Математические модели и метод коллокации в теории слабонаправляющих диэлектрических волноводов

Для оптоэлектроники последние годы характерны изучением и техническим освоением миниатюрных интегральных оптических схем (при изготовлении которых используются нано-материалы [43]) вместо классических электрических [21] и бурным развитием оптических телекоммуникационных технологий передачи данных на большие расстояния [52]. В проектировании и анализе современных оптических волноводных структур важную роль играет математическое моделирование и применение средств вычислительной техники [84]. На этом пути возникают задачи теории диэлектрических (оптических) волноводов [54].

Задачи о собственных волнах диэлектрических волноводов являются задачами поиска частных решений уравнений Максвелла в виде бегущих волн в неограниченных областях, удовлетворяющих условиям сопряжения на границах раздела сред и соответствующим условиям на бесконечности [18], [53]. В диссертации задачи о собственных волнах диэлектрических волноводов, находящихся в однородной среде, полупространстве и плоско-слоистой среде, решаются в скалярном приближении слабонаправляющих волноводов [54]. Несмотря на относительную простоту, это приближение широко используется при математическом моделировании оптических волноводов (см., напр., [9], [18], [30], [35], [36], [54]).

Наиболее полная информация получена о решениях относительно простой задачи о собственных волнах волновода кругового поперечного сечения с постоянным показателем преломления, находящегося в однородной окружающей среде [54]. Хорошо изучены свойства поверхностных собственных волн такого волновода. Собственные функции задачи (амплитуды собственных волн) в этом случае отвечают конечному числу собственных значений (постоянных распространения), принадлежащих ограниченному интервалу вещественной оси. Отличительными особенностями поверхностных собственных волн являются экспоненциальное убывание на бесконечности их амплитуд и симметричность соответствующего дифференциального оператора.

В работе Б. З. Каценеленбаума [34] на основе анализа характеристического уравнения, полученного методом разделения переменных, было доказано существование другого типа собственных волн цилиндрического диэлектрического волновода кругового поперечного сечения с постоянным вещественным показателем преломления. Они получили название вытекаюших. Вытекающие собственные волны имеют экспоненциально возрастающие на бесконечности амплитуды. При рассмотрении задач о вытекающих собственных волнах возникают несамосопряженные дифференциальные операторы, а соответствующие постоянные распространения являются комплексными.

Важно отметить, что, как было доказано в работе [34], постоянные распространения собственных волн указанных двух типов непрерывно зависят от радиуса волновода, показателей преломления волновода и окружающей среды, частоты электромагнитных колебаний. С их изменением собственные волны могут трансформироваться из одного типа в другой.

Несколько десятилетий значительные усилия исследователей были направлены на построение алгоритмов расчета поверхностных собственных волн. Разработано большое количество методов, приспособленных для областей специальной формы. Так, для расчета диэлектрических волноводов неоднородного заполнения с поперечным сечением, близким к круговому, широкое применение нашли лучевой метод, метод нормальных волн и асимптотические методы [17], [54]. Известно точное решение задачи о собственных волнах однородного диэлектрического волновода эллиптического поперечного сечения, полученное методом разделения переменных [41].

Для расчета волноводов с произвольным контуром поперечного сечения применялся метод коллокации (в дифференциальной постановке) [80], [81], вариационные методы [5], [9], [10] и различные модификации метода частичных областей [5], [6], [15], [38], [58], [87], [93].

Для решения задач о поверхностных собственных волнах диэлектрических волноводов с неоднородным заполнением применялся метод конечных разностей [1], [22], [50], [51].

В работах [23], [42], [79] для расчета поверхностных собственных волн диэлектрических волноводов с постоянным показателем преломления применялись граничные интегральные уравнения, построенные на основе формулы Грина. Теоретического обоснования этого метода в указанных работах проведено не было.

Основное внимание исследователей прежде всего было направлено на построение алгоритмов, анализ и интерпретацию полученных численных результатов. Важные и сложные вопросы существования решений, сходимости применяемых численных методов либо не рассматривались, либо оставались исследованными недостаточно подробно.

