Краевые задачи с бесконечным индексом для эллиптических систем уравнений

Краевым задачам сопряжения для решений эллиптических систем уравнений первого порядка (в частности, для аналитических функций) посвящено большое количество работ, обзор которых содержится в монографиях I —. Основное направление теории связано с изучением задач с конечным индексом, имеющим большое практическое значение. Для задач сопряжения аналитических функций один из общих результатов соответствующей теории можно, не вдаваясь в подробности определения контура L и граничных данных, сформулировать следующим образом: для корректной постановки краевой задачи сопряжения fit) = + UL (0.D необходимо задать конечное число дополнительных условий вида.

9 5%пь) =¦ 0, ' (0.2) где-либо Z) есть функционал от решения ($ 2 0), либо (0,2) представляет собой необходимые и достаточные условия разрешимости задачи (0.1) (.

0.3) гги }?{t)(t-z) и где Х (Я) — некое специальное (каноническое) решение однородной [д = 0) задачи (0.1) с нулями (х⁰) или полюсами (se<0J в точках Z — в случае $.

Zmоо). при этом X равно индексу Кош функции.

G (i) (frit) Ф 0) — так при L — гладком, ос>0 a? =lnd?(i) = у-г dtnG-it) = АщШI (0.4) lib T? *tt L ' b, а в других случаях (например, когда — разрывна) индекс а? можно определить с помощью различных модификаций формулы (0.4) (см. [1−2, 4−5])..

На этой основе при as выписывается общее решение задачи (0.1).

8Е+/| = +2 (0−5) т m-i где Фо (я) — вида (0.3) — (г), -система линейно независимых решений однородной задачи, «к=-т.

Ф (Z = < кК hi кт 1.

С^/Яа при а?<<? можно дать корректную постановку задачи (0.1) с помощью введения в правую часть (0.1) линейной комбинации системы функций с коэффициентами, подлежащими определению: г+/1.

Ф{{) (о.б) we = C [I — 6]..

Аналогичные результаты имеют место и для задач сопряжения решений эллиптических систем уравнений, где также условия (0.2) определяются индексом Коши функции Q (i) (см. ЦЗ, 43)..

Задачами с бесконечным индексом называют задачи, в которых в (0.4) формально а? = оо. Систематическое изучение подобных задач для аналитических функций начинается с основополагающих работ Н. В. Говорова [7 — 123. Неоднородную задачу (0.1) Н. В. Говоров рассматривал на луче Z=[/, oo), когда G (-6)=-exp{{о, iffabC^iL), oc>j>/(f+.

I Х~ (0, то при ^-(оо) —Q с помощью формулы (0.3) можно найти ограниченное решение (0.1), при этом в случае Х<0 получим условия разрешимости (0.2), где zmполюса Х (£>. Таким образом при исследовании неоднородной задачи (0.1) основной вопрос состоял в построении решения однородной задачи Х (я), удовлетворяющего (0.7), для чего строилась специальным образом последовательность его нулей (%>0) или полюсов [%< О) • При этом X (Z) имело вид:.

Х (г) = [F (z) ессрг (Z), ±%>0) (о.8) d n±t.

Г (%) —V ———dt,.

0.9) р ^ у — целоеa F{%) — некая целая функция с асимптотикой при «такой же», как асимптотика ехр (+ F (Z)} (± Я/> О), так, чтобы X (z) ввда (0.8) удовлетворяла (0.7) ?8−9, 12]. Отметим, что фактически аналогичная ситуация имеет место и в случае конечного индекса, при этом асимптотика QXp Г (Ю| (±&>-0, у — О) «такая же», как j многочленов F (z), deyF = |se| [i — 5]..

Путем исследования произведений вида (0.8) изучались Н. В. Говоровым и различные классы решений однородной задачи (0.1) [7, 10 — II] ..

