Анализ соотношений и краевых задач теории упругопластических процессов средней и малой кривизны

Элементы различных конструкций работают под действием поверхностных и объемных сил, приводящих к неоднородному напряженно-деформированному состоянию, изменяющемуся со временем. При этом напряжения, появляющиеся в теле, в отдельных местах или всюду могут превосходить предел текучести материала. Возникают сложные процессы деформации по траекториям, существенно отклоняющимся от прямолинейных. Для их описания необходимо применять достаточно сложные нелинейные соотношения, учитывающие историю деформации. В связи с этим возникают следующие трудности:

Во-первых, существующие частные уравнения состояния не описывают всех процессов сложного нагружения, поэтому при решении конкретных задач необходимо проверять физическую достоверность используемых соотношений.

Во-вторых, при решении краевых задач теории пластичности для пространственных тел возникают трудности математического характера, так как приходится рассматривать нелинейные дифференциальные уравнения.

Наиболее достоверными в смысле соответствия уравнений состояния и экспериментальных результатов являются процессы, близкие к простому нагружению, всесторонне рассмотренные в работах А. А. Ильюшина /~297. Для произвольных процессов сложного нагружения А. А. Ильюшиным предложен метод СН-ЭВМ /~32, 33 7.

Учет сложности траектории деформации приводит к необходимости усложнения определяющих уравнений и, вместе с тем, выяснения условий их применимости, если соотношения определены для частного класса процессов.

В основе уравнений состояния в общем случае сложного нагру-жения лежат принципы общей математической теории пластичности, сформулированные А. А. Ильюшиным /~30−347: постулат изотропии, принцип запаздывания векторных и скалярных свойств, гипотеза о разгрузке и постулат пластичности. Они сформулированы при следующих предположениях:

1. В исходном состоянии тело является изотропным. Под исходным (естественным) состоянием понимается такое состояние, при котором в исследуемом теле отсутствуют напряжения и деформации.

2. Считается, что в достаточно малой окрестности произвольной точки тела напряженно-деформированное состояние однородноэто позволяет отождествить процессы, протекающие в каждой фиксированной точке рассматриваемого неоднородно-деформируемого тела с процессами, протекающими при однородной деформации не-, которого образца конечных размеров (постулат макроскопической определимости А. А. Ильюшина).

3. Деформации считаются малыми, то есть их квадратами по сравнению с самими величинами можно пренебречь.

4. Исключаются из рассмотрения реономные свойства материала, то есть время явно не входит в уравнения состояния.

5. Среднее напряжение б = бки/3 является однозначной функцией среднего удлинения ?= &-кк/3 и величину б в экспериментальных исследованиях связи Sij^^ij, где Sy = б’у б,.

Bcj ~ ~ & ~ девиаторы тензоров напряжения и деформации, можно считать внешним параметром, таким, как температура.

6. Пренебрегается влиянием третьего инварианта девиатора напряжений (деформации) на зависимость S^^G^y.

Постулат изотропии проверялся экспериментально в работах В. С. Ленского /" 42−45,477 и к настоящему времени получил весьма убедительное обоснование в исследованиях других авторов /" I, 2,8,9,16,18,25,26,62,71,727.

Постулат изотропии позволил установить вид общей связи напряжения — деформации для произвольного сложного нагружения.

P^^COS^^tt^,., 5. ол).

В этом соотношении — единичные векторы естественного сопровождающего репера Френе траектории деформации, определяемой годографом пятимерного вектора деформации Э = Эл.5ц в определяются соотношениями пятимерном евклидовом пространстве Э — компоненты Эц так что |Э|2—ettas-jBcj&cj. Аналогично в пятимерном пространстве Э определяется вектор напряжений 2 Г с компонентами так что I С| б* s «2 Sij Sij •.

JPh ~ функционалы внутренних характеристик траектории деформации в Э, то есть 4-х кривизн дЭ* (/2=1,., 4), и внешних параметров, например, температуры и гидростатического давления, по длине дуги I^Bl^f t где t — параметр, монотонно возрастающий по времени. Так как функционалы JPn, не зависят от третьего инварианта девиатора деформации, то соотношение (ОЛ) инвариантно по отношению к преобразованиям вращения и отражения в 3 .

Гипотеза локальной определенности В. С. Ленского /~44, 457 определяет функционалы ориентации вектора напряжений (во второй записи соотношений (0.1)) как решение системы обыкновенных дифференциальных уравнений.