Наибольшего прогресса при численном решении задач о поверхностных собственных волнах линейных изотропных волноводов в однородной окружающей среде, по-видимому, удалось достичь Р.З. Дау-тову и Е. М. Карчевскому на пути применения и обоснования метода точных нелокальных граничный условий [18]. Этот метод оказался чрезвычайно эффективным и при исследовании существования решений указанных задач.

В работах С. И. Соловьева [94], Е. М. Карчевского и С. И. Соловьева [56] предложен другой метод исследования разрешимости этих задач, основанный на специальных вариационных постановках на всей плоскости. Эти постановки позволили применить для анализа методы спектральной теории вполне непрерывных операторов. Благодаря работам Р. З Даутова, Е. М. Карчевского [18], С. И. Соловьева [94], Е. М. Карчевского и С. И. Соловьева [56] можно утверждать, что теория разрешимости задач о поверхностных собственных волнах линейных изотропных волноводов в однородной окружающей среде построена с исчерпывающей полнотой.

Однако, многие важные для приложений вопросы, связанные с анизотропией, нелинейностью сред, распространением электромагнитных волн в неоднородных неограниченных областях, вытеканием энергии в окружающую среду остаются еще относительно слабо изученными.

Достаточно эффективные и универсальные алгоритмы решения задач дифракции в бесконечных областях основаны на переходе к интегральным уравнениям [88], [39], [37], [48]. Такой подход позволяет, в частности, точно учесть поведение решений задач дифракции на бесконечности. Он применим для нелинейных и анизотропных сред. Разработке и обоснованию численных методов решения интегральных уравнений теории дифракции посвящено большое количество работ (см., напр., [4], [ИЦ14], [24], [26], [27], [37], [40], [45], [46], [48], [69]).

Применительно к спектральной теории диэлектрических волноводов метод интегральных уравнений значительное развитие получил в работах Ю. Г. Смирнова и его учеников (см. [53] и цитированную там литературу). Для задач о поверхностных собственных волнах нелинейных волноводов получены постановки в виде спектральных задач для нелинейных интегральных операторов. Доказано существование их решений методом сжимающих отображений и обоснованы итерационные методы приближенного1 решения.

В монографии Р. З. Даутова и Е. М. Карчевского [18] методом интегральных уравнений для ряда общих задач о (поверхностных и вытекающих) собственных волнах линейных волноводов, получены результаты о качественных свойствах спектра, разработаны и обоснованы численные алгоритмы решения спектральных задач для волноводов с постоянным показателем преломления, основанные на аппроксимации граничных интегральных уравнений методом Галеркина.

В этом контексте необходимо упомянуть и о близких спектральных задачах теории дифракции — задачах о собственных волнах щелевых и полосковых линий. В работах A.C. Ильинского, Ю. Г. Смирнова, Ю. В. Шестопалова, Е. В. Чернокожина (см. [28], [91] и цитированную там литературу) указанные задачи формулируются как задачи поиска характеристических чисел фредгольмовых голоморфных оператор-функций, полученные на основе метода интегральных уравнений. В работах этих авторов анализируются качественные свойства характеристического множества: локализация, дискретность, существование характеристических чисел. Исследования опираются на общую теорию нелинейных спектральных задач, развитую в работах [16], [33]. Предлагаются и исследуются проекционные методы расчета волноведущих структур. При обосновании численных методов используются результаты [2], [3] о проекционных методах решения нелинейных спектральных задач для фредгольмовых операторов.

Решения задач в указанных работах разыскивались в классах функций, удовлетворяющих на бесконечности парциальным условиям излучения. Парциальные условия излучения были введены А. Г. Свешниковым в работе [49]. Применение этих условий в задачах о собственных волнах слабонаправляющих диэлектрических волноводов позволяет разыскивать наряду с поверхностными и вытекающие собственные волны [18], [31], [77], [89].

Вытекающие собственные волны диэлектрических волноводов играют важную роль в анализе эффектов излучения и преобразования волн, возникающих в задачах о стыковке [86] и изгибе волноводов [97], а также в задачах излучения при анизотропии волноводов [92], [85].

