Конечномерные интегрируемые системы классической механики в методе разделения переменных

Теория вполне интегрируемых систем классической механики находится на пересечении многих областей математики и физики. Напомним, что из исследований интегрируемых систем выросла симплектическая геометрия (скобки Пуассона, лагранжевы подмногообразия, бифуркации .), теория представлений (алгебры Ли, алгебры петель, алгебры Каца-Муди .), алгебраическая геометрия (отображение Абеля-Якоби, многообразия Абеля и Прима, тета-функции .) и многие другие области математической физики. С другой стороны, исследование понятия неинтегрируемости привело в свою очередь к созданию теории возмущений, теории устойчивости, КАМ-теории, классической и квантовой теории хаоса и др.

С появлением компьютеров возникло мнение, что достаточно мощный компьютер способен рассчитать движение с необходимой в эксперименте точностью на любом интервале времени. Однако для неинтегрируемых систем при вычислениях траекторий движения происходит экспоненциально быстрое разбегание траекторий, отвечающих даже полиномиально близким начальным условиям. Это связано с неустойчивостью движения в различных областях фазового пространства, сочетающего в себе зоны с регулярным и хаотическим поведением, которые являются одними из основных объектов изучения в современной теории хаоса. Так как начальные условия и различные параметры для конкретных прикладных систем известны с некоторой погрешностью, то компьютерные вычисления на достаточно больших интервалах времени сильно отличаются от экспериментального поведения реальных динамических систем.

Используя современные теории возмущений мы можем изучать различные неин-тегрируемые системы, которые являются возмущениями интегрируемых систем и, тем самым, которые наследуют различные особенности поведения интегрируемых моделей. Для компьютерного моделирования и точного компьютерного прогнозирования поведения таких систем становиться важным синтез аналитических результатов и численных методов. В силу этого, исследования в области интегрируемых систем остаются важными не только для продолжения развития математической физики, но и с практической точки зрения.

За последние два десятилетия были получены важные результаты и разработаны достаточно сложные аналитические методы исследований в области интегрируемых систем — классический и квантовый метод обратной задачи рассеяния, метод топологического анализа перестроек торов Лиувилля, методы би-гамильтоновой и би-лагранжевой геометрии. Появление этих методов дало новые возможности для изучения различных семейства интегрируемых систем в рамках единого алгебро-геометрического подхода, хотя во многих случаях связь между конкретной динамической системой и отвечающей ей алгеброй Ли не является такой прямой, как связь, даваемая известной теоремой Нетер.

Одним из самых универсальных методов интегрирования уравнений движения для конечномерных интегрируемых систем классической механики был и остается до сих пор метод Гамильтона-Якоби — метод разделения переменных. Успех в применении этого метода всегда связан с удачным выбором системы координат, в которых происходит разделение переменных в уравнении Гамильтона-Якоби.

Настоящая диссертация посвящена использованию метода разделения переменных в теории конечномерных интегрируемых систем. Для построения переменных разделения используется основная идея всех современных методов — локальные координаты определяются с помощью инвариантных геометрических объектов. В конкретных приложениях в качестве таких инвариантных объектов используются функции Бейкера-Ахиезера, преобразования Бэклунда, рекурсивные операторы с нулевым кручением Нийенхейса и группы преобразований сшдплектических^и лагранжевых расслоений^ Применение универсальных геометрических принципов позволяет избежать громоздких координатных вычислений и особых аналитических приемов, которые использовались ранее для каждой конкретной интегрируемой системы. После построения переменных разделения уравнений движения могут быть проинтегрированы в квадратурах и, более того, эти переменные разделения могут быть использованы для построения новых интегрируемых систем.

По этой причине поставленная в диссертации цель построения инвариантных переменных разделения для широкого класса лагранжевых расслоений, разработка различных реализаций метода Якоби для построения новых интегрируемых систем, изучение коммутативных подалгебр пуассоновых алгебр Склянина и динамических г-матричных алгебр, построение новых матриц Лакса и применение данных инструментов к различным семействам интегрируемых систем является актуальной задачей современной математической физики.

Целью работы является систематическое изучение конечномерных интегрируемых систем классической механики в методе разделения переменных. Построение переменных разделения для известных интегрируемых гамильтоновых систем и интегрирование уравнений движения в квадратурах. Построение новых интегрируемых систем с использованием известных переменных разделения и представление соответствующих уравнений движения в форме уравнений Лакса. Научная новизна: Новыми результатами являются.

