Дисперсия упругих свойств в квазиоднородных материалах и параметры квазиоднородности

Различные твердые материалы и тела, встречающиеся в. природа и используемые в технике, обладают определенной структурой* Обычный технический металл, например, представляет ссибой поликристаллическое тела, состоящее из большого числа кристаллитов /зерен/ неправильной формы, различно ориентированных, иногда различного состава, сложным образом взаимодействующих между собой. Отдельный кристаллит, в свою очередь, представляет собой достаточно сложное образование с наличием характерных структурных элементов меньшего, масштаба /порядка параметра решеткиразмеров блоков/, переходного, пограничного слоя, включений, дефектов решетки разных типов.

Другие материалы также, обладают определенной структурой и* как следствие, этого" - структурной неоднородностьюярка выраженной структурнойнеоднородностью обладаютг ж частности, современные перспективныекомпозитные материалы.

Классические модели*, основанные на гипотезах механики: сплошной среды, конечна, интегральна учитывают эту структурную неоднородность материалов. Этим, и объясняются крупные успехи, в механике и ее приложениях" Вместе с тем, есть ряд важнейших явлений, определяемых наличием структуры материалов* которые не описываются и даже такие, которые принципиально не могут, быть описаны в рамках, классических теорий. К таким явлениям относятся, например* масштабный эффектг проявляющийся в зависимости осредненных механических характеристик-. и их, дисперсий от масштаба осреднения /размера образца/-, разброс механических характеристик," определенных на идеятичных образцах в макроскопическом эксперименте.

Наличие структуры материалов означает наличие параметров, имеющих размерность даны и определяемых страением и свойствами, материалаДля поликристалличаского материала такими параметрами^, в частности&bdquoбудут й0 — параметр решетки иь СЬЧ — характерный размер кристаллита / «0/О, А Для композиционнога материала, состоящего, из матрицы с включениями г такими параметрами будут — характерный размер включений и ^ - характерное расстояние между, включениями. Очень важно, что для таких материаловесть еще' один линейный параметр t / I 1 /» очень существенный с точки зрения описания их свойств* Параметр t имеет смысл характера ного линейного размера минимальной области материала, которую можно считать однородной по механическим свойствам /для ква-зиоднародных материалов/- Параметр будем, называть параметром. квазиоднородности" Этот параметр имеет важнейшее значение для определения границ, применимости классических теорий— ой же определяет масштаб описания явлений в классических теорияхг на площадках с линейным размером Ь определяются вводимые в теории напряжения? свойства объемов с линейным размером Ь считаются однородными, и идентичными свойствам лабораторных образцов и т. п".

Настоящая работа посвящена определению параметра квазиоднородности поликристаллическогш и. композитного материалов на основе некоторых, модельных представлений".

В первой главе дается обзор работ" касающихся определения параметра квазиоднородности>

Вторая глава посвящена вычислению параметра квазиодно. родности, поликристаллических тел" Рассматривается однофазный поликристалл, состоящий из большого.' числа анизотропных случайно ориентированных, однотипных зерен, /ориентация зерен считается равновероятной и в разных зернах независимой/" С помощью приближенных подходов Фойгта и Еейсса находятся математическое ожидание: и дисперсия упругих модулей для конечной группы кристалловВычислены статистические характеристики модулей упругости и податливости для орт. отропных кристаллов кубической и гексагональной симметрии" В конц&приведены примеры вычисления параметра квазиоднородности поликристаллов.

Третья глава посвящена вычислению параметра квазиоднородности композиционного материала, состоящего, из матрицы.

Л мгтрц^е > с включениями сферической формы, распределеннымиТслучайным образом" Материал матрицы и включений предполагается однородным анизотропным. Все включения считаются одинаковыми по упругим свойствам и отличаются лишь случайной ориентацией главных осей анизотропии в пространстве:. С помощью приближенных подходов Фойгта и Рейсса. находится математическое ожидание и дисперсия модулей по конечной области б1 пространства" Показано, что. математическое ожидание модулей от области (? не зависит, а дисперсия обратно пропорциональна объему области & «Обосновано утверждение, что. при определении, закона распределения включений в сплавах можно пользоваться законом. Пуассона как для большой, так и для малой /бетоны/ объемной доли включений. С помощью вычисленных математического, ожидания и дисперсии выведены аналитические формулы» задающие объем, области: квазиоднородности для композиционных материалов четырех видов /§ «5-,. В конце главы приведены примеры вычисления параметра квазиоднородности композита.

Глава Е.

Обзор работ% касающихся определения параметра квазиоднородностиструктурно-неоднородных материалов.

Определению параметра квазиоднородности посвящено мало работ". Впервые параметр однородности был вычислен Ильюшиным АЛ, и Ленским В-Св книге. [3], где он был назван параметром ориентации". Авторы находили число зерен, образующих ячейку однородности: для ортотропных кристаллов кубической и гексагональной симметрии" Степень анизотропии, реальных кристаллов не. учитывалась, никаких предположений о напряженно^ деформированном состоянии, области не. выдвигалосьВычисленные значения зерен составляли 8,5 зерен: для кристаллов кубическойсимметриии 12 зерен: для кристаллов гексагональной симметрии.

На важность определения параметра однородности указывалась в: работах Ломакина BJL [б], [в].

В статье [&] были вычислены размеры ячейки, однородности однофазного, поликристалла для плоской задачи теории упругости. Форма элементарной ячейки была принята квадратной и составленной из К равновеликих квадратных зерен-* Вычисление ячейки однородности было выполнено, численно на ЭВМ для алюминияг железа «меди /кубические кристаллы/, а также для магния, титана и цинка /гексагональные кристаллы/.

Вопросам, связанным с определением объемов, обеспечивающих однородность некоторых конгломератов, посвящена работа Brown, [19]. В работе определена мера однородности и указаны методы определения размеров образца для некоторых идеализированных композитов. Материал матрицы и включений предг полагается однородным, и изотропным" Включения рассматриваются как сферы известных диаметров и свойств, причем считается, что включения каждоготипа сфер распределены по независимому ряду Пуассона.

Проблема определения параметра квазиоднородности примыкает. к проблеме определения эффективных модулей струк-турно^неоднородных материалов, которой посвящено очень много работ. Здесь мы остановимся лишь на тех, которые являются основополагающими и результаты которых непосредственно использовались.

Самыми простыми способами определения эффективных констант однофазногополикристаллическогоагрегата" состоящего из анизотропных зерен, являются способы, предложенные Фойгтом [23*] и. Еейссом [22] * Способ Фойгта основан на предположении об однородности поля деформаций. Поле напряжений в данном случае-будет неоднородным, и" вообще говоря, случайным, поскольку ориентация главных осей анизотропии включений предполагается случайной. Способ Рёйсса вычисления упругих констант основан на предположении об однородности поля напряжений-, поле, деформаций в данном случае будет случайным".

Эффективные упругие модули, вычисленные, этими двумя способами., отличаются друг от друга. Хилл показал [196., 20″), что модули. Еейсса и Фойгта являются нижней и верхней границами, интервала, в котором лежат истинные эффективные модула" В работе [20.] Хилл предложил выбирать в качестве истинного эффективного модуля среднее арифметическое от эффективных модулей, подсчитанных по способам Фойгта и Рейсса., Оа отмечает. «что это* дает очень хорошее соответствие с экспериментальными данными>

Дляполикристалла" состоящего, из однотипных анизотропных кристаллитов, ориентация главных осей: анизотропии, которых случайна, эффективные значения модулей.* подсчитанных, по способам Фойгта и Рейсса,. вычисляются следующим образом: обозначим] через Л^ и: компоненты тензоров моделей упругости и. податливости, кристалла относительна системы ка-ординат, жестка связанной, с. ера кристаллографическими осями-Тогда компоненты тензоров относительно некоторой фиксированной системы координат /С-^ и / будут зависеть от косинусов углов между фиксированными и кристаллографическими осями координатНаправляющие косинусы можно выразить через углы Эйлера 0 «Ч7, Ч' > Иогда цл) = ^ 1 М т ^ • м.

