Дефектно-деформационные волны переброса и солитоны в твердых телах, возбуждаемых лазерным излучением

2.1. Учет влияния упругой анизотропии кубического кристалла на концентрацию локализованных электрон-дырочных пар.77.

2.2. Уравнение самоорганизации волны генерации дефектов в векторном q-пространстве.79.

2.3. Коллапс углового фурье-спектра волны генерации дефектов вдоль направления типа [100]. 80.

2.4. Фокусировка волны генерации дефектов вдоль направлений типа [100] при гауссовом распределении интенсивности лазерного излучения.82.

2.5. Численные оценки и обсуждение.88.

Заключение

91.

Глава З. Медленная волна переключения температуры в твердых телах с неравновесными лазерно-индуцированными дефектами.93.

Введение

93.

3.1. Система дефектно-деформационно-тепловых уравнений.96.

3.2. Зажигание и распространение медленной волны переключения температуры.97.

3.3. Сравнение теоретических и экспериментальных результатов.100.

Заключение

106.

Глава 4. Дефектно-деформационные и деформационно-тепловые солитоны в лазерно-возбужденных твердых телах.107.

Введение

107.

4.1. Медленные дефектно-деформационные солитоны в средах с постоянным градиентом деформации.112.

4.1.1. Общие характеристики медленного дефектно-деформационного солитона.112.

4.1.2. Медленный дефектно-деформационный солитон в сильнопоглощающих пластинах, подвергнутых лазерному воздействию.116.

4.1.3. Численные оценки для параметров дефектно-деформационных солитонов и сравнение с экспериментом.120.

4.2. Быстрые деформационно-тепловые солитоны, возбуждаемые лазерным импульсом.124.

4.3. Медленные деформационно-тепловые солитоны в среде с постоянным градиентом деформации.129.

4.3.1. Общие характеристики деформационно-тепловых солитонов в средах с постоянным градиентом деформации.129.

4.3.2. Медленный деформационно-тепловой солитон в сильнопоглощающих пластинах, подвергнутых лазерному воздействию.130.

4.3.3. Зависимость скорости медленного деформационно-теплового солитона от исходной температуры среды и лазерной интенсивности.131.

Заключение

133.

Заключение

134.

Приложение I. Условие применимости результатов одномерной задачи к двумерному и трехмерному случаю.137.

Приложение II. Зажигание и распространение волны ионизации в полупроводниках и диэлектриках.139.

Приложение III. Вывод уравнения температуропроводности с учетом деформационно-индуцированного дрейфа тепла.143.

Список литературы

147.

Список часто используемых сокращений и обозначений.

ВГД волна генерации точечных дефектов.

ВУИ волна ударной ионизации.

ВРД волна рекомбинации неравновесных дефектов.

ДД дефектно-деформационный.

ДТ деформационно-тепловой.

ВИОП волна изменения отражения и проводимости nh концентрация свободных дырок пе концентрация свободных электронов nk концентрация локализованных дырок ns концентрация локализованных электрон-дырочных пар nd концентрация дефектов.

0d деформационный потенциал точечного дефекта rd время жизни дефекта деформация среды с, продольная скорость звука р плотность среды t время кв постоянная Больцмана.

Г температура ndc характеристическая (критическая) концентрация дефектов.

W скорость генерации электрон-дырочных пар

При воздействии внешних потоков энергии (лазерного излучения или пучков частиц) на поверхность твердых тел происходят структурные и морфологические перестройки вещества [1−6]. Изучение этих структурных трансформаций и результирующей модификации свойств твердых тел является одной из актуальных задач современной физики. Исследования в этой области стимулируются развитием микроэлектроники, а также потребностями промышленности в материалах с новыми, заранее заданными свойствами. Помимо этого результаты этих исследований важны для прикладных проблем лучевой стойкости материалов [7] и деградации оптоэлектронных приборов в процессе эксплуатации и под действием лазерного излучения [5,6]. Особый интерес представляет детальное изучение процессов взаимодействия лазерного излучения с веществом [1] и свойств поверхности материалов, модифицированных этим взаимодействием при разработке методов направленной модификации материалов [3,4].