1. Определение понятия переменных разделения, инвариантных относительно действия абелевой группы диффеоморфизмов слоев симплектического и лагранже-вого расслоений. Разработка метода построения инвариантных переменных разделения.

2. Установление связи вырожденных систем с особыми точками классических г-матриц.

3. Разработка нового метода построения коммутативных подалгебр для скобок Склянина.

4. Реализация метода Якоби для построения интегрируемых систем с помощью замены времени.

5. Описание метода построения интегрируемых систем на пуассоновых многообразиях с помощью специального класса неканонических преобразований.

6. Определение обобщенных штеккелевских систем.

7. Разработка метода построения 2×2 матриц Лакса для однородных штеккелевских систем.

8. Определение новых интегрируемых систем связанных с цепочками Тоды заменой времени. Построение матриц Лакса и переменных разделения.

9. Построение матриц Лакса для модели Дайсона расширения газового облака.

10. Построение матрицы Лакса и инвариантных переменных разделения для гиростата Ковалевской-Горячева-Чаплыгина.

11. Определение интегрируемых деформаций системы Пуанкаре.

12. Построение представлений Лакса для обобщенного волчка Ковалевской и обобщенного волчка Горячева-Чаплыгина.

Практическая ценность работы:

Практическая ценность результатов диссертационной работы определяется возможностью использования разработанных методов для изучения существующих и построения новых интегрируемых систем в различных областях математической физики. В работе рассматривается множество различных примеров использования предлагаемых методов, которые позволили получить новые результаты для систем Штеккеля, стационарных потоков нелинейных эволюционных уравнений, цепочек Тоды, спиновых цепочек и интегрируемых волчков. Публикации:

Основные результаты диссертации опубликованы в [25, 26],[34]-[35], [37]-[46], [72], [116, 117], [157]-[177].

Структура и объем работы:

Диссертация состоит из введения, пяти глав, двух приложений и списка литературы. Общий объем диссертации 286 страниц. Библиография содержит 185 наименований.

1. Арнольд В. И., Математические методы классической механики. Наука, 1989.

2. Арнольд В. В., Гивенталь А. В., Симплектическая геометрия, Итоги науки и техн., ВИНИТИ, Совр.пробл. матем.: Фунд. направления, т.4, 1985. Arnold V.I., Symplectic geometry and topology, J. Math. Phys., v.41, p.3307−3343, 2000.

3. Богоявленский О. И., Методы качественной теории динамических систем в астрофизике и газовой динамике, М.: Наука, 1980.

4. Богоявленский О. И., Опрокидывающиеся солитоны, Наука, 1991.

5. Болсинов А. В, Козлов В. В., Фоменко А. Т., Принцип Мопертюи и геодезические потоки на сфере, возникающие из интегрируемых случаев динамики твердого тела, УМН, т.50, с.3−32, 1995.

6. Борисов А. В., Мамаев И. С., Динамика твердого тела, РХД, 2001.

7. Веселов А. П., Об условиях интегрируемости уравнений Эйлера на so (4), ДАН СССР сер. мат., т.270, с.1298−1300, 1982.

8. Веселов А. П., О замене времени в интегрируемых системах, Вестник МГУ, сер. мат.-мех., т.5, с.25−28, 1987.

9. Веселов А. П., Интегрируемые отображения, УМН, т.46, с.3−45, 1991.

10. Виноградов A.M., Купершмидт Б. А., Структура гамилътоповой механики, УМН, т.32, с.175−236, 1977.

11. Голубев В. В., Лекции по интегрированию уравнений движения тяжелого твердого тела около неподвижной точки, М.: ГИТТЛ, 1953.

12. Горячев Д. Н., Новые случаи интегрируемости динамических уравнений Эйлера, Варшавские Университетские Известия, кн. З, с. 1−13, 1916.

13. Динамические системы-Ill, Итоги науки и техн., ВИНИТИ, Совр.пробл. матем.: Фунд. направления, т.4, 1985.

14. Динамические системы-VII, Итоги науки и техн., ВИНИТИ, Совр.пробл. матем.: Фунд. направления, т. 16, 1987.

