о?(х)= Я)(Т, х));

3) построено множество всех положительно (отрицательно) устойчивых по Пуассону точек- 4) введен в рассмотрение класс рекуррентных движений и изучен ряд свойств таких движений.

Результаты § 16 связывают устойчивость точки покоя хд динамической системы (2>, Т, Q) со структурой предельных множеств всевозможных движений. Ясно, что если.

U *(*) и х0? оС, то точка неустойчиваобратное не верно (в общей ситуации, когда фильтр Г произволен, это тривиальнов случае обыкновенных динамических систем, см. работу Ю. С. Богданова [17]). В связи с этим обстоятельством вводятся в рассмотрение слабо сопредельные и слабо oiпредельные множества точки De § toc (x>= Lim П, Lim Q? OfV?W).

-«-+o xer xer '.

QС^=1{Х/с (('зс0д)=с1(а0,х), с1(а1Д)$?} (в случае обыкновенных динамических систем эти понятия введены Ю. С. Богдановымсм. [1б]). Доказано, что если точка х0 обладает компактной окрестностью и фильтр? таков, что выполняется некоторое условие (А), означающее, что в точку нельзя попасть за «конечное время», то точка эсо неустойчива тогда и только тогда, когда.

0е 1 Г <*сСх) ср. с [16]). В случае когда Т есть конечномерное векторное пространство, X — замкнутый выступающий конус в Т справедливо следующее утверждение: если точка покоя неустойчива и обладает компактной окрестностью, то существует такое £0>о, что для любого? е ] о, ?0 С найдутся х’е { х | с1(х, х0)=?} и.

Ь' &euro-Х, что 2) Сх')с В (х0,?). Отсюда следует теорема Ю. С. Богданова [17](см. так же [183]) и уточнение некоторых результатов статьи [67].

В § 17 на основании метода функций Ляпунова доказаны критерии устойчивости и асимптотической устойчивости решений вполне интегрируемого уравнения (II) в случае конечномерных пространств Е и Г, при этом в качестве множества устойчивости берется замкнутый выступающий конус с произвольным фильтром, согласованным со структурой векторной группы пространства Е. Основные теоремы второго метода Ляпунова на уравнения в полных дифференциалах перенесены в [21, 22]. Отличительной чертой настоящего параграфа является использование знакопостоянных функций Ляпунова. Первое существенное обобщение теорем Ляпунова в этом направлении принадлежит Е. А. Барбашину и Н. Н. Красовскомунекоторые результаты получены также С. Лефшецем и Ж. Ла-Саллем. Систематически знакопостоянные функции Ляпунова при исследовании автономных и периодических систем обыкновенных дифференциальных уравнений использовал Н. Г. Булгаков [25, 26]. Результаты настоящего параграфа включают в себя исследования названных авторов и дают новые критерии устойчивости и асимптотической устойчивости решений уравнения (12) и автономных обыкновенных дифференциальных уравнений.

Глава Ш (§§ 18−27) посвящена изучению дискретных систем с многомерной независимой переменной, которые можно рассматривать как разностные аналоги вполне интегрируемых уравнений. Основным объектом исследования этой главы является система дискретных уравнений.

Д^СЮ = |-(к, хсю) (16) у которой независимая переменная к принимает значения во множестве элементов пространства с целочисленными координатами, функции определены на произведении ^ и П. и имеют значения в к (в более общей ситуации пространство К может быть заменено произвольным банаховым пространством Е или даже произвольным множеством), Д^хсю =¦ 'ХСК+еи, где е1 = С1,0|., о), еар=(о, 1,., о),., егп=(0,о,., 1). Если т=1, то имеется большое количество работ, посвященных системе (16) — укажем здесь на работы [74, 75], которые в идейном плане наиболее близки к вопросам, рассмотренным в §§ 21−23, а так же на книгу [1761 и библиографию к ней.

В § 18 даются основные понятия, относящиеся к системе (16), и приводятся некоторые задачи, для описания которых удобно привлекать уравнения вида (16).

Система (16) называется вполне разрешимой, если для любой точки «Е» 1* Е (Е — произвольное множество) существует единственное решение X этой системы, определенное для К ^ К0 и удовлетворяющее начальному условию *х (к0,) = осв.

В § 19 доказано, что система (16) вполне разрешима тогда и.

— уГП г только тогда, когда для всех (К, х) е? к? выполняются равенства.

IС К, (*, Х)) = (К+е-, ? (К, Х" (?, ] = 1, ., т).

Для описания решений введена специальная конструкция, названная криволинейной композицией отображений | ,., | .