Открытие импульсного лазерного отжига аморфных полупроводников [811] явилось стимулом к активным исследованиям модификации свойств поверхности материала лазерным излучением. К настоящему времени достигнут значительный прогресс в изучении физики лазерного воздействия на поверхность, накоплен обширный экспериментальный материал по лазерно-индуцированным структурным и морфологическим модификациям, а также обнаружены и интенсивно исследуются связанные с модификациями многочисленные новые эффекты. К ним относятся, в частности: генерация точечных дефектов [12−21], неоднородное плавление полупроводников [22−25], образование когерентных [1,26−28] и некогерентных [29−36] поверхностных периодических структур на поверхности Si [37] и при лазерном осаждении пленок [38], образование протяженных дефектов (пор или дислокационных петель) [39−45] в приповерхностном слое облучаемого полупроводника, а также эффект фотомеханического дальнодействия [46−49].

Лазерно-индуцированная модификация приповерхностных слоев может происходить на различных пространственных масштабах. Модификация на микроуровне происходит на масштабах межатомных расстояний (10'8 — 10″ 7 см) и обусловлена генерацией точечных дефектов (междоузлий и вакансий) и не приводит к структурным перестройкам. Структурные перестройки на мезоуровне (на масштабах порядка нескольких или десятков нанометров) происходят благодаря самоорганизации точечных дефектов с образованием локализованных и периодических структур с размерами 10″ 7 — 10″ 6 см. К структурным перестройкам на мезоскопическом уровне относятся лазерно-индуцированная аморфизация полупроводников [50−52] и образование в них протяженных дефектов [21], образование нанометровых периодических решеток протяженных дефектов в диэлектрических оптических материалах [53] и металлах [54,55] при их облучении нейтронными пучками, образование нанометровых уединенных и периодических слоевых и стержневых скоплений междоузлий при облучении кремния электронными пучками [56]. Наконец, модификация на макроуровне представляет собой возникновение структур дефектов (рельефа поверхности) на масштабах порядка длины волны или радиуса лазерного пучка. Примером такой модификации является образование крупномасштабных периодических структур дефектов (с периодом ~1 мкм) в приповерхностном слое облучаемого полупроводника [30, 57, 58].

Микромодификация (генерация точечных дефектов) может происходить как в одноимпульсном, так и в многоимпульсном режимах.

При одноимпульсном режиме процесс модификации идет через расплав с захватом большого числа дефектов, при этом в данном режиме интенсивность лазерного излучения больше интенсивности плавления [59]. В многоимпульсном режиме, когда интенсивность лазерного излучения меньше интенсивности плавления, генерация точечных дефектов идет либо через каскад дефектных реакций [60,61], либо носит термофлуктуационный характер [5]. При этом с ростом числа импульсов происходит постепенное накопление дефектов, концентрация которых может достигать очень больших значений порядка 1019−1021 см-3 (до 10% от числа атомов в кристалле [16]), что приводит к появлению коллективных эффектов в системе взаимодействующих дефектов.

Примером таких эффектов, как уже упоминалось, является образование крупномасштабных (с периодом ~ 1 мкм) периодических структур дефектов [30, 57, 58] в приповерхностном слое облучаемого полупроводника. Для объяснения образования крупномасштабных структур дефектов, а также самоорганизации дефектов на мезоскопическом уровне в [62] была предложена модель дефектно-деформационной (ДД) неустойчивости. Характерный масштаб этих периодических поверхностных ДД структур пропорционален толщине дефектно.

4 5 обогащенного слоя, которая составляет обычно величины порядка 10″ - 10″ см.

В [63,64] был предложен и развит также ДД-механизм образования мелкомасштабных (нанометровых) периодических и локализованных ДДструктур и было показано, что период структуры пропорционален характеристической длине взаимодействия дефектов с атомами кристалла ld. Этот механизм был использован для объяснения целого ряда практически важных эффектов, таких как лазерно-индуцированные аморфизация полупроводников [50−52] и образование в них протяженных дефектов [21], образование нанометровых периодических решеток протяженных дефектов в диэлектрических оптических материалах [53] и металлах [54,55] при облучении их энергетическими пучками и других.

Образование ДД-наноструктур в модели ДД-неустойчивости [65] описывается системой уравнений для дефектов, взаимодействующих через деформацию упругого континуума с учетом нелокальности взаимодействия атомов решетки друг с другом и с дефектами. Стационарные решения этой системы уравнений описывают характеристики стационарных кластерных и периодических ДД-наноструктур [65].

