Бустовы моды в квантовой теории поля и рождение пар

Задача о рождении в вакууме электрон-позитронных пар внешним сильным электромагнитным полем впервые была рассмотрена в 1931 году футером (1] в контексте парадокса Кледна [2) в 19зе году Геязенберг и

Эйлер в работе [3] вычислили эффективный лагранжиан постоянного электромагнитного поля и попрали, которые вноепт в уравнения Максвелла поляризация вакуума. В этих же работах была впервые введена критическая напряженность поля квантовой электродинамики (КЭД), те такого поля, которое совершает работу, равную энергии покоя электрона, &bdquo-а расстоянии комптоновской длины волны а)

Здесь ше пе — масса и заряд электрона, с — скорость света, А — постоянная Планка. в работе [4) Швиигер повторил результат Гейзенберга и Эйлера [3] Для эффективного Лагра"жиа"а с помощью оригинаЛьного метода для вычисления матричных элементов оператора эволюции и вывел выражение Для функции Грина электрона в интенсивном внешнем поле. Также в [4] Для случая постоянного электрического поля была вычислена вероятность перехода вакуум-вакуум, т. е. вероятность того, что не родится ни одна ча

Т/Г/^-21 111 БеГГ

2) где 8." - эффективное действие, после чего эффект рождения пар внеш-полем часто называв эффектом Швингера. Отметим, что широко распространенное убеждение в том, что величина 21ш5е// является вероятностью рождения пары в единице объема в единицу времени, верно только

В случае слабых полей Е <�с Е3. i i

Рис. 1. Рост интенсивности лазерных систем. Пунктиром показаны лазеры высокой мощности, которые строятся в настоящее время. Использован Рис. 1 из [5].

Вероятность рождения пары w очень резко зависит от напряженности поля, w ~ [4]. Поскольку напряженность критического поля (1) составляет Es = 1.3 • 1016 В/см, а соответствующая ей интенсивность поля равна Is = f? E2s = 4.6 • 1029 Вт/см2, до последнего времени вопрос о рождении пар электромагнитным полем в вакууме вызывал сугубо теоретический интерес, так как возможности лазерных систем не позволяли задумываться об экспериментальной проверке этого эффекта. Однако бурный прогресс, связанный, прежде всего, с технологией Chirped Pulse Amplification (CPA) [6] и развитой на ее основе Optical Parametric Chirped Pulse Amplification (ОРСРА) [7], см. Рис. 1, дает возможность достичь ин-тенсивностей всего на несколько порядков меньших критической Is в течение ближайших лет [5,8]. В настоящее время уже получена интенсивность / = 2 ¦ 1022 Вт/ см [9], и строятся две установки, на которых эффект рождения пар из вакуума в принципе может быть проверен экспериментально: High Power laser for Energy Research (HiPER) в Великобритании [10,11] и

Extreme Light Infrastructure (ELI) [12,13], которая будет располагаться в Чехии, Венгрии и Румынии.

Пиковая интенсивность этих лазеров должна будет достигать I — 2Q26−28 2т/см2. Это все еще значительно меньше критической интенсивности Is. Тем не менее в [14−16] было показано, что рождение пар одним сфокусированным циркулярно поляризованным лазерным импульсным можно экспериментально наблюдать уже при интенсивности порядка I = 1028 Вт/см2. Это объясняется очень большим значением предэкспоненциально-го множителя в формуле для числа рожденных пар, который имеет порядок отношения 4-объема фокусной области лазерного импульса, в которой рождаются пары, к комптоновскому 4-объему, т. е. (Л/Лс)4, где Л — длина волны лазера, Хс — комптоновская длина волны электрона. Более того, было показано, что использование нескольких сталкивающихся импульсов в определенной геометрии позволяет еще существеннее снизить пороговую интенсивность, необходимую для рождения пар. Так, для двух сталкивающихся импульсов пороговая интенсивность составляет порядка 1(2) — Ю26 Вт/см2 [15], а для 24 импульсов пороговая интенсивность снижается до /(24) — 5 • 1025 Вт/см2 [17]. Такие значения интенсивности должны быть достигнуты на HiPER и ELI в течение нескольких лет.

