Разрешимость начальных и краевых задач для линейного функционально-дифференциального уравнения точечного типа

Актуальность темы

исследования и степень научной разработанности проблемы. Среди функционально-дифференциальных уравнений (ФДУ) выделяют уравнения точечного типа, которые иногда называют уравнениями с отклонениями аргумента, причём наиболее исследованными из их числа являются уравнения с запаздыванием. Первое упоминание о таких уравнениях относится к XVIII веку, и в дальнейшем они привлекали внимание многих учёных. При решении некоторых задач механики возникла необходимость учитывать тот факт, что на состояние физической системы в настоящем оказывает влияние её состояние в прошлом. В связи с этим следует отметить выдвинутую Больцманом теорию упругого последействия, которая оказала влияние на результаты Вольтерра при создании им теории биологических флуктуаций [23]. Идеи наличия последействия получили развитие при исследовании явления вязкоупругости и при разработке теории интегральных и интегро-дифференциальных уравнений. В начале XX века в ходе решения задач автоматического управления системами, имеющими механизм обратной связи, пришлось учитывать запаздывание управления как неотъемлемое свойство таких систем.

К настоящему времени уравнения с отклонением аргумента и другие представители класса ФДУ имеют приложения во многих областях науки и техники в качестве математических моделей реальных процессов. Тесная связь уравнений с отклонением аргумента и уравнений в частных производных нашла своё отражение в механике сплошных сред. В частности, в теории пластической деформации изучается бесконечномерная динамическая система с потенциалом Френкеля — Конторовой [50], которая описывается уравнением.

— Ш = ф (у{) + yi+i ~ 2yi + 2/i-i, г 6 Z, где потенциал ф (-) задаётся гладкой периодической функцией. Такие системы моделируют поведение счётного числа шаров массы т, помещённых в целочисленных точках числовой прямой, где каждая пара соседних шаров соединена между собой упругой пружиной. Центральной задачей в этом случае является изучение решений типа бегущей волны, как одного из наблюдаемых классов волн.

Вообще говоря, задачи распространения сигналов с конечной скоростью — это важный класс задач, для которых уравнения с отклонением аргумента можно использовать в качестве математических моделей. К этому классу относится задача распространения электромагнитной волны в направляющей структуре (передающей линии без потерь), где уравнения с запаздыванием выступают в качестве аналога уравнений в частных производных (телеграфных уравнений [59, 64]). Подобным образом можно описывать работу шунтированных передающих линий и многих других систем, в которых протекают волновые процессы.

В настоящей работе значительное внимание будет уделено исследованию ФДУ точечного типа.

N г=1 которое возникает в математической модели циркуляции жидкости с маркерами в резервуаре, питающем большое число тонких трубок [57]. Эта модель находит применение при решении задачи распределения меченого альбумина в человеческом теле в процессе кровообращения.

В теории ФДУ точечного типа огромное значение имеют вопросы существования и единственности решений краевых и начально-краевых задач для таких уравнений. Потребность изучения указанных свойств решений мотивируется многочисленными приложениями (например, задачами оптимального управления системами с дифференциальными связями в виде ФДУ [3, 6], задачами экономической теории, социологии, биологии).

Системное исследование уравнений с отклонением аргумента в нашей стране в конце 40-х годов XX века начал А. Д. Мышкис, в США — Р. Бел-лман. На данный момент существует огромное число работ, посвящённых этой проблематике. Достаточно сказать, что библиографический список в монографии [56] (доведённый до 1971 года и, по заявлению авторов, не претендующий на полноту) содержит сведения о работах почти двухсот исследователей.

Теорию ФДУ точечного типа можно условно разделить на две части: наивную и современную. Наивная теория включает в себя метод интегрирования по шагам, метод интегральных преобразований (в частности — преобразования Лапласа) и т. д. Развёрнутое изложение данной теории содержит монография [56]. Определяющим при данном подходе является то обстоятельство, что за фазовое пространство традиционно принимается п-мерное пространство. Для таких уравнений интегральные линии в расширенном фазовом пространстве Ж х Rn могут пересекаться и, соответственно, преобразования расширенного фазового пространства ]R х Жп в силу уравнения не образуют процесса, а в автономном случае не являются динамической системой [34, 38, 39, 40, 42, 56].

