Биквадратичные функциональные модели параметризации эмпирических данных

Решение большого круга прикладных задач из различных областей психологии" социологииу экономики, медицины, экологии" геологии и др. связано с обработкой больших массивов эмпирической (статистической и пр.) информации о сложных объектах или системах" в которых исходные данные представлены бинарным отношением близости (сходства, различия, превосходства) или предпочтения" Для анализа подобных экспериментальных данных в настоящее время разработано большое количество математических методов и подходов: классификации и распознавания образов f4,8,26,29,31,34,38,50,61,107,111,.

112], анализа динамических сгущений [25], факторного анализа [56,.

113] и многомерного шкалирования [30,99,105,124,132,136,139,142, 146,152,156]. При этом многомерное шкалирование трактуется как подход, связанный с параметризацией исходной информации об исследуемых объектах, т"е* с представлением этих объектов в виде точек некоторого координатного пространства.

Значительную группу методов параметризации экспериментальных данных образуют методы построения координатных представлений, связанные с оптимизацией следующих двух групп критериев качества (метрическое многомерное шкалирование [30,99,101,102,13^). Пусть X e {A i} ово ку пност ь шел еду емых объектов, tyj — величина близости для объектов I и j. В качестве модального пространства координатного представления обычно выбирают евклидово пространство R некоторой размерности К (в общем случае * некоторое к-мерное замкнутое многообразие). Пусть i* - искомый образ.

Iго объекта, а Fвеличина близости для точек ^,? модельного пространства R*. Тогда задача параметризации эмпирической информации, представленной матрицей (шкалирование объектов совокупности X) заключается в минимизации функционала.

1.1).

Цш1 * ' I на множестве всевозможных конфигураций образов 6 Й. к объектов совокупности X. В качестве меры близости Р7.

1 пк могут использоваться меры различий: всевозможные расстояния в к критерийЛ^ в этом случае относится к так называемым -^-критериям ?99, §§ 1.4, З. Л — квадрат евклидова расстояния в Я" (евклидова близость) [4, с, 188] ги^) — =? < V V* > (1−2) а также меры сходства" например, коэффициент корреляции для векторов ^ и [99, § 1.5] г’м>- -Щг ¦

Здесь через |"| и (¦,•) обозначены соответственно норма и скалярное произведение пространства Йк. За счет выбора параметра уз критерия (1.1) можно либо повышать его чувствительность к ошибкам при отображении малых расстояний и снижать чувствительность к искажениям больших (уЗ< О), либо, наоборот, повышать точность передачи больших расстояний (О).

Другая группа критериев качества связана с различными задачами анализа предпочтений, в которых исследуются объекты двух типов — изучаемые. объекты х-, образующие множество объектов X * [X- 51 а 1 > и эксперты уч из множества экспертов выносящие суждения об объектах ос. * X, представленные в виде значений функции предпочтений >г. В качестве модельных пространств параметризации и для объектов" и для экспертов выбирается евклидово пространство? причем объектам *i & * соответствуй ют точки? f, а экспертизам — множества точек J’y с Л. В качестве ^ могут выступать одноточечные множества, а та.

1С кже прямые, гиперплоскости в R и т. п. Для образов объектов () и экспертов () рассматривается модельная функция предпочтений FCftyJj) 9 в которой используются, например, различные расстояния в R* от точки i* (образа объекта х*) до множества gj (образа эксперта gj)• Задача параметризации при анализе предпочтем ний, представленных матрицей {^yj заключается в минимизации функционала на множестве всевозможных конфигурацийfp) образов объектов совокупности X и конфигураций образов ff. eft* экспертов совокупности Y" * здесь Р, у — некото-рые весовые коэффициенты, аналогичные величинам в критерии (I.I).

Исходная информация для моделей (I.I), (1.3) может быть задана также в виде так называемых матриц «объект-признак» («объект-свойство») • в этом случае для объектов (экспертов) уже известно некоторое /и-мерное (соответственно — m-мерное) координатное представление ^/"С^д^-ч*^.