В связи с этим в последнем десятилетии начали разрабатываться универсальные методы, предназначенные для расчета вытекающих волн. Так, в работе [72] для поиска вытекающих волн диэлектрических волноводов с постоянным показателем преломления применялся метод граничных интегральных уравнений. Интегральные представления решений, основанные на формуле Грина, в сочетании с методом конечных элементов использовались для расчета вытекающих собственных волн неоднородных диэлектрических волноводов в статье [73]. Доказательства сходимости предлагаемых методов в этих работах проведено не было.

Ранее подход, основанный на сочетании метода конечных элементов и интегрального представления решений вне области поперечного сечения волновода с использованием соответствующей функции Грина, применялся в статье [71] для поиска поверхностных собственных волн волноводов в плоско-слоистой среде. Важно отметить, что в этой работе не было проведено исследования сходимости метода, однако, было доказано существование решения задачи и изучены свойства собственных волн.

Известна физическая постановка задачи о поверхностных волнах слабонаправляющего волновода в плоско-слоистой среде (состоящей из двух слоев) в предположении о том, что показатель преломления слоя, в котором находится волновод, сильно отличается в большую сторону от показателя преломления второго слоя [9]. Это предположение приводит к задаче о собственных волнах слабонаправляющего волновода в полупространстве [9].

В работе Е. М. Карчевского и С. И. Соловьева [55] для исследования собственных волн неоднородных слабонаправляющих волноводов, удовлетворяющих парциальным условиям излучения, использовалось двумерное слабо сингулярное интегральное уравнение по области поперечного сечения волновода. В частном случае поверхностных волн соответствующий оператор самосопряженный. Это позволило доказать непустоту его спектра. Доказано, что характеристическое множество общей задачи о (поверхностных и вытекающих) собственных волнах может состоять лишь из изолированных точек соотвествующей оператор-функции, являющихся ее характеристическими значениями, непрерывно зависящими от неспектральных параметров.

Построенное в [55] уравнение может быть использовано и для численного решения задачи, например, методом коллокации. Это один из наиболее эффективных с точки зрения экономии вычислительных ресурсов методов решения линейных и нелинейных спектральных задач для многомерных интегральных уравнений [96].

Подводя итог, можно утверждать, что наибольшего прогресса в задачах о собственных волнах неоднородных слабонаправляющих волноводов удалось достичь при анализе поверхностных волн волноводов в однородной среде (доказано существование поверхностных волн, изучены их свойства, теоретически обоснован численный метод их поиска [18], [56]). Теоретически обоснованные методы расчета вытекающих волн волноводов, находящихся в однородной среде, могут быть разработаны на основе известной нелинейной спектральной задачи для двумерного слабо сингулярного интегрального уравнения [55]. Численные методы для задачи о поверхностных волнах волновода в плоско-слоистой среде развиты относительно слабо, однако вопросы существования и свойства ее решения хорошо изучены [71]. Для задачи о поверхностных волнах волновода в полупространстве известна лишь физическая постановка [9]. Постановка задачи о вытекающих собственных волнах волновода в полупространстве не известна, но эта задача может быть сформулирована аналогично задачам о собственных волнах щелевых и полосковых линий [28], [91].

Таким образом, проблемы исследования математических моделей спектральной теории слабонаправляющих диэлектрических волноводов являются весьма актуальными. Прежде всего, целью диссертационной работы является получение новой формулировки задачи и исследование в рамках единой математической модели свойств поверхностных и вытекающих собственных волн слабонаправляющего диэлектрического волновода, находящегося в полупространстве. Актуальным является исследование вопросов существования решения этой задачи.

Актуальной является проблема разработки теоретически обоснованных общих методов вычисления собственных волн всех известных типов неоднородных слабонаправляющих диэлектрических волноводов, находящихся в однородной среде, полупространстве и плоскослоистой среде. Актуальной является проблема реализации этих методов в виде комплексов программ, тестирование и анализ эффективности методов.

В настоящей работе сформулирована нелинейная спектральная задача для двумерного слабо сингулярного интегрального уравнения, удобная для теоретического исследования и численного решения общей задачи о (поверхностных и вытекающих) собственных волнах неоднородного слабонаправляющего диэлектрического волновода, находящегося в полупространстве. Установлена эквивалентность этой задачи исходной спектральной задаче для уравнения Гельмгольца. Исследованы вопросы локализации и дискретности спектра.