Математические ожидания, модулей, являющиеся одновременно и эффективными, значениями модулей&bdquoподсчитанных по способам Фойгта и Еейсса соответственно, вычисляются па формулам.: ¿-Г И I мь «1* <�Ь, И где Цв^Ч') — плотность распределения., называемая текстурной функцией. Случай, = 1 соответствует тому, что любое направление кристаллографических осей в каждом кристалле равновероятно» Если же имеется преимущественная ориентировка кристаллографических осей относительно одного,. двух или трех направлений., то текстурная функция отлична от I и описывает разброс кристаллографических осей относительно этих направлений>

Подробный обзор работ, посвященных определению эффективных констант, можно найти в работах [10], [19] «[И].

Глава 2″.

Параметр квазиоднородности поликристалла. § I" Модель квазиоднородного. поликристаллического агрегата*.

Еассмотрим поликристалл, состоящий из однотипных кристаллитов /зерен/. Материал зерен предполагается однородным, и анизотропным. Будем считать, чта все зерна по упругим свойствам одинаковы и отличаются лишь случайной ориентацией главных осей анизотропиив пространстве".

Обозначим череа неподвижную декартову ортогональЬ ную систему координат, а через ОС^ - главные оси анизотропии i — го зерна" Тогда.

— Xj, (i.i) гдеiH~- i.

Направляющие косинусы 1ц могут быть выражены через углы Эйлера 0*" r ^ r ^ г однозначно определяющие ориентацию осей Х^ относительна X-v > Формулы перехода от к углам Эйлера можно найти в книге t i.

Мк^сюЬЧ + соьО fc^ x VwvfhUvfAIM/I'WWvCDb&GcuY eobf U"^) W/ 0 coi" f = ^ 9 Wv ^ индекс к везде в формулах [1.1) опущен/".

Обозначим через (Х^ер компоненты тензора модулей податливости зерна номера в системе координат Ос l /^tjtp от 1 не зависят/. Тогда в системе координат компоненты тензора модулей податливости будут равныг.

Если через. и: ?. обозначить напряжения и деформации в зерне номера i в системе координат X-t, то будет справедливо равенство:

1 fp ч *.

Заметим", что компоненты тензора модулей податливости являются случайными величинами", зависящими от случайного. расположения кристаллографических осей зерна номера h в пространстве.

Выделим, в рассматриваемом поликристаллемакроскопическую компактную область (г0 «линейный размер которой много больше параметра квазиоднородности рассматриваемого поликристалла. Л.

Примем г. чта любая ориентация осей ОС^ относительно X-t равновероятна и ориентация осей анизотропии зерна, номера t не зависит от ориентации, осей анизотропии зерна номера К для любых ^ и Ht 1 * мл, /. Тогда область (г0 можно считать квазиоднородной и квазиизотропной, причем напряжения л f понимаемые как средние значения по достаточно большому объему/, будут связаны законом Гука для однородного, изотропного упругого тела*.

Пусть в области &<> реализуется макроскопически однородное напряженна-деформированнае состоянием fr^e-o^t, 8° = const .

Ч 1 LJ.

§ 2- Статистические характеристики модулей по конечной группе зерен, вычисленные с помощью подхода Рейсса" Параметр квазиоднородности.

Примем, в соответствии с подходом Рейсса, что;

С = (тА, Ь 1,1,". ,. 1 М.

I 0 то есть в каждом зерне реализуется однородное напряженное состояние, совпадающее с состоянием (1.5″) > Тогда деформации- 8-л Го зерна будут равны;

Р1 — (¡-Л 6'° 1^.1).

Это означает, чта деформированное' состояние в каждом зерне будет однородным, но в разных зернах различным за счет слуп к чайности величин.

Выделим в области. &0 компактную с соизмеримыми размерами подобласть Ор, определяемую числом У1> содержащихся, а ней зерен /линейный размер области 5, вообще говоря, меньше параметра квазиоднородности рассматриваемого поликристалла, существование которого мы пока только пред-полагаемД.

Введем, случайные величины которые будем называть деформациями области / объем области А.

Предположим, что все зерна области имеют одинаковый объем. Тогда, учитывая, что, в соответствии с подходом Рейсса, деформированное состояние в. каждом зерне будет однородным, формулу Л) можно переписать следующим образом:. к I I Т г а-ч).

Ч «Ь Ы ^ '.

В силу (Л.!) имеем: или где.

Н рт.

М Л ы $ = Ъ & ¦

Случайную величину С,.^ будем называть податливостью области &.

Найдем математическое ожидание ъ^.

Величины 2ц£" г определяемые формулами (1.?,) * (1.5.),.

И ^ 4 являются случайными функциями 0 «ч «Ч' :

Поскольку зависимость (%-V одинакова для любого Ц и ориентация главных осей анизотропии зерна номера 1 не зависит от ориентации зерна номера ^ для любых, то две случайные величины и. при т^ являются независимыми случайными величиными с одинаковым законом^распределения. Следовательно математическое ожидание от ^ не зависит: — и, поскольку любая ориентация кристаллографических осей в кристалле равновероятна, — вычисляется по формуле: ¡-ИД Т^ ^ • [ио).

Из формулы (л. «учитывая «получаем: та есть математическое ожидание модулей области & равно средним модулям податливости области (г в приближении Вейсса* ^.

Вычислим, дисперсию Ф (^) модулей^-Ср В силу статистической независимости слагаемых в (24) имеем, где.

ОД^ НВД —) — «.спадом Ц

По тем же соображениям-, из которых следует формула (13) имеем:. о то есть дисперсия модуля от ^ не зависит.

Следовательно,.

Среднеквадратическае отклонение. модуля будет равно.

Получаем следующий результат: математическое ожидание модулей податливости области & «определяемой числом содержащихся в ней зерен, не зависит от (г, а их среднеквадратическае отклонение обратно пропорциональна «тГн? .

Если числа зерен достаточно велико, то можно считать" л о") р что модули податливости области I? подчиняются нормальному закону распределения, как сумма большога числа независимых, случайных величин, с одинаковым законом распределения /центральная предельная теорема [г].

Возьмем, группу из и. зерен. Тогда для нормального закона распределения с вероятностью аг98. справедливо неравенство /" закон трех сигма" /:

Учитывая равенство, получим:

Отсюда следует, что чем больше, число зерен К/ в области, о ^ тем меньше отличаются модули этой области Ь-^ от их средних значений. Возникает вопрас: каково должно быть^, чтобы относительное отклонение модулей от их средних значений составило, не более 8* %? Т. о есть при каких выполняется неравенство.:

В силу (Д-И) и (Д-^ это неравенство будет выполнено при.

Параметр квазиоднородности I * вычисленный с помощью подхода Рейсса, определится соотношениемг.

1— I, ' (Мо) где (1 — характерный линейный размер кристалла, а вычисляется как максимальное иа> всех различных значений для К V получаемых из формулы (ДД9) .

Таким образом для физически различных, но геометрически одинаковых областей, характерный линейный размер которых не меньше I измеренные значения модулей будут отличаться друг от друга не болеа чем на щ.

§ 3- Статистические характеристики модулей податливоста для ортотропных кристаллов кубической и гекагональной симметрии".

Вычислим г входящие в формулу (д.^).

Подробные^ выкладкибудут даны ниже. Дадим вначале основную схему, вычислений и окончательные результаты.

В качестве зерен рассматриваются толькоортатропные кристаллы кубической я гексагональной симметрии.

Для ортотропных кристаллов кубической симметрии ~ О’пъъ «>

О’Ш! «^амъ ~ «остальные компоненты (Х-^ будут равны нулю» Оставляя в формуле члены с нулевыми значениями «и подставляя туда выражения для Ьц из формул (М) г получим п зависимость вида Ц. Я) > Математическое ожидание Ь-^ ^ будет вычисляться по формуле (Мо) • Дисперсия модулей будет вычисляться по формуле:. мад — (над1 •.

Обозначив через & следующее выражение:

I — 5,0,^ ~ 1 О/мп ~ •) в результате вычислений получимиы= 1.

М&т^ ММ = + ^ а" - Ь.

И — - — а, т + ^ • <�ь. {ЬЛ.

Математические ожидания остальных модулей равны нулю, а дисперсииравны:.

ЯЫ — - «Ю = ^ .