Рассмотрим систему (2). С помощью Эйлеровской аппроксимации частных производных от системы (2) перейдем к многомерной дискретной системе где ХСК)= ^СкК), Н.- величина шага квантования. В § 20 рассматривается связь между свойством полной интегрируемости системы (2) и свойством полной разрешимости системы (17). Оказывается, что если система (17) вполне разрешима для всех Ь €? 3 0? ко1>0. то система (2) вполне интегрируема. Обратное не верно: простые примеры показывают, что полная интегрируемость системы (2) не гарантирует полную разрешимость системы (17) ни при каком И>0. Таким образом, при переходе от непрерывных уравнений к дискретным полная интегрируемость может нарушаться. Однако при малых Ь>0 система (17) обладает важными свойствами, которые в определенном смысле близки к свойству полной разрешимости. Если система (17) рассматривается на множестве 0., состоящем из конечного числа точек, то какое бы? > 0 ни взять, можно указать такое Ь0> 0, что при о < К < Ь0 неравенство.

ИХ,(к) — х^сюИ .

18) может не выполнятьсяздесь существенное значение имеют асимптотические свойства решений рассматриваемой системы. Для получения неравенств вида (18) в этом случае используется метод функций Ляпунова.

В § 21 рассмотрены общие вопросы теории линейных уравнений в произвольном банаховом пространстве Е. Для однородной системы.

4-Х (К)= А ¿-(к) ос (К) и-1,., т) (19) построено общее решение в виде криволинейного произведения операторов А- (Ю, введена сопряженная система и исследованы ее.

I" свойстваесли операторы Ане зависят от К, то для нахождения решений развит метод многомерного 2 -преобразования. Для неоднородного уравнения.

1,., т.) (20) установлена формула Коши.

Результаты § 22 посвящены вопросам приводимости линейных систем (19). Здесь установлен ряд критериев приводимости, в частности, найдены необходимые и достаточные условия приводимости систем с периодическими коэффициентами. Если спектр каждого оператора Bj приведенной системы состоит из конечного числа спектральных множеству. 0″ = 1,., М).

J ^ ^ 9 ¦ то оказывается, что с помощью преобразований Ляпунова спектральные множества можно произвольным образом поворачивать относительно точки ?= 0 как центра вращения. Если пространство Е конечномерно, то справедливо следующее утверждение: модули спектров операторов В-,.-, В^. являются инвариантами преобразований Ляпунова (аналог теоремы Н. П. Еругина [82] для дискретных систем).

В § 23 при естественных условиях доказано, что всякое ненулевое решение системы (19) имеет характеристический вектор (понятие характеристического вектора вводится аналогично понятию характеристического функционала при Е = Я" 1, X = Я+). Введено понятие правильных систем, показано, что всякое ненулевое решение правильной системы тлеет единственный характеристический векторсвойство правильности охарактеризовано с помощью обобщенной приводимости.

В § 24 устанавливаются критерии существования периодических и почти периодических решений у системы (20) с периодическими и почти периодическими функциями А-, I- (система (20).

I * I & рассматривается в некотором банаховом пространстве Е). С помощью теоремы Маркова-Какутани доказано, что система (20) с Ц—периодическими коэффициентами имеет .П.-периодическое решение, если она обладает решением X, для которого замкнутая выпуклая оболочка множества 0. = /^ = 'ЭсСи)), соеП} слабо компактна. В случае рефлексивного пространства Е отсюда вытекает, что система (20) имеет Лпериодическое решение, если для некоторого ее решения множество ф ограничено. Если отображения Апочти периодичны и для оператора Коши системы.

1 г ^ * С.

20) выполняется оценка Г (к-, юИ Вехр[-Х (к1-а1 + -" + кт-ит^], &>о, А>о, то для любых почти периодических функций^, удовлетворяющих условиям полной разрешимости системы (20), система (20) имеет единственное почти периодическое решение.

Пусть X — подмножество множества, содержащее точку и состоящее из бесконечного числа элементов.

Предположим, что точку К=0 можно соединить дискретной кривой с любой точкой К? X — через $" обозначим фильтр в ОС, образованный дополнениями всевозможных конечных множеств. В § 25 в терминах функций Ляпунова получены условия устойчивости и асимптотической устойчивости по фильтру? нулевого решения системы (16). Для автономной системы (16) доказаны условия выпрямляемости (выпрямляемость здесь понимается как соответствующий дискретный аналог одноименного понятия из § II).

Последние два параграфа посвящены многомерным дискретным системам, не являющимся вполне разрешимыми. В § 26 вводится понятие решения системы (16) вдоль дискретного многообразия, ле.

2 т и ставится задача о нахождении многообразия максимальной размерности (эта размерность называется степенью разрешимости системы (16)) вдоль которого система (16) вполне разрешима. Доказано следующее утверждение. Пусть © есть множество таких е [1, т], что не выполняется хотя бы одно равенство из системы равенств {?ск+е*, ?,(*,*)), «<.)', и пусть б' - количество элементов множества ф. Тогда степень разрешимости Хсистемы (16) удовлетворяет неравенству эг. тб». Примеры показывают, что равенство достигается не всегда.