1г11ь>~>Ь*у)* а величшш) вычисляются по исходным координатам объектов и х- (аси |fy)• Тогда рассматриваемые задачи минимизации критериев (I.I) и (1.3) естественно интерпретируются как задачи снижения размерности координатного представления для изучаемых объектов (экспертов). Заметим" что в последнем случае исходные данные могут быть как количественными" так и неколичественными" а также смешанными" поскольку к данным всех этих типов могут быть применены, например, различные методы «оцифровки» ?9, с.309−3151 или построения числовых матриц расстояний для неколичественных данных [46″ с. 117−119].

Методы многомерного шкалирования (параметризации эмпирических данных" снижения размерности) могут использоваться при решении различных типов прикладных задач" к которым в первую очередь относятся следующие (см. также [30, 0.6−7, 17−19]).

I. Поиск и интерпретация латентных (непосредственно не наблн>-даемых) переменных" объясняющих метрическую структуру исходных данных и задающих агрегированное описание изучаемых объектов — построение систем нелинейных интегральных показателей" визуализация исходных данных.

2. Классификация и типологическая группировка многомерных объектов — совместное построение типологических группировок экспертов и анализируемых объектов.

3. Сжатие исходного массива данных за счет выявления зависимостей между характеристиками" описывающими исследуемые объекты.

Отметим также, что указанные методы могут использоваться при моделировании временных процессов на предмодельном этапе построен ния фазового пространства агрегированного описания исследуемого процесса [83,84], а также при совместном решении регрессионных и типологических задач Г86,90]. Характерной особенностью этих методов является их нелинейность и непараметричность.

Наиболее интенсивное развитие, направление многомерного шкалирования получило за последние 25−35 лет. В первую очередь отметим широту спектра его приложений. Методы этого направления используются при анализе экспертных оценок, в теории принятия решений, как средство визаулизации многомерных данных в чело в ек ониашинных методах решения различных переборных комбинаторных задач. Наиболее многочисленные приложения методы многомерного шкалирования нашли в психологии, в социально-экономических исследованиях* Примеры их успешного применения можно найти в геологии, географии, экологии, медицине, педагогике и в др. областях. В настоящее время в СССР, а также за рубежом имен/гоя многочисленные монографии и публикации обзорного характера, в которых можно найти различные приложения этих методов [30,99,124,126,.127,129,131,133,138,142,147,149,154, 158,162,16зД. Алгоритма многомерного шкалирования включены в основные системы программного обеспечения прикладного многомерного статистического анализа (анализа данных) ?9, с.7−63]. Структура публикаций по проблематике многомерного шкалирования (см. также указанные выше обзоры) за последние 20 лет показывает, что в этот период развитие происходило, в основном, за счет появления большого количества новых моделей. (как правило, неметрических), а также алгоритмического, программного и. методического их обеспечения. Практически отсутствовали работы, в которых предложенные модели подвергались бы глубокому математическому анализу. Вместе с тем, опыт решения прикладных задач показал, что все применяемые методы и подходы (как метрические, так и неметрические) обладают одними и теми же недостатками, сдерживающими распространение методов шкалирования, особенно для задач, с большими массивами обрабатываемой информации [юз*99] • Возникающие проблемы можно условно разбить на оледугаще три группы (ограничимся рассмотрением критериев (1.1)).

I. Вычислительная трудоемкость решения задач минимизации критерия (1.1), которая характеризуется тремя составляющими! а) размерность оптимизационной задачи пропорциональна количеству объектов и равна кп — б) при организации градиентных итеративных процедур минимизации на одну итерацию требуетоя выполнение порядка элементарных операцийв) высокая многоэкстремальность решаемых оптимизационных задач: в показано, что для^{-критериев} количество локальных минимумов может достигать п I — вычислительные эксперименты показа** ли, что и длякритериев количество локальных минимумов чрезвычайно велико".

Таким образом, сложность решаемой оптимизационной задачи определяется количеством исследуемых объектов, что делает невозможным применение указанных методов при обработке больших массивов данных (в реальных прикладных задачах количество объектов может достигать величины 1000 и более)".