Кроме того, в [18] было показано, что единственная рожденная лазерным импульсом из вакуума пара при достаточной интенсивности импульса инициирует квантовоэлектродинамический каскад рождений новых пар. Это связано с тем, что возникшие электрон и позитрон очень быстро ускоряются лазерным полем до релятивистских энергий и излучают жесткие фотоны, которые рождают новые пары. Этот эффект уже наблюдался в эксперименте на Стенфордском линейном ускорителе [19]. Однако случаи рождения там были единичными, и каскад не развивался из-за недостаточной интенсивности лазерного поля. При интенсивности порядка I ~ 2.7 • 1026 Вт/см2 суммарная энергия частиц в каскаде становится сравнимой с энергией лазерного поля, что приводит к разрушению импульса [18]. Получается, что эффект рождения пар ограничивает максимально возможную напряженность фокусированного лазерного импульса, **

-^лЛГЫ 15 ния порядка критической напряженности Е$ не могут быть достЛ1 принципе1 [16].

Таким образом, изучение вопросов, связанных с рождением ^ тенсивным внешним полем представляется сейчас очень актуальна

Среди основных подходов к изучению эффекта рождения пар отметить

1. Вычисление мнимой части действия [3,4], упоминавшееся вЫ⁶

2. Построение квантовой теории во внешнем классическом поле I,

3. Квазиклассические методы, которые рассматривают рожден Я^ внешним полем как туннелирование через потенциальный оар^*^^ риной Аг = 2у/т2 + р'^/еЕ, где р^ - импульс частицы в попер* ^ полю направлении [26−29],

4. Метод квантового кинетического уравнения [30−34].

Обзоры подходов 1−3 и некоторых других содержатся, в частности, -о нографиях [35−37], подход 4 начал развиваться сравнительно настоящей диссертации мы сосредоточимся преимущественно на ш&- ^ 2 и 4

Как известно, процедура квантования в квантовой теории поля^ся ит в разложении оператора поля по полному набору мод, которые явл^-^^^ решениями соответствующих классических полевых уравненийФока-Гордона (КФГ) для бозонов и Дирака для фермионов. Поэтому г точных решений этих уравнений является одной из центральных про квантовой теории во внешнем классическом поле. Для решения дифф циальных уравнений в частных производных часто помогает использов свойств симметрии физической системы, которая описывается этими нениями. Согласно теореме Нетер [38], каждому непрерывно зависяцХ?

1Интересно отметить, что это утверждение было сделано еще Нильсом Бором, см., например главы IV в книге [20]. от одного параметра преобразованию, оставляющему инвариантным действие физической системы, соответствует закон сохранения. Оказывается возможным так выбрать переменные в уравнении, что изменение одной из них является преобразованием симметрии. Поскольку генератор преобразования симметрии коммутирует с дифференциальным оператором уравнения, можно отделить соответствующую переменную. Если существуют другие генераторы симмстрий уравнения, которые, к тому же, коммутируют друг с другом, задача может быть сведена к решению обыкновенного дифференциального уравнения второй степени. Полученные решения нумеруются собственными значениями генераторов симметрий, и их набор является полным.

Все наиболее важные и широко используемые решения релятивистских квантовых уравнений во внешних классических полях были получены именно таким образом. В качестве примеров можно привести кулоново поле, см., например, [39], постоянное магнитное [39] и электрическое [21−23] поля, поле плоской электромагнитной волны [40], а также некоторые другие более сложные конфигурации внешнего поля [22,41].

В частности, в однородном, т. е. не зависящем от координат и времени, электрическом поле Е, направленном вдоль оси с дифференциальным оператором К, Е уравнения2 КФГ

КЕф{х) — 0, 1СЕ = (дц + геА^д" + 1еА") + ш2, (3) где Ац — 4-потенциал поля, /х = 0,1,2,3, {ж^} = коммутируют операторы Рг = -г<9~ + еАх — еЕЬ и Рь = 1дь — еАь — еЕг [21,22].

Квантование скалярного и фермионного полей во внешнем однородном электрическом поле в базисе собственных функций этих операторов и их линейных комбинаций Рь = — Рг было развито в работах [21−25]. Было показано, что несмотря на то, что поле присутствует во всем пространстве-времени Минковского (ПМ), пары с определенными значениями квантовых чисел рождаются только в ограниченных хотя бы по

23десь и далее, как правило, используются единицы Н = с = 1.

