Нелинейные внутренние волны прибрежной зоны океана

В динамике краевых областей океана, включающих шельф и прибрежную зоны, значительную роль играет разновидность волнового движения, связанного с одной стороны с плотностнойтификацией, а с другой вращением Земли, известного под названием внутренние волны (ВВ). Его исле-дование имеет большое значение в силу того, что именно оно, главным образом, формирует мезомасштабную изменчивость гидрофизических полей, вызывает апвелинг и неустойчивость вдольбереговых течений, оказывает существенное влияние на генерацию и изменчивость ветровых течений [113, 134, 192, 194]. Кроме того, ВВ во многом определяют особенности распространения акустических сигналов [110] и различного рода примесей [144], миграцию биологических сообществ [148, 149, 150, 151] ВВ оказывают влияние на состояние морской поверхности [78]. Их необходимо учитывать и при разработке новых и совершенствовании имеющихся методов исследования океана из космоса. Все эти факторы определяют актуальность изучения динамики внутренних волн (ВВ) в прибрежной зоне морей и океана.

Начало современным исследованиям ВВ в прибрежной зоне океанов приходится на середину шестидесятых годов прошлого века, примечательных тем, что это явление стало объектом пристального внимания исследователей сразу трёх разделов науки: экспериментальной океанографии, прикладной математики и дистанционного зондирования. Появление нового типа океанографических приборов в 60-х годах (например, «термических кос») позволило зарегистрировать эти необычные волны в различных районах прибрежной зоны океанов и окраинных морей. Среди наиболее известных из ранних измерений были измерения в Андаманском море [173]. С их помощью были зарегистрированы ВВ до 80 м высотой и 2000 м длинной в главном термоклине, расположенном на глубине 500 м при общей глубине 1,5 км. В работе [109] позднее было показано, что эти волны возбуждаются приливным потоком, проходящим через проливы между островами Андаман и Никобар. К числу ранних океанологических наблюдений ВВ следует отнес-ти наблюдения Хальперна в проливе Гибралтар [197, 198] и Хэйри в Массачусетсом заливе [137, 138]. Тогда же Торп [184] и Хункинс [140] выполнили аналогичные наблюдения в озёрах Лох-Несс, Сенека штат НьюЙорк, соответственно. В работах [197, 198], в частности, был убедительно доказан солитонный характер волн.

Из первых наблюдений следовало, что искомое волновое движение принадлежало к нелинейному типу волн. Их амплитуды по сравнению с вертикальными масштабами стратификации были слишком велики для того, чтобы быть линейными. Каноническое уравнение, определяющее эволюцию длинных свободных волн, и содержащее нелинейность и дисперсию является уравнение КдВ и уже первые исследователи догадывались о значении недавнего открытия Гарднера [127] о точных асимптотических решений уравнения КдВ, которым соответствовали упорядоченные по рангу уединённые солитоны.

Третья «точка роста» в исследованиях нелинейных ВВ связана с развитием дистанционных методов. Апель [109] привёл доказательства присутствия нелинейных ВВ в Нью-йорской бухте и на северо-западе побережья Африки. Это было начало программы SEASAT, в которой началось использование радаров с синтезированной апертурой (SAR) для получения изображений прибрежной зоны океанов. На этих изображениях были отчёт-ливо видны пакеты, распространяющихся к берегу ВВ, повторяющиеся через приливной период. Вскоре выяснилось, что подобные ВВ повсеместно распространены в прибрежной зоне океанов и окраинных морей. Множество примеров этих ранних изображений можно найти в работе [126]. Обширная коллекция ВВ представлена на сайте http://www.internalwaveatlas.com/.

За прошедшие годы был опубликован ряд обзоров, включающих различные аспекты динамики длинных нелинейных ВВ. Обзор Майлса [159] по-свящён нелинейным ВВ, включая уединённые ВВ. В работе [171] сделан обзор натурных наблюдений и теорий нелинейных ВВ, и солитонов этих волн. В обзорах [135, 136] дан анализ уединённых ВВ и длинных нелинейных ВВ во вращающихся системах, соответственно. Важный обзор Акуласа [108], посвящён трёхмерным длинным нелинейным ВВ. И наконец, в последнем обзоре [140] подведены итоги исследования этого явления геофизической гидродинамики, важного для океанографии прибрежной зоны океана.

Таким образом, история их активного изучения насчитывает уже более трёх десятилетий, но всё ещё остаются открытыми целый ряд вопросов. Теоретические исследования продвинулись существенно дальше экспериментальных, о чём, в частности, свидетельствует литература, посвящённая ВВ, состоящая в основном из теоретических работ. Однако говорить о полной теоретической ясности явления ещё говорить рано. Практически отсутствуют работы, связанные с решением статистических задач теории нелинейных ВВ. Тем самым затрудняется интерпретация натурных наблюдений ВВ. Положение усугубляется ещё и тем, что исследования ВВ в натурных условиях представляют значительные трудности, в первую очередь, в техническом плане.