В случаяхкогда математическое ожидание равно нулю оценку в неравенстве следует производить по отношению к наибольшему из двух независимых макроскопических модулей квазиизотропного тела" — В случае однородного напряженного' состояния по отношению к:) — ~~ г где Е*, — Число зерен к, определяющее область однородности, будет вычисляться по формуле: и,.

Рассмотрим ортотропные. кристаллы гексагональной симметрии. Отличные от нуля компоненты тензора модулей податливости / в системе координат жестко связанной с главными. осями анизотропна кристалла/ будут следующие:.

Введем обозначения:. р — а. — а • (и).

В результате вычисления средних значений по формуле.

1Мо) и дисперсии по формуле (.?>.!), имеем: мм — а&bdquo-&bdquo- +.

— V- ^ + ^ - ^ •,.

М = ММ = М^шЛ — а5т + ^3), — -?V ^ м = ФМ — ад — Vй* + й- •.

Математические ожидания остальных модулей равны нулю, а дисперсии равные к'$+ ад ^+' — ЯМ, а ^= ^ + ^ «С,.

V- <�"?

М©-) •.

Число зерен К^ г определяющее область однородности, вычисляется по формуле (<�М9) / или, в случае, когда математическое ожидание равно нулю, по формуле (?>.?) •.

2о:

§ 4* Статистические характеристики модулей по конечной группе, зерен, вычисленные с помощью подхода Фойгта. Параметр квазиоднородности.

Примем., в соответствии с подходом Фойгта, что в каждом зерне реализуется однородное деформированное состояние, совпадающее с деформированным состоянием области &-о :

1 о k = (4.1).

— компоненты тензора деформаций в зерне номера 1.

У ^ в системе координат /- Тогда напряжения в зерне номера 1 в системе координат X? будут равны: е — c? if в-, М где С1Л — компоненты тензора модулей упругости в зерне номера 1 в системе координат 0CL * Компоненты тензора модулей упругости в системе координат, жестко связанной с главными осями анизотропии кристалла, обозначим через Л^<6р /'Aijiy от 1 не зависят/. Причем, аналогично (1.Й имеемt.

А* Д Л J J.

Выделим в области &-о компактную с соизмеримыми размерами подобласть &, определяемую числом К содержащихся в ней зерен., Введем, случайные величины i.

J Сч. ч) которые будем называть напряжением области Р, Предположим, что все зерна области (?0 имеют одинаковый объем.

Тогда в силу (ч.О будем иметь: к ы > 1 где (Эх вычисляется по формуле (ЧД). о.

Случайные, величины.

С, г" = Г Г С1. (1.8) входящие в закон Гука = с—, 1″) будем называть модулями упругости области (я п (-к.).

Найдем математическое ожидание и дисперсию Проводя рассуждения, аналогичные приведенным в § 2 при нахождении математического ожидания и дисперсии случайной велОй личины Ь^ер * получим, что математическое, ожидание модулей по области & равно средним модулям области в приближении Фойгта:. тс^ь т4ь над. с."> п См.

Дисперсия равна: ад, (19) где:. = ФЩ^ — И (IС^) -(М (С"ер))1 (Ч.<�о).

— дисперсия Су.

Число, зерен п, достаточное для того, чтобы отклонение. модулей области (г о. т их средних значений составило бы не более? %, определяется по формуле, аналогичной формуле (ЗИ9) :. и 9-^Cqt,).

M • | м ад1 • '.

Истинный параметр квазиоднороднооти L будет вычисляться по формуле!

Ь d тПиГ, где i — характерный линейный размер кристалла, а вычисляется как максимальное, из всех различных значений для Yl «получаемых из формул U-'B) /способ Рейсса/ и (Ч.М^ /способ Фойгта/.

§ Статистические характеристики модулей упругости для ортотропных кристаллов кубической и гексагональной симметрии.

Для ортотропных кристаллов кубической и гексагональной симметрии: получены аналитические выражения для и «Подробные вычисления даны в приложении» В настоящем параграфа приведены только, окончательные результаты" Возьмем в качестве зерен кристаллы кубической симметрии" Обозначим через ?> выражение:

51).

ПолучимX.

И м = fUt"*} = М1Сш.) = l"u + ,.

Шы) —) =^c 6* i (S-.A).

Mlc, m)= MlCnu-)= JW V L bftltuu) = «le.

Для остальных С-^ средние значения равны нулю, а дисперсии равныa&J — - як"*) — =.

— Wm) = ЧЧщДfee1.

В случае, когда Hliijfy) — 0 оценку для lit надо производить по отношению к. модулю, то есть:

Возьмем в качестве зерен кристаллы гексагональной, симметрии > Введем обозначения;

Вд. ~ ^ Ч^un Jim ~ ^ж).

С^ - Lib >

JU ~ '.

ТогдаMiUnVMlO— J,", + НК w[tmy jw+ tFX).

HIUO — JU + kv,.

5 8Л •.

Математические ожидания остальных модулей равны нуда" а дисперсии равны:

— + ^? + ^ 6АI — = = ^? + ?? — ^к•,.

Линейный размер-области однородности, как уже было сказано, определяется по формуле (Ч. 1л), гдемаксимальное из всех, различных значений для и,, подсчитанных по формулам 13М6) /способ Рейсса/ и (Ч.-м) /способ Фойгта/.

§ Примеры вычисления параметра квазиоднородности для поликристаллов. Выводы по главе 2″.

Займемся вычислением параметра квазиоднородности для конкретных поликристаллических материалов".

Рассмотрим поликристалл, состоящий из однотипных ор-тотропных кристаллитов кубической симметрии. Возьмем в качестве зерен следующие кристаллы:. Ре (?)г См,, Г1о.

N6, Сг л .М^О ^Вг^О,, No. ee Лк .

Используя формулы {Д.49), {ЧА) и выбирая максимальные из различных значений, полученных для уь, вычислим величину определяющую, в соответствии с формулой (ЧЛА), линейный параметр квазиоднородности (И (ЗД «вычисляются по формулам: (М), (3.5»), и (, 5 Ь)). Упругие постоянные и взяты из справочника ^14″ ]. Единицы измерения — «.

— I. Результаты вычисления приведены в таблица Допуск? =6.

Возьмем в качестве зерен поликристаллического агрегата ортотропные кристаллы гексагональной симметрии: берилий В-е, и цинк 2 к,, Упругие константы &? и Зп, взяты из справочника [14^ - Единицы измерения * • Выбирая максимальное значение из различных значений для И-подсчитанных по формулам (.2.49) и (Ч.'М), вычисляем величину.

— (м, , и ад, в данном случае вычисляется по формулам (М) «(МО), (56) «.

М) .

Результаты вычисления приведены в таблице, — 2. Таким образом, если для каждого взятого материала известен средний диаметр зерна (Ж, то линейный размер области однородности будет не больше, чем.

Впервые параметр однородности поликристалла был вычислен в книге [ 3 «] /параметр ориентации/. Находилось число зерен, образующих ячейку однородности, для ортотроп-ных кристаллов кубической и гексагональной симметрии.

Таблица I.

1 1 | 4 т 1 и* Ш.

Реи) о, Ж М^О тч 1Ь.

С/Ц, 0,615 ЬЬН5 к о, Ш 0,611. {{%.

Сг- 0, Ш 0,05*1. 0,896 66 О % 2 V 0,* {, 01 0,32 дез &.

А^г \ь М* 0,0¹ 0, Ш «Н&- % о, с» 0,095* и.

РеД^ОП 1,1?^ОЦ 50 ч.

Д., 1.6 0,45- 0, Ч9{ о, ш т.

Ч, 0ЧЧ 0}Ш и Ч.

Но 0,318 0,91 0,012 <, К т 5.

N1 0,150 о}Ш 0, Ж 4,116 Чоо Ч п 9, п 6,94 0, ЧЙ №.

Таблица 2 ььъь^иа. И-т, %.

К 0,055 -0,149 1,8 ЗА 0,6⁵ 0, Ш о, ич 0,610 Ш го.

Ье 0,146 0, 615″ -0,0№ 0,5148 хпч ч.

Вычисленные значения составляли 8,5 зерен для кристаллов кубической симметрии и 12 зерен для кристаллов гексагональной симметрии. Интересно отметить достаточно большое совпадениеполученных результатов, несмотря на различие применяемых методов и учитывая, что в ^3] на принималось во вниманиестепень анизотропии реальных кристаллов^.