Рассмотренные до сих пор задачи самоорганизации в ДД системах относятся к классу стационарных. Динамический аспект этих задач, связанный с временной зависимостью ДД переменных, заключается лишь в описании переходной стадии образования стационарных ДД структур (ДД неустойчивости). Настоящая работа посвящена теоретическому исследованию нового класса принципиально динамических задач самоорганизации в системе дефектов, взаимодействующих через поле упругих деформаций. Их особенностью является наличие временной зависимости ДД переменных на всех стадиях рассматриваемого процесса Д Д самоорганизации.

К первому типу таких задач относятся волны генерации точечных дефектов (ВГД), возбуждаемые в полупроводниках и прозрачных диэлектриках при интенсивной генерации в них электронно-дырочных пар лазерным излучением. Быстрая ВГД, рассмотренная впервые в [88], представляет собой волну переброса концентрации дефектов, распространяющуюся в кристалле с постоянной скоростью порядка скорости звука без изменения свой формы. Она аналогична совместной волне генерации дефектов и нуклеации кластеров [66] и волне взрывной кристаллизации [67]. Роль энергии, запасенной в метастабильном аморфном состоянии, при распространении ВГД играет энергия электрон-дырочных пар, т. е., в конечном счете, энергия лазерного излучения. Распространение ВГД приводит к насыщению области ее прохождения точечными дефектами и может сопровождаться дальнейшими структурными перестройками (например, аморфизацией или образованием дислокационных петель). При распространении ВГД, возбуждаемой лазерным излучением с гауссовым распределением интенсивности в кристаллах, возможно образование характерных кристаллографически ориентированных звездообразных областей, насыщенных дефектами.

Модель ВГД основана на существовании обратной связи в ДД системе: деформационное поле сгенерированных дефектов увеличивает скорость генерации новых дефектов. Впервые на существование такой положительной обратной связи в связи с проблемами лазерного повреждения оптических материалов было указано в работе [68]. Используя эту идею, авторы работы [61] на основе модели каскада дефектных реакций, рассмотрели абсолютную деформационно-индуцированную неустойчивость генерации дефектов в объеме взаимодействия лазерного излучения с кристаллом и построили количественную модель многоимпульсного лазерного повреждения прозрачных диэлектриков.

Пространственное распределение сгенерированных дефектов в этом механизме определяется распределением интенсивности лазерного излучения в объеме взаимодействия. Критерием многоимпульсного лазерного повреждения, определенным в работе [61], является достижение дефектно-индуцированным напряжением значения, равного порогу механического разрушения кристалла.

В отличие от этого, в механизме ВГД механическое разрушение отсутствует, а повреждение обусловлено насыщением дефектами той области кристалла, через которую проходит ВГД. При этом благодаря упругой анизотропии кристалла и гауссовому распределению интенсивности возбуждающего лазерного излучения эта область может приобретать вид «звезд» с иглами, вытянутыми вдоль кристаллографических направлений (в кубических кристаллах — типа [100]). Образование таких трехмерных звезд оптического повреждения часто наблюдается на эксперименте [69−71]. Обычная точка зрения состоит в том, что образование кристаллографически ориентированных областей оптического повреждения является прямым следствием анизотропии предела прочности в кристалле (т.е. следствием анизотропии упругих модулей). Исследование Главы 2 предпринято с целью выяснить микроскопический механизм, посредством которого кристаллографическая анизотропия упругих характеристик кристалла навязывает свою симметрию области повреждения. Полученный ответ заключается в том, что на первом этапе кристаллографически ориентированного разрушения в результате самоорганизации происходит образование кристаллографически ориентированной области с повышенной концентрацией точечных дефектов. В Приложении к настоящей работе предложена также модель волны ударной ионизации (ВУИ), зажигающейся и распространяющейся при интенсивной генерации электрон-дырочных пар аналогично ВГД и в этом смысле отличная от традиционной модели лазерного повреждения за счет ударной ионизации, протекающей как абсолютная неустойчивость [72,73].

