Математическое моделирование динамики вихревых структур

Постановка задачи.

Анализ наблюдения атмосферных вихрей (тропических циклонов и пр.), экспериментальных исследований по их моделированию и опытных данных по исследованию тороидальных вихрей (ТВ) в воздухе и воде, плазменных ТВ в воздухе показывает, что общей закономерностью для указанных вихрей является установление в них радиального распределения вращательной скорости, состоящего из центрального твердотельного ядра вращения и вязкого внешнего слоя. Именно вихри с таким распределением обладают большей устойчивостью. Образование твердотельного ядра вращения связано с взаимодействием внутренних спиральных структур с окружающей средой. Тороидальный вихрь образуется из спиральной струи тороидальной формы, возникающей при истечении порции жидкости (плазмы, воды, газа) в окружающую среду. Твердотельное ядро вращения в ТВ устанавливается в результате взаимодействия этой струи с окружающей средой. В атмосферных вихрях (в циклонах, тропических циклонах) установление твердотельного ядра вращения происходит также при взаимодействии спиральных структур с окружающей средой.

Устойчивость указанных вихрей можно объяснить наличием в них источников энергии (различной природы) и физическими процессами, происходящими внутри вихрей и приводящими к преобразованию части энергии этих источников в энергию вращательного движения вихрей.

Основным источником энергии тропического циклона служит скрытая теплота испарения воды, которая освобождается при конденсации водяных паров в воздухе (фазовом переходе). Из натурных исследований тропических циклонов установлены следующие необходимые условия их формирования:

— тропический циклон возникает при температуре поверхностного слоя океана не менее 26,5 °С до глубины не менее 50 м в тропической зоне океана;

— для образования тропического циклона необходима высокая влажность воздуха в нижних и средних слоях тропосферы;

Самоподдержание и усиление тропического циклона происходит за счет высокой влаги в воздухе в поле тяжести Земли, которое обеспечивает определенные высотные распределения давления и температуры (с ростом высоты снижаются давление и температура атмосферного воздуха).

Заметим, что процесс формирования тропических циклонов все ещё не до конца понятен и является в настоящее время предметом интенсивных исследований.

В плазменном ТВ в воздухе и ТВ в воздухе и воде источником энергии является наружный вязкий слой. Тепловая энергия в этом вязком слое выделяется, в основном, вследствие турбулентной вязкости жидкости. В плазменном ТВ, кроме того, имеются дополнительные источники энергиипроцесс рекомбинации ионов и электронов, химические реакции атомов и молекул, происходящие при остывании плазмы.

Конечным результатом работ вышеперечисленных источников энергии в вихрях различной природы является выделение тепловой энергии при конденсации паров воды в тропическом циклоне в поле тяжести Земли, при рекомбинации электронов и ионов, химической реакции в плазменном ТВ в воздухе, вследствие трения в наружном вязком слое ТВ различной природы.

В настоящее время практически не изучены закономерности физических механизмов преобразования тепловой энергии вышеперечисленных источников в энергию вращательного движения вихрей. По этой причине до сих пор не удается определить зависимость величины КПД преобразования энергии источников в энергию вращательного движения вихрей от характеристик вихрей. А именно определение такой зависимости является одной из основных проблем исследования тропических циклонов. Знание закономерностей физических механизмов самоподдержания и усиления вихрей представляет собой один из ключевых моментов в исследовании тропических циклонов и открывает возможность предсказания погоды. Следовательно, изучение закономерностей физических механизмов самоподдержания и усиления вихрей является актуальным. Отсюда возникает необходимость проведения экспериментального и теоретического исследований механизма самоподдержания и усиления вихрей.

В силу сложности реализации физического эксперимента и невозможности воспроизведения в экспериментальной установке всех условий, имеющих место в природе и влияющих на тропические циклоны, математическое моделирование является в данном случае основным инструментом исследования.