Разнообразие источников возбуждения (ветер, флуктуации давлении), наличие различного рода неоднородностей (рельефа дна, береговой черты.) усиливает случайную компоненту ВВ, усложняя адекватное описание волнового поля. Одним из наиболее эффективных методов анализа случайного волнового движения является спектральный метод [2, 121]. Спектральные характеристики волнового поля зачастую позволяют идентифицировать основные механизмы формирования этого движения с различными пространственно-временными масштабами. Кроме того, этот метод полезен не только с точки зрения моделирования структуры его спектров, но и как взгляд на явления, происходящие в океане через выбранное «спектральное окно» с последующим детальным статистическим анализом рассматриваемых через это «окно» флуктуаций.

Экспериментальные исследования показывают, что в отличие от ВВ глубокого океана в прибрежной зоне поле ВВ нелинейно, нестационарно во времени и неоднородно по пространству. Указанные особенности затрудняют использование традиционного спектрального анализа для исследования и интерпретации натурных наблюдений за ВВ. В связи с этим достаточно актуальной представляется задача определения пространственно-временных масштабов, в пределах которых поле ВВ может быть охарактеризовано как стационарное и однородное поле в широком смысле. В рамках такого подхода исследование нестационарной природы ВВ состоит в изучении нестационарной изменчивости и применении мощного аппарата теории нелинейных случайных волн [11, 27, 29] для создания спектральной модели этого волнения. Возможность такого подхода основывается на том, что в первом приближении по параметру нелинейности (б~А1Н где Аамплитуда волны, Я-глубина бассейна) нестационарность и неоднородность волнового поля является «плавной», т. е. изменение амплитуды волны — ЗА на расстоянии равном её длине мало, т. е. 8 А! А" 1.

Успехи в изучении нелинейных ВВ последнего времени связаны, прежде всего, с использованием численных метод, сделавших возможным расчёты полей в сложных и вполне реалистичных моделях прибрежной зоны [141, 142, 143, 189]. Не потеряла своей актуальности и возможность аналитического описания ВВ. Последняя важна при планировании натурных экспериментов и интерпретации полученных при этом данных. Дело в том, что в прибрежной зоне профиль частоты плавучести зачастую точно не известен. Кроме того, он существенно зависит от места и времени проведения измерений. Использование простых моделей ВВ позволяет прогнозировать изменение структуры ВВ при вариациях параметров и предвидеть последствия изменений условий проведения экспериментов. Наличие таких оценок представляет интерес и с точки зрения развития теории обработки экспериментальных данных.

В натурных условиях профиль частоты плавучести отягчён различного рода погрешностями. Кроме того, он зависит от места и времени проведения измерений. Использование простых аналитических моделей позволяет прогнозировать изменение структуры ВВ при изменении параметров и предвидеть последствия изменение условия проведения экспериментов. Наличие таких оценок представляет интерес и с точки зрения развития методов обработки экспериментальных данных. Наличие простых аналитических формул, связывающих характеристики частоты плавучести и параметры волнового поля, имеет особую важность при решении обратных задач. Например, в качестве измеряемых характеристик поля, играющих роль входных параметров при решении обратных задач можно рассматривать параметры мод.

В последнее время наметилось ещё одно направление в исследованиях ВВ прибрежной зоны, для которого использование аналитических методов весьма актуально. Это так называемая проблема замкнутого описания различных режимов эволюции нелинейного случайного внутреннего волнения. Её суть состоит в следующему. По целому ряду причин нелинейные ВВ в прибрежной зоне могут быть случайными. Известно, что слабодисперсные нелинейные случайные волны могут находиться в том числе и в режиме сильной волновой турбулентности. Дать замкнутое статистическое описание различных стохастических режимов в ансамбле случайных нелинейных ВВ в мелком море, проследить эволюцию такого ансамбля от начального состояния, до развитой турбулентности, изучить влияние гидрологических условий на развитие этих режимов без использования аналитических методов достаточно проблематично.

Изложенные выше соображения определяют актуальность темы диссертационной работы. Кроме того, актуальность работы, основанной на натурных наблюдениях, усиливается дефицитом экспериментальных исследований ВВ, вызванном ограниченностью финансовых возможностей для проведения таких исследований и техническими трудностями, связанными с проведением экспериментальных исследований в прибрежной зоне. Вместе с тем, небольшие глубины (<100м) и значительные амплитуды ВВ, близость пикноклина ко дну или к поверхности, наличие течений превращают прибрежную зону в полигон, где особенно выразительно проявляются нелинейные свойства ВВ. Тем самым указанная зона, может служить природным полигоном для тестирования теоретических моделей этого волнового процесса, и в тоже время исследование ВВ в этих зонах может быть стимулирующим фактором развития теории нелинейных волн в океане.