В § 27 автономной многомерной дискретной системе, не являющейся вполне разрешимой, ставится в соответствие семейство многозначных отображений, & (б — частично упорядоченная полугруппа), обладающее следующими свойствами: I) множество 3)(<}, х) компактно, 2) Я)(е, ос.)=х, 3) 3) ,.

2)(^г1Х)С X), 4) отображение х—>2)С^Х) непрерывно по.

Хаусдорфу. Если в условии 3) включение заменить равенством, то получим полугруппу многозначных отображений, исследованию которой посвящено большое количество работ (см. [9,10,24,181,182]). Отметим также, что некоторые классы многозначных отображений встречаются в математической экономике [161]. Введены понятия динамически предельных и строго динамически предельных точек, изучены свойства этих точек. Исследованы рекуррентные и устойчивые по Пуассону точки. На семейство Ф^,") распространены понятия устойчивых и асимптотически устойчивых движений.

Результаты диссертации опубликованы в монографии автора «Вполне разрешимые многомерные дифференциальные уравнения», «Наука и техника», (Минск, 1983), в работах [2, 34−58] и докладывались на III Всесоюзной Четаевской конференции по устойчивости движения, аналитической механике и управлению движением (Иркутск, 1977), на У Всесоюзной конференции по качественной теории дифференциальных уравнений (Кишинев, 1979), на У Всесоюзной конференции по проблемам теоретической кибернетики (Новосибирск, 1980), на У Чехословацкой конференции по дифференциальным уравнениям и их применениям (Братислава, 1981), на международном математическом конгрессе (Варшава, 1983), на XXII научно-технической конференции Пермского политехнического института (Пермь, 1982), в Московском государственном университете, в Институте математики и механики АН СССР (Свердловск), на Минских городских семинарах по качественной теории дифференциальных уравнений и по проблемам управления, на семинаре по дифференциальным уравнениям в Московском институте инженеров транспорта.

1. Авербух В. И., Смолянов О. Г. Теория дифференцирования в линейных топологических пространствах. — Успехи матем. наук, 1967, т.22, вып.6(138), с.201−260.

2. Адаменко Г. М., Гайшун И. В. Синтез оптимальных гибридных алгоритмов минимизации. Кибернетика, 1980, № 3, с.91−94.

3. Арман Ж.-Л.П. Приложения теории оптимального управления системами. М.: Мир, 1977. — 144 с.

4. Барбашин Е. А. О некоторых особенностях, возникающих в динамической системе при нарушении единственности. Докл. АН СССР, 1943, т.41, № 4, с.145−147.

5. Барбашин Е. А. Локальные особенности обыкновенных точек для системы дифференциальных уравнений. Докл. АН СССР, 1943, т.41, № 5, с.193−196.

6. Барбашин Е. А. О поведении точек при гомеоморфных преобразованиях пространства. Докл. АН СССР, 1946, т.51, № 1, с.3−5.

7. Барбашин Е. А. О классификации интегральных многообразий системы уравнений в полных дифференциалах. Докл. АН СССР, 1947, т.55, № 4, с.283−285.

8. Барбашин Е. А. О гомоморфизмах динамических систем. Докл. АН СССР, 1948, т.61, № 3, с.429−432.

9. Барбашин Е. А. К теории обобщенных динамических систем. Уч. зап. МГУ, 1948, т.2, вып.135, с.110−133.

10. Барбашин Е. А.

Введение

в теорию устойчивости. М.: Наука, 1967. — 224 с.

11. Барбашин Е. А. Метод сечений в теории динамических систем. -Мн.: Наука и техника, 1979. 120 с.

12. Барышев В. Г., Блюмин СЛ., Кузнецов Л. А. К управлению системами с многомерным параметром. Автомат, и телемехан., 1977, М, с.37−42.

13. Баскаков А. Г., Перов А. И., Рагимов М. Б. Спектральная теория пермутабельных ультранепрерывных операторов. Тр. Воронежск. ун-та, 1970, с.1−7.

14. Богданова М. Ю. Критерии неустойчивости нулевого решения стационарной дифференциальной системы. Дифферен. уравнения, 1980, т.16, № 2, с.195−200.

15. Богданов Ю. С. Асимптотические характеристики нелинейных дифференциальных систем. Дифференц. уравнения, 1965, т.1, № 1, с.41−52.

16. Богданов Ю. С. Обобщенные характеристичные числа неавтономных систем. Дифференц. уравнения, 1965, т.1, № 9, II40-II48.