Целью настоящей диссертационной работы является:

1. разработка математической модели тороидального вихря, позволяющей исследовать образование и динамику развития вихря во времени с учетом его энергетических характеристик (поступательной и вращательной энергии тороидального вихря, энергии диссипации);

2. проведение математического моделирования физического механизма самоподдержания и усиления вихрей при нагревании их веществ по периметру;

3. проведение математического моделирования образования группы вихрей на поверхности сферического объекта;

4. осуществление программной реализации разработанных математических моделей.

Обзор литературы.

Первыми исследователями вихревого движения являются Рене Декарт (1596−1650), Христиан Гюйгенс (1629−1695), Иоганн Бернулли (1667−1748), Даниил Бернулли (1700−1782). Именно они открыли первые закономерности вихревых движений и взаимодействий. Однако Ньютоновская картина мира вытеснила вихревую теорию Декарта и была надолго почти забыта [1]. Интерес к вихревой динамике возродился в середине XIX века. В основе общей вихревой теории заложены труды Гельмгольца, Кельвина и Кирхгофа. Особое значение в вихревой теории имеют теоремы Гельмгольца о вмороженности вихревых линий, что позволяет рассматривать вихревые образования, как некоторые материальные объекты, подобные телам в классической механике (твердотельность вихря). Модели вихря Кирхгофа (модель эллиптического вихря и вихревого кольца) используются и по сей день для получения пятен завихренности. В 1877 г. Вальтер Гребли провел анализ движения трех вихрей на плоскости на основе решения системы трех нелинейных дифференциальных уравнений [2], обладающих двумя интегралами движения. Гребли также ввел геометрическую интерпретацию, полезную для аналитического представления движения трех вихрей на сфере. Последние исследования подобной системы относятся к 1998 г. Согласно теории Кельвина весь мир понимается как эфир, в котором взаимодействуют вихри Гельмгольца, при этом сами атомы имеют форму, вихревых колец. Однако эта теория была вытеснена атомной и квантовой механикой.

Экспериментальному и теоретическому исследованию закономерностей вихревых движений в жидкостях (газе/воде/плазме) посвящено огромное количество работ [1 — 65, 68 — 73, 77 — 88], что связано с большим количеством разновидностей вихрей: атмосферные вихри (циклоны, антициклоны, тропические вихри, смерчи, песчаные вихри), синоптические вихри в океане, тороидальные вихри — вихревые кольца в воздухе и воде, плазменные тороидальные вихри в воздухе, закрученные потоки в технических устройствах и др. В результате проведенных исследований некоторые из вихрей и закрученных потоков нашли практическое применение, Так, сотрудниками института гидродинамики СО РАН им. Лаврентьева М. А. разработан высокоэффективный вихрепорошковый тушения пожаров мощных газвых и нефтяных фонтанов, возникающих при аварии на скважинах с помощью тороидального вихря [3 -6]. В 1983 году в реальных условиях этот способ был использован для тушения пожара на газоконденсатного фонтана в Каршинской степи.

Узбекистана — безводном регионе (высота факела 90-г95 м) [5]. Заметим, что такой сильный природный пожар был потушен только при применении указанного способа тушения пожара после безуспешной попытки тушения другими способами силами более 400 человек в течение месяца.

Другим успешным практическим применением вихрей можно называть вихревой эффект — эффект Ренкина [8,9] для создания холодильных установок на различные мощности. Суть этого эффекта состоит в разделении холодного и теплого воздуха (газа) с помощью закрученного потока в цилиндрической трубе с улиткой Архимеда.

Однако наблюдения в ходе опыта позволяют лишь выдвинуть гипотезу о вихревой структуре объекта, условиях его зарождения и динамики процессов. Отдельные замеры параметров наблюдаемого физического явления не дают полной картины протекания процесса, поэтому адекватное математическое моделирование является здесь одним из основных инструментов исследований.

В последнее время на основе тороидальных вихрей разработано нелетальное оружие [10]. Сообщается об испытании экспериментальной установки.