Рис. 2. Разбиение пространства Минковского на правый ®, левый (L), прошлый (Р) и будущий (F) секторы. Штриховкой обозначены in и out области, Т -" оо. одной из координат областях. Поэтому становится возможным определить in (tоо) и out (tоо) области ПМ (см. Рис. 2), в которых рождения пар не происходит, и решения уравнения (3) могут быть однозначно классифицированы на описывающие частицы и античастицы. Таким образом, в in и out областях может быть построена последовательная квантовая теория поля. Коэффициенты преобразования Боголюбова между in и out операторами рождения и уничтожения позволяют вычислить число пар, рождаемых электрическим полем из вакуума в каждой моде, и полное число частиц, рожденных в единице объема в единице времени [23,25].

Во всех упомянутых выше случаях [21−23, 39−41] решения уравнений КФГ и Дирака во внешних полях являлись собственными функциями линейных комбинаций генераторов временных и пространственных сдвигов или пространственных поворотов и нумеровались значениями 4-импульса или момента импульса соответственно. Между тем, с оператором Ке Клейна-Гордона-Фока во внешнем однородном электрическом поле коммутирует также любой из генераторов лорецевых поворотов, в частности генератор буста вдоль оси z

Вк: = -ге^х11ди = i (tdz + zdt), fj., u = 0,3, £0з = = 1- (4)

Бустовая симметрия достаточно редко используется для квантования поля. Прежде всего, это связано с тем, что генератор буста не коммутирует с гамильтонианом, и поэтому бустовое квантовое число и энергия не могут входить ни в какой полный набор наблюдаемых величин одновременно. Тем не менее, бустовы моды могут быть крайне полезны для квантовой теории поля в искривленном пространстве-времени или в случае, если однородность ПМ по времени и/или пространству нарушена присутствием внешнего классического поля. В этих случаях бустова симметрия может оказаться единственной для квантованного поля. Примерами такой ситуации являются дилатонная [42] и обобщенная дилатонная [43] гравитация в двух измерениях, а также двумерная метрика Шварцшильда. Здесь же можно упомянуть продольное хромоэлектрическое поле, возникающее при столкновении тяжелых ионов [44].

Таким образом, метод бустового квантования, сформулированный для случая достаточно хорошо изученного внешнего электрического поля, может быть применен в задачах дилатонной гравитации и квантовой хромодинамики. В частности, аналогом эффекта Хокинга [45] в дилатонной теории гравитации [46] и рождения частиц при столкновении тяжелых ионов [44] является рассмотренный в данной работе эффект рождения бу-стовых пар во внешнем электрическом поле.

Различные попытки квантования в базисе бустовых мод во внешнем однородном электрическом поле предпринимались и ранее [44,47−50], однако их нельзя признать вполне удовлетворительными, поскольку последовательной квантовой теории поля на базе бустовых мод, основанной на методе вторичного квантования, не было построено до сих пор. В работах [44, 47, 49, 50] квантование проводилось в каждом из четырех секторов ПМ (см. Рис. 2) по отдельности, т. е. каждый сектор рассматривался как замкнутое пространство, после чего делались достаточно произвольные предположения о связях между секторами. В таком подходе не может быть и речи о глобальных in и out вакуумных состояниях и вторичном квантовании. Более того, различные авторы получили разные результаты при подсчете количества рожденных бустовых пар (ср. [47,49,50] и [44]). называемый «эффект» Унру, который состоит в следующем: пусть произвольный детектор движется с постоянным собственным ускорением, а в вакууме пространства Минковского. Согласно Унру [51], в этом случае детектор будет вести себя так, как если бы находился в термостате с определенной зависящей только от его ускорения температурой, называемой температурой Девиса-Унру гр аП (5) где П — постоянная Планка, с — скорость света, кв — постоянная Больц-мана. Другими словами, с точки зрения ускоренного детектора вакуумное состояние ПМ является смешанным состоянием, описываемым тепловой матрицей плотности с температурой (5). Заметим, что в самом по себе отклике ускоренного в вакууме им дь-тектора нет ничего необычного, поскольку его ускоряет некоторая внешняя сила, которая может возбуждать в том числе и его внутренние степени свободы. Суть «эффекта» Унру заключается именно в его универсальности, независимости от устройства детектора.