2. Дискретный характер результатов: полученные результаты определены только для объектов обрабатываемой совокупности и не определены для вновь появляющихся (ранее отсутствовавших) объектов. Это вызывает трудности: а) при интерпретации результатов (выбор и описание координатных осей, а также описание и интерпретация эталонных объектов и различных зон для построенного координатного представления) — б) при определении сравнительной значимости исходных признаков и построении меры их существенности для полученного процесса параметризации исходных данных — в) при использовании построенного пространства координатного. представления в качестве фазового пространства {пространства состояний) душ моделирования процессов, в которых участвуют исследуемые объекты.

3. Отсутствие критериев устойчивости модели (1.1) относительно изменения как структуры близости (матрицы {Чу]), так и самого множества объектов X. Например, если выбран какой-либо споооб продолжения порченного решения на объекты, отсутствующие в исходном множестве X, то требуется знать, корректно ли (в рамках заданной точности) распространение полученного решения на объекты множества ", или решение нужно заново пересчитывать для множества объектов Х^Х ¦ Также естественно воз-" нккает вопрос описания через объекты имеющейся совокупности X те совокупности X новых объектов, на которые распространение решения корректно".

В диссертации разработан новый, функциональный, подход к представлению и исследованию оптимизационных моделей типа (1.1) и (1.3). В рамках этого подхода ввделен достаточно широкий, удовле-творящий потребностям практики класс биквадратичных функциональных моделей параметризации. Этот класс включает, в частности, дискретные модели (1.1) и (1.3). Разработанный для функциональных моделей математический аппарат позволил получить эффективнее решения всех сформулированных выше проблем как для дискретных моделей, так и в общем случае.

В рамках разработанного подхода сложность оптимизационной за-дачи (1.1) определяется, главным образом, сложностью исходной матрицы близостей, под которой понимается количество ^ слагаемых в билинейном представлении Р ъ*. ~ У X Ч> (1.4).

7 ^ ле Чсч]> достаточно точно аппроксимирующем Здесь Уц и ^ ,.

— некоторые прямоугольные матрицы. Например, в случае ХсЯ*&trade-, Чу^е (*<�•,*•)" а *1е — евклидова близость (1.2), представление (1.4) может быть получено на основании формулы.

При выполнении (1.4) исходная задача минимизации критерия (1,1) оводится к некоторой оптимизационной задачи размерности не зависящей от количества рассматриваемых элементов п • Для ее решения предлагаются итеративные процедуры, требующие выполнения для одной итерации порядка элементарных операций, что обеспечивает (при возрастании п) линейный характер роста вычислительной трудоемкости итеративных процессов вместо квадратичного (в традиционных схемах).

Решение проблемы многоэкстремальности осуществляется в двух направлениях. С одной стороны — получено нелокальное необходимое условие экстремальности для минимизируемого 1фитерия. Этоь^у условию удовлетворяют глобальный и лишь достаточно глубокие локальные минимумы рассматриваемого функционала. С другой стороны, в рамках подхода, названного квазидинамическим программированием, для реализующих полученное необходимое условие итеративных охем отроится система начальных приближений, передающих определенные интегральные характеристики решаемой задачи. Вычислительные эксперименты, проведенные как на модельных, так и на реальных прикладных задачах, показали, что построенные таким образом вычислительные схемы, в отличие от традиционных, обладают высокой степенью нелокальности, а в ряде случаев оказывается моноэкстремальными.

Функциональный характер предлагаемых моделей предопределяет возможность применения полученных результатов в любым допустимым (эталонным, пробным, теоретически возможным и. пр*) объектам, что существенно облегчает процесс интерпретации полученного решения. При этом выявляется неэффективность попыток распространения поеттроенного координатного представления с объектов имеющейся совокупности с помощью методов полиномиальной (линейной, квадратичной и пр.) экстраполяции" В ряде случаев для рассматриваемых объектов наряду со значениями координатных функций могут быть получены и значения их частных производных по исходным характеристикам объектов. Вое оказанное и позволяет решить проблемы, возникавшие ранее в связи с дискретным характером результатов, полученных традиционными методами.