15. Дубровин Б. А., Новиков С. П., Фоменко А. Т. Современная геометрия, Наука, 1970.

16. Дубровин Б. А. Тета функции и нелинейные уравнения, УМН, т.36, с.11−80, 1981.

17. Жуковский Н. Е., Геометрическая интерпретация рассмотренного С. В. Ковалевской случая движения тяжелого твердого тела около неподвижной точки, Сообщение 1.III.1892 на заседании Моск. Мат. Общ-ва, Москва, 1896, (Собрание сочинений, т. 1, М., 1948.).

18. Захаров В. Е., Фаддеев Л. Д., Уравнение Кортевега-де Фриза вполне интегрируемая система, Функц. анализ и его прил., т.5, с.18−27, 1971.

19. Кириллов А. А. Элементы теории представлений. 2-е изд. Наука, 1978.

20. Козлов В. В. Методы качественного анализа в динамике твердого тела. МГУ, 1980.

21. Колосов Г. В., Об одном свойстве задачи Ковалевской о вращении тяжелого твердого тела вокгуг неподвижной точки, Тр-ды. отд. физ. наук Общества любителей естествознания, т.11(1), с.5−12, 1901.

22. Комаров И. В., Базис Ковалевской для атома водорода, ТМФ, т.47, с.67−71, 1981.

23. Кузнецов В. В., Цыганов А. В, Бесконечные серии алгебр Ли и граничные условия для интегрируемых систем, Записки научи, семин. ЛОМИ, т.172, с.89−98, 1989.

24. Кузнецов В. В., Цыганов А. В, Квантовые релятивистские цепочки Тоды, Записки научн. семинаров ПОМИ, т.205, с.81−89, 1993.

25. Ланцош К. Вариационные принципы механики, М.: Мир, 1965.

26. Нехорошев Н. Н., Переменные действие-угол и их обобщения, Труды Моск.Мат.о-ва, т.26, с.181−198, 1972.

27. Новиков С. П., Гамилътонов формализм и многозначный аналог теории Морса, УМН, т.37, с.3−49, 1982.

28. Овсянников Л. В., Новое решение уравнений гидродинамики адиабатического движения сжимаемой жидкости, ДАН СССР сер. мат., т.111, стр.47−49, 1956. Ovsiannikov L.V., Group analysis of differential equations, New York, Academic, 1982.

29. Переломов A.M., Интегрируемые системы классической механики и алгебры Ли. Наука, 1990.

30. Рид М., Саймон В., Методы современной математической физики., т. З, М:. Мир, 1982.

31. Соколов В. ВНовый интегрируемый случай для уравнений Кирхгофа, ТМФ, т.128, с.31−37, 2001.

32. Соколов В. В., Цыганов А. В., Пары Лакса для деформированных волчков Ковалевской и Горячева-Чаплыгина, ТМФ, т.131, с. 118, 2002.

33. Соколов В. В., Цыганов А. В., Коммутативные пуассоновы подалгебры для скобок Склянина и деформации известных интегрируемых моделей, ТМФ, т. 133, с. 485, 2002.

34. Тахтаджян Л. А. и Фаддеев Л. Д., Гамилътонов подход в теории солитонов. Наука, 1986.

35. Цыганов А. В., Метод классической r-матрицы и суперинтегрируемые системы., ТМФ, т.112, с.428−447, 1997.

36. Цыганов А. В., Однородные системы типа систем Штеккеля, ТМФ т.115, с.3−28, 1998.

37. Цыганов А. В., Внешние автоморфизмы sl (2), интегрируемые системы и отображения, ТМФ т.118, с.205−216, 1999.

38. Цыганов А. В., Неканонические преобразования времени, связывающие конечномерные интегрируемые системы, ТМФ, т.120, с.27−216, 1999.

39. Цыганов А. В., Канонические преобразования расширенного фазового пространства и интегрируемые системы, ТМФ, т. 124, с.72−94, 2000.

40. Цыганов А. В., Об одной интегрируемой системе, связанной с шаровым волчком и цепочкой Тоды, ТМФ, т.124, с.310−322, 2000.

41. Цыганов А. В., Вырожденные интегрируемые системы на плоскости, обладающие кубическим интегралом движения, ТМФ, т.124, с.426−444, 2000.