В соответствии со сказанным нами формулируется цель настоящей диссертации — разработка и экспериментальная проверка ряда математических моделей, пригодных для описания и анализа динамики внутреннего волнения в краевых областях океана с учётом его нелинейности и случай-ности. Реализация намеченной цели осуществлялась путём решения трёх основных задач, каждая их которых потребовала создания соответствующих математических моделей.

Эти задачи:

1. Изучение динамики нелинейных случайных внутренних волн в мелком море с произвольным распределением плотностной стратификации по глубине, диссипации, неоднородностей рельефа дна и наличия боковых границ.

2. Разработка методики анализа вертикальной структуры нелинейных случайных ВВ, адаптированной к натурным условиям.

3. Экспериментальная проверка основных положений и выводов, предложенных моделей случайного, нелинейного внутреннего волнения в краевых областях океана.

Здесь и далее под математической моделью подразумевается совокупность дифференциальных или интегральных уравнений с соответствующими краевыми условиями и аналитического или численного алгоритма точного или приближённого решения задачи. При построении всех специализированных моделей исходным является представление о краевой зоне океана, глубина которой много меньше характерного горизонтального масштаба ВВ, расположенной на /-плоскости, ограниченной боковой границей, с неоднородным рельефом дна, заполненной вязкой жидкостью с произвольной плот-ностной стратификацией.

Первая модель представлена в главе 1 и предназначена для изучения динамики нелинейных внутренних волн, в том числе волн в краевых зонах. В основу первой модели положено известное гидростатическое приближение. В работе показано, что в рамках этого приближения волновое поле можно представить в виде суперпозиции нормальных мод, горизонтальная структура которых определяется решением нелинейного уравнения Бюргерса, а вертикальная структура определяется решениями линейной краевой задачей на собственные значения. Модель имеет аналитический.

Вторая модель представлена в главе 2 и предназначена для изучения динамики случайных нелинейных внутренних волн. В её основу положено уравнение Бюргерса со случайным краевым условием. С помощью этой модели удаётся эффективно решить задачу замкнутого статистического описания случайных нелинейных внутренних волн, проследить полную картину трансформации этих волн в мелком море.

Третья модель предназначена для анализа вертикальной структуры случайных нелинейных ВВ в мелком море. В её основу положен метод эмпирических ортогональных функций. Последние представляют собственные функции интегрального уравнения, ядром которого выступает корреляционная функция поля вертикальных смещений изопикн, вызванных ВВ.

Основные результаты настоящей диссертации состоят в следующем: используя асимптотический метод многих временных масштабов показано, что эволюция начального возмущения конечной амплитуды в мелком море, ограниченном боковой границей в общих чертах происходит следующим образом. Возмущение единственным образом расщепляется на «медленную» и «быструю» компоненты движения. Быстрая компонента представляет нелинейное возмущение, сосредоточенное в окрестности границы и распространяющееся вдоль неё так, что граница остаётся справа, т. е. представляет нелинейную внутреннюю волну Кельвина (ВВК);

— установлено, что процесс трансформации фиксированной моды ВВК определяется уравнением Бюргерса с коэффициентом нелинейности у, существенно зависящим от распределения частоты плавучести по глубине.

— первые в океанологической практике решён ряд задач о трансформации спектра случайного нелинейного внутреннего волнения в мелком море:

• установлено, что при соответствующей стратификации плотности с ростом частоты нелинейного внутреннего волнения спектр интенсивности вертикальных смещений фиксированной изопикны — С, неоднороден и спадает по универсальному степенному закону вида.

• показано, что наличие плавных уклонов дна (tg& «: 1) мелкого моря не изменяет универсального вида спектральной плотности его внутреннего волнения, т. е. его спектральная плотность в таком море сохраняет степенную асимптотикусо'3.

• обнаружено, что в результате взаимодействия нелинейного внутреннего прилива с высокочастотным внутренним волнением спектр последнего уширяется как в сторону высоких, так и в сторону низких частот, так что имеется область частот, в которой энергетический спектр волнения неоднороден и принимает универсальный степенной вид Б^{со, х)~ ^{о^/ж/ЗАхО) с наклоном р-1, а его параметры определяются энергией волнения ~ сг2, амплитудой, А и частотой прилива-.