Для предложенных моделей параметризации получены критерии ус"* тойчивости, из которых оледует, что при выполнении некоторых естественных условий базовой вычислительной задачей для функционал льных моделей является дискретная задача параметризации (1.1) с вырожденной матрицей (функцией) близости (1.4). Полученные оценки подтверждают, что и в общем случае вычислительная сложность возникающих оптимизационных задач определяется скоростью аппроксимации функции близости % конечными билинейными рядами вида (1.4) условие топологической устойчивости). Из порченного критерия правило устойчивости вытекает также следующий результат. Пусть координатного представления построено в рамках функционального подхода на множестве объектов X и распространено на объекты множества X. Тогда для корректности (в рамках выбранной точности) такого распространения достаточно, чтобы для любой функции из некоторого, явно определенного конечного семейства, состоящего из ~ Кгр1 функций, средние значения на множествах X и Х^Х* были близки. С помощью-последи его утверждения может быть описано все множество объектов, на которое распространим! результаты решения дискретной задачи координатного представления объектов заданной конечной совокупности X. 0 другой стороны, если задана некоторая совокупность объектов (не обязательно конечная), то с помощью указанного критерия может быть получен минимальный объем выборки из объектов имеющейся совокупности, для которой достаточно решить исходную задачу параметризации.

Функциональный подход к задачам метрического шкалирования предложен в [?9]. В основе его лежит предположение, что множество исследуемых объектов X является в общем случае не дискретным множеством, а пространством с двумя структурами: топологической, определяемой некоторой числовой функцией парной близости и статистический — некоторой вероятностной мерой /", задающей распределение объектов в X. Аксиоматическое определение функции близости, а также ее основные свойства и важнейшие виды (функции различия и сходства) вводятся в 2,1. функция близости ъ за-* дает некоторую топологию в X. Предполагается, что X как топологическое пространство компактно" Упорядоченная тройка ^(Х?^"/") в дальнейшем называется генеральной совокупностью исследуемых объектов. В 2.2. вводится задача 2к-параметризации (шкалирования) для пространства ОС, заключающаяся в нахождении к-мерной вектор-функции (в.-ф.) ?: X —'Я *, доставляющей глобальный минимум функционалу в пространстве (Х, у*<). -Решение этой задачи называется отображением. Предполагается, что при решении задачи «параметризации распределение /и неизвестно, а исходная информация задана выборочной матрицей близости:. .{Ъйс^Лудля выборки Х^ а {^Ли^Хточек Х-1, распределенных в X в соответствии с мерой /И- (например, подученных в результате случайных независимых испытанийсогласно распределению /и).

В 2.4 в рамках функционального подхода вводится некоторый класс функциональных моделей анализа предпочтений. Как и выше, множества объектов и экспертов трактуются как некоторые пространства о вероятностной мерой — соответственно пространства (Х, уи) и (Т, • Предполагается, что на Х*У заданаизмеримая ограниченная функция ЗДэс,^) -функция предпочтений. В 2.4.2 показано, что функция 1 порождает некоторые естественные топологии в X и V. Предполагается, что в этих топологиях пространства X и V компактны.

В качестве модельных пространств координатного представления объектов и экспертов в общем случае берутся многообразия и Я^-Й*, порождаемые соответственно системами квадратичных ограничений вида а. б).

7 Ф = ь + в 1 е (1.7) где £б Я*, ?6 Ак «через .(¦¦>) обозначено скалярное произведение в соответствующем евклидовом пространстве, а остальные параметры имеют очевидный смысл» В качестве модельных функций предпочтений (м.ф.п.) рассматриваются вещественные функции определенные в ЙхД и представише там в виде конечного билинейного ряда.

Р-(рР. (?) (1.8) ¦¦. ••• ~. с квадратичными функциями р. и Рг ~. Очевидно, в этом случае м.ф.п. является биквадратичной функцией своих аргументов.

Обозначив! через () совокупность.. ? & (соответственно — де (У^)), удовлетворяющих дня п.в. х&- (X, м) (СУу >) 1 системе ограничений (1.6) (соответст.

Л, А венно — системе (1.7)). Определим для любых в.-ф. функционал ф0 равенством У) {^Йс*), рр) V осу (1.9).

ХУ где весовая функция Р определена, ун®- 9 — измерима, ограничена и строго положительна в • Под задачей ^^параметризации Фшкалирования) понимается задача поиска глобального минимума функционала (1.9) в пространстве *, а ее решение — -. отображениями. Задача^{-параметризации} называется сишетричной, если О^и) = СУ, о) #, , и^нг^ф" а функции Ъ # и Г симметричны. Для симметричной задачи положим.