Задачи о поверхностных волнах слабонаправляющих волноводов в однородной среде, полупространстве и плоско-слоистой среде эквивалентным образом сведены к параметрическим линейным спектральным задачам для интегральных операторов с симметричными, положительными, слабо полярными ядрами. Доказано существование решения задачи о поверхностных волнах волновода в полупространстве, проанализированы его свойства.

Построен и теоретически обоснован метод коллокации численного решения спектральных задач для двумерных слабо сингулярных интегральных уравнений: линейных, эквивалентных задачам о поверхностных волнах слабонаправляющих волноводов в однородной среде, полупространстве и плоско-слоистой средеи нелинейных, эквивалентных общим спектральным задачам о (поверхностных и вытекающих) собственных волнах слабонаправляющих волноводов в однородной среде и полупространстве.

Создан комплекс программ в системе МаШЬ. Решен ряд конкретных задач теории диэлектрических волноводов, проанализирована скорость сходимости и показана практическая эффективность предлагаемого метода путем сравнения решений с точными решениями и результатами, полученными другими авторами. Рассчитаны поверхностные и вытекающие собственные волны ряда неисследованных ранее волноводов в полупространстве и слоистой среде.

Диссертация состоит из введения двух глав и приложения. В первой главе исследуются спектральные задачи о собственных волнах слабонаправляющих диэлектрических волноводов в однородной среде, полупространстве и плоско-слоистой среде. В § 1.1 приводятся постановки этих задач.

1. Боголюбов, А. Н. Расчет оптических волноводов методом конечных разностей Текст. / А. Н. Боголюбов, И. В. Митина, А. Г. Свешников / / Математические модели прикладной электродинамики. — М.: Изд-во МГУ, 1984. — С. 136−155.

2. Вайникко, Г. М. О сходимости приближенных методов решения линейных и нелинейных операторных уравнений Текст. / Г. М. Вайникко, О. О. Карма //Ж. вычисл. матем. и матем. физ. — 1974. Т. 14. — № 4. — С. 828−837.

3. Вайникко, Г. М. О быстроте сходимости приближенных методов в проблеме собственных значений с нелинейным вхождением параметра Текст. / Г. М. Вайникко, 0.0. Карма // Ж. вычисл. матем. и матем. физ. 1974. — Т. 14. — № 6. — С. 1393−1408.

4. Васильев, E.H. Возбуждение тел вращения Текст. / E.H. Васильев — М.: Радио и связь, 1987. — 272 с.

5. Васильев, E.H. Численные методы в задачах расчета диэлектрических волноводов, диэлектрических резонаторов и устройств на их основе Текст. / E.H. Васильев, В. В. Солодухов // Моск. энерг. ин-т. Научн. тр. 1983. — № 19. — С. 68−78.

6. Векуа, И.Н. О метагармонических функциях Текст. / И.Н. Ве-куа // Труды Тбилисского Матем. ин-та. — 1943. — Т. 12. — С. 105−174.

7. Владимиров, B.C. Уравнения математической физики Текст. /B.C. Владимиров. — М.: Наука, 1976. — 527 с.

8. Войтович, H.H. Собственные волны диэлектрических волноводов сложного сечения Текст. / H.H. Войтович, Б.З. Каценеленба-ум, А. Н. Сивов, А. Д. Шатров // Радиотехника и электроника. — 1979. Т. 24. — № 7. — С. 1245−1263.

9. Войтович, H.H. Расчет диэлектрических волноводов сложного профиля методом наименьших квадратов Текст. / H.H. Войтович // Радиотехника и электроника. — 1979. —- Т. 24. —- № 5. —C. 1058−1060.

10. Вычислительные методы в электродинамике Текст. / Под ред. Р. Миттры. — М.: Мир, 1977. 485 с.

11. Габдулхаев, Б. Г. Прямые методы решения сингулярных интегральных уравнений первого рода Текст. / Б. Г. Габдулхаев. — Казань: Изд-во КГУ, 1994. 288 с.