LQt/ds-h (QK, XH, Gj (i, K*l,., 5, H~J.,., k), где — универсальные функции материала.

Из постулата изотропии и принципа запаздывания для изотермических процессов следуют некоторые частные варианты теории пластичности, приемлемость которых для соответствующих классов процессов обоснована экспериментально: а) Теория малых упругопластических деформаций /~297:

SCJ = f ф0(еи) eLJ, сr-зКе, (о.2) а где К — модуль объемной упругости, Ф — универсальная для данного материала функция упрочнения. Эта теория широко используется и является основным аппаратом расчетов на прочность и деформируемость конструкций за пределом упругости /~33,647. б) Теория процессов малой кривизны /" 30,42−44,46,4,57: с г Ф (s) л а1/е — deu.

Ог—J-——^rT^S (0.3) совпадающая для идеально пластического материала с классической теорией Сен-Венана. в) Теория процессов средней кривизны /~537: б= Ф (&)(соз0р1+$ 1пдрх), (о.4).

6= arccos (бр±/би) сол1 след запаздывания. г) Теория процессов в виде двухзвенных ломаных /" 30,44, 8,57,607:

6=6u (cos9p + sin6n), (о.5) где р, Р1- единичный ортогональный репер в точке излома S0, р — вдоль второго отрезка, YIв плоскости 1-го и 2-го, бигби. (S0,S-S<>, ip), 9= 9(S0>SSo,(p) — фугол излома. (0.5)' д) Теория пластичности, основанная на гипотезе локальной определенности В. С. Ленского в форме /~46,487 cf ft/cfs — (flc, aeK, s), cr"= Фс sX 3 Ke, (o.e) где.

COsQk ^брк/бц.', L, K=l,., 4- не ограничивает класс процессов, но включает сильное упрощение б^ФйО, заведомо отличающееся во многих случаях от истинного вида функционала (Set. Поэтому ее использование в краевых задачах ограничено /~487.

С использованием ГЛО было высказано утверждение /~447, что при произвольном сложном процессе деформации имеет место соотношение вида э'=Ав + Вб', (о.?) где штрихом обозначено дифференцирование по длине дуги В последние годы это утверждение получило экспериментальное подтверждение.

Таким образом, перед исследователем возникает вопрос: какую частную теорию из указанных пяти выбрать для решения краевой задачи при заданных внешних воздействиях? Приведем ограничения, обычно характеризующие использование теорий а) — г) (/~587, стр. 50):

Траектории Большой кривизны Средней кривизны Малой кривизны Простого нагружения Двухзвенные ломаные с изломом в точке S0.

Естественно, каждое из указанных соотношений приемлемо также для процессов, близких к основным, которые можно определить аналогично тому, как это сделано для простой деформации (/" 497, стр. 71).

Этими ограничениями пользуются для оценки применимости теории при решении достаточно сложных пространственных задач термопластичности (см., например, /~707). Фактически, используется предположение о том, что если при заданных внешних нагрузках согласно какой-либо теории из а) — г) получено рео о v шение краевой задачи с траекторией деформации, удовлетворяющей соответствующему этой теории условию (0.8), то и решение, полученное по теории, требующей более слабых ограничений и поэтому более сложной, совпадает с первым или мало отличается от него.

Выяснение условий на характер изменения внешних нагрузок, при котором выполняются соответствующие ограничения (0.8),.

Условия в каждой точке 5 траектории эe (S)> 1/к эе (S)~ i/h de (S) < 1/h de (s) «i/к (де*0) (0.8).

Одельта-функция. представляет значительные трудности. Такие условия для простого нагружения получены А. А. Ильюшиным /~297- для двух-звенных ломаных этот вопрос рассмотрен в /~617- для траекторий малой кривизны соответствующие условия найдены лишь для простейших задач /~4,197.

Заметим, что теория д), основанная на гипотезе локальной определенности в более общей форме, нежели (0.6).

Mi/ds=fL (0k,"kA.s),.

0.9) которая и подразумевалась В. С. Ленским /~337, обобщает соотношения а) — г) для некоторых материалов. Для выполнения этого необходимо и достаточно, чтобы для данной траектории деформации, удовлетворяющей одному из условий (0.8), тензор напряжений, определяемый интегрированием системы (0.9), мало отличался от тензора напряжений, полученного согласно одной из теорий а) — г), соответствующей заданному условию. Это, в свою очередь, достигается наложением определенных ограничений на вид функций I -0,1,., 5. Так, например, соотношения (0.5) получаются непосредственным интегрированием (0.9) при 3eA=^&fS<, s (?. Для некоторых материалов выполняется условие.