• показано, что эффективность взаимодействия синоптического шума и внутреннего прилива существенно зависит от шумовой модуляции М=<�т/3о)0х, так что для случая иМ"1 при? у-«оо спектральная плотность внутреннего волнения спадает по универсальному степенному закону (хсо), а для противоположного случая пМ». 1 в спектре можно выделить две характерные области частот, в которых 8с (х-а>) ~со'г и 8((х-со) -со'2.

— показано, что в мелком море, охваченном нелинейным внутренним волнением, амплитудные функции нормальных мод взаимозаменяемы с соответствующими эмпирическими ортогональными функциями у/т (г) корреляционной матрицы вариаций поля скалярного параметра д0, средний градиент которого удовлетворяет соотношению ~СЫ0 (г);

— в ходе анализа гидрологической информации, полученной осенью 1986 г., обнаружено, эмпирические ортогональные функции корреляционной матрицы вертикальных профилей температуры — <рт (г) на шельфе Японского моря и амплитудные функции внутренних волн?? т (г) связаны приближённым соотношением срт (г) — (с!Т0/с1г)1?т (г), где (с1Т01(к) — фоновый градиент температуры;

— анализ инструментальных измерений температуры, модуля скорости течения и уровня моря, полученных осенью 1999, 2001 годов в прибрежной зоне полуострова Гамова, показал, что спектр мезомасштабной изменчивости указанных параметров содержит максимумы на частотах: и," 1/12.5ч" 1, 2у, у2 «1/11.1 ч’х, у3 «1/1 ¦4.6 ч~х и частоте синоптической изменчивости О «1/96 ч'1;

— обнаружено, что наклон спектра изменчивости температуры в прибрежной зоне Японского моря осенью 1999, 2003 годах и на тихоокеанском шельфе Мексики 1995 году в среднем диапазоне частот не плохо аппроксимируется наклоном р=3, а в высокочастотной области спектра изменчивости на мексиканском шельфе этот наклон оказался близок к р= 1.

На защиту выносятся следующие положения и научные выводы:

1. Предложенные в настоящей работе математические модели решают сформулированные основные задачи.

Гидростатическая модель нелинейных внутренних волн Кельвина позволяет исследовать характерные особенности динамики этих волн для произвольной стратификации плотности, различного типа турбулентной вязкости, плавных шероховатостей рельефа дна.

Существенно опирающаяся на теорию случайных нелинейных слабодисперсных волн гидростатическая модель нелинейного внутреннего волнения является удобным средством исследования само и взаимодействия случайных нелинейных внутренних волн в краевых областях океана с произвольной стратификацией плотности по глубине и плавными неоднородностями рельефа дна.

Преимуществом предложенной методики исследования вертикальной структуры внутренних волн с использованием метода эмпирических ортогональных функций является то, что эта методика позволяет учесть случайный характер внутреннего волнения. Тем самым создаётся замкнутая схема анализа горизонтальной и вертикальной структуры случайных внутренних волн.

Все модели опробованы на ряде частных задач экспериментального или теоретического характера. Путём обобщения полученных с помощью различных моделей и не противоречащих друг другу результатов делаются сформулированные ниже выводы.

2. В краевой области океана, с плавными неоднородностями рельефа дна, расположенной на бета-плоскости и заполненной вязкой, стратифицированной по плотности жидкостью эволюция начального возмущения конечной амплитуды в общих чертах происходит следующим образом. Возмущение единственным образом расщепляется на «медленную» и «быструю» компоненты движения. Быстрая компонента представляет нелинейное возмущение, сосредоточенное в окрестности границы и распространяющееся вдоль неё так, что граница остаётся справа, т. е. быстрая компонента представляет внутреннюю волну Кельвина (ВВК) с вынужденной поперечной компонентой поля скорости. Динамика ВВК существенно зависит от соотношения между нелинейностью и диссипацией.

3. В указанной краевой области при соответствующей стратификации плотности по глубине с малой диссипацией закономерности формирования спектральной структуры внутреннего волнения определяются нелинейным самовоздействием и взаимодействием его спектральных компонент. В частности, в результате самовоздействия спектр интенсивности вертикальных смещений фиксированной изопикны становится неоднороден и приобретает универсальный степенной вид Бр^х^й)) — а>~г, а при взаимодействие внутеннего прилива конечной амплитуды с высокочастотным внутренним волнением у спектра последнего появляется область частот, в которой он принимает универсальный степенной характер Бр^а^)-со~х{<�у21л0Ах?1), где а2 ~ энергии волнения, А — амплитуда и О — частота прилива.