Тропические циклоны относятся к большому классу явлений, получивших название атмосферных интенсивных конвективных вихрей (ИКВ). К атмосферным вихрям также относятся пыльные вихри, огненные и водяные смерчи, торнадо. Атмосферные интенсивные вихри различаются по масштабам, размерам и другим характеристикам. Диаметр малых пыльных вихрей составляет несколько метров, а действие тропических циклонов (ТЦ) охватывает площади, диаметр БТц которых составляет до тысячи километров. Высота ТЦ простирается до тропаузы, т. е. НТц < 17 км. В пыльных вихрях скорости ветра не превышают 30 м/с, тогда как в торнадо они могут достигать значения 150 м/с (по международной классификации категории Р1). Разнятся и временные характеристики: если малые атмосферные вихри живут несколько минут, то ТЦ могут существовать несколько суток, и даже до одной недели [11].

Наблюдения в реальных ТЦ немногочисленны и весьма разрознены, что обусловлено трудностями проведения натурных измерений в таких внушительных по размеру и суровых по нраву природных феноменах. Что касается атмосферных вихрей малой горизонтальной протяженности, то малое время их жизни еще более осложняет проведение в них каких-либо измерительных работ [12].

Процесс образования ИКВ малой горизонтальной протяженности можно условно разделить на две части:

— локальное увеличение уровня фоновой завихренности при помощи особых механизмов, которых в природе может быть несколько [13];

— развитие самого вихря за счет концентрации фоновой завихренности, что обусловлено действием подъемной силы.

На сегодняшний день не существует единого мнения о роли тепла конденсации в развитии малых атмосферных ИКВ, однако существуют работы, где утверждается, что эта роль может быть определяющей.

Несмотря на имеющиеся различия между разными типами атмосферных ИКВ, в их структуре и условиях возникновения наблюдается ряд общих закономерностей.

Рассмотрим сначала результаты исследования ИКВ малой горизонтальной протяженности. Для изучения таких вихрей большое развитие получило лабораторное моделирование. Из вышеизложенного следует, что для создания модельных ИКВ необходимо воспроизвести два момента: создать фоновую завихренность и каким-то образом ее сконцентрировать. Наиболее распространенными типами установок, позволяющих создать фоновую завихренность, являются вращающиеся сосуды, вихревые генераторы и вихревые камеры. Второе условие выполняется за счет создания подъемной силы, которая приводит к возникновению меридиональной циркуляции и, как следствие, к концентрации фоновой завихренности.

В опытах с вращающимися сосудами рабочей жидкостью обычно служила вода, фоновая завихренность возникала вследствие вращения цилиндра. Для создания подъемной силы использовались различные методы: насосы или пропускание вдоль оси вращения жидкости, отличающейся по плотности.

В вихревых генераторах источник фоновой завихренности находился в верхней части установок. Если в моделях использовалась вода, то циркуляция создавалась с помощью вращающегося диска, который располагался в верхней части неподвижного сосуда. Для создания подъемной силы использовался либо нагрев жидкости, либо небольшой пропеллер, который помещался на оси сосуда. Эксперименты такого типа выполнялись большей частью на воздушных моделях, в которых генератором завихренности служила вертушка, окруженная цилиндрическим кожухом и располагавшаяся в верхней части установки. Она же служила и источником подъемной силы, благодаря созданию в центре установки пониженного давления. Необходимой особенностью вихревых генераторов является наличие боковых стенок, что заставляет циркулирующую жидкость опускаться вниз и взаимодействовать с подстилающей поверхностью. В результате в установке возникает тонкий вертикальный вихрь. Для воздушных вихревых генераторов роль боковых направляющих выполняет цилиндрический кожух, окружающий вертушку.