В работе [в-] определение ячейки однородности было произведено аналогичными методами, но: I/.погрешность вычисления является большой из-за того., что рассматривалась плоская задача теории упругости- 2/.расчет производился только для шести веществ на ЭВМ и, кроме того, не исключалась возможность возникновения второй ошибки из-за численных методов расчета.

Выводы по главе 2.

I/. Найдено математическое ожидание, и дисперсия модулей по конечной, группе зерен. Показано, что математическое ожидание модулей по группа из уъ зерен от ю, не зависит и в точности равно эффективным модулям, вычисленным по способам Фойгта и Рейсса-, дисперсия модулей, по области, состоящей из п, зерен, обратно пропорциональна числу зерен в области.

2/. С помощью методов Фойгта и Рейсса выведена формула числа зерен, достаточных для однородности определяемой ими области. Получен, параметр квазиоднородности.

3/. Для ортотропных кристаллов кубической и гексагональной симметрии в случае, когда любая ориентация осей ортотропии кристаллов равновероятна, вычислена дисперсия случайной величины, представляющей собой случайноезначение компонент тензора модулей упругости /податливости/ кристалла в некоторой фиксированной системе координат.

4/. Подсчитан параметр квазиоднородности на примере следующих поликристаллов: а/, в качестве зерен взяты ортотропные кристаллы кубической симметрии: Мл) * См/, Мо, М, «N1, Сг* », б/, в качестве зерен взяты ортотропные кристаллы гексагональной симметрии В>6 и 2 К1 .

Глава.

Параметр квазиоднородности композиционного материала.

§ I. Модель квазиоднородного поликристаллического агрегата.

Рассмотрим макросколически однородный, композиционный материалг состоящий из матрицы со сферическими включениями, распределенными в. матрице случайным образом. Материал матрицы и включений предполагается однородным и анизотропным. Все включения по упругим свойствм одинаковы и отличаются лишь случайной ориентацией главных осей анизотропии в пространствеУпругие свойства матрицы и включений различны, поэтому, при любых внешних нагрузках поля напряжений и деформаций всюду в смеси будут макроскопически неоднородными и, вообще говоря, случайнымипоскольку расположение включений в матрице и их ориентация случайны.

Сделаем следующие предположения относительно распределения включений в матрице:

1. Вероятность попадания того или иного числа включений в определенную область зависит только от этой области, но не зависит от положения этой области в пространстве. Иными словами, включения распределены в матрице с одинаковой средней плотностью.

2. Вероятность попадания того или иного числа включений в заданную область не зависит от того, сколько их попало в другую область, не перекрывающуюся с ней, то есть включения попадают в неперекрывающиеся области независимо друг от друга.

3. Обозначим через Х^ неподвижную декартову ортогональную систему координат, жестко связанную с главными осями анизотропии материала, из которого состоит матрица, а через ОС-, — главные оси анизотропии включения номера 1. I.

Примем, что любая ориентация осей относительно будет равновероятной и ориентация осей анизотропии включения номера К не зависит от ориентации осей анизотропии включения номера иг для любых ^ и. № / Ц ^ уть /.

Выделим в рассматриваемом материалекомпактную с соизмеримыми размерами, область &0, линейный размер которой много, большепараметра квазиоднородности. Тогда область &-о можно считать квазиоднородной, причем напряжения по / и деформации Ьц, понимаемые как средние значения по объему У0 области &0: будут связаны законом Гука для однородного /но, вообще говоря, анизотропного/ упругого тела /через бу, а 4 обозначены компоненты напряжений и деформаций в системе координат /.

Пусть в области реализуется макроскопически однородное напряженно-деформированное состояние:. еоиМ:, ~ соклЬ, о о зг.

§ 2″ Статистические, характеристики модулей по конечной области композита, вычисленные с помощью подхода Фойгта".

Примем, в соответствии с подходом Фойгта, что и в матрице, и во включении, реализуется макроскопически однородноесостояние, совпадающее с состоянием ({.?>): С ^ СоплЪ, Щ).

Тогда отдельно в матрице: и в каждом включении напряженное состояние будет однородным, /поскольку материал матрицы и включений однороден/, но различным для матрицы и каждога включения".

Выделим в области компактную с соизмеримыми размерами подобласть & объема У^. Введем случайные величины ^ * *, которые будем называть напряжением области (я.

Предположим, что выбранная нами область (г содержит ровно N включений /будем считать, что включение попадает в область, если его центр принадлежит этой области/. При этом.

V, — V, + ?1^, где ^ - объем, включения номера. (Ь «- Ум. — объем материала матрицы. Тогда равенство (191) перепишется в виде:

3 ^ Ч Ы ^ * г" с1.

Обозначим через и Ц^ соответственно компоненты тензора модулей упругости матрицы и включения номера? в системе координат. Тогда с учетом (1.1) получим:

Величины к Ъ. 110 входящие в закон Гу, ка:. е- - сч ц, (и) будем называть модулями упругости области (г .С помощью (&.?>) равенство преобразуется к виду:

Из последней формулы видно, что С^ есть случайная величина, определяемая:

1. случайной величиной N — числом зерен в области.

2. системой случайных величин представляющих собой объем каждого из N включений области-,.

3″ системой случайных величин (¡-¿-д, зависящих от случайного расположения главных осей анизотропии включений".

Найдем математическое, ожидание и дисперсию модулей области.

Обозначим через, % следующую случайную величину:

Тогда.

Поскольку модули С^ являются линейной функцией случайной величины 3 ,. то математическое ожидание и дисперсия ^(А^) модулей будут выражаться через математическое ожидание и дисперсию 1 па формулам: + I"-«) аад = т?1 ад, (д.и) егде — математическое ожидание 'З: г ^(и) — дисперсия 2.

Рассмотрим подробнее случайную величину 3, определяемую формулой 1^.9) «Для этого представим % в виде:. где и вычислим математическое ожидание и дисперсию случайной величины ^ >

Опытным путем для каждого конкретного материала можно подсчитать математическое ожидание и дисперсию случайной величиныобъема зерна номера Ц.^- Предполагается,.

Си что случайные величины ^ и ^ для любых ^ * ^ являются независимыми случайными величиными с одинаковым законом распределения. Следовательно, математическое ожидание МЫ) и дисперсия 5)1 $) величин от Ц не зависят. В работе [13^ показано, что распределение диаметров включений является логарифмически нормальным>

Математические ожидания и дисперсии случайных величин ^ для ортотропных кристаллов кубической и гексагональной симметрии вычислены в гл. 2, § 5″ Напомним, что поскольку любая ориентация главных осей анизотропии включений равновероятна, и ориентация главных осей анизотропии включения номершне зависит от ориентации осей включения номера Уго /для^любых И" Ф №и /, то математические ожидания и дисперсия от 1 не зависят и вычисляются по формулам (5*.Д) г (5″ .$) и, /подробные, вычисления приведены в приложении/.

Поскольку для любых (I + случайные величины ,' ., ^ и ^ «•• С^ являются независимыми с одинаковым законом распределения, то ^ и^/при / являются также независимыми случайными величиными с одинаковым законом распределения. Математическое, ожидание и дисперсия ^ от (I не зависят и вычисляются как математическое ожидание и дисперсия произведения двух независимых случайных величин [ 11 :

О м.

Учитывая, что ^??jfy /в фиксированной системе координат является постоянной величиной для данного материала^ получим:

Щ)= шо-[мад-cjf] ЦП) «№) [ Щц) — ]1. (Щ.

Теперь можно приступить к вычислению математического ожидания и дисперсии случайной величины^, заданной формулой (5U3) .

Известно [2 ], что математическое ожидание и дисперсия случайной величины? , определяемой формулой: = ^ %, U4® где ^ - независимые, одинаково распределенные случайные величины с математическим ожиданием М (ц) и дисперсией Ф^), а число слагаемых L — целочисленная случайная величина с математическим ожиданием М (М и дисперсией.

14. вычисляются следующим образом:;

MW’MW-MOOi.

Ш = М (Ц-^НФЫ-М^).

В рассматриваемом случае мы также имеем сумму случайного числа независимых, одинаково распределенных случайных величин /формула (2. U)/. Обозначим математическое ожидание и дисперсию целочисленной случайной величины N через Н (Ю соответственно. Тогда иЧ’МЮ. (м*).