4. При наличии в краевой области узкополосного синоптического шума и внутреннего прилива их взаимодействие существенно зависит от коэффициента шумовой модуляции М= а/3со0х, так что для случая пМ"1 при (о -«оо спектральная плотность внутреннего волнения спадает по универсальному степенному закону 8р^{хо))~со'г, а для противоположного случая пМ<&в спектре можно выделить две характерные области частот, в которых 8рс{хсо) ~со~ъ исо'2.

5. Показано, что в мелком море, охваченном нелинейным внутренним волнением, амплитудные функции нормальных мод М0(г)1?т (2) взаимозаменяемы с соответствующими эмпирическими ортогональными функциями ц/т [г) корреляционной матрицы вариаций поля скалярного параметра qQ, средний градиент которого удовлетворяет соотношению с1д0/с1г «С7У0 (г).

6. В прибрежной зоне Японского моря в районе полуострова Гамова при соответствующем распределении стратификации плотности (а) внутреннее волнение имеет модовую структуру, с преобладанием первых трёх мод, на которые приходится более ~ 90% от полной энергии волнового полявозможно (б) формирование у внутреннего волнения спектра с наклоном р—Ъ (в) нелинейное параметрическое усиление внутреннего прилива синоптическим шумом.

Отдельные полученные в работе теоретические и экспериментальные результаты не противоречат более ранним исследованиям других авторов и подтверждены в более поздних исследованиях с помощью сопоставления с данными натурных наблюдений, а также путём воспроизведения одних и тех же эффектов во многих натурных и численных экспериментов. Это свидетельствует о научной достоверности сделанных выводов.

Основное значение настоящей работы заключается в построении различного уровня сложности математических моделей случайного нелинейного внутреннего волнения в прибрежной зоне океана, предназначенных для решения широкого круга задач мезоокеанологии.

Основные результаты работы докладывались на Всесоюзном симпозиуме по дифракции и распространении волн (г. Винница, сентябрь 1990 г.) — на международных конференциях «Потоки и структуры в жидкостях» (Владивосток, сентябрь 1991 г.- Санкт-Петербург, сентябрь 1992 г.- Москва, июнь 2005 г.), 23-м съезде Международного геофизического и геодезического союза 11 100−2003 (Саппоро, Япония, 2003), на 11-й школе-семинаре «Акустика океана» (Москва, май 2004 г.), на семинарах ТОЙ ДВО РАН по «Нелинейной динамике».

В предлагаемой диссертации обобщены результаты теоретических и экспериментальных исследований, выполненных в 1990;2005гг. автором в Тихоокеанском океанологическом институте им. В. И. Ильичёва ДВО РАН. Работы [61, 63, 65, 69] сделаны автором единолично, прочие в соавторстве. В выполненных в соавторстве работах [19−22, 31, 48, 50, 51, 59, 60, 125, 68, 70, 71, 82, 83, 84, 85] автором диссертации осуществлены постановка задачи и разработка программы экспериментов. Всё изложенное в настоящей работе отражает точку зрения автора и полностью лежит на его ответственности.

Диссертация состоит из настоящего введения, четырёх глав, заключения, списка литературы и содержит 284 страниц машинописного текста, 35 рисунков и четырёх таблиц.

Список литературы

включает 199 наименования, в том числе 92 работы иностранных авторов.

Содержание работы видно из оглавления. Каждому параграфу и каждой главе в целом предпослана краткая аннотация с указанием публикаций основных результатов. Нумерация формул — по главам, а внутри глав — по параграфамнумерация рисунков по главам.

Выводы.

В серии экспериментов, поставленных в различные годы (1986;2004) в прибрежной зоне Японского моря (залив Петра Великого) установлено, что мезомасштабная изменчивость гидрологических параметров в указанной зоне в летне-осенний период формируется, главным образом, колебаниями, вызванными бароклинной составляющей приливного и инерционного движений. Расчёты, выполненные с использованием натурных данных, показывают, что максимальная скорость потока, вызванного внутренним приливом (бароклинная составляющая) превышает максимальную скорость потока, индуцированного поверхностным (баротропная составляющая) приливом в 3−5 раз, т. е. приливы в указанном районе имеют выраженный бароклинный характер.

Основываясь на анализе натурных наблюдений, с использованием предложенной модели внутреннего волнения были сделаны следующие вывод: спектральный состав колебаний вдольбереговой компоненты скорости и температуры в прибрежной зоне полуострова Гамова определяется внутренними волнами с полигармонической (до двух гармоник) и многомодовой (более одной моды) структурой приходящими со стороны моря и внутренними краевыми волнами, образующимися в результате дифракции внутренних волн с приливной частотой на мысе Гамова, а также атмосферного воздействия и процессами вихреоброзования на шельфе.