12. Габдулхаев, Б. Г. Численный анализ сингулярных интегральных уравнений. Избранные главы Текст. / Б. Г. Габдулхаев. — Казань: Изд-во КГУ, 1995. 231 с.

13. Галишникова, Т. Н. Численные методы в задачах дифракции Текст. / Т. Н. Галишникова, A.C. Ильинский. — М.: Изд-во МГУ, 1987. 208 с.

14. Гончаренко, A.M. Основы теории оптических волноводов Текст. / A.M. Гончаренко, В. А. Карпенко. — Минск: Наука и техника, 1983. 237 с.

15. Гохберг, И. Ц. Основные положения о дефектных числах, корневых числах и индексах линейных операторов Текст. / И. Ц. Гохберг, М. Г. Крейн // Успехи матем. наук. — 1957. — Т. 12. — Вып. 2. С. 44−118.

16. Дианов, Е. М. Волоконная оптика: проблемы и перспективы Текст. / Е. М. Дианов // Вести. АН СССР. 1989. — № 10. -С. 41−51.

17. Даутов, Р. З. Метод интегральных уравнений и точные нелокальные граничные условия в теории диэлектрических волноводов Текст. / Р. З. Даутов, Е. М. Карчевский. — Казань: Казан, гос. ун-т, 2009. 271 с.

18. Даутов, Р. З. Программирование МКЭ в МАТЬАВ. Учебное пособие Текст. / Р. З. Даутов. — Казань: Казан, гос. ун-т, 2010. — 71 с.

19. Даутов, Р.З.

Введение

в теорию метода конечных элементов Текст. / Р. З. Даутов, М. М. Карчевский. — Казань: Казан, гос. ун-т, 2004. 239 с.

20. Ермаков, О. Н. Прикладная оптоэлектроника Текст. / О. Н. Ермаков. — М.: Техносфера, 2004. — 416 с.

21. Завадский, В. Ю. Моделирование волновых процессов Текст. / В. Ю. Завадский. М.: Наука, 1991. — 248 с.

22. Захаров, Е. В. Метод расчета собственных волн диэлектрических волноводов произвольного сечения Текст. / Е. В. Захаров, Х. Д. Икрамов, А. Н. Сивов // Вычислительные методы и программирование. — М.: Изд-во МГУ, 1980. Вып. 32. — С. 71−85.

23. Захаров, Е. В. Численный анализ дифракции радиоволн Текст. / Е. В. Захаров, Ю. В. Пименов. — М.: Радио и связь, 1982. — 184 с.

24. Ильинский, A.C. Математические модели электродинамики Текст. / A.C. Ильинский, В. В. Кравцов, А. Г. Свешников. — М.: Высшая школа, 1991. — 224 с.

25. Ильинский, A.C. Развитие методов Тихонова в прикладной электродинамике Текст. / A.C. Ильинский, А. Г. Свешников // Вестн. МГУ. Выч. математика и кибернетика. — 1986. — Вып. 3. — С. 2842.

26. Ильинский, A.C. Дифракция электромагнитных волн на проводящих тонких экранах (Псевдодифференциальные операторы в задачах дифракции) Текст. / A.C. Ильинский, Ю. Г. Смирнов. — М.: ИПРЖР, 1996. 176 с.

27. Ильинский, A.C. Применение методов спектральной теории в задачах распространения волн-Текст. /A.C. Ильинский, Ю.В. Ше-стопалов. — М.: Изд-во МГУ, 1989. — 184 с.

28. Канторович, J1.B. Функциональный анализ Текст. / JI.B. Канторович, Г. П. Акилов — М.: Наука, 1984. — 752 с.

29. Карчевский, Е. М. Математические модели спектральной теории диэлектрических волноводов: Учебное пособие Текст. /Е.М. Карчевский. — Казань: Казан, гос. ун-т, 2008. — 140 с.

30. Карчевский, М. М. Уравнения математической физики. Дополнительные главы: учебное пособие Текст. /М.М. Карчевский, М. Ф. Павлова. — Казань: Казан, гос. ун.-т, 2007. — 212 с.

31. Като, Т. Теория возмущений линейных операторов / Т. Като. — М.: Мир, 1972. 740 с.