17. Богданов Ю. С. Исследование дифференциальных систем с помощью обобщенных характеристичных чисел.: Автореф. Дисс. доктора физ.-мат. наук. Ленинград, 1966.

18. Боголюбов H.H., Ширков Д. В.

Введение

в теорию квантованных полей. М.: ГИТТЛ, 1957. — 444 с.

19. Боже Д. А., Мышкис А. Д. Общие теоремы второго метода Ляпунова для систем уравнений в полных дифференциалах. Латв. матем. ежегодник, 1966, вып.2, с.43−58.

20. Боже Д. А., Мышкис А. Д. Устойчивость в зоне эмиссии решений систем в полных дифференциалах. Латв. матем. ежегодник, 1966, вып.2, с.59−63.

21. Боже Д. А., Мышкис А. Д. Устойчивость решений линейной системы в полных дифференциалах. В кн.: Дифференциальные уравнения и их применения в технике. Рига, 1968, с. З-П.

22. Бронштейн И. У. О динамических системах без единственности как полугруппах неоднозначных отображений топологического пространства. Изв. АН Молдавской ССР, 1963, И, с.3−18.

23. Булгаков Н. Г. Структура окрестности гГ-устойчивой точки покоя автономных дифференциальных систем. Докл. АН БССР, 1980, т.24, № 9, с.788−791.

24. Булгаков Н. Г. Структура окрестности 1Г-устойчивой точки покоя периодических систем. В кн.: Проблемы оптимального управления. Наука и техника, Минск, 1981, с.63−69.

25. Бурбаки Н. Общая топология. Основные структуры. М.: Физматгиз, 1958. — 324 с.

26. Бурбаки Н. Дифференцируемые и аналитические многообразия. Сводка результатов. М.: Мир, 1975. — 220 с.

27. Виноград Р. Э. О предельном поведении неограниченной интегральной кривой. Ученые записки МГУ, 1952, т.5, вып.155, с.94−136.

28. Вифлянцев В. П. Теорема Фробениуса для распределений с особенностями. Успехи матем. наук, 1977, т.32, вып.5(197), с. 177−178.

29. Вифлянцев В. П. Теорема Фробениуса для дифференциальных систем с особенностями. Вестн. МГУ. Матем., мех., 1980, № 3, с .11−14.

30. Вифлянцев В. П. Локальное строение вполне интегрируемой дифференциальной системы с особенностями. Матем. заметки, 1981, т.29, № 5, с.685−690.

31. Гавурин M.K. Аналитические методы исследования нелинейных функциональных преобразований. Уч. зап. ЛГУ, сер. матем. наук, 1950, вып. 19, с.59−154.

32. Гайшун И. В. Один результат, относящийся к устойчивости решений линейных систем в полных дифференциалах. Изв. АН БССР, сер. ф.-м.н., 1974, т, с.11−14.

33. Гайшун И. В. Устойчивость решений некоторых дифференциальных уравнений в банаховом пространстве. Изв. АН БССР, сер. ф.-м.н., 1975, № 4, с.15−20.

34. Гайшун И. В. Многомерные дискретные системы. Мн., 1976. -60 с. (Препринт / Ин-т математики АН БССР: № 10(26)).

35. Гайшун И. В. К устойчивости решений одного класса дискретных систем. Дифференц. уравнения, 1977, т.13, № 4, с.705−710.

36. Гайшун И. В. Некоторые признаки устойчивости линейных дискретных систем. Дифференц. уравнения, 1977, т.13, № 7, с. 13 081 313.

37. Гайшун И. В. Многомерные дискретные системы, не обладающие свойством полной разрешимости. Мн., 1977. — 52 с. (Препринт/ Ин-т математики АН БССР: НО (26)).

38. Гайшун И. В. Об устойчивости многомерных дискретных систем. -В кн.: Тез. докл. III Всесоюзн. конф. по устойчивости движения, аналитической механике и управлению движением. Иркутск, 1977, с. 23.

39. Гайшун И. В. Многомерные дискретные включения. Изв. АН БССР, сер. ф.-м.н., 1978, № 1, с.29−33.

40. Гайшун И. В. Правильные многомерные дискретные системы.Докл. АН БССР, 1978, т.22, № 6, с.496−498.

41. Гайшун И. В. К теории Флоке-Ляпунова уравнений в полных производных. Докл. АН БССР, 1978, т.22, № 8, с.690−693.

42. Гайшун И. В. О зависимости свойства полной разрешимости от возмущений правых частей. Изв. АН БССР, сер. ф.-м.н., 1978, № 5, с.56−59.

43. Гайшун И. В. Уравнения в полных производных с периодическими коэффициентами. Докл. АН БССР, 1979, т.23, № 8, с.684−686.

44. Гайшун И. В. Представление Флоке для уравнений в полных производных. Дифференц. уравнения, 1979, т.15, № 12, с.2125−2129.