Анализ гидрологической информации, полученной в морской экспедиции 1986 года на шельфе Японского моря (залив Петра Великого), с использованием метода эмпирических ортогональных функций (ЭОФ) позволил придти к следующим выводам: а). Два набора функций: <�рт (г) — собственные функции интегрального уравнения: о.

— Н где /)7.(7,7,) = <^Г (7)-^Г (7,)> - оператор дисперсии вертикальных профилей температуры и амплитудные функции нормальных мод внутренних волниг. [г), представляющие решение краевой задачи на собственные значения о, связаны следующим приближённым соотношением срт (г) — ((?Т0Шг) 1¥-т (г), где {с1Тц1сЬ) — фоновый градиент температуры. Выявленная закономерность указывает на возможность использования для анализа вертикальной структуры внутренних волн в шельфовой и прибрежной зонах Японского моря линейной теории. б). В исследованном районе более 90% дисперсии флуктуаций гидрофизических параметров приходится на кинематический эффект от первых 3 нормальных мод внутренних волн, а распределение энергии по модам, полученное с помощью предлагаемой методики, оказалось отличным от аналогичного канонического распределения предложенного Гарретом — Манком.

Анализ инструментальных измерений температуры и скорости течения, полученных осенью 1999 г в прибрежной зоне полуострова Гамова, показал, что: (а) отношение амплитуды вертикальных смещений изотермы, отвечающей максимуму градиента температуры, к глубине, достигает внушительных значений -0,2- (б) спектр изменчивости указанных параметров содержит максимумы на частотах: v, = 1/12ч'1 у2=1/14ч~', 2v, v,+v2, v,-v2(в) кривая изменчивости температуры содержит участки пилообразной формы со значительной скоростью- 4(°С/час). Выявленные особенности внутреннего волнения послужили основанием для заключения о том, что в прибрежной зоне полуострова Гамова указанное волнение проявляет нелинейные свойства, и тем самым открывается возможность для проверки предложенной в главах 1−3 модели этого волнения. Согласно этой модели первоначально гармоническая внутренняя волна фиксированной моды, распространяясь, трансформируется в волну пилообразной формы. При этом изменяется её спектрпоявляются новые гармоники, которых не было в спектре исходной волны. Анализ взаимодействия двух ВВ с частотами v, и v2 показал, что в процессе эволюции при достаточно больших амплитудах исходных волн в прибрежной зоне образуются ВВ с частотами 2уп у, +у2, у,-у2. Сопоставление этих выводов с результатами анализа экспериментальных данных указывает на удовлетворительное соответствие между ними.

Спектральный анализ инструментальных измерений температуры, выполненных осенью 1999, 2003 годах в прибрежной зоне Японского моря, показал что степенная зависимость Бр^-й)'2 с наклоном р= 3 неплохо, аппроксимирует временной спектр вариаций температуры в среднем диапазоне частот. Спектральный анализ инструментальных измерений температуры на тихоокеанском шельфе Мексики, полученных осенью 1995 г показал, что степенная зависимость 8р (~аГъ с наклоном р= 3 также неплохо аппроксимирует временной спектр её вариаций в среднем диапазоне частот.

Таким образом, данные наблюдений за температурой вод двух различных районов Тихого океана указывают на значительное сходство спектров её мезомасштабной изменчивости. Оба спектра имеют максимумы на полусуточной частоте и её обертоне. И тот и другой спектры в среднем диапазоне частот неплохо аппроксимируются степенной зависимостью, обратно пропорциональной кубу частоты, т. е. наклон такого спектра р= 3. Подобный спектр изменчивости температуры представлен и в работе [17], посвящённой внутренним приливам Калифорнийского залива, а в работе [79] представлен спектр кинетической энергии горизонтального движения в Бискайском заливе. Его наклон тоже оказался близок к р=Ъ. Подобное поведение натурных спектров находит естественное объяснение в рамках предложенной модели внутреннего волнения конечной амплитуды в мелком море, основанной на уравнении Бюргерса, если предположить, что изменчивость гидрологических параметров (температуры и скорости) вызвана, главным образом, полем внутренних волн конечной амплитуды.

Спектральный анализ инструментальных измерений температуры на тихоокеанском шельфе Мексики, полученных осенью 1995 года выявил ещё одну особенность спектра флуктуаций температуры в области высоких частот. Наклон указанного спектра в этой области частотного диапазона оказался близок к р= 1. Это свойство спектра, тоже находит естественное объяснение в рамках предложенной модели. Подобный наклон, как это было показано § 4.4, есть следствие взаимодействия высокочастотных линейных внутренних волн с квазигармонической приливной внутренней волной конечной амплитуды.