Ранние работы по лабораторному моделированию атмосферных вихрей носили чисто качественный характер. Однако уже они показали, что характер потока определяется в основном соотношением двух главных параметров: циркуляции, характеризующей фоновую завихренность, и стока или объемного расхода жидкости, которое определяется подъемной силой. В качестве определяющего параметра, который отражает меру взаимодействия стока и циркуляции, в ранних работах использовалось число Россби, а в более поздних — различные параметры закрутки.

Более детальное изучение природных концентрированных вихрей и вопроса подобия физических моделей и их атмосферных аналогов требовало увеличения количественных исследований. Наибольшие успехи достигнуты в экспериментах с вихревыми камерами, в которых циркуляция создавалась либо с помощью вращающегося по периферии установки цилиндрического сетчатого экрана, либо посредством тангенциальных щелей (тангенциальных окон). Подъемная сила обеспечивалась или с помощью отсоса жидкости на верхней или на нижней границе установки, или путем нагрева дна установки. Наиболее интересные модели были предложены в работах Ward [14] и Fitzjarrald [15]. Обе эти установки относятся к разряду вихревых камер и различаются методом создания подъемной силы: механическим (установка Warda) и конвективным (установка Fitzjarralda). В работе [16] сделан вывод, что установка Warda обеспечивает в значительной степени подобие при моделировании системы торнадоподобного циклона, позволяя воспроизвести многие черты этого явления и, в частности, появление нескольких вихрей. В исследовании Fitzjarralda качественно прослежена зависимость структуры конвективного вихревого потока от угла поворота тангенциальных окон а, температуры подстилающей поверхности в центре вихря То и температуры окружающей среды Т".

Первые подробные измерения динамической структуры в модельных концентрированных вихрях появились в экспериментах с вихревыми камерами, и здесь следует отметить работы [17,18]. В этих работах было получено распределение давления и трех составляющих поля скорости в различных районах ИКВ, в том числе и в пограничном слое. Были выявлены основные свойства динамической структуры ИКВ, которые позднее были подтверждены и в других работах, посвященных лабораторному моделированию таких вихревых структур: радиальное распределение вращательной (тангенциальной) скорости Уф (г) соответствует модели Рэнкина (центральное твердотельное вращение и наружный вязкий слой) — в верхней части вихря величина вращательной скорости Уф мало меняется с высотой, в пограничном слое она увеличивается по мере приближения к подстилающей поверхности, достигает наибольшего значения вблизи поверхности и затем падает до нулявблизи подстилающей поверхности существует максимум радиальной скорости, направленной к центру вихряво внешней части вихря поверхностное давление мало меняется и быстро падает в центре вихря, на оси вихря вблизи от подстилающей поверхности существует минимум давления.

Успехи, достигнутые в работах по лабораторному моделированию ИКВ малой горизонтальной протяженности, наиболее полно отражены в работе [19]. Однако целый ряд аспектов в структуре вихрей такого класса, причины и условия их возникновения до сих пор остаются неисследованными.

Предпринимались также попытки лабораторного моделирования крупномасштабных атмосферных ИКВ типа тропических циклонов. Из работ такой направленности следует отметить следующие. В [20] модель представляла собой цилиндрический сосуд, рабочей жидкостью служила кислота. Через отверстия в дне сосуда внутрь него вводился раствор щелочи и при взаимодействии ее с кислотой выделялась теплота. Таким образом, авторы [20] моделировали выделение теплоты при конденсации водяного пара в ТЦ. Для создания меридиональной циркуляции в верхней части сосуда на его стенке помещалось охлаждающееся кольцо. В установке наблюдалось возникновение вихря, который воспроизводил основные черты структуры урагана. Работа носила чисто качественный характер и интересна, как одно из первых исследований, в которых сделана попытка смоделировать в ИКВ процессы конденсации.