Подобный же подход — построение решения неоднородной задачи (0.1) с помощью Х (#) с условиями (0.7) и исследование однородной задачи с помощью представления (0.8,0.9) -характерен и для последующих работ по задачам с бесконечным индексом для аналитических функций Ql3 — 29], некоторые из которых фактически посвящены только исследованию асимптотики интегралов вида (0.9) для различных классов G-(t) рЗ — 14, 17 — 18]. Так в работах П. Г. Юрова изучалась задача (0.1) с логарифмически растущей функцией &-Ф [16 — 18] - в работах М. Э. Толочко, И. Е. Сандригайло, А. Г. Алехно рассматривались задачи (0.1) на вещественной прямой Z=foovoo) с функцией (x{i) в общем такой же, как у Н. В. Говорова на луче [Уч 00) [JE9 — 22] ..

Ряд работ, развивающих те же идеи, посвящен случаю так называемого многостороннего завихрения, когда в данной точке встречаются несколько кривых с бесконечным разрывом CUtgff (i) С24] - задачам с конечным или счетным множеством разрывов Crii) [23, 28 — 29] - задачам в исключительном случае, когда £п I G-U) | также имеет степенной рост [26 — 27] и т. д. Следует также отметить ряд работ В.Б.Дыби-на с соавторами (30 — 32], где предложены корректные постановки задачи (0.1) вида (0.2) или (0.6) в пространствах Харди Ф±{%)еНр{Е±), Е±- - {% | ±-3т% >о] [33] (—ос 9 ос)) для функций G-d) вида.

При этом выписан соответствующий базис.

Фт.

Я) в (0.5) 6>0) или д, тс6) В (0.6) (<5<0), m = и указаны пространства коэффициентов в (0.5,0.6)& lp [34]. Исследование в [30 — 32] основывается на теоремах об интерполяции в пространствах целых функций экспоненциального типа, полученных в работе Б. ЯЛевина [35] ..

Таким образом, в теории краевых задач с бесконечным индексом фактически в стороне оставался вшрос о корректности задачи (0.1, 0.2) (исключая работы [30 — 32], где исследована задача только в пространствах Харди и для достаточно узкого класса функций Gib)) и совсем не исследовался важный вопрос о классах корректности, т. е. о классах последовательностей [%т} таких, что задача (0.1, 0.2) корректна. Подобное исследование во всяком случае необходимо, если попытаться рассмотреть задачу сопряжения (0.1) для решений квазилинейных эллиптических систем уравнений вида.

Так, в работах В. Н. Монахова и С. Н. Антонцева (см. в [4]) разрешимость подобных задач при ind (х<�оо исследована на основе корректности задачи (0.1, 0.2) для аналитических функций в плоскости некоторого гомеоморфизма. Для применения подобных методов в задачах с бесконечным индексом необходима как корректность задачи (0.1, 0.2), так и достаточная широта класса корректности (по крайней мере, инвариантность его при некоторых гомеоморфизмах комплексной плоскости), так что построением примера функции X (Z) с условиями (0.7) здесь уже обойтись невозможно..

Далее, интерес представляет вопрос о границах применимости метода решения задач с бесконечным индексом, предложенного Н. В. Говоровым и основанного на построении Х (&-) с условиями (0.7). Фактически это означает общее описание класса функций G-(t), представимнх в виде отношения анаi яитических функций X (Z) с условиями типа (0.7) на L. Кроме того, необходимо в этом общем случае классифицировать функции (r (i) по классам корректности (грубо говоря, выделить классы функций одного индекса) и предложить' Термины, в которых можно было бы характеризовать корректные постановки задачи (0.1) вида (0.2)..

Заметим, что задачи сопряжения с бесконечным индексом для решений эллиптических систем уравнений более общих, чем система Коши — Еимана, ранее не рассматривались..

Целью настоящей работы является построение классов корректности задачи (0.1, 0.2) для аналитических функций и применение полученных результатов в исследовании разрешимости задачи сопряжения (0.1) для решений квазилинейных эллиптических систем уравнений (0.10). Рассмотрен «модельный» случай задачи с бесконечным индексом на контуре (-00 оо), когда, вообще говоря, о/щ 0 (i) при оо, но G-d) € С* «>0. При этом в работе получены следующие основные результаты:.