Эффект" Унру вызывает значительный интерес у теоретиков в том числе и потому, что в ряде работ [35,36,51,58−66] этот эффект связывают с эффектом Хокинга [45], считая рассмотрение Унру моделью испарения вечной черной дыры с температурой Бекенштейна-Хокинга

Т — дП ^

Твн — 2-кскв" где д — поверхностная гравитация черной дыры, аналог ускорения свободного падения на поверхности Земли.

Вечная черная дыра является частью максимально расширенного многообразия Крускала [67], которое описывается метрикой оо < й, V < оо. где М — масса черной дыры. Диаграмма Пенроуза для максимально расширенного двумерного пространства-времени Крускала изображена на Рисунке За. Для наблюдателя, находящегося в области I область III является черной дырой, область IV белой дырой, а область II параллельной вселенной. Линии й = 0, г- = 0 являются горизонтом событий. Существование горизонта делает невозможным сообщение между вселенными I и II. Жирные горизонтальные линии изображают точку г = 0 в прошлом и будущем-В этой точке метрика Крускала имеет особенность. г=О г=0 а) б)

Рис. 3. Диаграммы Пенроуза максимально расширенного пространства Крускала (а) и пространства Минковского (б).

Аналогия между «эффектом» Унру и эффектом Хокинга для вечной черной дыры строится на том основании, что часть метрики (7), содержащая йййю, везде, кроме точки г = 0, конформно эквивалентна метрике двумерного пространства Минковского в2 = сгж+с*с, (8) где х±- =? ± 2 координаты светового конуса, и диаграмма Пенроуза пространства Крускала на рисунке За топологически эквивалентна диаграмме Пенроуза пространства Минковского, изображенной на Рисунке 36- Поскольку равноускоренный наблюдатель все время своего движения находится в правом секторе ПМ, то для него в рамках этой аналогии будущий сектор является черной дырой, прошлый белой дырой, а левый недоступной параллельной вселенной. При этом световой конус (штриховые лй" сунке За. Для наблюдателя, находящегося в области I область III является черной дырой, область IV белой дырой, а область II параллельной вселенной. Линии й = О, V = 0 являются горизонтом событий. Существование горизонта делает невозможным сообщение между вселенными I и II. Жирные горизонтальные линии изображают точку г = 0 в прошлом и будущем. В этой точке метрика Крускала имеет особенность. г=0 а) г=0 б)

Рис. 3. Диаграммы Пенроуза максимально расширенного пространства Крускала (а) и пространства Минковского (б).

Аналогия между «эффектом» Унру и эффектом Хокинга для вечной черной дыры строится на том основании, что часть метрики (7), содержащая ййв. ь, везде, кроме точки г = 0, конформно эквивалентна метрике двумерного пространства Минковского йв2 = ?х+(1х-, (8) где х±- =? ±? координаты светового конуса, и диаграмма Пенроуза пространства Крускала на рисунке За топологически эквивалентна диаграмме Пенроуза пространства Минковского, изображенной на Рисунке 36. Поскольку равноускоренный наблюдатель все время своего движения находится в правом секторе ПМ, то для него в рамках этой аналогии будущий сектор является черной дырой, прошлый белой дырой, а левый недоступной параллельной вселенной. При этом световой конус (штриховые линии на Рис. 36) играет роль горизонта событий (подробнее см., например, в [61]).

Следует отметить, что связь между эффектами Унру и Хокинга не является бесспорной. Прежде всего, пространство Минковского, в отличие от пространства Крускала не содержит сингулярностей. Поэтому наличие или отсутствие эффекта Унру не может служить доказательством наличия или отсутствия эффекта Хокинга.

Существует два основных подхода к рассмотрению эффекта Унру. В первом из них изучаются различные модели детекторов и анализируется отклик этих детекторов в случае, когда они движутся равноускоренно [51, 68], см. также обзоры [64, 69]. Второй подход, основанный на построении специальной схемы квантования свободного поля в ПМ, был впервые представлен в оригинальной работе Унру [51]. Поскольку универсальность в поведении равноускоренного детектора не может быть связана с его структурой или способом ускорения, а должна являться следствием свойств квантованного поля в ПМ, мы сосредоточимся на анализе второго подхода. Отметим однако, что в [70] был приведен пример равноускоренного детектора, который не подчиняется универсальному поведению, предсказанному Унру.