1.Ю), в.-ф., доставляющая глобальный минимум функционалу (1.10), называется. уотображением*.

Очевидно, критерии (1.9)являются естественными функциональными обобщениями критериев (1.3) в случае биквадратичных модельных. функций предпочтений, а критерий (1.5) — обобщением критерия (1.1) при /5=0 и модельной функции предпочтений (1.2). При решении зддач # -параметризации распределения /и и о предполагаются неизвестными. Исходная информация в этом, случае задается выборочны-ми матхяшми {К*", • Ыъ^)] «, для конечных выборок Хн = {*,] сХ и У^ = ] с. V «распределенных в X и У в соответствии с мерами у* и V. В 2.4 наряду с критериями (1.9) введены также обобщающие их регрессионно-типологические критерии (2.38) [86,90]. Методика ж исследования, практически, ничем. не отличается от методики анализа более частных критериев.

1.9).-.. -... .

Набор критериев (1.9) лвляется достаточным при решении широкого круга прикладных задач. Особое место среди этих критериев занимает функционал (1.5). Это объясняется тем" что, во-первых, он неоднократно успешно применялся при решении различных прикладных задач, во-вторых, исследование моделей оптимизации о этим критерием позволяет изучить практически все основные свойства более общих Фкритериев, и, в-третьих, для этого критерия существенно упрощается форма получаемых результатов, а сами результаты становятся легко обозримыми" Последнему способствует, в частности, инвариантность функционала относительно преобразований движений в Дк, в силу чего (см" 2.3) можно предполагать диагональноеть нормы в Я* и ограничиваться рассмотрением задача минимизации на множестве ¿-С ^ ортогональных центрированных в.-ф# где. < > ~ скалярное произведение в и), а I *> функция, тождественно равная единице".

Замечание 1*1. Теорема об эквивалентности задачи минимизации критерия в пространствах ¿-?к и ."С. получена в [117, с «88] - ряд результатов применения предложенного в диссертации функционального подхода для задач скритериями порчен в [90 — 46, с .100−106] «.

Одним из главных результатов разработанного в диссертации математического аппарата является нелокальное необходимое условие функционального шкалирования. В работе использованы две различные схемы .его получения. Первая из них, более общая, в техническом отношении. более трудоемка. Она реализована в 3 при получении не-, локального необходимого условия для ^^-отображений, которое выглядит следующим образом. Пусть в сделанных выше обозначениях х (* >*) * т1+г<*?>ъ> - ъ (1Л1) к х.

Рассмотрим уравнение относительно вещественного :

2:. (1Л2) обозначим через 'Идее) его максимальный корень и определим в.-ф.

Lк (Ку/к) равенствами" справедливыми для любого ¿-'^кг:

5 если.

43).

———— в противном случае".

В.-ф. определено равенствами. (1*13) всэду в X, и при этом, для любого хе X ./£0М Ч^*). в 3*4 доказано следующее утверждение (см*, теорему 3.14)*. —.

Теорема. 1.1. Пусть в.<�"ф. являетсяотображением. Тогда для п.в. хб-Х ", и при этем с) > - т<�п ^.С^*). (1.14) и. Л V.

Из теоремы следует*. что при построенииотображений особуюроль ИЕрают.-уравнеяиа:(1.12)-и фушсция «^.(ос) ^ которые называются характеристическими соответственно уравнением и функцией для в.-ф. $ ». .. .

Теорема 1.1 задает необходимое условие для миннцума функционала которое нелокально в следующем смысле. Этому условию удовлетворяют все глобальные минимумы класса ЗС. С другой сторо.

•л ны, ему удовлетворяет не всякий локальный экстремум, например, ему не удовлетворяет в.-ф. А*) = 0, которая (см. 3.1) является, точкой экстремума. Как показали вычислительные эксперименты, проведенные на ряде модельных и конкретных прикладных задачах, лишь для достаточно глубоких локальных минимумов 21^ выполняется теорема 1.1.