1. В задачах сопряжения аналитических функций описан общий класс Ш функций Gr (t), для которых применим метод Н. В. Говорова и соответствующий класс ТС последовательностей Z = [Zm ] в (0.2), в классах Щ,, ti введены термины, характеризующие корректность задачи (0.1, 0.2)..

2. Рассмотрены некоторые подклассы Д 0 класса JtL, J заданные непосредственно в терминах асимптотики &(t), i —^суо и более широкие, чем классы функций со степенным ростом G (i), рассматривавшиеся ранее [8,9,12,19−22]. Для них указаны подклассы классов корректности, также заданные непосредственно в терминах последовательностей [zm} (точнее, в терминах считающих функций последовательностей) и на основе инвариантности этих подклассов при некоторых гомеоморфизмах плоскости исследована разрешимость задачи (0.1) для квазилинейных эллиптических систем (0.10)..

3. Для тех же подклассов Ар рассмотрена задача (0.1), коцца Ф~ (z)eHp (.?")., Lp{L). Описано общее решение однородной задачи как линейное пространство, т. е. установлена формула общего решения (0.1) вида (0.5), где соответствующим образом задано бесконечномерное пространство коэффициентов, а = {атJ. Приведены корректные постановки задачи (0.1) вида (0.6). При этом получены теоремы об интерполяции в неких пространствах целых функций, которые можно рассматривать как обобщение результатов [35] на случай произвольного порядка р>0 (в [35] />=/- функции экспоненциального типа),.

4. Исследована задача (0,1) при некоторых &U) € 771 + + в пространствах Харди V7″ ^)? НП (Е), т. е. описано общее г решение однородной задачи как линейное пространство или соответственно указана система функций ^(Й в (0.6), двойственная к ядру сопряженного уравнения (см. [i — б]). При этом показано, что для рассматриваемых функций G-(t) задача (0.1) не является нормально разрешимой, т. е. множество функций 6 Lp{L) ¦ для которых существует решение (0.1)) не замкнуто в Lp{L) и, следовательно, оператор, решающий задачу (0.1) или (0.6) не будет непрерывным [i, б]. Отметим, что при этом |?(т. е. потеря нормальной разрешимости происходит не за счет обращения в нуль функции Gli), как обычно [j, б], а за счет завихрения QJUj, G-(i). Подобная ситуация автору ранее в литературе не встречалась. .

Все исследованные в диссертации классы последовательностей инвариантны при симметричном отражении относительно вещественной оси, что позволяет без всяких затруднений исследовать с той же степенно полноты, что и задачу (0.1), задачу Гильберта где G (t)? 271, путем сведения ее обычным образом к задаче Римана (0.1) (см. [i — 2])..

Остановимся на содержании диссертации подробнее. В главе I рассмотрены общие классы 771, 71. При этом существенно использованы некоторые сведения из теории целых функций, а также теории асимптотического поведения функций, аналитических в полуплоскости. Для удобства чтения диссертации, эти сведения приведены в § I. В § 2 доказан ряд вспомогательных утверждений. В § 3 введен класс Щ ^ функций Q- {{) таких, что v± + причем Л [Z) — аналитичны и ограничены в t и.

IfolX^fllUtf, 4 (о.н).

Условия (O.II), очевидно, являются более слабым аналогом условий (0.7). Определены классы M = m+U т и класс последовательностей? -{Zfn} • Основную роль играет § 4, в котором для получено представление.

G ({) = &0 (t) exp ±rZ (^, & ^ т*, (0.12) где r>t7,±v V п v о ^.

Ш) = S.fo. -2 L т е/+ J-b/Zm. т в/- i-t/Zn 9 a (r0(t)? Хо — классу функций «нулевого индекса», т. е. таких, для которых задача (0.1) безусловно и однозначно разрешима [i] ..