Помимо генерации точечных дефектов лазерное облучение приводит к образованию в твердых телах протяженных дефектов-пор и дислокаций. Обычно для описания лазерно-индуцированного образования дислокаций привлекается механизм их генерации за счет действия сдвиговой деформации, возникающей при пространственно-неоднородном лазерном нагреве среды [74]. В настоящей работе предложен новый механизм спонтанного роста дислокационной петли в полупроводнике при наличии высокой концентрации электрон-дырочных пар, генерируемых лазерным излучением. Рост петли по этому механизму происходит за счет энергии рекомбинации локализованных электрон-дырочных пар, поэтому данный механизм можно, по аналогии с механизмом лазерно-индуцированной генерации точечных дефектов [13, 15, 75], назвать рекомбинационно-стимулированным. Рекомбинационно-стимулированный рост петель в поле лазерного излучения может приводить, после достижения критического радиуса петель, к необратимым структурным изменениям (оптическому повреждению) полупроводников.

Помимо быстрых волны генерации дефектов, распространяющейся со скоростью порядка скорости звука, в средах с высокой концентрацией неравновесных (релаксирующих) точечных дефектов возможно зажигание и распространение медленных (со скоростью порядка 1 см/сек) спаренных волн переброса температуры и концентрации дефектов (волна рекомбинации дефектов (ВРД)). Медленная ВРД, также как и быстрая ВГД, описываются нелинейным уравнением диффузии, аналогичным уравнению, впервые рассмотренному Колмогоровым с соавторами [76] (аналогичные уравнения используются в теории горения и химических реакций [77−79]). ВРД, рассмотренная в настоящей работе, должна сопровождаться волной (импульсом) переключения коэффициента отражения, которая может быть зарегистрирована оптическими методами. В работах [80−84] наблюдалось стационарное распространение импульса изменения коэффициента отражения со скоростью порядка 1 см/сек в твердых телах, облучаемых инфракрасным импульсным лазером. Модель ВРД может служить механизмом, лежащем в основе эффекта, наблюдаемого в [80−84].

Ко второму типу динамических задач в кооперативной ДД системе относятся задачи о ДД солитоне — движущемуся с постоянной скоростью и без изменения формы скоплению точечных дефектов, захваченных в самосогласованную деформационную яму. ДД солитон (с размерами порядка 10″ 6 см) был впервые рассмотрен в работе [85]. Для описания образования и распространения ДД-солитонов в [85] использовалась та же система исходных уравнений, что и для описания образования стационарных ДД-структур в модели ДД-неустойчивости [65], из которой получается солитонное уравнение, формально аналогичное уравнению движения ангармонической решетки в среде с фазовым переходом [86]. Мелкомасшатбные (нанометровые) ДД-солитоны [85] существуют благодаря конкуренции упругого ангармонизма и дисперсии, определяемой дисперсионным (масштабным) параметром ld [65].

Представляет интерес дальнейшее развитие теории мелкомасштабных ДД-солитонов, рассмотрение новых моделей ДД солитонов, а также их возможных приложений к задачам взаимодействия излучения с веществом и модификации свойств материалов.

В настоящей работе рассмотрен новый тип нанометровых ДД-солитонов — медленные (со скоростью меньше 1 см/сек) ДД-солитоны в средах с заданным постоянным (или медленно меняющимся) градиентом деформации. Этот тип ДД-солитонов описывается модифицированным уравнением Кортевега де Фриза (КдФ). Скорость этих ДД солитонов пропорциональна заданному градиенту деформации, а размер определяется тем же самым дисперсионным параметром ld [65].

На основе модели медленного ДД солитона в деформационном поле рассмотрена возможность кооперативного гетерирования дефектов. Известно, что в деформационном поле с заданным градиентом деформации точечные дефекты дрейфуют со скоростью, пропорциональной этому градиенту, причем междоузлия дрейфуют по градиенту деформации, а вакансии против градиента [74] (гетерирование точечных дефектов). Рассмотрение, проведенное в настоящей работе, впервые обращает внимание на возможность переноса в поле неоднородной деформации сгустка дефектов с той же скоростью дрейфа, что и скорость дрейфа одного дефекта. Такой сгусток дефектов, благодаря связанному с ним локализованному деформационному полю (самосогласованной деформационной ямой), может легче преодолевать различные стопоры неподвижные точечные дефекты, дислокации и другое) на своем пути. Поэтому кооперативное (солитонное) гетерирование, возникающее при высокой концентрации дефектов, рассмотренное в настоящей работе на основе теории ДД-солитона, может быть гораздо более эффективным, чем гетерирование, осуществляемое дрейфом индивидуальных точечных дефектов.

