Математическое моделирование контактного взаимодействия упругопластических тел

Многие ответственные узлы и элементы конструкций объектов энергетического оборудования, авиационной, аэрокосмической, наземной и морской транспортной техники работают в условиях контактного взаимодействия. Для правильной оценки их ресурса и надежности необходимо знать напряженно-деформированное состояние, которое можно определить, решив соответствующую контактную задачу. Таким образом, контактные задачи являются одними из центральных в механике деформируемого твердого тела, так как контакт — это основной метод приложения нагрузок к деформируемому телу, кроме того, концентрация напряжений в зоне контакта часто инициирует разрушение материала.

Исторически первыми, основополагающими работами в теории контактных задач явились исследования Герца, где было получено распределение местных напряжений в районе контакта упругих тел. Основные результаты этих исследований до сих пор не потеряли своей теоретической и практической ценности. Значительный вклад в развитие методов решения контактных задач внесли фундаментальные труды советских ученых — Н. И. Мусхелишвили, И. Н. Векуа, Н. П. Векуа, С. Г. Михлина, JL А. Галина, И. Я. Штаермана, Д. И. Шермана, В. JI. Рвачева и многих других, а также работы зарубежных математиков и механиков К. Каттанео, Н. Губера, Р. Д. Миндлина, Д. Синьорини и других.

Ввиду своей важности и сложности контактные задачи и в настоящее время привлекают большое число исследователей как в нашей стране (И.И. Ворович, В. М. Александров, A.B. Манжиров, С. М. Айзикович, В. И. Моссаковский, A.C. Кравчук, B.C. Давыдов, М. И. Чебаков, И. И. Аргатов, H.H. Дмитриев, А. Г. Горшков, E.H. Чумаченко, Э. Р. Гольник, A.A. Успехов и др.), так и за рубежом (G. Pietrzak, A. Curnier, F. Armero, Е. Petoch, P. Alart, M. Barboteu, F. Lebon, D. Barlam, E. Zahavi и др.).

Аналитические решения контактных задач получены для весьма ограниченного числа видов контактного взаимодействия и форм контактирующих поверхностей, а в подавляющем большинстве практически важных ситуаций, связанных с принятием конструктивных решений, например, для контактирующих тел, имеющих сложную геометрическую форму, и при сравнительно невысоких требованиях к гладкости функций, входящих в формулировку краевых задач, наиболее перспективны численные методы, среди которых продолжительное время лидирующее положение занимает метод конечных элементов (МКЭ) [1−12].

Повсеместному и успешному применению МКЭ способствовали его основные конструктивные свойства, например, такие, как естественность, простота, доступность, универсальность и высокая технологичность. МКЭ позволяет проводить численный анализ в областях сложной геометрической формы, учитывать особенности граничных условий, физико-механических свойств материалов расчётных схем. Характерной особенностью МКЭ является прозрачность основных вычислительных процедур, что позволяет эффективно контролировать обработку данных. Кроме того, МКЭ алгоритмически и программно весьма удобен для объединения с современными методами и средствами компьютерной графики.

Широкое внедрение МКЭ-технологии как составной части комплексной автоматизации сквозного цикла: проектированиеконструирование — изготовление, определило появление большого количества комплексов и пакетов прикладных программ (КПП и ППП). Условно всё их многообразие можно разделить на две большие группы: исследовательские и профессиональные. Первые имеют весьма узкую специализированную ориентацию. Определяющим здесь является быстрота разработки, отладки и оперативное проведение численных исследований. Как правило, исследовательские КПП сопровождаются самим авторским коллективом. После доработки пользовательского интерфейса, а иногда, и функционального ядра с учётом опыта эксплуатации, исследовательские комплексы программ могут быть доведены до уровня профессиональных ППП, имеющих высокий сервисно-диагностический уровень. Например, к известным профессиональным ППП можно отнести «средние» и «тяжёлые» CAD/CAE/CAM системы, созданные в нашей стране такие, как МАРС, ЛИРА, МЕГРЭ-ЗД, FEMHCA, МАК, АСТРА, КАСКАД-2, ASTA, АРМ WinMachine, и за рубежом — I-DEAS, CATIA, Pro/ENGINEER, MSC/NASTRAN, ANSYS, MARC+Mentat II, MATRA, Unigraphics, COSMOS/M, STAADIII, BEASY, CADdy и некоторые другие. Эти пакеты обладают очень высокой универсальностью и обеспечивают решение практически любой задачи, не содержащей особых сложностей. Для пользователей основная трудность состоит в овладении навыками сопровождения, причём процесс полного освоения такого пакета может оказаться достаточно длительным и трудоёмким. Сравнительный анализ современных CAD/CAE/CAM систем можно найти в работах [13 — 16].