42. Цыганов А. В., О преобразовании Мопертюи-Якоби и цепочках Тоды, Записки на-учн. Семинаров ПОМИ, т.269, с.354−365, 2000.

43. Цыганов А. В., О построении переменных разделения для конечномерных интегрируемых систем, ТМФ, т.128, с.205−225, 2001.

44. Цыганов А. В., Separation of variables for integrable systems on Poisson manifolds, Ядерная физика, т.65, c.1128−1134, 2002.

45. Чаплыгин С. А., Собрание сочинений, т. 1−3, M.-JI.: ГИТТЛ, 1948.

46. Чередник И. В. ТМФ, т.61, с. 977, 1984.

47. Abraham R., Marsden J., Foundations of Mechanics, London, 1978.

48. Adler M., van Moerbeke P., The Kowaleuiski and Henon-Heiles motions as Manakov geodesic flows on SO (4) a two-dimensional family of Lax pairs Commun. Math. Phys., v.113, p.659−700, 1988.

49. Adler M., van Moerbeke P. Algebraic completely integrable systems: a systematic approach. Academic Press, 1993.

50. Alekseev A.Yu., Faddeev L.D., Semenov-Tian-Shansky M.A., Hidden quantum groups inside Kac-Moody algebras, Comm.Math.Phys., v. 149, p.335−345, 1992.

51. Baker H.F. Abels theorem and allied theory including the theory of theta functions. Cambridge Univ. Press, Cambridge, 1897. Krazer A. Lehrbuch der Thetafunktionen. Teiibner, Leipzig, 1903.

52. Bechlivanidis C., van Moerbeke P. The Goryachev-Chaplygin top and the Toda lattice, Comm.Math.Phys, v.110, p.317−324, 1987.

53. Bobenko A.I., Kuznetsov V.B., Lax representation for the Goryachev-Chaplygin top and new formulae for its solutions, J.Phys. A, v.21, p. 1999;2006, 1988.

54. Bobenko A.I., Reyman A.G., Semenov-Tian Shansky M.A., The Kowalewski top 99 years later: a Lax pair, generalizations and explicit solutions, Commun.Math.Phys., v.122, p.321−354, 1989.

55. Bogoyavlensky O.I., On perturbation of the periodic Toda lattice, Commun.Math.Phys., v.51, p.201−209, 1976.

56. Bogoyavlenskij O.I., Theory of tensor invariants of integrable hamiltonian systems., Comm. Math. Phys., v.180, p.529, v.184, p.301, 1996 and v. 196, p. 19, 1998.

57. Bolza 0., On the first and second derivatives of hyperelliptic a-functions, Amer. Journ. Math., v.17, p.11−36, 1895.

58. Bonatos D., Daskaloyannis C., Kokkotas K., Deformed oscillator algebras for two-dimensional quantum superintagrable systems, Phys. Rev. A., v.50, p.3700−3709, 1994.

59. Buchstaber V.M., Enolskii V.Z., Leykin D.V., Kleinian functions, hyperelliptic Jacobians and applications, Reviews in Mathematics and Mathematical Physics, Gordon and Breach, London, v.10, p.1−125, 1997.

60. Charlier C. L., Die Mechanik des Himmels, Walter de Gruyer, Berlin, 1927, (Шарлье К., Небесная механика, М.: Наука, 1996.).

61. Dixmier J., Enveloping algebras. Cauthier-Villars, Paris, 1974.

62. Drach J., Sur V’Integration logique des equations de la Dynamique a deux variables, Comptes Rendus, Paris, v.200, p.22−26, 1935.

63. Drinfeld V.G., Quasi-Hopf algebras, Leningrad Math. J., v. l, p.1419−1457, 1990.

64. Duistermaat H.J., On global action-angle variables, Comm. Pure Appl.Math., v.23, p.687, 1980.

65. Dullin H.R., Richter P.H., Veselov A.P., Action variables of the Kovalevskaya top, Reg. Chaot. Dynamics., v.3, p.18−26, 1998.

66. Dyson F.J., Dynamics of a spinning gas cloud, J. Math. Mech., v.18, p.91−101, 1968.

67. Eisenhart L.P., Separable systems of Stackel, Ann.Math., v.35, p.284−305, 1934.

68. Eilbeck J.C., Enolskii V.Z., Kuznetsov V.B., Tsiganov A.Y., Linear r-matrix algebra for classical separable systems, J. Phys. A., v.27, p.567−578, 1994.