45. Гайшун И. В. Об устойчивости многомерных дискретных систем. -В кн.: Проблемы устойчивости движения, аналитической механики и управления движением. Наука, Новосибирск, 1979, с. 7480.

46. Гайшун И. В. К теории линейных уравнений в полных производных.-Мн., 1979. 66 с. (Препринт / Ин-т математики АН БССР: № 17 (73)).

47. Гайшун И. В. О периодических решениях вполне интегрируемых уравнений. В кн.: Тез. докл. У Всесоюзн. конф. по качественной теории дифференциальных уравнений. Кишинев, 1979, с.48−49.

48. Гайшун И. В., Мехталиев А. И. Многомерные дискретные системы (общая теория, оптимизация). В кн.: Тез. докл. У Всесоюзн. конф. по проблемам теоретической кибернетики. Новосибирск, 1980, с.51−53.

49. Гайшун И. В. Автономные вполне интегрируемые уравнения. -Мн., 1981. 38 с. (Препринт / Ин-т математики АН БССР: № 3 (104)).

50. Гайшун И. В. Вполне разрешимые многомерные дискретные уравнения. В кн.: Проблемы оптимального управления. Наука и техника, Минск, 1981, с.43−63.

51. Гайшун И. В. Свойства орбит вполне интегрируемого автономногоуравнения. В кн.: International conference functionaldifferential systems and related topics, Abstracts, part 1, Blazejewko, Poland, 1981, p. 26−27.

52. Гайшун И. В. Предельные по фильтру точки и устойчивость инвариантных множеств. В кн.: Czechoslovak Conference on Differential Equations and Their Applications, Abstracts, Bratislava, Czechoslovakia, 1981, p. 57−59.

53. Гайшун И. В. Условия выпрямляемости вполне интегрируемых уравнений. Докл. АН БССР, 1981, т.25, № 5, с.389−391.

54. Гайшун И. В. Выпрямляемые вполне интегрируемые уравнения. -Дифференц. уравнения, 1982, т.18,Ш, с.1854−1861.

55. Гайшун И. В., Княжище Л. Б. О продолжении решений вполне интегрируемых уравнений. Изв. АН БССР, сер. ф.-м.н., 1982, № 2, с. 33−38.

56. Гайшун И. В., Княжище Л. Б. Условия устойчивости решений автономных вполне интегрируемых уравнений. Дифференц. уравнения, 1982, т. 18, № 8,с.1453-Ш6.

57. Годбийон К. Дифференциальная геометрия и аналитическая механика. М.: Мир, 1973. — 188 с.

58. Голубева В. А. Некоторые вопросы аналитической теории фейнма-новских интегралов. Успехи матем. наук, 1976, т.31, вып.2 (188), с.135−202.

59. Грудо З. И. К аналитической теории систем уравнений в полных дифференциалах. Докл. АН БССР, 1969, т.13, № 9, с.781−783.

60. Грудо Э. И. О решениях автономной системы уравнений в полных дифференциалах. Изв. АН БССР, сер. ф.-м.н., 1970, Н, с.55−62.

61. Грудо Э. И. Характеристичные векторы и множества функций двух переменных и их основные свойства. Дифференц. уравнения, 1976, т.12, № 12, с.2115−2128.

62. Грудо Э. И. Характеристичные векторы решений линейных однородных систем Пфаффа. Дифференц. уравнения, 1977, т.13, № 5, с.826−840.

63. Грудо Э. И. Устойчивость характеристичных векторов решений линейных однородных систем Пфаффа. Дифференц. уравнения, 1978, т.14, № 12, с.2136−2146.

64. Грудо Э. И. Аналоги основных теорем первого метода Ляпунова для систем Пфаффа. Дифференц. уравнения, 1979, т.15, № 4, с.589−599.

65. Грудо Э. И., Янчук Л. Ф. О предельных точках решений вполне интегрируемых автономных систем Пфаффа в окрестности точки покоя. Дифференц. уравнения, 1976, т.12, № 9, с.1552−1556.

66. Грудо Э. И., Янчук Л. Ф. К асимптотической устойчивости положения равновесия систем Пфаффа. Дифференц. уравнения, 1979, т.15, № 10, с.1891−1893.

67. Далецкий Ю. Л. Бесконечномерные эллиптические операторы и связанные с ними параболические уравнения. Успехи матем. наук, 1967, т.22, вып.4(136), с.3−54.

68. Далецкий Ю. Л., Крейн М. Г. Устойчивость решений дифференциальных уравнений в банаховом пространстве. М.: Наука, 1970. — 536 с.

69. Далецкий Ю. Л., Кухарчук Н. М. Уравнения первого порядка с функциональными производными. Укр. матем. журнал, 1965, т.17, № 6, с.114−117.