Доказательство теоремы 1.1 (теоремы 3.14) проводится в 3 по следующей схеме. Сначала, рассматривая первую вариацию функционала, получаем локальное необходимое условие для^{-отображения} (теоремы 3.1−3.2). Это необходимое условие характерно тем, что при его использовании для построения экстремальных точек функционала возникают с л едущие две проблемы неоднозначности: &bdquo-проблема выбора корня характеристического уравнения (1.12) (среди, вообще говоря, 2"+{ его вещественных корней), а также проблема определения значения в особых точках, т. е. в тех точках, для которых.

Таким образом, локальное необходимое условие (теорема 3.2) определяет некоторое множество («Ш^ которому принадлежит искомоеотображение ^ класса. ©-С. А тогда, решая задачу минимизации функционала на множестве и рассматривая вариации в.-ф.? некоторого специального вида, получаем необходимое условие миншдема на. множестве «локальных экстреэдмов» ¿-(1).я виде теоремы 1.1... .

Замечание 1.2, Необходимое условие в. форме теоремы. 1*1-получено в ]11- 80, § 2.5] • Первой обратила внимание на то, что для.

Z к-отображений 5 класса ЗС в неособых точках хе X величина Ж1^*) однозначно определяет вектор и удовлетворяет уравнению (I.I2), А. Б. Хмелышцкая [ИбДгЯ. Е.М.йльин в [13] доказал аналог теоремы I. I для случая симметричного регрессионно" типологического критерия вида (2.38).

G помощью теоремы 3.2 для 2к-отображений класса X в 3.3 ус", танавливаются следующие свойства ограниченности (теоремы 3.7,3.8): X eis (I.I5) где — ъчр ъсхл) J)~([3+ C4″)i/3] }иг.

А с помощью теоремы I. X устанавливаются свойства непрерывности X * -отображений, в частности, свойство гельдеровости юс характеристических функций в неособых точках (теорема 3.17): для п. в" хе лежащих на компоненте непрерывности^{-отображения} где — некоторая константа,. X — ' ' -. ' .

Из приведенной вша оценки (1*15) следует, что любоеотображение класса X является ограниченной в существенном вектор-функцией и лежит в шаре радиуса J)^ пространства L^. Более .того, с помощью — теоремы 1.1 в 4 показывается, что при выполнении некоторых естественных условий согласованности, функции близости и. вероятностной меры /и Z* -задача, может быть сведена к задаче минимизации функционала на некотором компактном подмножестве пространства (теорема 4.13). Последняя задача и названа компактным сужением, задачи ^¿—параметризации (¿-^-шкалирования) .

Для этого в 4 Д рассмотрен оператор? пространства, определяемый равенством ($)].

— отображение является его неподвижной точкой и принадлежит. некоторому ограниченному множеству ^/-к (теорема 4.1)* В 4*2 введены классы ЗГ* и пространств ОС-ОС^ч^), удовлетворяв ещих ряду условий согласованности функции близости п. и вероятностной меры р4 • Классу, в частности" принадлежат все кмерные евклидовы пространства. Решение задачи минимизации функционала на. замыкании, множества ^ названопредставлением. Из теоремы 4.1 следует, что любое^{-отображение} является дставлением. В 4,3 показано, что для пространств класса множество ^ Скомпактно, а при выполнении некоторых условий невырожденности — компактно. Эти результаты получены с помощью ряда утверждений о. средних функциях, аналогичных соответствующим утверждениям [43]. В частности, свойство равномерной сходимости средних функций иопользуется при доказательстве теоремы 4.12 о. слабой (усиленной) непрерывности функционала из которой, в частности, следует существованиепредставлений.

В основе второй схемы получения нелокального необходимого условия функционального шкалирования лежат биквадратичные представления для § -критериев (1.9) в задачах анализа предпочтений. Для получения этих-представлений задача минимизации функционала вида (1.а) цри ограничениях (1.6). яЛ1Л) (???-^, ¡-¡->е) сводится к задаче минимизации функционала иле).

ХУ при ограничениях.