69. Enolskii V.Z., Salerno M., Lax reprentation for two particle dynamics splitted on two tori, J. Phys. A., v.17, p. L425−431, 1996.

70. Euler L., Calculi integralis, v. l, Ac.Sc. Petropoli, 1768, (Русское издание: M., ГИТЛ, Москва, 1956.).

71. Evans N.W., Superintegrability in classical mechanics, Phys. Rev. A, v.41, p.5666, 1990.

72. Faddeev L.D. In: J В Zuber and R Stora, editors, Les Houches Lectures, p.719−756, Amsterdam, North-Holland, 1984.

73. Faddeev L.D., Korchemsky G.P., High energy QCD as a completely integrable model, Phys. Lett. В., v.342, p.311, 1995.

74. Falqui G., Magri F., Tondo G., A bihamiltonian systems and separation of variables: an example from the Boussinesq hierarchy, Teor.Math.Phys., v.122, p.212−230, 2000.

75. Falqui G., Magri F., Pedroni M., Bihamiltonian geometry and separation of variables for Toda lattices, J. Nonlinear Math. Phys., v.8 (Suppl.), p.118−127, 2001.

76. Falqui G., Pedroni M., Separation of variables for bi-Hamiltonian systems, Preprint: nlin. SI/02, 2002.

77. Fokas A.S., Lagerstrom P., Quadratic and cubic invariants in classical mechanics, J.-Math.Ann.Appl., v.74, p.325−341, 1980.

78. Gaffet В., An integrable hamiltonian motion on a sphere. The separation of variables, J. Fluid.Mech., v.325, p.113, 1996.

79. Gaffet В., An integrable hamiltonian motion on a sphere I, II, J. Phys. A, v.31, p.1581−1596 and p.8341−8354, 1998.

80. Gaffet В., Spinning gas clouds without vorticity, J. Phys. A, v.33, p.3929−3946, 2000.

81. Gaudin M., La fonction d’onde de Bethe, Masson, Paris, 1983.

82. Gelfand I.M., Retakh V., Shubin M., Fedosov manofolds, Adv. Math., v.136, p.104, 1998.

83. Goldstein H., Amer. J. Phys., v.44, p. 1123, 1976.

84. Gordejuela F.E., Santamaria R. Thr canonical connection of a bi-Lagrangian manifold, J. Phys. A., v.34, p.981−987, 2001.

85. Grammel P., Der Kreisel. Seine theorie und seine anwedungen, berlin, 1950, (Граммель P., Гироскоп, его теория и применения, в 2-х томах, M.-JI.: Изд-во Ин. Литер., 1952).

86. Gunning R., Lectures on Riemann Surfaces. Jacobi varieties., Princenton University Press, 1972.

87. Haine L., Horozov E., A Lax Pair for the Kowalewski top, Physica D., v.29, p.173−180, 1987.

88. Hamilton W.R. On a general method in Dynamics, Second Essay on a generic method in Dynamics, 1834. (Collected Papers, v. II, p. 103−211, Cambridge, 1940.).

89. Hietarinta J., Direct method for the search of the second invariant, Phys. Rep., v.147, p.87−188, 1987.

90. Hitchin N.J., Stable bundles and integrable systems, Duke Math. J., v.54, p.91−114, 1987. Hitchin N.J., The moduli space of complex Lagrangian submanifolds, Asian J. Math, v.3, p.77−91, 1999.

91. Hurtubise J.C., Kjiri M., Separating coordinates for the generalized Hitchin systems and the classical r-Matrices, Commun.Math.Phys, v.210, p.521−540, 2000.

92. Jacobi C.G.J., Crelle’s Journal, v. XXVII, p.97,1837 и Comptes Rendus, v.5, p.61, 1837.

93. Jacobi C.G.J., Vorlesungen iiber dynamik, Berlin, G. Reimer, 1884, (Якоби К., Лекции no динамике, Л.: Гостехиздат, 1936.).

94. Ibort A., Magri F., Marmo G., Bihamiltonian structures and Stackel separability, J. Geometry and Physics, v.33, p.210−228, 2000.