Подставляя выражения для математического ожидания и дисперсии г в формулы и и), получим:

-^ЗД'М (Я) + Н^)-а (Н)]. (мг).

Или, учитывая и (МИ), получим, что математическое ожидание и дисперсия модулей по области (г вычисляются по формулам:

АтМ1Ю-М№[И (Сч"г) — ф, (и:).

Напомним, что математическое ожидание и дисперсия объема включений для данного материала считаются известными ве-личиными /или находятся из опыта, см. [ 12 /- математическое ожидание, и дисперсия модулей включения номера 1 вычисляются по формулам § 5- математическое ожидание и дисперсия случайной величины N — числа зерен области (у — являются пока неизвестными величинами.

§ 3″ Закон Пуассона., как закон распределения включений.

Случайная величина N — это число зерен в произвольно выбранной нами области (г. Рассмотрим все возможные физически различные, но геометрически одинаковые области & Тогда число включений в каждой из областей будет возможным уНОйти, значением случайной величины N. Для того чтобыщатема-тическое ожидание и дисперсию случайной величины М надо, вообще говоря, знать закон распределения включений в матрице.

Однако, задача о распределении включений в матрицеявляется очень сложной математической задачей, не имеющей до сих пор точного решения [4] * Поэтому вначале рассмотрим задачу о распределении точек в пространстве.

Допустим, что выполнены следующиеусловиям.

1. Вероятность попадания того или иного числа точек, в область & зависит толька от геометрии этой области, но не зависит от положения этой области в пространстве. Иными словами, точки распределены в пространстве с одинаковой средней плотностью. Обозначим. эту плотность /т.е. математическое ожидание числа точек, приходящихся на единицу объема/ через X .

2. Точки распределяются в пространстве независимо друг от друга, т. е.- вероятность попадания того или другого числа точек в заданную область не зависит от того, сколько, их попало в любую другую область, не перекрывающуюся с ней.

8″ Вероятность попадания на малый участок Л ОС двух или более точек пренебрежимомала по сравнению, а вероятностью попадания одной точки /это условие означает практическую невозможность совпадения двух или более точек/".

Тогда, [I], вероятность Р^ попадания Иг точек: в область равна:.

О ц-у"ГИ, /.V ж,! ' 1 где — объем области Я). Выражение м представляет собой закон Пуассона.

Математическае ожидание и дисперсия случайной величины^, распределенной по закону Пуассона («Ь.1^ равные.

Предположим., что объемная доля включений мала, тогда не возникнет большой ошибки, если включения рассматривать как точки, распределенные в пространствеслучайным образом, пренебрегая при этом рассмотрении их размерами [4^ .

Предположения I и 2 совпадают с предположениями, сделанными при описании модели композиционного материала в § Предположение о малой объемной доле включений практически, означает выполнение условия 3 данного параграфа. Таким образом, можно считать, что число включений к,, попадающих в любую область, распределяется по закону Пуассона: цца г к, — вероятность попадания VI включений в область — объем области ^ -.? — математическое ожидание числа включений, приходящихся на единицу объема, а следовательно, поскольку включения «равномерно перемешаны» 1, 2 ~ Ць, остается постоянной величиной при стремлении Уд и к бесконечности / - объем всех включений области ^ /.

Для выбранной нами области & математическое ожидание числа включений в объеме ^ области & и дисперсия числа включений одинаковы и вычисляются по формулам:. м их).

Итак, сделав предположение о малой объемной доле включений, мы смогли вычислить математическое ожидание и дисперсию числа зерен в. области & не вычисляя точный закон распределения включений в данном конкретном материале. Закон Пуассона часто используется на практике: например, распределенными по закону Пуассона считаются деревья в некоторой области леса, изюм в булочке, звезды и звездные скопления, бактерии и кровяные, тельца [4″ 15^ > В этой связи интересен следующий факт: центры зарождения кристаллов в поликристаллических материалах и сплавах тоже можно считать распределенными по закону Пуассона [4] [21] г, а следовательно, и число включений в таких материалах можно считать распределенными по закону Пуассона, то есть предположение о малой доле включений является несущественным. Это предположение является существенным только для материалов типа бетонов. И действительно, как будет показано ниже, предположение о справедливости закона Пуассона для распределения числа зерен в некоторой области поликристалла, приводит к тем же результатам, которые получены без этого предположения".

Итак: математическое ожидание и дисперсия числа включений в сплавах вычисляются по формулам [Ъ.5) и [ЬЛ] Для композитов, технология изготовления которых аналогичнатехнологии изготовления бетонов, формулы (VВ-) и (¿-.С) будут справедливы только в случае малой объемной доли включений.

§ 4. Параметр квазиоднородности некоторых композиционных материалов.

Вернемся к% вычислению математического ожидания и дисперсии модулей: по области &. Подставим найденные в предыдущем параграфезначения математического ожидания и дисперсии числа зерен области (г в формулы (ДДб) и После небольших преобразований имеем:.

Получили следующий результат: математическое ожидание модулей по области б1 от & не зависит, а дисперсия модулей обратно пропорциональна объему области (г Согласно неравенству Чебышева, с вероятностью 0,89 отклонение модулей иа области & от их средних значений будет не больше, чем три средних квадратических отклонений, то есть:

С-д-М (ф1< ¦ (4.5).

Поскольку дисперсия модулей обратно пропорциональна объему области, из неравенства следует, что чем больше, область &1, тем меньше отклонение модулей от их средних значений" Естественно возникает вопроса какова должна быть область & «чтобы отклонение модулей от их средних, составило бы не более то есть для каких областей будет справедливо неравенство:

Неравенство (Ч-Ч) будет выполняться, если:

МЭДф' - 0,01. | м^, м.

Подставляя в последнюю формулу выражения для математического ожидания и дисперсии из (Ч.1) и (Ч.I), и разрешая получившееся уравнение относительно, будем иметь: и 9−8 Iи*[б) [^ЫпЫ-е^П.

14.6) ейжоте-!1.

СССР эя. V. Й. Г-«!».

Для различных компонент тензора С^ мы получим, различные значения для объемов > Выбирая из них максимальное., мы найдем, объем области, которую достаточно взять, чтобы с вероятностью 0 «89 разность модулей для любых двух подобных областей 15* была бы не больше 5%. Линейный параметр однородности Ь вычисленный с помошью способа Фойгта, определится тогда по формуле: ь '-¡-К, (п) гда — максимальное значение из всех различных значений для •.

Заметим" что поскольку С^ есть сумма большого числа /для достаточно большой области/ независимых случайных величин с одинаковым законом распределения, то можно, считать, что случайная величина. С^ распределена по нормальному закону распределения /центральная предельная теорема/, и следовательно, неравенства (Ч, Ь) выполняется с вероятностью О ,.98* То есть в среднем, в 98 случаях из 100 разность модулей для геометрически подобных областей, линейный размер которых равен Ь, не будет превышать § %.

Формула (Ч.б), определяющая объем области однородности, справедлива для композиционных материалов, у которых включения /различного объема/ анизотропны* а материал, матрицы может быть как изотропным, так и анизотропным., но обязательно однородным. Если материал матрицы является изотропным, то = II" 5ч 5″ + К" ^+ 5*0 • м.

В некоторых случаях выражение, стоящее в знаменателе формулы [ЧЛ) г может обращаться в ноль" Тогда оценку в неравенстве (Ч.И) надо производить по отношению к модулю 9. и для вычисления объема области однородности пользоваться следующей формулой:

4 С-01'!)1 ССнмШЫ-СП1. (4.9).

Из формулы (Ч.&-) легко получить формулы, определяющиеобъем области, однородности для композитов, в которых: I/. включения являются изотропнымиг 2/. размеры всех включений одинаковы" Рассмотрим композиционный материал, удовлетворяющий условиям параграфа I, главы 2″ в котором объемы всех включений одинаковы. Обозначим объем одного включения через 'б,. Тогда входящие в формулу (Ч.&-) математическое ожидание и дисперсия случайной величины, равной объему включений, будут равны: о,.

Объем области" определяющий однородность свойств, будет вычисляться по формуле: у. ий.