32. Каценеленбаум, Б. З. Симметричное и несимметричное возбуждение бесконечного диэлектрического цилиндра Текст. / Б. З. Каценеленбаум // Журнал технической физики. — 1949. — Т. 19. — № 10. С. 1168−1181.

33. Клеев, А. И. Численные методы расчета диэлектрических волноводов (волоконных световодов). Частные методы (обзор) Текст. / А. И. Клеев, А. Б. Маненков, А. Г. Рожнев // Радиотехн. и электроника. 1993. — Т. 38. — № 5. — С. 769−788.

34. Клеев, А. И. Численные методы расчета диэлектрических волноводов (волоконных световодов). Универсальные методики (обзор) Текст. / А. И. Клеев, А. Б. Маненков, А. Г. Рожнев // Радиотехн. и электроника. 1993. — Т. 38. — № И. — С. 1938;1968.

35. Колтон, Д. Методы интегральных уравнений в теории рассеяния Текст./ Д. Колтон, Р. Кресс. — М.: Мир, 1987. — 312 с.

36. Кузнецов, В. А. Дисперсионные характеристики прямоугольного диэлектрического волновода Текст. / В. А. Кузнецов, A.M. Jle-рер // Радиотехника и электроника. — 1982. — Т. 27. — № 4. — С. 651−657.

37. Купрадзе, В. Д. Граничные задачи теории колебаний и интегральные уравнения Текст. / В. Д. Купрадзе. — M.-JL: Гостехиздат, 1950. 280 с.

38. Лифанов, И. К. Метод сингулярных интегральных уравнений и численный эксперимент в математической физике, аэродинамике, теории упругости и дифракции волн Текст. / И. К. Лифанов. — М.: ТОО «Янус», 1995. 519 с.

39. Любимов, Л. А. Диэлектрический волновод эллиптического сечения Текст. / Л. А. Любимов, Г. И. Веселов, H.A. Бей // Радиотехника и электроника. 1961. — Т. 51. — Вып. И. — С. 1871−1880.

40. Малов, A.B. Расчет собственных волн диэлектрических волноводов произвольного поперечного сечения методом интегральных уравнений Текст. / A.B. Малов, В. В. Солодухов, A.A. Чурилин // Антенны. — М.: Радио и связь, 1984. — Вып. 31. — С. 189−195.

41. Мартинес-Дуарт, Дж.М. Нанотехнологии для микрои оптоэлек-троники Текст. / Дж.М. Мартинес-Дуарт, Р.Дж. Мартин-Палма, Ф. Агулло-Руеда. — М.: Техносфера, 2007. — 368 с.

42. Никифоров, А. Ф. Основы теории специальных функций Текст. / А. Ф. Никифоров, В. Б. Уваров. — М.: Наука, 1974. 303 с.

43. Панасюк, В. В. Метод сингулярных интегральных уравнений в двумерных задачах дифракции Текст. / В. В. Панасюк, М. П. Саврук, З. Т. Назарчук. — Киев: Наук, думка, 1984. — 344 с.

44. Пресдорф, 3. Линейные интегральные уравнения Текст. / 3. Пресдорф // Итоги науки и техники. Совр. проблемы математики. Фундаментальн. направления. — М.: ВИНИТИ АН СССР, 1988. Т. 27. — С. 5−130.

45. Рисс, Ф. Лекции по функциональному анализу Текст. / Ф. Рисс, Б. Секефальви-Надь. — М.: Мир, 1979. — 587 с.

46. Самохин, А. Б. Интегральные уравнения и итерационные методы в электромагнитном рассеянии Текст. / А. Б. Самохин. — М.: Радио связь, 1998. 160 с.

47. Свешников, А. Г. Принцип предельного поглощения для волновода Текст. / А. Г. Свешников // Докл. АН СССР. 1951. — Т. 80. -№ 3. — С. 345−347.

48. Свешников, А. Г. Применение метода конечных разностей к расчету световодов Текст. / А. Г. Свешников, А. Н. Боголюбов // Вычисл. математика и прграммирование. — 1978. — Вып. 28. — С. 104−117.

49. Свешников, А. Г. Расчет плоского волновода-трансформатора конечно-разностным методом Текст. / А. Г. Свешников, А. Н. Боголюбов // Вычисл. математика и прграммирование. — 1978. — Вып. 28. С. 118−133.