В работах [21,22] исследовался воздушный вихрь, завихренность создавалась вращающимся диском, а подъемная сила обеспечивалась конвективным способом при помощи ИК — излучения. В модели отмечалось существование «глаза» с нисходящим движением воздуха в центре и сильным восходящим потоком на краю ядра. Исследовалось перемещение вихря в установке в зависимости от условий на нижней границе. Наблюдалось образование двух вихрей, что сопоставлялось с возникновением двух «глаз» урагана. Проводились единичные измерения скорости и температуры, что позволило выявить существование теплого ядра в центре вихря и показать, что профиль скорости, измеренный на среднем уровне, хорошо удовлетворяет зависимости вида Уфг0'5=соп81, наблюдаемой в ураганах.

Визуальные наблюдения и измерения физических характеристик в атмосферных ИКВ, реализующихся в природе, и их лабораторных аналогов, свидетельствует о существовании общих черт в динамической структуре этих вихрей, что позволяет говорить о динамическом подобии между различными вихревыми системами. Выявление критериев, позволяющих оценить степень подобия модельных ИКВ их атмосферным аналогам до сих пор остается одной из важнейших задач.

Лабораторным моделированием атмосферных ИКВ типа тропических циклонов занимаются на физическом факультете МГУ. При создании установки для реализации модельных вихрей исследователи руководствовались следующими соображениями: невозможность воспроизведения в экспериментальной установке всех условий, имеющих место в природе и влияющих на тропические циклоны (отсюда следует необходимость проведения численного эксперимента) — необходимость выяснения основных факторов, влияющих на возникновение и развитие тропических циклонов.

На основе обзора работ, посвященных натурным наблюдениям и лабораторному моделированию атмосферных ИКВ, можно выделить три основных условия, необходимых для существования ТЦ, которые должны быть воспроизведены в модельных вихрях: наличие большой области океана с достаточно высокой температурой подстилающей поверхностисуществование параметра Кориолиса, превышающего некоторое значениевоспроизведение в модельных вихрях эффекта конденсации с выделением тепла, т.к. именно этот физический процесс приводит к возникновению теплого ядра в ураганах.

Была создана модельная установка, учитывающая перечисленные условия [23,24]. Подъемная сила в установке обеспечивалась использованием в качестве нижней границы водной поверхности, температура которой могла меняться (большая «сковородка» диаметром 1 м с электрическим нагревателем). Использование воды в качестве теплоносителя обусловливало возможность исследования влияния поля влажности на структуру ИКВ. В модельных вихрях измерялись тангенциальная и радиальная составляющие скорости, температура и влажность воздуха на разных расстояниях от центра и на различных высотах.

Конструкция установки позволяла реализовывать модельные ИКВ типа тропического циклона на разных стадиях его развития. Однако непрерывно проследить процесс зарождения и последующего развития структуры ИКВ в модельных вихрях не удавалось. Невозможным оказалось также и исследование процесса возникновения ИКВ из первоначальной депрессии давления.

В результате проведенных экспериментов по моделированию ИКВ были установлены следующие их общие закономерности: а) устанавливается определенное радиальное распределение вращательной скорости: центральное твердотельное вращение и наружный вязкий слойб) имеется радиальная скорость влажного воздуха, направленная к центру вихря, в) давление влажного воздуха мало меняется по высоте и быстро снижается в сторону центра вихря, на оси вихря существует минимум давления.

Вышеприведенные общие закономерности наблюдаются в тропических циклонах.

В работах [25 — 27] рассматривается структура тропических циклонов (на примере ТЦ «Давид» 1979 года), полученная на основе результатов измерений их основных характеристик, проведенных в натурных условиях самолетами-метеолабораториями, в том числе наземными радиолокационными станциями. В этих работах приведены радиальные распределения тангенциального (вращательного) Ур (г), вертикального Уг (г) и радиального Уг (г) компонентов скорости ветров в ТЦ, а также радиальные распределения влагосодержания (водности) влажного воздуха Вщ (в г/м) (в цилиндрической системе координат, у которой плоскость Ъ= 0 совпадает с морской поверхностью и ось направлена вверх). Данные были получены самолетами-метеолабораториями, пролетающими на определенных высотах (2=0,5 км и 1,5 км) сквозь ТЦ (в радиальном направлении). Анализируя данные работ [25 — 27], приходим к следующим выводам: а) в среднем, в пределах ошибки измерения скорости ветров, в ТЦ устанавливается определенное радиальное распределение вращательной (тангенциальной) скорости Ур (г), состоящего из центрального твердотельного ядра вращения и вязкого внешнего слояб) наряду с основным максимумом на расстоянии г- 14,5 км (шириной Д/-~ 10−5-15 км) у распределения Ур (г), есть и другой относительно небольшой максимум при г -44 км (шириной Лг2 ~10 км) — в) этим двум максимумам в распределении Ур (г) практически.