Теперь рассмотрим композиционный материал, в котором включения являются изотропнымиОбозначая упругие констано «ты включения индексом. «* получим: %.

С^ц = ^ + +). М.

Причем, поскольку компоненты тензора модулей упругости: включения в силу своей изотропности не являются случайными величинами, имеем:. мм=4, >

Ж^) — о. (И.

Подставим выражения для математического ожидания и дисперсии, в формулу 1Ч.&-). Получим:

Последняя формула, определяет объем, области однородности. композита, у которого включения изотропны, но объемы включений различны".

Для композиционного материала, у которога включения изотропны и объемы включений одинаковы&bdquoобъем области, однородности будет вычисляться по следующей формуле:

V — Л—. Н'!)1 ¦ (ш).

Итак, в настоящем, параграфа выведены формулы, определяющие объем области однородности для:.

I/- композита с анизотропными включениями в случаях, когда объем включений случаен /формула 1Ч.6) / и когда все включения имеют одинаковый объем, /формула (4. Ц) /".

2/. композита с изотропными фазами, для случайного /формула. (ЧпС)/ и постоянного /формула [Ч.М) / объема включений.

При этом материал матрицы может быть как изотропнымг так и анизотропным.

§ 5. Статистические характеристики модулей по конечной области композита* вычисленные с помощью подхода РейссаПараметр квазиоднородности.

Рассмотрим композиционный материал, удовлетворяющий условиям § Г, главы 3″ Примем, в соответствии с подходом Рейсса, что-то есть, что всюду в области (з>, линейный размер которой много больше параметра квазиоднородности, реализуется микроскопически однородное, напряженное состояние&bdquoсовпадающее^ с состоянием- (1. .

Выделим в области (г0 компактную с соизмеримыми размерами подобласть & объема • Введем случайные величины.

1 * которые будем, называть деформацией области &.

Предположим, что выбранная нами область содержат" ровно Ц включений, причем остается справедливой формула (Д-Ь) — Обозначим через 5 у?" и соответственно компоненты тензора модулей податливости матрицы и включения номера I в системе координат. Тогда формула (Ч.Д) перепишется следующим образомI.

Величины входящие в закон Гука будем называть модулями податливости области (г. С помощью и^ равенство. (.{ьЧ^ преобразуется к виду:.

Аналогично тому, как это сделана при подходе Фойгта,. находим, математическое ожидание и дисперсию случайнойвеличины. Используя (ЧЛ) и (Ч -50, имеем.т.

Сг где М^е^ и^Ц^ для ортотропных кристаллов кубической и гексагональной симметрии вычисляются по соотношениям, выведенным в § Зт гл. ^ .

Формула, которая задает объем, области, определяющей с точностью до 5 $ однородность свойств, полностью аналогична формуле (Ч. С) и имеет вид: г (°'011)1 ^"МЭД-ДО1. (я).

Материал, матрицы может, быть как изотропным, так и анизотропным. В случае, изотропного материала компоненты тензор * ра будут вычисляться следующим образом:

Истинный линейный параметр квазиоднородности будет вычисляться по формуле:. е— (у?, м где. У^ - максимальное из различных получающихся значений для «подсчитанных по способу Фойгта /формула (Ч. б) /, и по способу Рейсса /формула (5−9) /».

В случаях, когда выражение, стоящее в знаменателе формулы (59) * обращается в ноль, для вычисления объема области однородности нужно пользоваться следующей формулой: [ Мим — С)1]. 1С ¦ м.

Лдв композита, у которога объемы всех зерен одинаковы,. объем области однородности будет вычисляться по формуле:. где т50 — объем, одного, включения.

В случае композиционного материала, у которога включения изотропны* формула (5″. 9) перепишется в видеI^ад ' с1 где — компоненты тензора упругости включений, имеющие вид: м.

Если объемы всех зерен одинаковы, формула (5″ .^) преобразуется следующим образом г.

В формулы § 4 и § определяющие объем, области однородности, входит средняя платность^, то есть математическое ожидание числа включений в единице объема* Од-нака при исследовании композиционных материалов обычно имеют дело с объемной концентрацией включений, выраженной в процентахОбъемная концентрация | связана с плотностью? следующей зависимостью:. о,(и-? = ?'М№. (ш).

Интересно отметить, что из формулы 41) в предположении, что Цер= «| = Ш% и ^ = l-6o следует формула (И^гд.!,. определяющая число зерен в некоторой области поликристаллического тела, достаточное для однородности этой области. При выводе формулы (5.-м) существенна использовался закон Пуассона /считалось, что центры зарождения включений можно считать распределенными по закону Пуассона/, в то время как при выводе формулы (2.19) находить закон распределения зерен в некоторой области поликристаллического тела и, следовательног использовать закон Пуассона не требовалось». Совпадение этих двух формул! еще раз свидетельствует о справедливости утверждения о томг что как центры зарождения так и сами кристаллиты в поликристаллах Ивключения в сплавах распределены по закону Пуассона".

§ 6- Примеры вычисления параметра квазиоднородности для композитов* Выводы па главе 3*.

Насчет параметра квазиоднородности для композиционного материала приведем на примере композита, у которого обе фазы изотропны и объемы зерен одинаковы. Рассмотрим дисперсно-удрачненные сплавы никеля- ||1 — 5,6 $ ЩОъ г N1-МI — Ть 0А г NI — 7,8% Ть Од. — Для данных сплавов предположение об изотропности материала матрицы и включений является, вообще говоря, приближением" Упругие константы никеля и включений взяты из справочника [Г4]. Для никеля модуль сдвига и модуль объемного сжатия равные К, ал = 1,618, = 0,77 /единицы измерения — [ИНар] Д Средний объем одного включения был взят из книги [э] >

Выбирая максимальное из четырех различных значений для * вычисляемых по формулам (?.>(6) и (5″ Мб), найдем объем области однородности. Линейный параметр однородности будет вычисляться по формуле. Результаты вычис-лошй приведены в таблице 3″.

Таблица 3.

ПоV/. К^Мкр /т' г ЛАКои.

5,6 2,106 2,.003 0*009 11,3 2Г3.

10 «5 0,358 а,.446 0*32 2086 12,8.

6*4 2,16 1Д36 0,048 6,6 1,9.

7,8 2,16 1,136 7*3 1191 II.

Выводы па главе 8.

I/. С помощью приближенных подходов Фойгта и Рейсса. найдены математическое ожидание и дисперсия модулей па конечной области пространства. Установлено, что: математическое ожидание модулей по области 6″ не зависит от (г, а дисперсия обратно пропорциональна объему области.

2/. Дана, методика вычисления параметра квазиоднородности".

3/. Получены формулы, определяющие параметр квазиоднородности для композиционных материалов четырех типов: а/, включения анизотропны: объем включений различен-: б/, включения анизотропны, объемы всех включений одинаковые в/, включения изотропны, объем включений различент/* включения изотропны, объем включений одинаков^ Материал матрицы может быть как изотропным, так и анизотропным.;

4/. Обосновано использование закона Пуассона /как закона. распределения включений в некоторой области/ для сплавов и"при малой объемной доле"для бетонов.

5/. Приведены примеры вычисления параметра квазиоднородности некоторых композиционных материалов.

Вывода и заключение:

В работе^ получены следующиеосновные результаты;

1- Дана методика определения параметра квазиоднородности. для однофазного поликристаллаАналитические выражения получены для поликристалла, зерна которого, являются ортотропнЕми, кристаллами, кубической и гексагональной симметрии. Вычислен параметр квазиоднородности для некоторых конкретных поликристаллических материалов;

2- Дана методика определения параметра квазиоднород-ност для композита, состоящего^ жа матрицы с включениями, распределенными в матрице: случайным образом, при этом, материал фаз может, быть как изотропным., так и анизотропным-В случае анизотропных включений, аналитические формулы получены для ортотропных включений кубической, и гексагональной: симметрии. Вычислен параметр квазиоднородности, для некоторых композиционных материалов.