Рис. 4. Траектории равноускоренного детектора в ПМ.

Траектория равномерно ускоренного классического детектора полностью лежит в правом секторе пространства Минковского, и множество всех траекторий целиком покрывает этот сектор (см. Рис. 4). Следовательно, такому детектору доступна информация только о событиях, происходящих в П-секторе. В 1973 году Фуллинг рассмотрел [71] задачу о квантовании скалярного поля в пространстве Риндлера4(ПР). Он получил решения уравнения КФГ в ПР, и вакуум ПМ оказался смешанным состоянием в базисе этих решений. Однако, делать из этого вывод о том, что детектор представляет вакуумное состояние ПМ, как смешанное, неправильно, т.к. квантования свободного поля в ПМ и ПР унитарно неэквивалентны. В частности, решения Фуллинга соответствуют полю в ПМ, имеющему источники на световом конусе.

Чтобы обойти эту трудность, в 1976 году Унру рассмотрел [51] аналитические продолжения решений Фуллинга во все пространство Минковского и получил набор бустовых мод свободного скалярного поля. Квантование в базисе бустовых мод (см, например, [54]) является корректным квантованием свободного поля в пространстве Минковского и не имеет существенных отличий от стандартного квантования в скалярного поля в ПМ, |0М) — вакуум ПМ.

Для описания поведения детектора Унру предложил рассмотреть такие линейные комбинации Я (х) и Ь (х) положительно и отрицательно частотных бустовых мод, что Л моды равны 0 в левом секторе ПМ, а в правом совпадают с модами Фуллинга, а Ь моды равны 0 в правом секторе. Свободное скалярное поле было проквантовано в базисе Я и Ь функций, и были введены соответствующие им операторы рождения и уничтожения правых (г) и левых (I) частиц. Затем, усреднив по степеням свободы, пространством Риндлера называется пространство, состоящее из внутренности правого сектора пространства Минковского.

9) оо о, [№] = о, ьк |0м) = о базисе плоских волн. Здесь и Ък — операторы рождения и уничтожения соответствующим I частицам (они недоступны для равномерно ускоренного наблюдателя) и отождествив г частицы с частицами Фуллинга, Унру пришел к выводу, что вакуумному состоянию ПМ соответствует матрица плотности г частиц с температурой (5).

Описанная процедура квантования Унру содержит, однако, серьезные ошибки, подробно рассмотренные в [54,72,73], см. также дискуссию [74,75]. Прежде всего, разделение полного набора бустовых мод на правые и левые исключает из рассмотрения бустову моду с параметром к, равным нулю (нулевую бустову моду). Однако, как было отмечено выше, на световом конусе скалярные бустовы моды имеют по переменной к особенность вида ¿-(к). Поэтому исключение нулевой бустовой моды, соответствующее переходу к интегралу в смысле главного значения в интегралах по к, критически влияет на свойства квантованного поля. В частности, в этом случае главное значение интеграла (9) равно 0. Более того, поскольку функция Вайтмана в скалярном случае пропорциональна нулевой бустовой моде [54], исключение нулевой бустовой моды также приводит к обращению в 0 функции Вайтмана. Однако, функция Вайтмана играет определяющую роль в квантовой теории, так как в силу теоремы реконструкции [76] с ее помощью можно построить все остальные величины, которые фигурируют в теории.

Кроме того, в [54] было показано, что для того, чтобы возможно было отождествить правые частицы Унру и частицы Фуллинга, необходимо выполнение условия

Фм (0, 0) = 0. (Ю)

Ясно, что поле, на которое наложено граничное условие в вершине светового конуса, уже не является свободным в ПМ.

На основе этих соображений в [54,72,73] было показано, что в случае скалярного поля схема квантования Унру приводит к квантовой теории поля в двойном риндлеровском клине, т. е. объединении правого и левого секторов в разбиении пространства Минковского световым конусом, см. Рис. 2. Это означает, что квантование Унру приводит лишь к независимым правым и левым частицам Фуллинга-Унру, так что о «термолизации» вакуума говорить не приходится.