В основе одного из важнейших современных подходов, предложенного Н. Н. Красовским, лежит трактовка решения ФДУ как интегральной линии в расширенном бесконечномерном фазовом пространстве 1 х С [34]. Движение в фазовом пространстве С непрерывных функций в каждый момент времени t задается куском траектории xt = {x (t + s): —г < s < 0}, где х (-) — интегральная линия в стандартном конечномерном расширенном фазовом пространстве М. х Мп. На этом пути получены теоремы существования и единственности решения для начальной задачи. Изучались свойства как классических [22, 25, 26, 27, 28, 37, 38, 40, 53], так и обобщенных решений [27, 44, 54, 55]. Исследованы стационарные, периодические и ограниченные решения, описана структура пространства решений линейных уравнений, создана теория устойчивости, изучена асимптотика решений и т. д. [22, 29, 39, 53]. В основе всех отмеченных исследований лежит изучение в пространстве С свойств оператора сдвига вдоль решений таких уравнений [33, 34, 41, 46, 47, 48]. Этапной работой, в которой теория ФДУ точечного типа систематически изложена с такой позиции, является монография [53]. Все результаты, полученные на этом пути, касаются кусков xt? С интегральной линии х (-). Вместе с тем, при таком подходе нет описания области достижимости в Еп при управлении краевыми условиями (начальными функциями), степени вырождения пространства решений, степени гладкости решений и т. д. Более того, указанный подход не применим к ФДУ точечного типа общего вида, которые, в частности, возникают как уравнения Эйлера — Лагранжа для задачи классического вариационного исчисления.

Следует отметить идею трактовки ФДУ как операторного уравнения относительно неизвестной абсолютно непрерывной функции. Эта идея развита в теории абстрактных ФДУ, сводящихся к операторным уравнениям в специально выбранном банаховом пространстве, причём структура этого пространства является определяющим фактором при исследовании той или иной конкретной задачи [1].

Ряд исследований различных классов ФДУ и дифференциально-разностных уравнений выявил, что свойства решений таких классов уравнений оказываются тесно связанными как со структурой группы, порождённой функциями отклонений аргумента, так и с топологической структурой орбиты такой группы [6, 7, 8, 9, 33, 34, 32, 41, 44, 46, 47, 48]. Как оказалось, использование отмеченных связей является ключом к исследованию ФДУ точечного типа и дифференциально-разностных уравнений.

Подход, основанный на групповых особенностях функционально-дифференциальных уравнений точечного типа, был разработан и систематически развит в работах JI.A. Бекларяна. Представленная работа также основана на использовании упомянутых групповых особенностей ФДУ точечного типа.

Суть группового подхода в следующем. Если qj, j = 1,., s — гомеоморфизмы, задающие функции отклонения аргумента, то через Q =< qj, j = l,., s > будем обозначать группу, порождённую этими гомеоморфизмами (операцией в группе служит суперпозиция двух гомеоморфизмов). Если ж (-) — интегральная линия, то бесконечномерная вектор-функция ?c (t) = {xq (t)}qeQ, xq (t) — x (q (t)) в некотором подходящем пространстве бесконечных последовательностей удовлетворяет обыкновенному дифференциальному уравнению (ОДУ), каноническим образом порождённому исходным ФДУ. Для развития такого подхода J1.A. Бекларя-ном была исследована группа Q =< qj, j = l,., s >, её метрические инварианты, а также топологические и комбинаторные характеристики [10, И, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20, 58]. В частности, это позволило получить классификацию ФДУ точечного типа по степени сложности функций отклонения аргумента [20, 58]. При таком подходе к изучению ФДУ точечного типа основное внимание уделяется исследованию свойств вектор-функций >c{t) = {xq (t)}qEQ, xq (t) = x (q (t)), построенных по интегральным линиям х (-), относительно группы сдвигов в пространстве бесконечных последовательностей. Полученные свойства оказались весьма информативными для таких уравнений, и в рамках группового подхода удалось ответить на многие важные вопросы. Описаны препятствия, в силу которых решения ФДУ точечного типа не наследуют всех замечательных свойств решений ОДУ. Важнейшим из таких препятствий является отсутствие условий типа неравенства Гронуолла [52, с.37]. Для уравнений, определённых на конечном интервале, полупрямой или прямой, были получены неулучшаемые (что очень важно) условия, определяющие подклассы класса ФДУ точечного типа, для которых сохраняются те или иные замечательные свойства решений ОДУ, а именно: существование и единственность решения краевой задачи в выделенном классе функций, непрерывная зависимость решения от краевых и начальных условий, свойство «грубости» ФДУ точечного типа в краевой задаче, точечная полнота решений ФДУ точечного типа при заданных краевых условиях, n-параметричность пространства решений ФДУ точечного типа при заданных краевых условиях, условия гладкости решения ФДУ точечного типа и т. д. Теория ФДУ точечного типа, детально разработанная в рамках группового подхода, изложена в монографии [5]. Крайне важно, что такой метод исследования основан на специфике структуры ФДУ точечного типа.