Всё перечисленное позволяет заключить, что предложенная модель нелинейного внутреннего волнения, основанная на уравнении Бюргерса, даёт объяснение целому ряду характерных особенностей мезомасштабной изменчивости гидрологических параметров прибрежных вод и нелинейного внутреннего волнения различных районов Мирового океана.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

.

Подведём итоги настоящего исследования с точки зрения достижения главной цели, сформулированной во введении. Чтобы охватить логику работы, следует иметь ввиду следующее. Внутреннее волнение представляет наиболее характерный мезомасштабный случайный процесс прибрежной зоны океана. Значительные амплитуды и небольшие глубины способствуют проявлению нелинейных свойств у внутреннего волнения в этой зоны.

Учёт случайного характера нелинейного внутреннего волнения чрезвычайно усложняет задачу его анализа, поэтому на первом этапе изучения нелинейных случайных внутренних волн целесообразно упростить задачу, ограничившись анализом без дисперсных внутренних волн конечной амплитуды. Это приводит нас ко второй основной задаче — сформулировать замкнутое статистическое описание нелинейного случайного внутреннего волнения в указанном мелком море.

Третья основная задача работы — провести экспериментальную проверку выводов и результатов, полученных при теоретическом анализе случайного нелинейного внутреннего волнения, используя доступные материалы натурных исследований внутреннего волнения в различных районах прибрежной зоны Мирового океана опубликованные в печати.

Для решения сформулированных задач были построены соответствующие математические модели, включающие дифференциальные уравнения, организованы и проведены натурные эксперименты на МЭС «Шульц» ТОЙ ДВО РАН по изучению внутренних волн в прибрежной зоне Японского моря, разработаны методики обработки натурных данных. Физическая согласованность всех моделей обеспечивается общим исходным представлением о внутреннем волнении как нелинейном волновом процессе. Эффективность каждой из моделей как инструмента исследования определённого класса явлений проверялась путём применения к решению отдельных частных задач. Будучи специализированными, все построенные модели имеют вполне определённую область применимости.

Первая модель (гл.1) предназначена для изучения нелинейного внутреннего волнения во вращающемся мелком море с достаточно произвольным распределением плотности по глубине, горизонтальной боковой границей и с плавными неоднородностями рельефа дна. С её помощью получены следующие результаты:

Используя асимптотический метод многих временных масштабов установлено, что эволюция начального возмущения конечной амплитуды в мелком море в общих чертах происходит следующим образом. Возмущение единственным образом расщепляется на «медленную» и «быструю» компоненты движения. Медленная компонента всё время остаётся близкой к геострофическому равновесию. Быстрая компонента представляет нелинейное возмущение, сосредоточенное в окрестности границы, т. е. представляет нелинейную внутреннюю волну Кельвина (ВВК).

Показано, что процесс трансформации ВВК определяется уравнением Бюргерса с коэффициентом нелинейности у, существенно зависящим от распределения частоты плавучести по глубине.

Для фиксированной моды с номером т относительное влияние диссипации и нелинейности на процесс деформации внутренних волн можно охарактеризовать волновым числом Рейнольдса Яе.

Ке = (С0т/ННХ./о)НМ.Н2/у)-у:2 При значениях параметров таких, что Яе < 1, т. е. «вязкие» члены преобладают над нелинейными: большая диссипация приводит к поглощению волны раньше, чем успеют накопиться нелинейные эффекты. Причём диссипация растёт не только с уменьшением амплитуды волны и с ростом кинематической вязкости, но и с ростом частоты и номера моды. Напротив, при значениях Яе «1 преобладают нелинейные эффекты и распространение волн по своему характеру близко к распространению волн в среде с пренебрежимо малой диссипацией.

Вторая группа моделей (гл.2) предназначена для исследования трансформации случайных внутренних волн под действием нелинейности. В основу этих моделей положено уравнение Бюргерса. С помощью этих моделей получены следующие основные результаты: с ростом частоты спектр интенсивности вертикальных смещений частиц жидкости, под воздействием нелинейного случайного внутреннего волнения спадает по универсальному степенному закону вида (х-о) ~ со~г. Установлено, что наличие плавных уклонов дна (/&, 9т. е. последняя сохраняет степенную асимптотику со) -со'3. в результате взаимодействия высокочастотного внутреннего волнения (ВВ) с нелинейным внутренним приливом спектр ВВ уширяется как в сторону высоких, так и в сторону низких частот, так что имеется область частот, в которой энергетический спектр ВВ принимает универсальный степенной характер й)~1(сг2/яРАхО) с наклоном р= 1, а его параметры определяются энергией ВВ ~ сг2, амплитудой, А и частотой прилива О. эффективность взаимодействия низкочастотного шума и внутреннего прилива существенно зависит от шумовой модуляции М=с?Рсойх, так что для случая пМ «1 при со <х> спектральная плотность ВВ спадает по универсальному степенному закону 8^(х-со) ~со~2, а для противоположного случая яМ» 1 в спектре можно выделить две характерные области частот, в которых 81 г (х-а) -?у" 3и 8((х-со)-со'2 установлено, что в мелком море, охваченном внутренним волнением, амплитудные функции нормальных мод Ы0(2)^(2) взаимозаменяемы с соответствующими эмпирическими ортогональными функциями у/т (г) корреляционной матрицы вариаций поля скалярного параметра д0, средний градиент которого удовлетворяет соотношению dqJdz «С7У0 (г). .