50. Семенов, А.Б. Волоконно-оптиеские подсистемы современных СКС Текст. / A.B. Семенов. — М.: Академия АйТи, ДМК Пресс, 2007. 632 с.

51. Смирнов, Ю. Г. Математические методы исследования задач электродинамики Текст. / Ю. Г. Смирнов. — Пенза: Информационно-издательский центр ПГУ, 2009. — 268 с.

52. Снайдер, А. Теория оптических волноводов Текст. / А. Снайдер, Дж. Лав. — М.: Радио и связь, 1987. — 656 с.

53. Соловьев, С. И. Исследование спектральной задачи для оператора Гельмгольца на плоскости Текст. / Е. М. Карчевский, С. И. Соловьев // Дифференц. уравнения. 2000. — Т. 36. — № 4. — С. 563 565.

54. Соловьев, С. И. Существование собственных значений спектральной задачи теории диэлектрических волноводов Текст./ Е. М. Карчевский, С. И. Соловьев // Известия вузов. Математика. — 2003. № 3. — С. 78−80.

55. Стейн, И. Сингулярные интегралы и дифференциальные свойства функций Текст. / И. Стейн. — М.: Мир, 1973. — 342 с.

56. Унгер, Х.-Г. Планарные и волоконные оптические волноводы Текст. / Х.-Г. Унгер. М.: Мир, 1980. — 656 с.

57. Фролов, А. Г. Собственные волны градиентного волновода Текст. / А. Г. Фролов // Итоговая научно-образовательная конференция студентов Казанского государственного университета2010 года: сборник тезисов. — Казань: Казан, гос. ун-т, 2010. — С. 99−100.

58. Фролов, А. Г. Собственные волны слабонаправляющего волновода в полупространстве Текст. / Е. М. Карчевский, А. Г. Фролов // Известия высших учебных заведений. Поволжский регион. Физико-математические науки. — 2012. — № 1(21). — С. 22−30.

59. Фролов, А. Г. Метод коллокации для спектральных задач теории диэлектрических волноводов Текст. / А. Г. Фролов // Известия высших учебных заведений. Поволжский регион. Физико-математические науки. — 2012. — № 2(22). — С. 3−15.

60. Фролов, А. Г. Метод коллокации для поиска собственных волн диэлектрического волновода Текст. / А. Г. Фролов // Исследования по прикладной математике и информатике. — Казань: Изд-во Казан. федерал, ун-та, 2011. — Вып. 27. — С. 171−178.

61. Шестопалов, В. П. Матричные уравнения типа свертки в теории дифракции Текст. / В. П. Шестопалов, A.A. Кириленко, С.А. Ма-салов. — Киев: Наук, думка, 1984. — 296 с.

62. Янке, Е. Специальные функции Текст. / Е. Янке, Ф. Эмде, Ф. Леш. М.: Наука, 1968. — 344 с.

63. Bonnet-Ben Dhia, A.S. Computation of the modes of dielectric waveguides by finite elements coupled with an integral representation Текст. / A.S. Bonnet-Ben Dhia, N. Gmati // Numerical Methods in Engineering. 1992. — P. 73−77.

64. Eliseev, M.V. Analysis of Leaky Modes by a Modified Finite-Element Method Текст. / M.V. Eliseev, A.B. Manenkov, A.G. Rozhnev // Journal of Communications Technology and Electronics. — 2006. — V. 51. N 12. — P. 1329−1337.

65. Frolov, A. Generalized modes of optical fiber Текст. / A. Frolov, E. Karchevskiy // Days on Diffraction' 2011. Int. Conf. Saint Petersburg, May 30 June 3, 2011: Abstracts. Universitas Petropolitava. — P. 3536.

66. Kartchevski, E.M. Mathematical analysis of the generalized natural modes of an inhomogeneous optical fiber Текст. / E.M. Kartchevski, A.I. Nosich, G.W. Hanson // SIAM J. Appl. Math. 2005. — V. 65. -№ 6. — P. 2033;2048.