Условия, определяющие способы регулярного расширения класса ОДУ в классе ФДУ точечного типа, формулируются в терминах правой части ФДУ и параметра fi (см. [5, глава 1, § 3]), характеризующего порядок роста решения. В рамках применяемого формализма решения ФДУ точечного типа ищутся в банаховом пространстве функций х (-) с весами х (-): х (•) е С{к) (R, Rn), max sup ||ar<r>(*)//!||а" < +oo L.

I 0.

Вместе с тем очень важны исследования ФДУ точечного типа и в случае нарушения отмеченных неулучшаемых условий, причём одним из центральных вопросов является вопрос существования решения. Многие задачи являются линейными или допускают линеаризацию базовых уравнений, поэтому целесообразно применить групповой подход к исследованию вопросов разрешимости начально-краевых задач для линейных ФДУ точечного типа, воспользовавшись при этом линейностью соответствующих операторов. JI.A. Бекларяну в рамках данного подхода удалось получить ряд результатов линейной теории (теорема о гладкости решения, однозначная разрешимость задачи с однородными краевыми условиями, типичность невырожденных линейных ФДУ точечного типа и др.), и настоящая работа систематически расширяет и дополняет эти результаты.

Объект и предмет исследования. В качестве объекта исследования рассматривается основная начально-краевая задача для линейного ФДУ точечного типа s x (t) = ^Ajx{t + Uj) + ip (t), t G BR: (0.1).

3=1 с краевым и начальным условиями x (t) = ip (t), teUBR, (0.2) x (t)=x, teR, x G Mn, • (0.3) где Aj — матрицы n x n, щ G Z, j = l, s- ?/>(•) € jCJ. C^(M), (•) G DSi^PC^W" M* e (0, -1−00)5 Вд — либо интервал [mo, mi], m0, mi G Z, либо полупрямая [mo,+oo), либо прямая E. Отклонения аргумента rij имеют произвольные знаки. Не нарушая общности, можно считать, что.

77−1 < • • ¦ < ns.

Упрощающее условие о непрерывности функций ф (-) и </?(•) носит чисто технический характер, хотя мы могли бы рассматривать функции ф (-) и </?(•) из класса существенно ограниченных функций. В случае произвольных границ области определения уравнения и произвольных фиксированных начальных моментов t с помощью замены времени [5, глава 3, лемма 2.1] их можно сделать целочисленными. Правда, в этом случае само дифференциальное уравнение перестанет быть уравнением с постоянными коэффициентами.

Определение 0.1. Абсолютно непрерывная функция х{-), определённая на М, называется решением уравнения (0.1), если при почти всех f G I функция х (-) удовлетворяет этому уравнению. Если при этом х (-) Е С^ (R, Ж7г)} к = 0,1,2,., то такое решение называется решением класса.

Предметом исследования являются свойства решений задачи (0.1)—(0.3) в сравнении со свойствами решений задач для ОДУ. Существует огромное количество работ, посвящённых подобным задачам, но в большинстве этих работ изучаются уравнения с отклонениями аргумента одного знака (как правило, rij < 0, j = 1, s — уравнения с запаздываниями) и с начально-краевым условием, в котором t = то. Для такой начально-краевой задачи решение всегда существует, оно является единственным, и основное русло исследований — это изучение интегральных представлений решения [60].