70. Данилович В. П., Ковальчик И. М. Формула Коши для линейныхуравнений с функциональными производными. Дифференц. уравнения, 1977, т.13, № 8, с.1509−1511.

71. Данфорд Н., Шварц Дж.Т. Линейные операторы. Общая теория. -М.: ИЛ, 1962. 895 с.

72. Демидович В. Б. Об асимптотическом поведении решений конеч-норазностных уравнений. I. Общие положения. Дифференц. уравнения, 1974, т.10, № 12, с.2134−2142.

73. Демидович В. Б. Об асимптотическом поведении решений конеч-норазностных уравнений. II. Правильные уравнения. -Дифференц. уравнения, 1975, т. II, № 6, с.1091−1107.

74. Джеймс X., Никольс Н., Филлипс Р. Теория следящих систем. -М.: Иностранная литература, 1951. 420 с.

75. Другов В. Е. Решение одной задачи теории расписаний. Изв. АН СССР. Техн. кибернетика, 1975, № 6, с.43−46.

76. Дыманов Р. Г. Об особых точках для трехмерных систем уравнений с полными дифференциалами в четырехмерном пространстве.-Дифференц. уравнения, 1968, т.4, № 2, с.283−289.

77. Дыманов Р. Г. Об особых точках для двумерных систем уравнений с полными дифференциалами в четырехмерном пространстве. -Дифференц. уравнения, 1968, т.4, НО, с.1835−1841.

78. Дьедонне Ж. Основы современного анализа. М.: Мир, 1964. -430 с.

79. Егоров В. Г. Особые точки систем уравнений в полных дифференциалах. Укр. матем. журнал, 1965, т.17, № 6, с.117−122.

80. Еругин Н. П. Приводимые системы. Труды Матем. ин-та АН СССР, 1946, т.13, 96 с.

81. Еругин Н. П. О продолжении решений дифференциальных уравнений.-Прикл. матем. и мех., 1951, т.15, вып.1, с.55−58.

82. Еругин Н. П. Некоторые общие вопросы теории устойчивости движения. Прикл. матем. и мех., 1951, т.15, вып.2, с .227 236.

83. Еругин Н. П. Книга для чтения по общему курсу дифференциальных уравнений. Мн.: Наука и техника, 1979. — 744 с.

84. Завалищин С. Т. Некоторые вопросы математической теории движения, формализуемые обобщенными функциями.: Автореф. Дисс. доктора физ.-мат. наук. Свердловск, 1980. — 292 с.

85. Задорожний В. Г. О методе Крылова-Боголюбова для многомерных дифференциальных уравнений. Применение методов матем. и вычисл. техн. для решения научно-иссл. и народнохоз. задач, Воронеж, 1969, вып.4, с. 10−13.

86. Задорожний В. Г. Вполне интегрируемые уравнения в вариационных производных. Дифференц. уравнения, 1975, т. II, с.2027;2039.

87. Зубов В. И. Устойчивость движения. М.: Высш. школа, 1973. -271 с.

88. Йосипчук М. Д. Об одном классе линейных уравнений с функциональными производными. В1сник Льв1 В. политех, ин-та, 1974, № 87, с.26−29.

89. Карклинь И. П. Топологическая эквивалентность линейных трехмерных систем уравнений Пфаффа. Латв. матем. ежегодник, 1969, вып.6, с.71−79.

90. Карклинь И. П. Топологическая классификация трехмерных систем уравнений Пфаффа в циклических окрестностях одномерных характеристик. Латв. матем. ежегодник, 1969, вып.6, с.81-Ю.

91. Карклинь И. П. Топологическая эквивалентность в целом систем дифференциальных уравнений Пфаффа. Латв. матем. ежегодник, 1971, вып.9, с.95−104.

92. Карклинь И. П. Топологическая эквивалентность линейных систем уравнений Пфаффа в окрестностях их одномерных замкнутых характеристик. Дифференц. уравнения, 1972, т.8,№ 11, с.1943;1949.

93. Карклинь И. П. Приведение линейного уравнения Пфаффа с периодическими коэффициентами к уравнению с постоянными коэффициентами. Латв. матем. ежегодник, 1975, вып.16, с.208−211.

94. Карклинь И. П., Рейзинь Л. Э. О топологической эквивалентности систем уравнений в полных дифференциалах в окрестности замкнутых траекторий. Дифференц. уравнения, 1967, т. З, № 9, с.1495−1507.

95. Ковальчик И. М. Линейные уравнения с функциональными производными. Докл. АН СССР, 1970, т.194, № 4, с.763−766.

96. Ковальчик И. М. Условия разрешимости уравнений в функциональном пространстве. Докл. АН СССР, 1973, т.213, № 5, с.1051−1054.