95. Inozemtsev V.I., New integrable classical systems with two degrees of freedom, Phys.Lett.A., v.96, p.447−448, 1983.

96. Inozemtsev V.I., The finite Toda lattices, Commun.Math.Phys., v.121, p.629−643, 1989.

97. Kalnins E.G., Separation of Variables for Riemann Spaces of Constant Curvature. Longman Scientific & Technical, Pitman Monographs and Surveys in pure and Applied Mathematics, New York, 1986.

98. Kalnins E.G., Benenti S., W. Miller, Jr., J.Math.Phys., v.38, p.2345, 1997.

99. Kac V.G., Infinite-Dimensional Lie Algebras. Cambridge University Press, 1990.

100. Karlovini M., Rosquist K., A unified treatment of cubic invariants at fixed and arbitrary energy, J.Math.Phys, v.41, p.370−384, 2000.

101. Kepleri J., Astronomia Nova, Helderbergae, 1609.

102. Kharchev S., Lebedev D. Integral representations for the eigenfunctions of quantum open and periodic Toda chains from the QISM formalism, J. Phys. A., v.34, p.2247−2259, 2001.

103. Khoroshkin S., Stolin A., Tolstoy V., in: From Field Theory to Quantum Groups, eds. B. Jancewicz and J. Sobczyk, WS, p.53−77, 1996.

104. Komarov I.V., A generalization of the Kovalevskaya top, Phys.Lett. A., v.123, p.14−15, 1987.

105. Komarov I.V., Kuznetsov V.B., Kowalewski’s top on the Lie algebras o (4), e (3), o (3,1), J. Phys.A., v.23, p.841−846, 1990.

106. Kowalewski S., Sur le probleme de la rotation d’un corps solide autor d’un point fixe, Acta Math., v.12, p.177−232, 1889, (в кн. Ковалевская С. В. Научные работы (Классики науки), М., 1948.).

107. Krichever I.M., Algebraic-geometrical n-orthogonal curvilinear coordinate systems and solutions to the associativity equations, J. Differential Geometry, т.45, p.349−371, 1997.

108. Krichever I.M., Phong D.H., Symplectic forms in the theory of solitons, Surv. Differ. Geom., Int. Press, Boston, MA, v. IV, p.239−313, 1998.

109. Kulish P.P., Sasaki R., Covariance property of reflection equation algebras, Prog, of Theor.Phys., v.89, p.741−761, 1993.

110. Kulish P.P., Rauch-Wojciechowski S., Tsiganov A.V., Stationary problems for equations of the KdV type and dynamical r-matrices, J. Math. Phys., v.37, p.3463−3482, 1996.

111. Kuznetsov V.B., Tsiganov A.V., A special case of Neumann’s system and the Kowalewski-Chaplygin-Goryachev top, J. Phys. A., v.22, p. L73−79, 1989.

112. Kuznetsov V.В., Quadrics on real Riemannian spaces of constant curvature, separation of variables and connection with Gaudin magnet, J. Math. Phys., v.33, p.3240−3254, 1992.

113. Kuznetsov V.B., Jorgensen M.F., Christiansen P.L., New boundary conditions for integrable lattices, J. Math. Phys., v.28, p.4639, 1995.

114. Kuznetsov V.B., Separation of variables for the Dn type periodic Toda lattice, J. Phys. A., v.30, p.2127−2138, 1997.

115. Kuznetsov V.B., Simultaneous separation for the Kowalewski and Goryachev-Chaply-gin gyrostats, Preprint: nlin. SI/201 004, 2002.

116. Lagrange J., Mecanique Analytique, Paris, 1788, (Лагранж Ж., Аналитическая механика, ГИТТЛ, 1950.).

117. Laplace P.-S., Traiti de mechanique celeste., Paris, 1799.

118. Levi-Civita Т., Integrazione dell' equazione di Hamilton-Jacobi per separazione di variabili, Math. Ann., v.24, p.383−397, 1904.