Если отклонения аргумента имеют произвольные знаки, либо t ф то, то краевая задача (0.1)-(0.2) и основная начально-краевая задача (0.1)—(0.3) являются задачами с нелокальными краевыми и начальными условиями, вследствие чего они могут не иметь решения. Поэтому для таких задач важно сформулировать теоремы существования решения.

Цель и задачи исследования

Основная цель исследования заключается в систематическом развитии линейной теории ФДУ точечного типа. Почти всё внимание в ходе исследования будет уделено важнейшей проблеме этой теории: качественным свойствам решений соответствующих начальных и краевых задач (существованию и единственности решения среди функций с заданной гладкостью и порядком роста). Следует получить условия разрешимости в случае отсутствия условий типа неравенства Гронуолла.

Для достижения данной цели необходимо решить следующие основные задачи:

1. Изучение спектральных свойств оператора в пространстве бесконечных последовательностей, каноническим образом порождённого правой частью линейного ФДУ точечного типа. Получение на основе этих свойств достаточных условий существования и единственности (в заданном классе функций) задачи Коши для линейного однородного ФДУ точечного типа, заданного на прямой.

2. Формализация понятия сопряжённого уравнения. Изучение зависимости структуры пространства решений сопряжённого уравнения от постановки исходной задачи. Формулировка аналогов теоремы Ф. Нётера о существовании решения для краевой задачи (0.1)—(0.2) и основной начально-краевой задачи (0.1)—(0.3). Уточнение полученных результатов для различных вариантов задания интервала Br.

3. Исследование одной начально-краевой задачи для линейного ФДУ точечного типа, возникшей в экономическом приложении. Получение условий существования решения этой задачи путём применения аналога теоремы Нётера, с разработкой алгоритма получения нетривиальных решений сопряжённого уравнения. Исследование единственности решения начально-краевой задачи для линейного ФДУ точечного типа, с разработкой алгоритма получения ветвящихся решений данной задачи. Проведение численных экспериментов.

Методы исследования. Исследование базируется на формализме, основанном на групповых свойствах ФДУ точечного типа [5]. Широко используются методы теории линейных операторов и функционального анализа в целом [2, 24, 30, 45, 49]. Кроме того, в возникающих задачах линейной алгебры применяются численные методы исследования [4, 35, 43].

Содержание работы. Глава 1 посвящена исследованию существования решения начально-краевой задачи для линейного однородного ФДУ точечного типа, заданного на прямой. Очевидно, что такая задача переходит в задачу Коши.

Согласно формализму, правая часть уравнения (0.1) порождает оператор в пространстве бесконечных последовательностей, относящийся к классу так называемых тёплицевых операторов [51, с. 139]. В случае скалярного ФДУ, благодаря линейности этого оператора, с помощью теоремы об отображении спектров удаётся описать его спектральные свойства. Для скалярных ФДУ в данной работе получено более мягкое, чем известная до сих пор теорема 1.1, достаточное условие существования решения задачи Копта, которое связывает порядок роста этого решения с параметрами правой части уравнения. Также в терминах правой части сформулировано достаточное условие единственности решения задачи Коши в заданном классе функций.

Вообще говоря, задачи для однородного уравнения интересны в связи с исходной задачей (0.1)-(0.3). Рассмотрим, к примеру, начально-краевую задачу для однородного уравнения с однородными краевым и начальным условиями s x (t) =^Ajxit + rij), t? BR, (0.4).

3=1 x (t) = 0, teRBR, (0.5) x (t) = 0, teR. (0.6).

В отличие от задачи для ОДУ, данная задача может иметь нетривиальное решение xo (t) Ф 0. Если xu{t) ~ решение задачи (0.1)—(0.3), то для любого xo{t) функция x (t) = xji (t)—xo (t) также является решением задачи (0.1)-(0.3) в силу её линейности.

Если уравнение (0.1) является многомерным, а также в том случае, когда Br является конечным интервалом или полупрямой, изучение спектральных свойств тёплицева оператора становится плохо обозримой задачей. Поэтому следует применить иной подход к доказательству существования решения линейной задачи, для чего в следующей главе установлены аналоги теоремы Ф. Нётера.