97. Ковальчик И. М. Об одном классе линейных уравнений с функциональными производными. Укр. матем. журнал, 1975, т.27, № 3, с.373−378.

98. Ковальчик И. М. О линейных уравнениях с функциональными производными. Укр. матем. журнал, 1977, т.29, № 1, с.99−105.

99. Ковальчик И. М. Представление решений некоторых уравненийс функциональными производными с помощью интегралов Винера.-Докл. АН УССР, сер. А, 1978, № 12, с.1078−1082.

100. Ковальчик И. М., Медынский И. П. Об одном классе линейных уравнений с функциональными производными высшего порядка. -Докл. АН УССР, сер. А, 1978, № 12, с.1083−1086.

101. Кожеро М. В. О продолжении решений многомерных дифференциальных уравнений. Дифференц. уравнения, 1974, т.10, № 11,с.2075;2076.

102. Красносельский М. А. Операторы сдвига по траекториям дифференциальных уравнений. М.: Наука, 1966, 332 с.

103. Красносельский М. А. Положительные решения операторных уравнений. М.: Физматгиз, 1962, 396 с.

104. Красносельский М. А., Покровский A.B. Принцип отсутствия ограниченных решений в проблеме абсолютной устойчивости.-Докл. АН СССР, 1977, т.233, № 3, с.293−296.

105. Красносельский М. А., Покровский A.B. Естественные решения стохастических дифференциальных уравнений. Докл. АН СССР, 1978, т.240, № 2, с.264−267.

106. Красовский H.H. Некоторые задачи теории устойчивости движения. М.: Физматгиз, 1959. — 212 с.

107. Крейн М. Г., Рутман М. А. Линейные операторы, оставляющие инвариантным конус в пространстве Банаха. Успехи матем. наук, 1948, т. З, вып.1(23), с.3−95.

108. Крейн С. Г., Шихватов A.M. Линейные дифференциальные уравнения на группе Ли. Функц. анализ и его приложения, 1970, т.4, вып.1, с.52−61.

109. Курант Р. Уравнения с частными производными. М.: Мир, 1964. — 830 с.

110. Ладис H.H. Нормальные формы вполне интегрируемых систем. -Дифференц. уравнения, 1976, т. 12, Ш, с.1994;1999.

111. Ладис H.H. Топологическая эквивалентность линейных дейст2. М/вий R на R.. Дифференц. уравнения, 1977, т.13, № 3,-с.443−448.

112. Ладис H.H. Топологическая эквивалентность неавтономных уравнений. Дифференц. уравнения, 1977, т.13, № 5, с.951−953.

113. Леви П. Конкретные проблемы функционального анализа. -М.: Наука, 1967. 512 с.

114. Лурье К. А. Оптимальное управление в задачах математической физики. М.: Наука, 1975. — 480 с.

115. Ляпунов A.M. Общая задача об устойчивости движения. -М.-Л.: Гостехиздат, 1950. 472 с.

116. Мартынюк Д. И. Метод усреднения в теории многомерных дифференциальных уравнений. Вестник Ки1 В. ун-ту, сер. мат. I мех., 1969, Ш, с.78−80.

117. Мартынюк Д. И., Солодко В. Э. Теория § локе-Ляпунова для систем линейных многомерных уравнений. Вестник Ки1 В. ун-ту, сер. мат. I мех., 1970, № 12, с.74−75.

118. Массера X., Шеффер X. Линейные дифференциальные уравнения и функциональные пространства. М.: Мир, 1970. -456 с.

119. Мехталиев А. И. Принцип максимума для многомерных дискретных систем. Мн., 1979. — 24с. (Препринт / Ин-т математики АН БССР: № 9(65)).

120. Мехталиев А. И. Необходимые условия оптимальности второго порядка для многомерных дискретных систем. В кн.: Проблемы оптимального управления. Наука и техника, Минск, 1981, с.243−256.

121. Митропольский Ю. А., Лопатин А. К. Развитие асимптотического метода к исследованию колебательных и волновых процессов. Abh. Akad. Wise. DDR. Abt. Math. Naturvviss: Techn., 1977, N 4-, p. 95−106.

122. Митропольский Ю. А., Лопатин A.K. Обобщение асимптотического метода на основе операции «погружения» в теории колебаний систем с сосредоточенными параметрами. Abh. Akad. V/iss. DDR. Abt. Math. Naturwiss. Techn., 1977, N 4, p. 117−129.

123. Михальчук Р. И. О первообразной аналитического функционала и решения одного уравнения в функциональных производных. BIchIk Льв1 В. политех. ин-та, 1977, № 119, с.108-III.

124. Морен К. Методы гильбертова пространства. М.: Мир, 1965. — 570 с.