Как показано в настоящей работе, при действии на пластины или пленки внешнего потока энергии (лазерного, электронного или ионного пучка) условия образования и распространения медленного ДД солитона возникают автоматически, и может осуществляться эффективный солитонный перенос междоузлий с облучаемой стороны пластины на ее противоположную сторону.

В связи с этим теоретическим предсказанием отметим, что в последнее время активно исследуется эффект фотомеханического дальнодействия при пучковом облучении тонких пластин, заключающийся в изменении механических свойств (твердости) на стороне пластины, противоположной облучаемой [46−49]. Авторы [46−49] выдвигают гипотезу, что механизмом, ответственным за этот эффект, является генерация волн деформации. Солитонное автогетерирование междоузлий, создаваемых на облучаемой поверхности, на противоположную поверхность пластины, изогнутой закаленными неравновесными вакансиями, может служить альтернативным механизмом эффекта фотомеханического дальнодействия [46−49].

Помимо точечных дефектов роль дефектной подсистемы ДД-системы могут играть тепловые фононы. При действии лазерного импульса на сильно поглощающее твердое тело создается нагретый приповерхностный слой. Этот тепловой слой можно рассматривать как состоящий из фононных мод (пакетов) с различными значениями волнового вектора q и неким пространственным размером вдоль оси z (перпендикулярной поверхности), которые можно рассматривать как частный случай дефектов. Благодаря упругому ангармонизму фононные пакеты создают самосогласованную деформацию расширения среды которая в свою очередь действует на пакеты. В работе [87], было показано, что такое локализованное скопление фононных пакетов, находящихся в самосогласованной деформационной яме может распространяться вдоль оси z в ангармоническом твердом теле как одномерный солитон с постоянной скоростью, без изменения своей формы.

В настоящей диссертационной работе впервые рассмотрены солитоны двух новых типов: быстрые ДТ-солитоны (скорость пропорциональна скорости звука) и медленные ДТ-солитоны в средах с постоянным градиентом деформации (скорость пропорциональна градиенту деформации).

Цель диссертации. Целью данной диссертации является исследование новых классов динамических эффектов самоорганизации в системе дефектов, взаимодействующих через поле упругих деформаций, построение новых и дальнейшее развитие известных моделей такой самоорганизации с целью интерпретации существующих экспериментальных данных по модификации твердых тел лазерным излучением в том числе: по модификации поверхности Si последовательностью пикои наносекундных импульсов и импульсов с длительностью 10″ 7 с, по образованию кристаллографически ориентированных областей лазерного поврежденияс целью объяснения эффекта медленного (1 см/с) стационарного распространения импульса изменения коэффициента отражения и проводимости в твердых телах, облучаемых инфракрасным импульсным лазером, а также эффекта фотомеханического дальнодействия, возникающего при пучковом облучении тонких пластин.

Научная новизна.

• В настоящей работе предложены два новых механизма лазерного повреждения твердых тел при низких лазерных интенсивностях (ниже порога механического разрушения), которое обусловлено насыщением области повреждения точечными или протяженными дефектами: модель волны генерации точечных дефектов и модель рекомбинационно-стимулированного зарождения, роста и релаксации спаренных вакансионно-междоузельных дисков (дислокационных петель) в лазерно-возбужденных полупроводниках и диэлектриках.

• На основе системы уравнений, описывающих волну генерации точечных дефектов, при учете анизотропии деформации в кубическом кристалле, построена модель фокусировки волны генерации точечных дефектов вдоль кристаллографических направлений при действии на кристаллы лазерного излучения с гауссовым распределением интенсивности.

• Впервые показано, что эндотермический процесс рекомбинации лазерно-индуцированных неравновесных дефектов может приобретать вид медленной волны переключения температуры. Модель медленной волны переключения температуры использована для интерпретации экспериментальных результатов, полученных при изучении эффекта медленного распространения волны (импульса) изменения коэффициента отражения и проводимости в кристаллах и стеклах, возбужденных инфракрасным лазерным излучением.

• Построена новая модель медленного мелкомасштабного дефектно-деформационного солитона в твердых телах с заданным постоянным градиентом деформации, которая использована для качественной интерпретации экспериментальных данных по изучению эффекта фотомеханического дальнодействия в тонких пластинах и пленках.

Научная и практическая ценность.