Однако, в последнее время в связи с бурным развитием лазерной техники появляются предложения по экспериментальной проверке [77−82] «эффекта» Унру при взаимодействии электронов с интенсивными ультракороткими электромагнитными импульсами, а также о реализации на его основе запутанных состояний как бозонов, так и фермионов [83−87]. Поэтому рассмотрение задачи Унру в контексте фермионных полей не только принципиально важно, но и своевременно.

Поскольку лоренцево вращение выделяет в пространстве Минковско-го двумерную плоскость, мы обсуждаем специфические свойства бустового квантования в главах 1−3 на примере 1+1-мерного пространства-времени. При этом удобно использовать координаты светового фронта х±- = г±х. С11)

Переход к четырем измерениям в скалярном случае осуществляется заменой т2 —У т2 +р,

12) где р^ - сохраняющийся поперечный к направлению поля импульс. Всюду ниже, если не оговорено обратное, используются единицы Н = с — кв =

В последнее время появился еще один подход к изучению эффекта рождения пар во внешнем поле [30−34], который основан на уравнениях, подобных кинетическим уравнениям, широко применяющихся в физике плазмы и других неравновесных задачах. Следуя авторам этих работ, будем называть такие уравнения квантовыми кинетическими уравнениями (ККУ) • Среди очевидных преимуществ ККУ следует отметить удобство для применения в численных расчетах, а также возможность естественного учета обратной реакции рожденных пар на внешнее поле [88]. С другой стороны, существует также ряд недостатков такого подхода, например, ограниченность только однородными внешними полями, кажущуюся калибровочную неинвариантность, невозможность найти аналитическое решение даже в тех случаях, когда оно может быть получено другими методами и, как мы покажем ниже, нетривиальноеть интерпретации физического смысла основных величин, входящих в ККУ. Тем не менее очевидно, что синтез различных подходов может быть очень полезен для дальнейшего развития теории.

ККУ были строго получены из первых принципов квантовой электродинамики (КЭД) в частном случае однородного зависящего от времени электрического поля, рождающего как бозонныс [32,34], так и ферм ионные [31,33] пары. Следовательно, этот подход должен быть эквивалентен всем остальным точным методам, перечисленным выше. Тем не менее, Д° сих пор не предпринималось усилий доказать эту эквивалентность, за исключением недавней работы [89]. Более того, следует отметить попытки противопоставить результаты, полученные с помощью ККУ, результатам, полученным с помощью более традиционных методов, перечисленных выше [90], а также работу [91], в которой с помощью S-матричного поДХоДа выводится другой вид правой части ККУ. Что касается работы [89], несМ°т' ря на то, что в ней впервые была показана вышеупомянутая эквиваЛеНТ~ ность, строгое доказательство было проведено только в случае скаляр!*01″ 0 поля, причем в форме, не лучшим образом подходящей для практичесКОго применения (например, для проверки численных алгоритмов на известных точных решениях).

Данная диссертация посвящена теоретическому исследованию cj?°P" «мализма бустовых мод в квантовой теории поля и задач о рождении г13?! внешним полем из вакуума.

В связи с этим в ней рассмотрены следующие вопросы:

1. Построение бустовых мод свободного фермионного поля (как м^ссИВ ного, так и безмассового) и исследование их свойств как обобщенных функций координат и бустового квантового числа.

2. Поиск бустовых in и out мод скалярного поля, находящегося во внешнем постоянном однородном электрическом поле. Построение тсван-тования в этом базисе в in и out областях и вычисление коль^'с-э:еСТва бустовых частиц, рождаемых полем из вакуума в каждой моде и полного числа рожденных частиц

3. Критический анализ квантования Унру для фермионного поля.

4. Развитие формализма квантового кинетического уравнения и установление соответствия этого метода другим подходам к задачам о рождении пар внешним полем.

Диссертация состоит из четырех глав.