119. Levi-Civita Т., Acta Math., v.30, p.305, 1906.

120. Liouville J., Journal de Math. Pure Appl, v.14, p.257, 1849.

121. Markushevich D., Kowalewski top and genus-2 curves, J. Phys. A., v.34, p.2125−2137, 2001.

122. Matveev V.B., Salle M.A., Darboux transformations and Solitons, Berlin, Springer, 1991.

123. Maupertuis P., Essai de Cosmologie, Paris, 1750.

124. Mumford D., Tata lectures on theta. Birkhaiiser, Boston, 1984.

125. Mozer J., Integrable hamiltonian systems and spectral theory, Lezioni Fermiane, Piza, 1981.

126. Morosi C., Tondo G., The quasi-bi-Hamiltonian formulation of the Lagrange top, Preprint: nlin. SI/201 028, 2002.

127. Neumann C., De problemate quodam mechanico, quod ad priman integralium ultraellipticorum classem revocatur, J. Reme Angew. Math., v.56, p.46−63, 1859.

128. Noether M., Zum Umkerhproblem in der Theorie der Abel’schen Functionen, Math. Anal., v.28, p.354−380, 1887.

129. Pars L.A., An elementary proof of the Stakel theorem, American Math. Monthly, v.56, p.394, 1949.

130. Pasquier V., Gaudin M., The periodic Toda chain and a matrix generalization of the Вessel function recursion relations, J. Phys. A., v.25, p.5243−5252, 1992.

131. Poincare H., Sur la precession des corps deformables, Bull. Astr., v.27, p.321−356, 1910.

132. Ramani A., Grammaticos В., Bountis Т., The Painleve property and singularity analysis of integrable and non-integrable systems, Phys.Rep., v.180−245, p.159, 1989.

133. Ranada M.F., Superintegrable n = 2 systems, quadratic constants of motion and potentials of Drach, J. Math. Phys, v.38, p.4165, 1997.

134. Razumov A.V., Saveliev M.V., Riemannian manifolds with diagonal metric. The Lame' and Bourlet systems, Bull. Sci. Math., v.123, p.59, 1999.

135. Reyman A.G., Semenov-Tian Shansky M.A., Lax representation with a spectral parameter for the Kowalewski top and its generalizations, Lett.Math.Phys, v.14, p.55, 1987.

136. Reyman A.G., Semenov-Tian Shansky M.A., Compatible Poisson structures for Lax equations: an r-matrix approach, Phys. Lett. A, v.130, p.456−480, 1988.

137. Rosochatius E., Uber die Bewegung eines Punktes. Inaugural Dissertation, Univ. Gottingen, Berlin, 1877.

138. Semenov-Tian Shansky M.A. Quantum and Classical Inverse Scattering Method, Preprint: q-alg/9 703 023, 1997.

139. Synge J. L., Classical Dynamics, Springer, Berlin, 1960. Маске W., Mechanik der Teilchen Systeme und Kontinua, Akademische Verlagsgesellschaft Geest & Portig, Leipzig, 1962.

140. Sklyanin E.K. Goryachev-Chaplygin top and the inverse scattering method, J.Soviet.-Math., v.31, p.34 173 431, 1985.

141. Sklyanin E.K., The quantum Toda chain, In: Nonlinear equations in classical and quantum field theory (Meudon/Paris, 1983/1984), Lecture Notes in Phys., v.226, p.196−233, Springer, Berlin, 1985.

142. Sklyanin E.K., Poisson structure of the periodic classical XYZ chain, J. Soviet. Math., v.46, p.1664−1683, 1989.

143. Sklyanin E.K., Boundary conditions for integrable quantum systems, J. Phys. A, v.21, p.2375−2389, 1988.

144. Sklyanin E.K., Separation of variables—new trends, Progr. Theor. Phys. Suppl., v.118, p.35−61, 1995.

145. Sklyanin E.K. and Kuznetsov V.B. On Backlund transformation for many-body systems, J.Phys.A, v.31, p.2241−2251, 1998.

146. Sklyanin E.K. Backlund transformations and Baxter’s Q-operator, Integrable systems: from classical to quantum, Montreal, QC, 1999, CRM Proc. Lecture Notes, v. 26, p.227, Amer. Math. Soc., Providence, RI, 2000.

147. Smorodinsky Ya.A., Uhlir M., Winternitz P., Friz I. Sov.J.Nucl.Phys., v.4, p.444, 1966.

148. Stackel P. Uber die Integration der Hamilton-Jacobischen Differential Gleichung Mittelst Separation der Variabel, Habilitationsschrift, Halle, 1891.

149. Suris Yu.B., On the bi-Hamiltonian structure of Toda and relativistic Toda lattices, Phys. Lett. A., v.180, p.419−423, 1993.