• Построенные модели волны генерации точечных дефектов и роста спаренных междоузельно-вакансионных дисков (петель) в лазерно-возбужденных полупроводниках и диэлектриках представляют собой два новых механизма лазерного повреждения оптических материалов, работающих, в отличие от существующих механизмов (лавинная ионизация, многофотонное поглощение, модель поглощающих включений), при интенсивностях ниже порога механического разрушения материала.

• Медленные (со скоростями порядка см/с) волны переброса температуры и дефектно-деформационные и деформационно-тепловые солитоны представляют практический интерес как новые каналы эффективного, недиффузионного переноса энергии и вещества в неравновесных (лазерно-возбужденных) средах.

• Солитонное автогетерирование лазерно-индуцированных дефектов в металлических пленках объясняет основные экспериментальные данные по эффекту фотомеханического дальнодействия.

Достоверность и обоснованность полученных теоретических результатов подтверждается их согласием с экспериментальными данными, взятыми либо из работ, выполненных с участием автора, либо из других опубликованных работ.

Диссертационная работа состоит из Введения, 4 глав, Заключения и Списка литературы.

Заключение

.

В Заключении перечислим основные результаты, полученные в диссертации:

1. Развита модель волны генерации точечных дефектов (ВГД), распространяющейся в лазерно-возбужденных полупроводниках и диэлектриках со скоростью порядка скорости звука. Получены аналитические выражения для скорости и формы волны генерации точечных дефектов, критической интенсивности зажигания и максимальной концентрации дефектов, сгенерированных волной. На основе модели ВГД проведена количественная интерпретация экспериментальных данных по повреждению поверхности Si последовательностью пикои наносекундных лазерных импульсов.

2. Развита модель рекомбинационно-стимулированного роста и релаксации спаренных междоузельно-вакансионных дисков (петель) в лазерно-возбужденных полупрводниках. Получены выражения для скорости роста дислокационной петли как функции лазерной интенсивности и температуры и скорости релаксации петли после окончания лазерного импульса. Проведена количественная интерпретация экспериментальных данных по повреждению.

— 7 поверхности Si последовательностью лазерных импульсов длительностью 10 си определены микропараметры модели роста и релаксации спаренных дислокационных петель.

3. Построена модель двухэтапной пространственной самоорганизации волны генерации дефектов, возбуждаемой лазерным излучением с гауссовым распределением интенсивности в кристаллических диэлектриках и полупроводниках с кубической симметрией. На первом этапе происходит угловой коллапс спектра дефектно-деформационных мод вдоль направлений типа [100]. На втором этапе происходит пространственная фокусировка плоских волн генерации точечных дефектов вдоль направлений типа [100] и образование кристаллографически ориентированных звездообразных областей, насыщенных дефектами.4. Построена модель медленной волны переключения температуры (волны рекомбинации неравновесных дефектов), распространяющейся в твердом теле с неравновесными дефектами, индуцированными лазерным импульсом. Получены аналитические выражения и численные оценки для скорости распространения и формы волны переключения температуры. На основе ь полученных теоретических результатов проведена интерпретация экспериментальной температурной зависимости скорости волны изменения отражения и проводимости для Ge.

5. Развита модель медленного (V «Узвука) нанометрового дефектно-деформационного солитона, распространяющегося в твердых телах с постоянным градиентом деформации. Получены выражения скорости солитона и концентрации дефектов и деформации, описывающие солитон. Показано, что при пучковых воздействиях на тонкие твердые пластины и пленки условия распространения дефектно-деформационного солитона возникают автоматически. Проведены численные оценки для скорости и размера ДД-солитона.

6. На основе полученных результатов предложен механизм солитонного гетерирования точечных дефектов, объясняющий эффект фотомеханического дальнодействия, наблюдаемый при пучковых (лазерных) воздействиях на металлические и полупроводниковые пленки. 7. Развита модель медленного (V «Узвука) деформационно-теплового солитона, распространяющегося в твердых телах с постоянным градиентом деформации.

В заключение автор выражает глубочайшую благодарность своему научному руководителю, доктору физико-математических наук, профессору Владимиру Ильичу Емельянову за предоставление очень интересной, новой и весьма актуальной темы диссертации, плодотворные обсуждения и помощь в работе, постоянное внимание и поддержку.

Автор искренне благодарен коллективу кафедры общей физики и волновых процессов физического факультета МГУ за полученное образование, теплую атмосферу и поддержку в течение всего процесса обучения и работы над диссертацией.