В главе 2 получены необходимые условия существования решений краевой задачи (0.1)—(0.2) и основной начально-краевой задачи (0.1)-(0.3) для линейного ФДУ точечного типа. Для линейного неоднородного уравнения (2.5) в пространстве бесконечных последовательностей эти условия являются аналогами теоремы Нётера и формулируются в терминах решений сопряжённого уравнения. Такой подход привлекает основное внимание к сопряжённому уравнению и пространству его решений, что исследуется в рамках используемого формализма.

Показано, что при изучении краевой задачи (0.1)—(0.2) достаточно рассмотреть решения сопряжённого уравнения из класса абсолютно непрерывных функций. Однако при изучении основной начально-краевой задачи (0.1)—(0.3) приходится изучать все решения сопряжённого уравнения из класса кусочно абсолютно непрерывных функций (так называемые импульсные решения) с единственным разрывом первого рода в начальной точке t.

Глава 3 посвящена изучению вопроса разрешимости одной начально-краевой задачи для линейного ФДУ точечного типа. Эта задача имеет вид (0.1)-(0.3) и возникает в экономической теории как часть математической модели, описывающей динамику валютного курса. Изучение существования решения основано на применении аналога теоремы Нётера, полученного в главе 2. Для этого построен алгоритм поиска нетривиальных решений сопряжённого уравнения. Показано, что для такого уравнения наличие нетривиальных решений является нетипичным. Приводится пример поверхности, на которой происходит одномерное вырождение пространства решений сопряжённого уравнения. Для содержательной исходной задачи вопрос существования решения крайне важен, т.к. отсутствие решений может означать, в частности, несостоятельность математической модели.

Кроме того, построен алгоритм поиска ветвящихся решений самой модельной начально-краевой задачи для ФДУ точечного типа. Этот вопрос также имеет большое значение в приложении, поскольку ветвление решений можно трактовать как признак неопределённости на рынке капитала.

Научная новизна результатов. Установлены более мягкие, чем было известно ранее, достаточные условия существования (теорема 1.4) и единственности (теорема 1.5) решения (в заданном классе функций) соответствующей задачи Коши. Отмеченные условия формулируются в виде неравенств, которые связывают параметры правой части уравнения с порядком роста решения. Аналоги теоремы Нётера о существовании решения для данного класса краевых, а также начально-краевых задач получены впервые. Также впервые для таких постановок краевых и начально-краевых задач описана структура решений сопряжённого уравнения. Установлено, что при изучении краевой задачи (0.1)—(0.2) достаточно рассмотреть решения сопряжённого уравнения из класса абсолютно непрерывных функций (теорема 2.2), а при изучении основной начально-краевой задачи (0.1)—(0.3) необходимо рассматривать все решения сопряжённого уравнения из класса кусочно абсолютно непрерывных функций с единственным разрывом первого рода в начальной точке t (теорема 2.5). Алгоритм поиска разрывного и быстро убывающего решения сопряжённого уравнения (для задачи, описывающей динамику валютного курса) является новым, т.к. данный алгоритм основан на свойствах впервые изучаемого класса решений. Установлено, что наличие нетривиальных решений нетипично для сопряжённого уравнения.

Результаты глав 2 и 3 получены автором лично, а результаты главы 1 получены в соавторстве с JI.A. Бекларяном. Полученные результаты вошли в отчёты по грантам Российского фонда фундаментальных исследований (гранты 03—01—174-а, 06−01−430 и 06−01−430-а), а также в отчёт по гранту Программы поддержки ведущих научных школ (грант НШ-3038.2008.1).

Теоретическая и практическая значимость результатов. Теоретическая значимость работы состоит в том, что полученные результаты систематически дополняют линейную теорию ФДУ точечного типа. Эти результаты могут найти применение при исследовании свойств устойчивости, бифуркации решений и в других разделах теории ФДУ. Наличие условий существования и единственности решения с заданным порядком роста имеет особое значение для обеспечения процесса сходимости при численном решении начально-краевых задач.

Результаты работы представляют ценность для различных прикладных областей, таких как популяционная динамика, теория длинных линий, а также для математического моделирования производственных процессов.

Положения, выдвигаемые на защиту:

1. Структура спектра оператора в пространстве бесконечных последовательностей, каноническим образом порождённого скалярным линейным однородным ФДУ точечного типа. Достаточные условия существования и единственности (в заданном классе функций) решения задачи Коши для такого ФДУ, заданного на прямой.