67. Lehoucq, R.B. Deflation Techniques for an Implicitly Re-Started Arnoldi Iteration Текст. / R.B. Lehoucq, D.C. Sorensen // SIAM J. Matrix Analysis and Applications, Vol. 17, 1996, pp. 789−821.

68. Eyges, L. Modes of dielectric waveguides of arbitrary cross sectional shape Текст. / L. Eyges, P. Gianino, P. Wintersteiner //J. Opt. Soc. Am. 1979. — V. 69. — № 9. — P. 1226−1235.

69. James, J.R. Point-matched solutions for propagating modes on arbitrarily-shaped dielectric rods Текст. / J.R. James, I.N.L. Gallet // Radio and Electron. Eng. 1972. — V. 42. — P. 103−113.

70. James, J.R. Modal analisis of triangular-cored glass-fibre waveguide Текст. / J.R. James, I.N.L. Gallett // IEE Proc. 1973. — V. 120. — № 11. — P. 1362−1370.

71. Keuster, E.F. Fundamental mode propagation on dielectric fibres of arbitrary cross-section Текст. / E.F. Keuster, R.C. Pate // IEE PROC-H. 1980. V. 126. — № 1. — P. 41−47.

72. Kress, R. Linear Integral Equations Текст. / R. Kress. — New York: Springer-Verlag, 1999. — 365 p.

73. Lifante, G. Integrated photonics: fundamentals Текст. / G. Lifante. — John Wiley and Sons, 2003. 184 p.

74. Lu, M. Anisotropic dielectric waveguides Текст. / M. Lu, M.M. Fejer //J. Opt. Soc. Am. A. Feb. 1993. — V. 10. — № 2. — P 246 261.

75. Miller, C.M. Optical Fiber Splices and Connectors: Theory and Methods Текст. / C.M. Miller. Marcel Dekker, 1986. — 378 p.

76. Mittra, R. Analisic of open dielectric waveguides using mode-matching technique and variational metods Текст. / R. Mittra, V. Jamnejad, Y. Hou // IEEE Trans, on MTT. 1980. — V. 28. -№ 1. — R 36−43.

77. Muller, C. Grundproblems der Mathematischen Theorie Elektromagnetischer Schwingungen Текст. / С. Muller. — Berlin: Springer, 1957. 345 p.

78. Nosich, A.I. Radiation conditions, limiting absorption principle, and general relations in open waveguide scattering Текст. / A.I. Nosich // J. Electromag. Waves Applicat. 1994. — V. 8. — № 3. — P. 329−353.

79. Neumaier, A. Residual inverse iteration for the nonlinear eigenvalue problem Текст. / A. Neumaier // SIAM J. Numer. Anal. — 1985. — V. 22. № 5. — P. 914−923.

80. Shestopalov, Yu.V. Logarithmic Integral Equations in Electromagnetics Текст. / Yu.V. Shestopalov, Yu.G. Smirnov, E.V. Cher-nokozhin. VSP, 2000. — 117 p.

81. Snyder, A.W. Anisotropic fibers with nonaligned optical (stress) axes Текст. / A.W. Snyder, A. Ankiewicz //J. Opt. Soc. Am. A. — June 1986. V. 3. — № 6. — P. 856−863.

82. Solbach, K. The electromagnetic fields and the phase constants of dielectric image lines Текст. / К. Solbach, I. Wolff // IEEE Trans, on MTT. 1978. — V. 26. — № 4. — P. 266−274.

83. Solov^v, S.I. Existence of the guided modes of an optical fiber Текст. / S.I. Solov’ov. Preprint SFB393/03−02 — Chemnitz: Technische Universitat Chemnitz, 2003. — 21 p.

84. Steinberg, S. Meromorphic families of compact operators Текст. / S. Steinberg // Arch. Rat. Mech. Anal. 1968. — V. 31. — № 5. -P. 372−379.

85. Vainikko, G. Multidimensional weakly singular integral equations Текст. / G. Vainikko. Springer, 1993. — p. 159.

86. Wilczewski, F. Bending loss of leaky modes in optical fibers with arbitrary index profiles Текст. / F. Wilczewski // Optics Letters. — July 1994. V. 19. — № 14. — P. 1031−1033.