Заметим, что радиальное распределение скорости ветра ГД/-), полученное для ТЦ «Давид», характерно и для других ТЦ: урагана «Целия» 3−4 августа 1970 года [28]- авторы работы [29], используя имеющиеся табличные наблюдаемые данные тропических циклонов до 1985 года, показали, что радиальное распределение скорости вращения имеет твердотельное ядро вращения с вязким внешним слоем.

Из данных урагана «Давид» также следует, что координаты указанных максимумов распределений скоростей и влагосодержания (/•= 14,5 км и 44 км) совпадают с координатами стены «глаза» циклона (г~14,5 км с шириной & стена ~ Юч-15 км) и ближайшей спиральной дождевой полосы (г ~ 44 км с шириной Д^.п~10 км). Согласно натурным наблюдениям ТЦ [25 — 29], именно в этих областях ТЦ, где большая величина влагосодержания воздуха (Вщ > 1 о в г/м), происходит интенсивное выделение тепла (при конденсации паров воды во влажном воздухе).

Таким образом, величины максимумов в радиальных распределениях скоростей КД/-), У2(г) и Уг (г) зависят от влагосодержания воздуха в ТЦ: чем больше влагосодержание ВТц (тепловой энергии), тем больше величины указанных максимумов.

До сих пор указанные особенности распределений скоростей КДг),.

У2(г) и Уг (г) (увеличение скоростей) не получили должного объяснения.

Анализ наблюдения тропических циклонов (атмосферных вихрей) и опытных данных по исследованию ТВ показывает, что общей закономерностью для указанных вихрей является установление в них радиального распределения вращательной скорости, состоящего из центрального твердотельного ядра вращения и вязкого внешнего слоя. Именно вихри с таким распределением обладают большей устойчивостью: характерное время жизни тропических циклонов составляет несколько суток, ТВ различной природы до своего распада проходят расстояние от 100 до 600 раз больше их начального диаметра, при этом равный по объему объект без вихревого движения среды проходит небольшое расстояние, сравнимое с его начальным диаметром. До сих пор недостаточно подробно исследованы причины устойчивого существования таких вихрей. Устойчивость указанных вихрей можно объяснить наличием в них источников энергии (различной природы) и физических механизмов преобразования энергии этих источников в энергию их вращательного движения. Основным источником энергии тропического циклона служит скрытая теплота испарения воды, которая освобождается при конденсации водяных паров (фазовом переходе). В плазменном ТВ в воздухе и ТВ в воздухе и воде источником энергии является наружный вязкий слой. В плазменном ТВ, кроме того, имеются дополнительные источники энергии — процесс рекомбинации ионов и электронов, химические реакции атомов и молекул.

Представляется важным исследование влияния вращательного движения на некоторые эффекты. Ниже приведены примеры таких эффектов.