Для численного решения контактных задач в современных САЕ-системах, например таких, как ANSYS, MSC/NASTRAN, LS-DYNA, COSMOS/M, применяется, как правило, конечно-элементная технология, в рамках которой реализуется следующие алгоритмы: метод штрафных функций (Penalty Method) — расширенный метод Лагранжа (Augmented Lagrange Method) — метод множителей Лагранжа (Pure Lagrange multiplier method) — комбинированный метод штрафов и Лагранжа (Lagrange&Penalty Method) — метод внутренних многоточечных связей (MPC Algorithm).

Основными алгоритмами решения контактных задач являются метод множителей Лагранжа, метод штрафов и их комбинации [87 — 102], а также релаксационные схемы [17 — 21]. При решении некоторых типов задач в рассмотрение вводят «псевдосреду» [22] и контактные конечные элементы [97].

Весьма перспективным для решения контактных задач является применение альтернирующего метода Шварца, основанном на принципе поочередности [23 — 34]. Преимущества этого метода состоят в том, что не требуется согласовывать построение узлов конечно-элементных моделей на поверхностях контакта и переформировывать матрицы систем линейных алгебраических уравнений в процессе итерационного уточнения границ зон контакта.

В настоящее время сохраняется необходимость в дальнейшем развитии существующих и создании новых прикладных методов решения контактных задач, реализующих их алгоритмов и исследовательских КПП, что вызвано, во-первых, ростом требований к уровню проводимых численных исследований и, во-вторых, динамически расширяющимися возможностями современных вычислительных средств. Практика численных исследований убедительно показывает, что наряду с созданием и развитием программных комплексов общего назначения необходимо вести разработку целевых программ для решения задач в рамках одной или нескольких идейно близких математических моделей, поскольку такие программы значительно повышают эффективность вычислительного эксперимента в соответствующей предметной области [35].

Адаптация МКЭ к новым задачам требует пересмотра концептуальных взглядов на отдельные этапы его реализации и, в частности, на подходы к построению самих математических моделей и численных алгоритмов, описывающих сложные физико-механические процессы, где и закладывается начальная посылка получения достоверных результатов. При этом остаётся актуальной проблема организации вычислительных процедур с максимальной степенью экономичности при соблюдении достаточно высокой точности.

Актуальность проблемы. Дальнейшее интенсивное развитие методов математического моделирования как эффективного средства исследования сложных процессов деформирования с учетом контактного взаимодействия является одной из актуальных проблем прикладной математики, так как открывает новые возможности в развитии таких предметных областей как механика деформируемого твёрдого тела и прикладные методы численного анализа, значительно расширяет перспективы создания и практического использования систем автоматизированного проектирования.

Важнейшим с этой точки зрения является дальнейшее развитие перспективных прикладных методов математического моделирования применительно к решению новых классов задач вычислительной термомеханики, математические постановки которых в наиболее общем виде учитывают сложные физико-механические эффекты, возникающие при неизотермическом упругопластическом деформировании с учетом контактного взаимодействия. Это даёт возможность проведения более полного и тонкого анализа напряженно-деформированного состояний ответственных элементов конструкций, подверженных сложному термосиловому нагружению, и, таким образом, получения данных для более точной оценки их ресурса.

Актуальной является также проблема создания новых эффективных алгоритмов и на их основе современного прикладного программного обеспечения для решения нелинейных задач вычислительной термомеханики, учитывающих контактное взаимодействие.

Диссертация выполнена в МГТУ им. Н. Э. Баумана на кафедре «Прикладная математика» (ФН-2).

Цель работы. В соответствии с изложенным выше целью настоящей диссертационной работы является развитие перспективных численных методов решения нелинейных краевых задач вычислительной термомеханики, учитывающих особенности контактного взаимодействия ответственных элементов конструкции в условиях сложного термосилового нагружения.

В соответствии с целью работы были поставлены следующие основные задачи исследования:

— Разработка математических моделей и алгоритмов для решения физически нелинейных квазистатических краевых контактных задач МДТТ в двухмерных областях сложной геометрической формы.

— Создание на основе разработанных моделей и алгоритмов комплекса прикладных программ для решения физически нелинейных контактных задач МДТТ.

Содержание работы. В соответствии с поставленными задачами исследования в первом разделе работы рассмотрены формулировки краевых контактных задач МДТТ. Для их решения в рамках конечно-элементной технологии применен итерационный алгоритм, основанный на альтернирующем методе Шварца, особенностью которого является принцип поочередности задания кинематических и силовых граничных условий в зоне контактного взаимодействия. В этом же разделе приведены основные используемые соотношения МКЭ. Также рассмотрены шаговые итерационные методы решения физически нелинейных задач МДТТ с учетом упру го пластических деформаций.