125. Мышкис А. Д. Уравнения Пфаффа, неформальная теория. В кн.: Тез. докл. Всесоюзн. симпозиума по качественной теории дифференциальных уравнений и ее применениям. Самарканд, 1964, с.46−47.

126. Мышкис А. Д. О непродолжимых решениях системы Пфаффа. В кн.: Тез. докл. III Всесоюзн. конф. по качественной теории дифференциальных уравнений, ее применениям и методике преподавания в высших учебных заведениях. Самарканд, 1973, с.151−152.

127. Мышкис А. Д., Эгле И. Ю. Обобщение условий полной интегрируемости для уравнений Пфаффа. Изв. АН Латв. ССР, сер. физических и технических н., 1965, № 4, с.41−52.

128. Назаров К вопросу о полной разрешимости многомерных дифференциальных уравнений в банаховом пространстве. -Докл. АН Тадж. ССР, 1970, т.13, № 12, с.8−11.

129. Назаров Ф. Об условиях полной разрешимости многомерных дифференциальных уравнений. Докл. АН Тадж. ССР, 1975, т.18, № 11, с.6−9.

130. Немыцкий В. В. К теории орбит общих динамических систем. -Матем. сб., 1948, т.23, вып. 2, с.161−186.

131. Новиков Е. Решение некоторых уравнений с вариационными производными. Успехи матем. наук, 1961, т.16, вып.2(98), с.135−141.

132. Новиков С. П. Топология слоений. Труды Московского матем. общества, 1965, т.14, с.248−278.

133. Перов А. И. О многомерных линейных дифференциальных уравнениях с постоянными коэффициентами. Докл. АН СССР, 1964, т.154, № 6, с.1266−1269.

134. Перов А. И. О топологических характеристиках решений многомерных дифференциальных уравнений. Докл. АН СССР, 1964, т.157, № 4, с.791−794.

135. Перов А. И. О мультипликативном интеграле. Уч. зап. Азербайдж. гос. ун-та, сер. физ.-мат., 1965, № 3, с.63−71.

136. Перов А. И. Изучение окрестности особой точки многомерного дифференциального уравнения в аналитическом случае. -Докл. АН СССР, 1966, т.166, № 3, с.544−547.

137. Перов А. И. О многомерных дифференциальных уравнениях первого порядка. Сибирск. матем. журнал, 1966, т.7, № 2,с.344−352.

138. Перов А. И. О многомерных линейных дифференциальных уравнениях с почти периодическими коэффициентами. Укр. матем. журнал, 1967, т.19, № 2, с.38−48.

139. Перов А. И. К вопросу о структуре предельного множества. -Докл. АН СССР, 1967, т.176, № 3, с.526−529.

140. Перов А. И. К теории многомерных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами. Дифференц. уравнения, 1968, т.4, № 7, с.1289−1298.

141. Перов А. И. Об одном обобщении теоремы Фробениуса. -Дифференц. уравнения, 1969, т.5, № 10, с.1881−1884.

142. Перов А. И., Задорожний В. Г. О многомерных линейных дифференциальных уравнениях с периодическими коэффициентами. -Изв. вузов, Математика, 1970, № 5, с.64−73.

143. Перов A.И., Кацаран Т. К. Теоремы Фавара и Бора-Нойгебау-эра для многомерных дифференциальных уравнений. Изв. вузов, Математика, 1968, № 5, с.62−70.

144. Перов А. И., Назаров Об условиях полной разрешимости.

145. Изв. АН Тадж. ССР, отд. физ.-мат. и геолог.-хим. н., 1971, № 3, с.3−9.

146. Перов А. И., Назаров Ф. Об условиях полной разрешимости.1. Изв. АН Тадж. ССР, отд. физ.-мат. и геолог.-хим. н., 1971, т, с.3−8.

147. Перов А. И., Эгле И. Ю. Топологическая классификация точек многомерного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами. Латв. матем. ежегодник, 1976, вып.19, с.162−179.

148. Понтрягин Л. С. Непрерывные группы. М.: Наука, 1973. -520 с.

149. Рагимов М. Б. Функции пермутабельного оператора. Изв. АН Азерб. ССР, сер. физ.-техн. и матем. наук, 1972, с.9−12.

150. Рагимов М. Б. О спектральной теории отображений топологического пространства в алгебру эндоморфизмов банахова пространства. Докл. АН Азерб. ССР, 1979, т.35, № 3, с. 9-II.

151. Рагимов М. Б. К спектральной теории бесконечного числа коммутирующих между собой линейных операторов. Докл. АН Азерб. ССР, 1980, т.36, № 2, с.13−17.

152. Рагимов М. Б., Баскаков А. Г. Спектральная теория тейлоровских и пермутабельных операторов в банаховом пространстве.