1. Эффект кумуляции [30]. Известно, что при стекании воды в воронку незначительное начальное ее вращение приводит к бурному вращению струи и, поэтому возникает вопрос, не позволит ли этот эффект, при схождении цилиндрической оболочки, усилить ее кумуляцию. Рассмотрим оболочку, движущуюся перпендикулярно оси и одновременно вращающуюся вокруг нее. В начале, оболочка тонкая, при схождении она утолщается, вращение ее ускоряется, и центробежная сила ограничивает ее схождение. В момент остановки радиального движения останется только ее окружная скорость, распределенная как 1/г. И кинетическая энергия единицы длины будет Е = пру1)-21п (Я / /•), где V — окружная скорость внутренней границы, являющаяся максимальной во всем процессе. При движении сохраняется момент количества движения подсчитав его для момента остановки радиального движения получаем, (2=туг, где ш — масса единицы длины. Из этих условий можно получить выражение для максимальной скорости т. е. возмущение центростремительного движения оболочки в виде сколь угодно слабого ее вращения не усиливает кумуляцию, а наоборот полностью ее разрушает.

Из формул для энергии видно, что V по величине точно совпадает с той скоростью, которую имела бы не вращающаяся оболочка с той же энергией Е, тем же радиусом, но направлена она не по радиусу, а по окружности. После остановки радиального схождения последует разлет, картина которого во времени будет, очевидно, симметрична схождению. Энергия вновь будет переходить к радиальному движению.

Описанный пример практически единственный, в котором прослежено как дополнительная степень свободы (вращение), будучи возбуждена сколь угодно слабо, постепенно отнимает всю энергию основного движения и полностью разрушает кумуляцию, что доказывает ее неустойчивость в этом случае.

Однако, из работ [31] следует, что в нано — и макромирах в 3-Б бициклонах движение к неограниченной кумуляции возможно. Это движение постоянно сопровождается возбуждением и усилением новых степеней свободы, противодействующих процессу кумуляции.

2. Транспортные коэффициенты жидкости (газа[32], жидкости[33], плазмы[34]). В работах экспериментально было показано, что вращательное движение плазмы/газа/жидкости приводит к эффекту анизотропии процессов переноса: коэффициенты переноса (коэффициент теплопроводности, коэффициент диффузии и д.р.) в перпендикулярном направлении оси вращения жидкости сильно уменьшается в зависимости от скорости углового вращения по сравнению соответствующими коэффициентами вдоль оси вращения. Аномальное долгосвечение плазменного ТВ в воздухе объясняется существенным снижением теплового потока из тора вследствие анизотропии процессов диффузии и теплопроводности.

3. Наличие вращательной степени свободы (и твердого тела) в вихревом движении жидкости позволяет накапливать в больших количествах энергию (переход энергии поступательного движения во вращательную энергию). Так, в работах [35,36] экспериментально показано, что энергия вращательного движения ТВ и ПТВ в 2,8 — 3 раза больше их энергии поступательного движения.

Несмотря на давнюю историю исследования вихрей (вихревых колец, плазменных тороидальных вихрей (ПТВ), циклонов) процесс их образования изучен недостаточно подробно. До сих пор детально не изучены такие важные характеристики, как распределение трёхмерного поля скоростей, распределение плотности и температуры в вихрях в различные моменты времени при их образовании. Это связано с тем, что определение этих локальных характеристик указанных вихрей в экспериментальном отношении представляет значительные трудности. Так, при диаметре ТВ 10 см, для получения поля скоростей, необходимо одновременно измерить скорость, плотность и температуру жидкости (плазмы, газа), по крайней мере, в 500−1000 точках, что современными экспериментальными методами практически невозможно реализовать. По этой причине количество экспериментальных работ по определению локальных величин мало. Работы по определению распределения плотности в ТВ вообще отсутствуют. Однако, для решения ряда прикладных задач с использованием ТВ (тушение пожаров на газопроводах, разработка нелетального оружия, разработка методов повышения КПД сгорания топлива ТЭЦ) необходимо знать именно пространственно-временные распределения скоростей, плотности и температуры в таких вихрях.