На основе (0.12) произведено разбиение Щ на классы функций, грубо говоря, одного индекса и соответствующее разбиение 71 на классы корректности Н (/¦), в этих классах введено понятие сходимости: к &0, ZK^Z0. (0.13).

В § 5 доказана корректность задачи (0.1, 0.2) при.

С Ш и.

Ф±- (z)? , Ё ≅ Е *U Л — в частности устойчивость в классе Гельдера С'6 по giijzC^ib), Q eft, Z е А/ (р). Таким образом, вопрос о корректности задачи (0.1, 0.2) в классах Гельдера сводится к проверке условий (0.12, 0.13)..

В главе 2 рассмотрены функции /г U) со степенным завихрением: порядка р < /, уже рассматривавшиеся ранее в [9, 19 -21]. Для них в § 7 в терминах считающих функций ([ЗбЦ, стр. 119) введены классы А^ (Я) последовательностей, расположенных в углах | алу ZI? , ft > О (QJtfy Z б f). Изучены свойства класса /У, (%), в частности доказана его инвариантность ос при некоторых гомеоморфизмах плоскости. В § 8 доказано соотношение (0.12) для Z е/^(X), откуда следует корректность соответствующей задачи (0.1, 0.2). На этой основе в § 9 методами [4] исследована разрешимость задачи (0.1, 0.2) для уравнений (0.10) с финитными коэффициентами:.

0 при z>XJ=/, Z..

Глава 3 посвящена изучению классов функций степенного завихрения произвольного порядка, при этом определенный в § 10 класс J[ функций степенного завихрения шире рассматривавшихся ранее [8, 9, 12, 19 — 22]. Б § II в терминах считающих функций специального вида введены классы /V (Q, f) последовательностей Z таких, что о<�р0 $ cw$zm)\zrrl'P *pf^. в § 15 доказаны некоторые дополнительные свойства функции X {%), когда (a}f>), на основе чего в § 16 описано общее решение задачи (0.1) вида (0.5), а в § 17 -система функций CLmU) в (0.6). Эти результаты сведены в у/71.

§ 18 в виде теорем о корректности задач (0.1, 0.2) или (0.6)..

Глава 5 посвящена рассмотрению некоторых функций G- (zf) € да, для которых задача (0.1) не является нормально разрешимой (но I & (t) I = /). В § 19 рассмотрен случай «нулевого индекса», т. е. когда однородная задача имеет только тривиальное решение, а множество blp{L-&sm. которых существует решение (0.1) е е Hp (Е~) всюду плотно в hp {Ь). В § 20 рассмотрен случай «бесконечного индекса», т. е. когда-либо размерность пространства решений однородной задачи, либо размерность прямого дополнения к замыканию пространства d) = Ф~Ф, е Нр (ЕЬ] бесконечна, при этом соответствующие пространства так же, как в главе 4, описаны в терминах базиса и бесконечномерного пространства коэффициентов..

Основные результаты диссертации опубликованы в [43 -47] и докладывались на семинаре в Институте гидродинамики СО Ш СССР (руководитель — профессор Монахов Б.Н.), на семинаре кафедры теории функций Новосибирского государственного университета им. Ленинского комсомола (руководительпрофессор Терсенов С.А.) и на конференциях: по некорректным задачам математической физики, г, Новосибирск, 1982; по краевым задачам, г. Краснодар, 1982; по уравнениям математической физики, г. Душанбе, 1983; по геометрической теории функций, г. Майкоп, 1984..

В заключение хочу выразить глубокую благодарность моему научному руководителю профессору Монахову Валентину Николаевичу за постановку задачи и постоянное внимательное руководство..

1. Гахов Ф. Д. Краевые задачи. М.: «Наука», 1977. — 638 с..

2. Мусхешившш Н. И. Сингулярные интегральные уравнения. М.: «Наука», 1969. 511 с..