Д ($>SL)=B ($i)/B (s), где В некоторая функция, и, таким образом, угол 0 в соотношении (0.4) удовлетворяет уравнению (0.6) /~547.

Более того, частный вид соотношений (0.9) cl0/ds"/t (0,ae, 6i, s), 0t*f, i=3A5- d6a/cfs"/,(0,ae,&, s), 6=3Кб, (0>9), где, 96= также будет обобщением теорий а) — г) в указанном выше смысле.

Таким образом, считая, что в рассматриваемом теле реализуются упругопластические процессы, для которых в качестве физически достоверных могут быть использованы уравнения состояния (0.9)' (пример множества таких процессов — подкласс.

Рте см. § 1 настоящей работы), следует учитывать, что применение какой-либо теории из а) — г), вообще говоря, обосновано лишь тогда, когда решение при тех же внешних нагрузках с использованием (0.9/ приводит к выполнению ограничений (0.8), соответствующих применяемой теории.

Решение краевых задач с использованием (0.9) и даже (0.9У связано со значительными математическими трудностями.

В предлагаемой диссертации рассмотрена конкретная реализация соотношений (0.9/, постановка и методы решения соответствующих краевых задач.

В § 1 на основе анализа общих соотношений (0.1) для некоторых упрочняющихся материалов и достаточно широкого класса многомерных траекторий деформации предложены и обоснованы конкретные, с точностью до трех функций длины дуги $, определяемых из эксперимента, дифференциальные соотношения типа (0.9/. Поскольку рассматриваемые соотношения охватывают траектории с точками излома, то для них везде ниже будет применяться название — теория упругопластических процессов интегрально средней кривизны.

В § 2 рассмотрен вопрос об условиях, которым должны удовлетворять функционалы пластичности для возможности представления связи между напряжениями и деформациями в виде (0.9)' .

В §§ 3−6 проводится экспериментально-теоретический анализ предложенных в § 1 соотношений, найдены функции материала для некоторых металлов, показано соответствие этих соотношений теориям средней и малой кривизны.

В § 7 проводится линеаризация соотношений теории малой кривизны для медленных стационарных течений пластического материала.

В § 8 рассмотрена задача об устойчивости плоской формы изгиба консольной балки за пределом упругости.

Во второй главе диссертации дается постановка краевой задачи теории упругопластических процессов интегрально средней кривизны. Рассмотрена возможность вариационной постановки задачи (§ 9). Доказываются теоремы единственности и существования, рассматриваются приближенные методы решения (§§ 10−12).

В третьей главе диссертации рассмотрены методы решения краевых задач теории малой кривизны (§§ 13−14). Доказывается сходимость этих методов.

Рассмотрена задача о кручении толстостенного кругового цилиндра касательными нагрузками, изменяющимися вдоль оси цилиндра. Выполнены числовые расчеты. Решение сравнивается с решениями, соответствующими деформационной теории и теории средней кривизны (§ 15).

Основные результаты диссертации опубликованы в работах /~19−247.

Основные результаты работы:

1. В классе упругопластических процессов интегрально средней кривизны получено представление для интенсивности напряжений и угла сближения в виде решения системы дифференциальных уравнений.

Выяснена зависимость между сильной дифференцируемостью и представимостью в виде решения системы дифференциальных уравнений функционалов пластичности для произвольных плоских траекторий деформации.

Конкретизированы соотношения теории средней кривизны для ряда конструкционных металлов, проведено сравнение с результатами опытов на сложное нагружение.

На решении задачи об устойчивости плоской формы изгиба консольной балки-полосы за пределом упругости показана применимость предложенных соотношений к решению задач теории устойчивости.

2. Дана постановка краевой задачи теории средней кривизныдоказаны теоремы единственности и существования.

3. Предложены новые методы решения задач теории упругопластических процессов малой кривизныдоказана их сходимость.

Решена задача о кручении толстостенного кругового цилиндра боковыми касательными нагрузками, изменяющимися по длине цилиндра, и торцевыми уравновешивающими моментами с использованием деформационной теории, теории малой кривизны и теории средней кривизны. Проведено сравнение численных решений.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

.