Первая глава посвящена получению и изучению свойств бустовых мод свободных полей. Для построения бустовых мод использовались функции Вайтмана. Положительно и отрицательно частотные функции Вайтма-на свободных полей полностью определяются (с точностью до постоянного множителя) трансляционной и лоренц инвариантностью теории [92]. Верно и обратное: из функций Вайтмана, используя симметрию поля, можно построить любой полный набор положительно и отрицательно частотных решений уравнений КФГ и Дирака. Это является прямым следствием теоремы реконструкции Вайтмана [76, 93]. В § 1.1, основываясь на трансляционной и лоренц инвариантности ПМ, были построены плоские волны и бустовы моды свободного бозонного поля из функции Вайтмана. В § 1.2 и § 1.3 таким же образом строятся, соответственно, бустовы моды массивного и безмассового фермионного поля. Поскольку эти моды являются обобщенными функциями бустового квантового числа, для них был изучен класс основных функций, т. е. допустимых волновых пакетов, на которых они определены. В конце § 1.3 явно проведен предельных переход т 0 от массивных бустовых мод к безмассовым. В § 1.4 приведены заключительные замечания к первой главе.

Во второй главе анализируется квантование Унру для фермионного поля. В § 2.1 показано, что, как и в случае скалярного поля [54], квантование Унру предполагает исключение из полного набора бустовых мод нулевой моды. В связи с этим исследуется вопрос о допустимости исключение какой-либо точки из полного набора бустовых мод с учетом того, что, как было показано в первой главе, бустовы моды являются обобщенными функциями переменной к. В § 2.2 рассматривается вопрос о том, как влияет сглаживание бустовых мод по пространственной и временной переменной на результаты, полученные в § 2.1 и дается качественное объяснение особой роли бустовой нулевой моды в скалярном случае. В §?? приведены заключительные замечания ко второй главе.

В третьей главе строятся бустовы in и out моды скалярного поля, находящегося во внешнем однородном постоянным электрическом поле и вычисляется количество пар частиц и античастиц с определенным значением бустового квантового числа, которые рождаются полем из вакуума. Бустовая симметрия позволяет получить решения уравнения КФГ во внешнем поле в каждом из четырех секторов ГШ по-отдельности. Однако для построения мод необходимо еще правильно классифицировать их на положительно и отрицательно частотные в in и out областях, а также вывести правила продолжения через световой конус при переходе из одного сектора в другой, которые не совпадают с полученными в свободном случаем [54] из-за рождения пар. Классификация решений на соответствующие частицам и соответствующие античастицам производится по знаку вклада, которые они вносят в нормировку в in и out областях (положительный для частиц и отрицательный для античастиц). А условие, что коэффициенты Боголюбова во всех секторах ПМ должны быть одинаковыми дает систему уравнений, из которой можно получить правила продолжения мод из одного сектора в другой. В § 3.1 рассмотрены траектории классических бустовых частиц во внешнем электрическом поле и вычислена квазиклассическая вероятность рождения бустовой пары. В § 3.2 представлены бустовые решения уравнения КФГ. В § 3.3 построены in и out бустовы моды". В § 3−4 найдены коэффициенты Боголюбова и явный вид правил продолжения мод через световой конус. В § 3.5 рассмотрен предельный переход к случало свободного поля. В § 3.6 вычислены квазиклассическая вероятность рождения бустовой пары, количество пар, рожденных полем из вакуума в каждой моде и полное число рожденных частиц. В § 3.7 приведены заключительные замечания к третьей главе. В приложении, А вычислена нормировка, а в приложении В приведен явный вид бустовых мод во внешнем поле.

В четвертой главе рассмотрен метод квантового кинетического уравнения в применении к задаче о рождении пар из вакуума внешним однородным, но зависящем от времени электрическим полем. В § 4.1 на примере модели параметрического возбуждения одномерного квантового гармонического осциллятора с меняющейся во времени частотой вводятся основные величины и приводится вывод ККУ. Показывается, каким образом может быть получено точное решение ККУ для осциллятора из точного решения уравнения Шредингера. В § 4.2 выводится связь точных решений ККУ для бозонов и фермионов с точными решениями уравнений КФГ и Дирака во внешнем поле. В частном случае постоянного электрического поля, когда решения ККУ могут быть получены в явном виде, результаты сравниваются с ответами для числа рожденных пар, полученными другими методами. Также в § 4.2 анализируется физический смысл величин, входящих в ККУ. В § 4.3 приведены заключительные замечания к четвертой главе. В приложении С приводится явное решение ККУ для осциллятора, а в приложении Б выводится условие нормировки решения уравнения Дирака во внешнем поле.