Решение третьей задачи посвящено экспериментальной проверки выводов и результатов, полученных при теоретическом анализе случайного нелинейного внутреннего волнения. Здесь основные результаты сводятся к следующему.

Анализ гидрологической информации, полученной в морской экспедиции осенью 1986 года выявил следующую закономерность — собственные функций оператор дисперсии вертикальных профилей температуры <рт (г) на шельфе Японского моря в районе залива Петра Великого и амплитудные функции внутренних волн №т (г) связаны приближённым соотношением рт{г)~ (с1Т01ск) 1? т (г), где (с1Т01ск) — фоновый градиент температуры. Другими словами вертикальная структура внутренних волн, в указанной прибрежной зоне, определяется решениями линейного краевой задачи на собственные значения.

Анализ инструментальных измерений температуры и модуля скорости течения, полученных осенью 1999 года в прибрежной зоне полуострова Га-мова, показал, что спектр мезомасштабной изменчивости указанных параметров содержит максимумы на частотах: V, «1/12.5 ч» 1, 2у, у2 «1/11.1ч» 1, 1/14.6 ч" 1. Выявленные особенности внутреннего волнения послужили основанием для заключения о том, что в районе эксперимента указанное волнение проявляет нелинейные свойства Анализ взаимодействия нелинейной ВВ с частотой V, и низкочастотного шума с частотой О показал, что в процессе эволюции при достаточно больших амплитудах исходных волн в прибрежной зоне образуются ВВ с частотами 2у, Сопоставление этих выводов с результатами анализа экспериментальных данных указывает на удовлетворительное соответствие между ними.

Спектральный анализ измерений температуры, проведенных осенью 1999, 2003 годах в прибрежной зоне Японского моря, 1995 году на тихоокеанском шельфе Мексики показал, что временной спектр её вариаций в среднем диапазоне частот не плохо аппроксимируется степенной зависимостью л -3.

Б^-со с наклоном р=3. Спектр изменчивости температуры с подобным наклоном представлен в работе [16], посвящённой внутренним приливам Калифорнийского залива, а в работе [17] представлен спектр кинетической энергии горизонтального движения в Бискайском и Алжирском заливах. Его наклон тоже оказался близок к р=3. Выявленное поведение натурных спектров находит естественное объяснение в рамках предложенной модели внутреннего волнения конечной амплитуды в мелком море, основанной на уравнении Бюргерса, если предположить, что изменчивость гидрологических параметров: температуры и скорости вызвана, главным образом, полем внутренних волн конечной амплитуды.

Спектральный анализ инструментальных измерений температуры на тихоокеанском шельфе Мексики, полученных осенью 1995 года в высокочастотной области изменчивости выявил ещё одну особенность спектра флук-туаций температуры. Наклон указанного спектра в этой области частотного диапазона оказался близок к р= 1. Это свойство спектра, тоже находит естественное объяснение в рамках предложенной модели. Подобный наклон, как это было показано § 4.4, есть следствие взаимодействия высокочастотных линейных внутренних волн с квазигармонической приливной внутренней волной конечной амплитуды.

Выше изложенное позволяет заключить, что предложенные модели нелинейного внутреннего волнения мелкого моря, основанные на уравнении Бюргерса, вполне адекватно отражает целый ряду характерных особенностей нелинейного внутреннего волнения различных районов Мирового океана.

Подробно все полученные результаты и сделанные на их основе научные выводы перечислены во введении и в конце каждой из глав. По мнению автора, они свидетельствуют о физической содержательности построенных моделей и об их перспективности. Поскольку каждая из моделей удовлетворяет (с упомянутыми выше оговорками) по крайней мере, одному из перечисленных во введении требований (нелинейность, произвольность стратификации и случайность), мы заключаем, что цель настоящей работы в основном достигнута.

Остановимся теперь на недостатках построенных моделей и перспективах дальнейших исследований нелинейного внутреннего волнения.

1. В предложенных моделях не учитывалось влияние течения.

2. Игнорировался класс явлений, связанных с нелинейностью более высокого порядка, чем квадратичная нелинейность.