150. Tsiganov A.V., Additive deformations of the R-matrix algebras, J. Phys. A, v.27, p.6759−6780, 1994.

151. Tsiganov A.V., Quasi-point separation of variables for Henon-Heiles system and system with quartic potential, J. Phys. A., v.29, p.7769−7778, 1996.

152. Tsiganov A.V., The Kowalewski top, a new Lax representation, J. Math. Phys., v.38, p.196−211, 1997.

153. Tsiganov A.V., Automorphisms of sl (2) and dynamical r-matrices, J. Math. Phys. v.39, p. 650−664, 1998.

154. Tsiganov A.V., Superintegrable systems on the loop algebras, J. Phys. A., v.27, p.2075;2092, 1998.

155. Tsiganov A.V., Dynamical boundary conditions for integrable lattices, J. Phys. A., v.31, p.8049−8061, 1998.

156. Tsiganov A.V., The Stackel systems and algebraic curves, J. Math. Phys., v.40, p.279−298, 1999.

157. Tsiganov A.Y., Automorphisms of si (2) and classical integrable systems, Phys. Lett. A., v.251, p.354−362, 1999.

158. Tsiganov A.V., The Lax representation for the Holt system, J. Phys. A., v.32, p.7983−7987, 1999.

159. Tsiganov A.Y., On an integrable deformation of the spherical top, J. Phys. A., v.32, p.8355−8363, 1999.

160. Tsiganov A.Y. Duality between integrable Stackel systems, J. Phys. A., v.32, p.7965−7982, 1999.

161. Tsiganov A.V. Lax representation for an integrable motion on the sphere with a cubic second invariant, Reg. and Chaot. Dynamics, v.4, p.21−30, 1999.

162. Tsiganov A.V. The Kepler canonical transformations of the extended phase space, Reg. and Chaot. Dynamics, v.5, n. l, p.117−127, 2000.

163. Tsiganov A.V., Canonical transformations of the extended phase space, Toda lattices and Stackel systems, J. Phys. A., v.33, p.4169−4182, 2000.

164. Tsiganov A.V., Properties of the canonical transformations of the time for the Toda lattice and the Holt system, J. Phys. A., v.33, p.4825−4835, 2000.

165. Tsiganov A.V., On the Drach superintegrable systems, J. Phys. A., v.33, p.7407−7422, 2000.

166. Tsiganov A.Y., The Maupertuis principle and canonical transformations of the extended phase space, J. Nonlinear Math. Phys., v.81, p.157−182, 2001.

167. Tsiganov A.V., Change of the time for the Toda lattice., J. Nonlinear Math. Phys. v.8, Suppl., p.278−282, 2001,.

168. Tsiganov A N ., On the invariant separated variables, Reg. and Chaot. Dynamics, v.6(3), p.307−326, 2001.

169. Tsiganov A.V., On the Kowalevski-Goryachev-Chaplygin gyrostat., J. Phys. A., v.35, p. L309−318, 2002.

170. Tsiganov A.V., On integrable deformation of the Poincare system., Reg. and Chaot. Dynamics, v.7, n.3, p.331−337, 2002.

171. Vaisman I. Lectures on the geometry of Poisson manifolds, Birkhauser verlag, 1994.

172. Weil A., Euler and the Jacobians of elliptic curves, In: Arithmetic and Geometry, Papers dedicated to Shafarevich, v. l, Progr.Math., v.35, p.353−359, Birkhauser, 1983.

173. Weinstain A., Lectures on symplectic manifolds, Reg. Conf. Ser. Math, v.29, AMS, Providence, 1997.

174. Whittaker E. T, A treatise on the analytical dynamics, Cambridge Univ. Press., 1927, («Уиттекер E.T., Аналитическая динамика, JI: Гостехиздат, 1937.).

175. Yehia H.M., Motion of a particle on a sphere and integrable motions of a rigid body, J. Phys. A., v.33, p.5945−5949, 2000.

176. Zakharov V.E., Description of the n-orthogonal curvilinear coordinate systems and hamiltonian integrable systems of the hydrodynamic type. Part I. Integration of the Lame' equation, Duke Math. J., v.94, p.103−139, 1998.

177. Zeng Y., A new method to introduce additional separated variables for high-order binary constrained flows, J. Phys. A., v.33, p.621−647, 2000.