На защиту автором выносятся следующие положения

1. Новый метод построения полных наборов решений свободных уравнений Клейна-Фока-Гордона и Дирака, основанный на использовании функции Вайтмана.

2. Построение бустовых мод свободного фермионного поля и доказательство того, что на световом / конусе они являются дельта-функциями в комплексной плоскости бустового квантового числа.

3. Недопустимость исключения какой-либо моды из полного набора бустовых мод фермионного поля и вывод о некорректности квантования Унру в пространстве Минковского в фермионном случае. Доказательство того, что это утверждение остается верным и для сглаженных бустовых мод.

4. Построение полного набора бустовых мод уравнения Клейна-Фока-Гордона во внешнем постоянном однородном электрическом поле, а также вычисление количества частиц, характеризующихся определенным значением бустового квантового числа, рождаемых внешним полем из вакуума в каждой моде, и полного числа рожденных частиц.

5. Доказательство эквивалентности метода квантового кинетического уравнения другим походам к задаче о рождении пар внешним полем в вакууме. Явное решение ККУ в постоянном электрическом поле.

Результаты исследований, изложенные в диссертации, опубликованы в ведущих российских и международных научных журналах из списка ВАК (ЖЭТФ, Письма в ЖЭТФ, Physical Review D) [94−96], докладывались на следующих конференциях:

• Научная сессия МИФИ-2006, Москва, Январь 23−27, 2006,

• Научная сессия МИФИ-2011, Москва, Февраль 1−5, 2011, и опубликованы в трудах конференций [97,98].

Заключение

В диссертации получены следующие основные результаты:

1. Представлен новый метод построения полных наборов решений свободных уравнений Клейна-Фока-Гордона и Дирака, основанный на использовании функции Вайтмана.

2. Построены наборы бустовых мод свободных фермионных массивного и безмассового полей и проанализированы их свойства. Показано, что в фермионном случае бустовы моды, как функции бустового квантового числа, обладают очень необычными особенностями на световом конусе: они представляют собой дельта-функции комплексного аргумента. Для этих обобщенных функций определен класс основных функций, т. е. вид допустимых волновых пакетов бустовых частиц.

3. Проанализировано квантование Унру для случая фермионного поля и показано, что, как и в скалярном случае, процедура квантования Унру предполагает исключение нулевой моды из полного набора бустовых мод. Установлено, что выбрасывание любой (а не только нулевой, в отличие от скалярного случая) бустовой моды приводит к бессмысленным выражениям для оператора поля и функций Вайтма на. Из этого, в частности, следует некорректность квантования Унру для свободного фермионного поля в пространстве Минковского и отсутствие «эффекта Унру» для фермионов. Это утверждение остается верным и при рассмотрении сглаженных бустовых мод. На основании этих соображений сделан вывод о принципиальной несостоятельности предлагающихся в последнее время экспериментов по проверке «эффекта Унру» и реализации на его основе перепутанных состояний.

4. Впервые найдены полные наборы in и out решений уравнения

Клейна-Фока-Гордона во внешнем постоянном однородном электрическом поле, являющихся собственными функциями оператора бу-ста. Вычислено количество частиц, характеризующихся определенным значением бустового квантового числа, рождаемых внешним полем из вакуума в каждой моде. Показано, что полное число рожденных частиц не зависит от выбора квантового числа.

5. Развит новый подход к задачам о рождении пар во внешнем поле, основанный на методе квантового кинетического уравнения (ККУ) и продемонстрирована эквивалентность метода ККУ другим походам к этой задаче. Для фермионного поля это сделано впервые. Получены явные решения ККУ в постоянном электрическом поле.

В диссертации развито несколько подходов к задачам о рождении интенсивным внешним полем пар из вакуума, которые могут быть полезны для дальнейших исследований по квантовой теории поля.

В заключение, я хотел бы выразить искреннюю благодарность моему научному руководителю Николаю Борисовичу Нарожному, а также Вадиму Давыдовичу Муру и Александру Михайловичу Федотову за плодотворное сотрудничество, постоянный интерес и поддержку в работе.