2. Сопряжённое уравнение и структура пространства его решений. Необходимые условия существования решений краевой и основной начально-краевой задач для линейного ФДУ точечного типа, сформулированные в виде аналогов теоремы Нётера. Уточняющие теоремы существования решений для Br = [mo, mi] и Br = Е.

3. В математической модели, описывающей динамику валютного курса: алгоритм получения нетривиального решения сопряжённого уравнения и алгоритм получения ветвящегося решения исходной начально-краевой задачи.

Апробация результатов работы. Результаты диссертации были доложены на Воронежской зимней математической школе «Современные методы теории функций и смежные проблемы» в 2007 г., на конференции «Современные методы теории краевых задач» («Понтрягинские чтения — XIX», г. Воронеж) в 2008 г., на 31-й международной конференции «Системное моделирование социально-экономических процессов» им. акад. С. С. Шаталина, г. Воронеж, 2008 г., на 7-й конференции «Лобачевские чтения», г. Казань, 2008 г. и на заседании лаборатории экспериментальной экономики Центрального экономико-математического института РАН.

Основные публикации. По теме диссертации опубликовано 8 научных работ [61]-[68] (в том числе 3 основные работы) общим объёмом 3,8 п.л., из них личный вклад автора 2,4 п.л.- 4 работы опубликованы в изданиях, рекомендованных ВАК.

Заключение

.

В данной работе изучалась разрешимость начальных и краевых задач для линейных ФДУ точечного типа, при отсутствии условий типа неравенства Гронуолла. Исследование проводилось в рамках формализма, основанного на групповых свойствах таких уравнений. Как и ожидалось, подобный подход оказался продуктивным при изучении свойств решений соответствующих начальных, краевых и начально-краевых задач. Для данных классов задач в работе получены условия существования решений. Очень важно, что при этом класс допустимых решений ограничен теми решениями, которые наследуют хорошие свойства решений ОДУ. Более точно, решения задач для ФДУ рассматривались как элементы банахова пространства функций с заданной гладкостью и порядком роста (не быстрее экспоненциального).

По выполненной работе можно сделать следующие выводы:

1. При исследовании задачи Коши для линейного однородного ФДУ точечного типа, в случае скалярного уравнения, заданного на прямой, оказалось возможным полностью описать структуру спектра линейного оператора в пространстве бесконечных последовательностей, каноническим образом порождённого исходным ФДУ. Благодаря этому были получены достаточные условия существования и единственности (в заданном классе функций) решения задачи Коши, которые формулируются в терминах правой части уравнения. К сожалению, в случае многомерного ФДУ, а также в случае ФДУ, заданного на конечном интервале или полупрямой, изучение спектральных свойств оператора на данном этапе не представляется возможным. Поэтому далее был применён более универсальный подход к доказательству существования решения линейной задачи.

2. Были получены необходимые условия существования решений краевой и основной начально-краевой задач для линейного ФДУ точечного типа, сформулированные в виде аналогов теоремы Нётера. Для этого было формализовано понятие сопряжённого уравнения и исследована структура пространства его решений. Выяснилось, что при изучении краевой задачи достаточно рассмотреть решения сопряжённого уравнения из класса абсолютно непрерывных функций, а при изучении основной начально-краевой задачи необходимо рассматривать все решения сопряжённого уравнения из класса кусочно абсолютно непрерывных функций с единственным разрывом первого рода в начальной точке (импульсные решения). В свою очередь, поиск решений сопряжённого уравнения представляет собой отдельную задачу, решение которой для одного модельного ФДУ приведено в главе 3. Теоремы существования решений уточнены для различных интервалов времени, на которых задано уравнение.

3. С помощью полученных результатов была исследована математическая модель экономической теории, которая описывает динамику валютного курса. Вопрос существования решения соответствующей начально-краевой задачи изучался на основе аналога теоремы Нётера. Для этого был разработан алгоритм поиска разрывного и быстро убывающего решения сопряжённого уравнения. Установлено, что в данной задаче наличие нетривиальных решений нетипично для сопряжённого уравнения. Также был разработан алгоритм получения ветвящегося решения исходной начально-краевой задачи.