3. Векуа И. Н. Обобщенные аналитические функции. М.: Физмат-гиз, 1959. 628 с..

4. Монахов В. Н. Краевые задачи со свободными границами для эллиптических систем уравнений. Новосибирск: «Наука», 1977. 420 с..

5. Данилгак И. И. Нерегулярные граничные задачи на плоскости. М.: «Наука», 1975. 292 с..

6. Дресдорф 3. Некоторые классы сингулярных уравнений. М.: «Мир», 1979. 493 с..

7. Говоров Н. В. 0 щ>аевой задаче Римана с бесконечным индексом. ДАН СССР, т. 154, № 6, 1964, с. 1247−1249..

8. Говоров Н. В. Неоднородная краевая задача Римана с бесконечным индексом. ДАН СССР, т. 159, № 5, 1964, с. 961 964..

9. Говоров Н. В. Краевая задача Римана с бесконечным индексом степенного порядка меньше ½. «Теория функций, функциональный анализ и их приложения», вып. 6, Харьков, 1968, с. I5I-I76.1.

10. Говоров Н. В. Об ограниченных решениях однородной краевой задачи Римана с бесконечным индексом степенного порядка. «Теория функций, функциональный анализ и их приложения», вып. II, Харьков, 1970, с. 3−34..

11. Говоров Н. В. О решениях в классе функций вполне регулярного роста однородной краевой задачи Римана с бесконечным индексом. «Теория функций, функциональный анализ и их приложения», вып. 15, Харьков, 1972, с.213−243..

12. Говоров Н. В. Краевая задача Римана с бесконечным индексом. Докторская диссертация, Харьков, 1967, 202 стр..

13. Говоров Н. В., Сандригайло И. Е., Рогозин С. В. Об асимптотических свойствах особого интеграла типа Коши с контуром на положительном луче. «Вестник Белорусского ун-та», сер. I, Ш 3, 1982, с. 46−50..

14. Алекна П. Ю., Говоров Н. В. Асимптотика интеграла типа Коши с монотонной плотностью нулевого уточненного порядка. «Литовский матем.сб.», т. 23, В I, 1983, с. 3−6..

15. Говоров Н. В., Беркович Ф. Д. 0 краевой задаче Карлемана с бесконечным индексом. «Сибирский матем. журнал», т. 12, № 5, 1971, с. I00I-I0I4..

16. Юров П. Г. Однородная краевая задача Римана с бесконечным индексом логарифмического типа. «Известия вузов. Математика», № 2, 1966, с. 158−163..

17. Юров П. Г. Поведение интеграла типа Коши вблизи точек разрыва его плотности. «Математич. анализ и его приложения», Ростов, 1981, с. 155−162..

18. Юров П. Г. 0 представлении интегралов типа Коши. «Математические заметки», т. 6, № I, 1969, с. 55−63..

19. Толочко М. Э. 0 разрешимости краевой задачи Римана с бесконечным индексом для полуплоскости. «Известия АН БССР», сер. физ.-мат.наук, & 3, 1971, с. 31−38..

20. Толочко М. Э. Об однородной задаче Ршана с бесконечным ивдексом для полуплоскости. «Известия АН БССР», сер. физ.-мат.наук, $ 5, 1972, с. 34−41..

21. Сандригайло И. Е. 0 краевой задаче Гильберта с бесконечным индексом для полуплоскости. «Известия АН БССР», сер. физ.-мат.наук, № 6, 1974, с. 16−23..

22. Алехно А. Г. Неоднородная краевая задача Римана с бесконечным индексом произвольного степенного порядка для полуплоскости. «Известия АН БССР», сер. физ.-мат.наук, № 4, 1979, с. 36−44..

23. Алехно А. Г. 0 краевой задаче Римана с конечным числом точек завихрения. ДАН БССР, т. 23, № 12, 1979, с. 1069−1072..