Параметр квазиоднородностиимеет важнейшее^ значение для определения границ применимости классических теорий к. описанию поведения структурно-неоднородных средКлассические теории дают правильное описание явлений в случаях, когда характерные параметры задачи размерности длины будут, значительно больше параметра квазиоднородности,-В случаях.: когда, эта, условиене выполнено, следует ожидать расхождения предсказаний классической теории с наблюдаемыми явлениямиТак. будет* в частности, в задачах о деформации очень тонких пластин, в задачах о концентрации напряжений вблизи, концентраторов с малыми радиусами кривизны" в задачах о деформациях тел с сильно локализованными. воздействиями, в задачах о высокочастотных колебаниях>

При. проведении экспериментов можно гарантировать% что, механические свойства, полученные для образцов., характерный линейный размер которых, не меньше параметра квазиоднородности, являются типичными: для всего* тела".

Предложенный способ определения параметра квазиоднородности может быть усовершенствован далее путем, более точного, нежели методы Фойгта и Рейсса, определения нап-ряженно^-деформированного состояния неоднородной области".

1. Венцель Е. С. Теория вероятностей. М., 1964.

2. Венцель Е. С., Овчаров Л. А. Прикладные задачи теории вероятностей. М., 1983.

3. Ильюшин А. А., Ленский B.C. Сопротивление материалов. М., 1959.

4. Кендалл М., Моран П. Геометрические вероятности. М., 1972.

5. Лехницкий С. Г. Теория упругости анизотропного тела. М., 1977.

6. Ломакин В. А. Статистические задачи механики твердых деформируемых тел. М., 1970.

7. Ломакин В. А. Проблемы механики структурно-неоднородных тел. Известия АН СССР. Сер. Механика твердого тела, 1978, № 6, с.45−52.

8. Ломакин В. А., Кукса Л. В., Бахтин Ю. Н. Масштабный эффект упругих свойств поликристаллических материалов. Прикладная механика, 1982, т. ХУШ, № 9, с.10−15.

9. Портной К. И., Бабич Б. Н. Дисперсноупрочненные материалы М., 1974.

10. Рейнер М. Реология, М., 1965.

11. Салтыков С. А. Материаловедение. М., I960.

12. Салтыков С. А. Стереометрическая металлография. М., 1970.

13. Салтыков С. А. Сборник научных трудов Ереванского политехнического института. Ереван, 1954, № 7, вып.1, с. 113.

14. Справочник физических констант горных пород. М., 1969.

15. Феллер В.

Введение

в теорию вероятностей и ее применения, т.1,2. М., 1967.

16. Хилл Р. Упругие свойства составных среднекоторые теоретические принципы. Механика, 1964, № 5.

17. Шермергор Т. Д. Теория упругости микронеоднородных сред. М., 1977.

18. Brown С.В. Minimum volumes to ensure homogeneity in certain conglomerates. — Journal of the Franklin Institute, 1965, vol.279, ИЗ" P.189−199.

19. Hashin Z. Theory of mechanical behaviour of heterogeneous media. Applied mechanics reviews. V.17, N1, 1964.

20. Hill R. The elastic behaviour of a crystalline aggregate. Prac.phys.soc., 1952, Аб5, p.349.

21. Meijring. Philips Research Reports, 8, 1953, p.270−290.

22. Reuss A. Berechnung der Flibgrenze von Mischkristtallen auf Grund der Plastizitats-bedingung fur Einkritalle. — Z.angew. Math, and Mech., 1929, 9, 11, s.49−63.

23. Voight W. Lehrbuch der Kritallphysik. Berlin, 1928.

24. Ломакина Г. В. Дисперсия упругих свойств поликристаллических материалов. Вестник московского университета. Сер Л. Математика и механика, 1984, tel., с.41−45.

25. Ломакина Г. В. Дисперсия упругих свойств некоторых квазиоднородных композиционных материалов., Московский университет. М., 1984, 18 е., Библиография 5 назв. (рукопись деп. в ВИНИТИ. 21 марта 1984 г. Ш 1543−84 деп.).

26. Ломакина Г. В. Дисперсия упругих свойств материалов. Всесоюзная конференция «Современные вопросы физики и приложения». Тезисы докладов и сообщений. М., 1984, с. 53.

27. Ляв А. Математическая теория упругости. М.-Л., 1935.

Приложение.

Вычислим > входящие в формулы г определяющие параметры однородности. Вычисления будут произведены для ортотропных. кристаллов кубической и гексагональной симметрии".

В качестве зерен возьмем, ортотропные кристаллы кубической симметрии. Запишем в развернутом^виде формулу для каждой из 21 компоненты, тензора 1 (С+е! <) +.

Чмд. = а4Ш (С, + ^ + С1Ь) +.

О — п / с4 + с4 + г и С Си сц"4иШп+ а г"У (ч) оммКА U" «л+ел u J (.

UuieX+ eu, + dualUAV u. «л+4t» U ^).

ШЖьЧМАЬ.

Mt" С- № e^*e* - ei & eii) и) ftaal «aWui» + ШьА^ WAS m Ми^ЛЧЛАМДМ,+.

41 + ¿-Л * I.

— 3/ [ (¡-д< 1Ц + t tLb lib ] 1 (1ц liiljx Hit U in + i ti ilixiuli) iiiia + in in 41 +.

М^СеЛ* titula) X (1ЬЬ i^ Лiftlii+^гь J + ei e"VCA 2U + + + Uiibbli} M ^ + + ibAiili) + ii{ibb^b* и+ч (и I" ш" г"+^ 1и 4 е".

-" ад.

А1^Ц ^ + ^ ^ ^ * + (10 индекс К, везде в формулах (1) — (ц) опущен в силу причин, изложенных в § 2/..

Девять направляющих косинусов связаны между собой шестью независимыми уравнениями, которые могут быть представлены в вида:.

Чр3.

11 ЧЬ.

Й+С+1 и «и+Ми+ев^о.

Обозначим, через (I следующее выражение:..

О* ^ А/ - % О^изЛ •.

С помощью уравнений (Д) путем, элементарных преобразований. формулы^ЫЦ значительна упрощаются: Л & + & + -С") 4.

Математическое ожидание и дисперсия вычисляются соответственна па формулам И [Ь.Ъ) к.

Введем обозначение: К АС о о о.

Поскольку г) ?^боЮ^ок — 1 7 в о о математические ожидания С"^ будут равны:..

М М = а"" — ¦>).

— а"" - &-К & * < ед1, н? еД >) м (^ = <�ь"" - & I <�¦ №+< й е£ >+< г, 1,? >) м I и = и"и + V * & ^'+ 4 ^+< й ^ нм = (ц* и Ы — <�ц< й к ««>+< Ша>+< & ь ?"¦>).

ММ" а-№и>+<1Х>+<'""">) т*.

МЫ =М4'1 I* V + 4 к.

Щ5 = N4* е" 1″ V + < + 4 V).

Для вычисления дисперсии дастатачно вычислить и: иат К Ф и1(< н Й & Й>+< И 1С) = а," — и • а, 1(((< е4 >+ н ад,? ж е^ >) +1 ^ е^с^ (,! ?>+< (!- % С >.

MlCVС* i-d!l (? ilu uih > «й ti й fr» && С С >).

Nisi") — a-w i aty ti С, iX>+< &? >) n (CV C+ ч а.- а «а I* (Ie» >v 1 +< % tf">)* ti e?>.

M — С + ч а, — awl fr + ¦< e?&>+< to >)+ чад «:>+<�№¦<�№+ л t a (dX e? ж ti ti +<? ?? Й >) hiCV- + tu ^lAi^H (^ll^lAl Vi! hi >) +.

MlQ = 4 №+< < CA >)+ u1″ t" e", tuWu>+tu и £Ци^ u4 < tic" ++) м1С)=С+? +.

1 и*И1л +<1Um iltiS+^id.

MlCb eieu e">+< HiJUJ.

MlCb U {< ii +<�• 4 v+< &X e">).

И (i, 1! = II e? С, >+< il & +< (l? >) + 2 «» Hk. u^" V+< U, Ш" >+ 8 Л С ел е"е, л>+<? elt 4 v+ «* ul (< ej 4 < Al >)*.

Выразим направляющие косинусы ^ через углы Зйлера 8 (f по формулам. (Д %). Тогдас учетом обращения в ноль кратных интегралов от произведений, содержащих нечетные степени ^^, (Ю^^, Sf или CjoVf г для интегралов, стоящих, в правых частях последних равенств, * получим- / введены обозначениям C.,=CoS 0 ^ с^ eoi1 *.