В настоящее время недостаточно подробно изучены закономерности физических механизмов преобразования энергии вышеперечисленных источников в энергию вращательного движения указанных вихрей (тропических циклонов, тороидальных вихрей). По этой причине до сих пор не удается определить зависимость величины КПД преобразования энергии источников в энергию вращательного движения вихрей от их характеристик. А определение такой зависимости для КПД является одной из основных проблем исследования тропических циклонов. Знание закономерностей физических механизмов самоподдержания и усиления вихрей представляет собой один из ключевых моментов в исследовании тропических циклонов, и открывает возможность предсказания погоды. Следовательно, изучение закономерностей физических механизмов самоподдержания и усиления вихрей является актуальным. Отсюда возникает необходимость проведения адекватного математического моделирования процессов образования и динамики тороидальных вихрей, атмосферных вихрей и механизма самоподдержания и усиления вихрей.

Настоящая диссертация посвящена математическому моделированию нескольких физических экспериментов, изучающих вихревые структуры на поверхности сферы и тороидальной вихревой структуры в воздухе, обладающие общими закономерностями процессов формирования, самподцержания и усиления. В ней представлены математические модели, в основе которых находится полная трехмерная система уравнений Навье-Стокса, позволяющая детально, с изучить процесс формирования и динамику перемещения ТВ, а также исследовать причины зарождения и динамику перемещения вихревых образований на сфере.

Обзор работы.

1. В первой главе рассматривается процесс образования и динамика развития тороидального вихря, полученного методами математического моделирования, и сравнение его параметров с аналогичными вихрями, полученными в результате физических экспериментов.

2. Во второй главе проводится исследование процесса самоподдержания и усиления вращательного движения тороидального вихря за счет нагревания его по периметру. Также исследовался вопрос КПД тепловой энергии с точки зрения усиления скорости вращения.

3. В третьей главе исследовалась динамика перемещения вихрей образовывающихся на жидкой поверхности сферического объекта при нагревании его по экватору. Проводилось сравнение численных расчетов с результатами физического эксперимента.

Основные результаты.

1. Построена математическая модель тороидального вихря на основе трехмерной системы уравнений Навье — Стокса, учитывающая условия образования ТВ. Результаты численных экспериментов, проведенных по этой модели, согласуются с экспериментальными данными ТВ различной природы.

2. Проведено численное моделирование механизма самоподдержания и усиления вихрей при тепловыделении (нагревании газа) в ТВ. Показано, что при повышении температуры и увеличении длительности нагрева газа увеличивается скорость его вращательного движения и растет величина КПД преобразования тепловой энергии во вращательную энергию вихря.

3. Проведено математическое моделирование образования группы вихрей на сферической поверхности фиксированного радиуса на основе трехмерной системы уравнений Навье — Стокса, осредненной по высоте тонкого слоя. Численный эксперимент показал, что образование вихревых структур, а также их количество зависит от величины разности температур между экватором и полюсом. Результаты расчета согласуются с экспериментальными данными.

Автор выражает глубокую благодарность своему научному руководителю в.н.с. д. ф — м.н. Савенковой Надежде Петровне и научному консультанту с.н.с. к. ф — м.н. Юсупалиеву Усену, а также профессору Кузьмину Рунару Николаевичу за поддержку и постоянную помощь в работе.

Заключение

.

1. Построена математическая модель тороидального вихря на основе трехмерной системы уравнений Навье — Стокса, учитывающая условия образования ТВ. Результаты численных экспериментов, проведенных по этой модели, согласуются с экспериментальными данными ТВ различной природы.

2. Проведено численное моделирование механизма самоподдержания и усиления вихрей при тепловыделении (нагревании газа) в ТВ. Показано, что при повышении температуры и увеличении длительности нагрева газа увеличивается скорость его вращательного движения и растет величина КПД преобразования тепловой энергии во вращательную энергию вихря.

3. Проведено математическое моделирование образования группы вихрей на сферической поверхности фиксированного радиуса на основе трехмерной системы уравнений Навье — Стокса, осредненной по высоте тонкого слоя. Численный эксперимент показал, что образование вихревых структур, а также их количество зависит от величины разности температур между экватором и полюсом. Результаты расчета согласуются с экспериментальными данными.