24. Алехно А. Г. Краевая задача Римана с бесконечным индексом в случае многостороннего завихрения. ДАН БССР, т. 25, В 8, 1981″ с. 681−684..

25. Алехно А. Г. Неоднородная краевая задача Римана с бесконечным индексом на контуре Ляпунова. «Известия АН БССР? сер. физ.-мат.наук, № I, 1980, с. 51−57..

26. Рогозин С. В., Толочко М. Э. Однородная краевая задача Римана с бесконечным индексом для полуплоскости в исключительном случае. «Известия АН БССР», сер. физ.-мат. наук, В 3, 1978, с. 5−10..

27. Рогозин С. В. Неоднородная краевая задача Римана с бесконечным индексом в исключительном случае для полуплоскости. «Вестник Белорусского ун-та», сер. I, № 2,1983, с. 60−62..

28. Журавлева М. И. Однородная краевая задача Римана с бесконечным индексом со счетным множеством разрывов ее коэффициента. «Труды Тбилисского математич. ин-та АН Гр. ССР, т. 43, 1973, с. 53−71..

29. Журавлева М. И. Неоднородная краевая задача Римана с бесконечным индексом со счетным множеством нулей и полюсов ее коэффициента. ДАН СССР, т. 214, Л 4, 1974, с. 755−758..

30. Дыбин В. Б. 0 сингулярном интегральном операторе на вещественной оси с почти-периодическими коэффициентами. В сб.: «Теория функций, дифференциальные уравнения и их приложения». Элиста, 1976, с. 98−108..

31. Грудский С. М., Дыбин В. Б. Краевая задача Римана с разрывами почти-периодического типа у ее коэффициента. ДАН СССР, т. 237, В I, 1977, с. 21−24..

32. Дыбин В. Б., Додохова Г. В. Корректные постановки краевой задачи Римана на прямой с почти-периодическим разрывом ее коэффициента. «Математический анализ и его приложения», Ростов, 1983, с. 12−22..

33. Гофман К. Банаховы пространства аналитических функций. М.: ИЛ, 1963. 311 с..

34. Колмогоров А. Н., Фомин С. В. Элементы теории функций и функционального анализа. М.: «Наука», 1972. 496 с..

35. Левин Б. Я. Интерполяция целыми функциями экспоненциального типа. В сб.: «Математическая физика и функциональный анализ». ФТИНТ АН УССР, вып. I, 1969, с. 136 146..

36. Левин Б. Я. Распределение корней целых функций. М.: Гостехиздат, 1956. 632 с..

37. Говоров Н. В. О функциях вполне регулярного роста в полуплоскости, Кандидатская диссертация. Ростов-на-Дону, 1966. 205 с..

38. Люстерник Л. А., Соболев В. И. Элементы функционального анализа. М.: «Наука», 1965. 520 с..

39. Гольдберг А. А., Островский И. В. Распределение значений мероморфных функций. М.: «Наука», 1970. 592 с..

40. Маркушевич А. И. Теория аналитических функций. Т. I. М.: «Наука», 1967. 486 с..

41. Титчмарш Е. Теория функций. М.: «Наука», 1980. 461 с..

42. Ахиезер Н. И. Лекции по теории аппроксимации. М.:" Наука", 1965, 407 с..

43. Монахов В. Н., Семенко Е. В. Задачи сопряжения с бесконечным индексом. В сб.: «Проблемы гидродинамики больших скоростей и краевых задач». Тезисы докл. Региональная школа конф. молодых ученых. Краснодар, 1982, с.53−55..

44. Монахов В. Н., Семенко Е. В. 0 корректных постановках краевых задач Н. В. Говорова. В сб.: «Тезисы республиканской научной конференции по уравнениям математической физики». Душанбе, 1983. с. 87−88..

45. Монахов В. Н., Семенко Е. В. Краевые задачи сопряжения с бесконечным ивдексом для квазилинейных эллиптических систем уравнений. В сб.:" Динамика сплошной среды", вып. 64, Новосибирск, 1984, с. 70−75..