С^ = ем ч> г V-^fr г VV^'V г V Wy /i ei ДО, > dl t? > = + < e^cj % > + < eft > + (?1″ > - < I> + ¦ tes ф — <�еЫФ + +>.

G < сtf ti ^ > - г < ctfej 4I Cfif y+ ti,.

4ei с > = «h сМ > «ft +< ДО№ > < «» «Ii = < 4 M ^ ^ < cf 4I >+ tx > - Ф1 >+>+ + > + cW > + < cft сКФ + 6 4 + tf > + +? cj $ eSto > + < cf e? tf > 1Ц1, >=< > i< c?4i cf ii? + (eft ОД >.

• ei i" и и* —-< 4 «г w > - * «WM >+.

-ч<�е, ЧЧЧЧЧ*> W ^ > - + < с/ e"> = ti >.

— <�еЖ№ W -+ > - лв^ЧЧЧЧ1 >.

— 4 6 < cf с^ ^ es%" > + < с/ еХ’е/>+ + ef e^i > + <<&{<�№ c,%tei> ef 4,* ci > i > — < 4 e? tl i?>H >.

•>=< с* i* с! > llu •>=<$ W C? >+ >+ => ±в < с, Ч'е& е,%{ >+ДОф — - < > + < е/Ф е"н, > - < + «¡-¡-чЧЧЧь +.

-а < с, Чч ЗДе^ >.

С > — < < с- >+< < >.

Кратные интегралыг стоящие в правых частях, легка сводятся с повторными, вычисляя которые, получаемлвч — *. / л<�Ц — • ¿-С*> - ^ • уаК — № сЧЬ = Х ¦ <�СгЛч> - I ¦ л 15 > л Я5- ' 1 1 ' иЬ = =<*"> = { ] к > с^> = <�е^> = > е"> = <�с?>—<4> = <*/> = -<�е, Ч*> - у — < > - <�с/*/> - ^ -.

С* 4″ > = < > = < > - < С&- ~ ¦> > - < с- ^ > - < С^ > - < С/ <} > - X.}.

В эти формулы включены все интегралы, которые понадобятся в дальнейшем* Используя юс, получим:. и.

1S tie">=<&?•> ±.

15 i ¦n '.

К =0.

33. «a ««>=<�""> = <<*> = o hi > -< hi hi > - < Mi > -, i4 д д W.

05 hi ?-chiiii hv «.

M5 o5 -1 -1 «' ч пч ч лч < й? > - < toi. > - a м..

ЛЮ aiffitifii^, о1 ul oL Ol. <.

4 оЧ.

Ч И.

0 5 «» ei & i? «i e? > -< eг* > = m и ^ - < Ъь > Ux t. xi > ~.

4 nlnX.

-а ч Л1 Л хь ' 36 bs^U У-Ц Ux^ ^^Ь * ' Í-Я lu lu lbX ^ > =? К 4 $ ^ j > *.

-c hx^ььЪъ ~ О ъчъ — ijf > = < ^ ^ ^ ~ lio iX =< tu iXO^ 1ц ixi > = < > - < Кь^ХЬ * «ijj (fl t: H > = < i > = < ibb (ib > ~ < СI» 6=< СIX > - < <1 e^ еД > — ^ ^а^я^иЦ — о.

Используя полученные результаты" окончательно имеем:.

5X5 *.

М (ОМ Ы — И К*") — Ниа + Ф Ь.

Математические ожидания остальных модулей равны нулю, а дисперсии имеют вид:..

Вычислим, математическое ожидание и дисперсию Обозначим, через выражение: Л мм^мзд «.

С помощью, системы уравнений (АА) формулы (Ч.Ъ) гл"2, значительно упрощаются:.

—^ми + Ь I 1″ + ¿-а + 1ь ^ЬЬ).

Сад с, 1.+ ей+.

Сан =^иа + ^ь) с,+.

М + ^АХ^П +^ль £ьь).

С= + (¿-Аг + и.

Сим — + +.

К<�е"ем + е,"веи+ еХ"".

Сравнивая последние формулы с формулами и используя полученные выше выражения для математического ожидания и дисперсии. г имеем:.

Сж.) = ®-(Сии) — ад,"} = л. е ш.

Математическое ожидание остальных модулей равны нулю, а дисперсии равные.

Ы = 5)(С = С.

10ь.

Вычислим математическое ожидание и дисперсию для ортотропных кристаллов гексагональной симметрии".

Введем, следующие обозначения: — Х&цц + &хЬ1Ь ~ ~ Омш.

С помощью уравнений формулы можно упростить: ^^ьь ^.

-чв, е"е п ^ В1 е&bdquoеи — ив,^?^ ЯД ^ а лл"" — Н1 еД е".

Используя написанные, выше формулы, получим:..

Ы = ъ^) = = ^ в’мМ= 7? ь о 1Ь а"," + - к, 11 е, 1-!^,.

Математические ожидания остальных модулей равны нулю* а дисперсии равны: —.

ЯЫ — - «Л — х ^+^ в, 1+^в,®, 1 М? ' (о?1 ли О — г = = У + ^В}.

Найдем, математическое ожидание и дисперсию С^ для ортатропных кристаллов гексагоналвной симметрии. Введем, обозначения I.

4= + = 1 Ат + 1~ ' I"" а. = Лма ~ 1т* к' «Яхмъ.

Тогдаi.

С-им = + «» ^а-^ъ.

Сии ~ +^лДп ~ Cm", ~ ^"ьг +^а ^А ЬЪ ~^tolb ^ «х ^ ~ i?^ъъ * Д^А, ij* ^дА*^*.

— ~ ^ ^Ь^ХЬ ~ ^v" ^ ^.

Счиа. ~^Ди ^г «Wrc^ii.

С*"*- кил* - ми".

С AU 2. «^ ~^А ^Аг.

Математическое ожидание и дисперсия С^р будут равные.

ИМ— мЫ= мыjfti.

Щт)"^Ы —^Ыlib i-Bi —^АД ММ= МЫ— МЫ — JW К* мы — мы — мы — W± V ъ..

Ы = «Ы = = + fe & - ih ^.

Математические, ожидания остальных модулей равны нулю, а дисперсии равны:.

Ы = «вы — = ^ + ?+^ е, А + ^ +.

— — Я^шЛ = Warn V — = Die — + ^ - ^ 4Л.

В работе^ получены следующиеосновные результаты^ I* Дана методика определения параметра квазиоднород ности. для однофазного поликристалла* Аналитические выра жения получены для поликристалла, зерна которого, являются ортотропнЕми. кристаллами, кубической и гексагональной сим метрии. Вычислен параметр квазиоднородности для некоторых конкретных поликристаллических материалов-.2^ Дана методика определения параметра квазиоднород ноисти. для композита, состоящего^ жа матрицы с включениями, распределенными в матрице случайным образом, при этом, ма териал фаз может, быть как изотропным., так и анизотропным• В случае анизотропных включений, аналитические формулы па лучены для ортотропных включений кубической, и гексагональ ной симметрии. Вычислен параметр квазиоднародности. для не которых композиционных материалов* Параметр квазиоднородностиимеет важнейшеезначение для определения границ применимости классических теорий к. описанию поведения структурно-неоднородных сред. Клас сические теории дают правильное описание явлений в слу чаях, когда характерные параметры задачи размерности дли ны будут, значительна больше параметра квазиоднородности, —.

В случаях.: когда, этаусловие не выполнена, следует ожи дать расхождения предсказаний классической теории с наб людаемыми явлениями* Так. будет, Е частности" в задачах о деформации очень тонких пластин, в задачах о концентрации напряжений вблизи, концентраторов с малыми радиуса ми кривизны, в задачах о деформациях тел с сильно лока лизованными. воздействиями, в задачах о высокочастотных колебаниях• При. проведений экспериментов можно гарантировать^ что механические свойства, полученные для образцов., ха рактерный линейный размер которых, не меньше параметра квазиоднородности, являются типичными: для всеготела" Предложенный способ определения параметра квазиодно родности может быть усовершенствовай далее путем, более точного, нежели методы Фойгта и Рейсса, определения нап ряженно^-деформированного состояния неоднородной области".