Во втором разделе диссертации дано описание комплекса прикладных программ для решения физически нелинейных контактных задач МДТТ в сложных двухмерных областях. Структурно комплекс состоит из трех проблемно ориентированных программных блоков. Первый программный блок является препроцессором и предназначен для подготовки данных, второй программный блок выполняет функции процессора, то есть непосредственно реализует алгоритмы решения контактных задач в упругой или упругопластической постановках, третий программный блокпостпроцессор, позволяющий наглядно представлять результаты численных исследований. Блоки имеют общую базу данных. При решении задач программы комплекса полностью размещаются в оперативной памяти, что позволяет существенно сократить общее время решения.

В третьем разделе диссертации в качестве примеров реализации разработанных методов, алгоритмов и программ представлены результаты прикладных исследований напряженно-деформированного состояния тел различной формы, находящихся в условиях термомеханического нагружения и контактного взаимодействия. Здесь рассмотрено контактное взаимодействие цилиндра и полуцилиндра с полупространством, пластин различной формы и размеров, а также замковые соединения компрессорных лопаток и дисков ГТД.

Научную новизну диссертационной работы составляют разработанные:

— алгоритмы для решения квазистатических краевых контактных задач МДТТ в двухмерных областях сложной геометрической формы в условиях термосилового нагружения с учетом упругопластической деформации.

На защиту вынесены следующие положения:

— алгоритмы для решения физически нелинейных квазистатических краевых контактных задач МДТТ в двухмерных областях сложной геометрической формы в условиях термосилового нагружения.

— разработанный комплекс прикладных программ, позволяющий проводить вычисления полей перемещений, деформации и напряжений, возникающих в ответственных элементах конструкций, находящихся под действием термомеханической нагрузки.

Практическая ценность. Разработанные методики, алгоритмы и комплекс прикладных программ позволяют эффективно, с малыми затратами времени проводить численные исследования контактных задач МДТТ в геометрически сложных двухмерных областяхрешать широкий класс задач научного и прикладного характераисследовать особенности влияния различных конструктивных, технологических и эксплуатационных факторов.

Комплекс прикладных программ может использоваться как эффективное инструментальное средство численного анализа процессов деформирования на этапах поисковых, оптимизационных и диагностических исследований при создании объектов новой техники.

Представленный в диссертации комплекс прикладных программ применялся при проведении численных исследований в НИИ Энергетического машиностроения МГТУ им. Н. Э. Баумана по заказам ряда предприятий энергомашиностроительного профиля.

Результаты работы использовались при выполнении исследование в рамках АВЦП «Развитие научного потенциала высшей школы»: проект № РНП 2.1.2.884 «Разработка неклассических математических моделей поведения перспективных конструкционных и функциональных материалов при высокоинтенсивных воздействиях физических полей различной природы», 2009 — 2011 г.г., а также грантов Президента РФ по государственной поддержке ведущих научных школ РФ, проекты — № НШ-4140.2008.8 «Термопрочность теплонапряженных элементов конструкций», 2008 — 2009 г. г., и № НШ-4146.2010.8 «Математическое моделирование термомеханических процессов в теплонапряженных конструкциях при высокоинтенсивных воздействиях физических полей различной природы», 2010;2011 г. г.

Обоснованность и достоверность результатов, представленных в диссертации, основана:

1) на строгости математического построения описанных моделей исследуемых физико-механических процессов;

2) на результатах исследования сходимости представленных алгоритмов;

3) на тщательном и методическом тестировании разработанных алгоритмов и программ на решениях широко известных тестовых задач;

4) на сравнении полученных результатов расчетов с данными экспериментов и результатами расчетов других авторов.

Апробация работы. Материалы настоящей диссертационной работы докладывались на XII международном симпозиуме «Уникальные феномены и универсальные ценности культуры», Москва, МГТУ им. Н. Э. Баумана 2010 г.- научно-технической конференции «Научная весна — 2011», посвященной 50-летию полета Ю. А. Гагарина в космос, Москва, МГТУ им. Н. Э. Баумана, 2011 г.- итоговых научных конференциях МГТУ им. Н. Э. Баумана, 2009 — 2012 г.г.- научных семинарах отделения ЭМ-2 НИИЭМ МГТУ им. Н. Э. Баумана, 2009 — 2012 г.г.- семинарах кафедры прикладной математики МГТУ им. Н. Э. Баумана, 2010 — 2012 г.г.

ОСНОВНЫЕ ВЫВОДЫ ПО РАБОТЕ.

1. Разработаны математические модели и итерационные алгоритмы для решения квазистатических контактных краевых задач МДТТ в двухмерных областях сложной геометрической формы с учетом упругопластического деформирования в условиях термосилового нагружения.

2. На основе разработанных алгоритмов, создан комплекс прикладных программ для решения двухмерных контактных задач МДТТ.

3. Решены двухмерные контактные задачи МДТТ, демонстрирующие возможности разработанных математических моделей, алгоритмов и программ.