1.17) где (Х, уи), (У,^) "? > V — скалярное произведение в пространстве Дт, т — количество слагаемых в билинейном представлении (1.8) модельной функции предпочтений Г7, а и 0<�Г (Р) — некоторые квадратичные т^- и т^-мерные в.-ф., определенные в щ В 5.1 (теоремы 5.1, 5.2) приведены условия возможности сведения оптимизационных задач с? -критериями к задачам с критериями взда (1.16) и показано, что рассмотренные в 2.4 приме" ры встречающихся в приложениях ^ -критериев этим условиям удовлетворяет, В частности, задача минимизации критерия без ограничений, в котором к-к, а — евклидова близость (1.2) в при таком преобразовании оводится к задаче минимизации функционала (1.16), в котором Л7=к+2., при ограничениях («4 = %).

1в4 * (1Л8).

СР)н ^ (Р)? РД.

Таким о^ ^ переходе о, * ^ Г про^одит упрощение модельной функции предпочтений и усложнение системы ограничений*.-. .

— Характерным свойством критерия 4* является возможность его представления в биквадратичном виде (ом. (5.20)-(5.22)): где < ^ и < - скалярные произведения в пространствах а, р>. ш [(ас")эРое)с (м> <�с.

X ~ У жАШ Для любых — линейные операторы соответственно пространств Iи 1 (сл. (5.23)), и. а Ф еЬ — определенные таи же вектор-функции, С — константа.

Биквадратичное представление (1.19) позволяет доказать теорецу 5.3 о слабой полунепрерывности функционала # снизу, с помощью которой устанавливается существование ^'-отображений&bdquo- (и, следовательно. — соответствующих Фотображений) при выполнении некоторых сформулированных в 5.2 условий невырожденности (теорема 5.5). В качестве следствия этой теоремы может быть, подучена теорема существования для^{-отображений} (теорема 5.6).

Бинвадратичное представление (1.19) позволяет представить задачу минимизации функционала при ограничениях (1.17) в виде двух взаимосвязанных (сопряженных) семейств оптимизационных задач, каждая из которых заключается в минимизации некоторого квадратичного функционала при квадратичных ограничениях типа «равенство» .

Обозначим через и множества в.-ф. и удовлетворяющих п.в. на Х.(п.в. на У) равенствам (1.17). Пусть.

9, хбX 9 У * Определим функционалы °Г* и Т*" на.

Ят равенствами т (д'фхр-гв'фх), р)0,.

1.20).

Г (Р>)=(А*а%)Р~ 25'"^), Р)", и рассмотрим две системы ограничений (см* (1.17)): ъгсп-о, 21) ъг (Р) =¦ О. (1'22).

Здесь матрицы, Л ($¦>%) и векторы определены в соответствии о (5.23)" В 5.3 доказана справедливость следящего утверждения (теорема 5.9).

Теорема 1.2. Дин того, .чтобы в.-ф. ¿-уи" были? отображениями, необходимо, чтобы для л .в. хб векторы и Р являлись точками глобального минимума соответственно функционалов? Р) и °Г при ограничениях (1.21) и (1.22).

Отметим, что для ряда частных задач это условие, является не только необходимым, но и достаточным (теорема 5.8).

Задачи поиска глобального миющума функционалов при ограничениях (1.21) и (1.22) названы локальными оптимизационными задачами (ЛОЗ)^{-параметризации} (#*чикадиро-вания). Теорема 1.2 показывает, что эти два семейотва задач сопрял * * жены в том смысле" что параметры 4 и л. для первой из них (см.. (1.20)), о помощью которой определятся значения в."ф.? , являются интегральшт характеристиками вуф*?. В то же время, параметры Д * и а* для задачи минимизации функционала Т^* являются интегральными характеристиками в.-ф.? ¦ Как видно из (1.20), ДОЗ для критерия ф* являются задачамиминимизации некоторой. квадратичной формы при квадратичных. ограничениях (1.21). ияи (1.22).

Для ЛОЗ возможны* вообще говоря,, ситуации вырождения, в которых их решения неединствены. Однако в ряде случаев принадлежность ЛОЗ семействам, сопряженных задач для критерия ф*. обеспечивает единств венность их решений. В 5.4 (теорема 5.13) подучены, условия справедливости этого утверждения для симметричных задач — этим условиям* в частности, удовлетворяют задачи параметризации с критерием .

В 5.5 при поиоке глобального минимума в ДОЗ для критерия & при ограничении (1.21) (или (1*22)) используется система двойственныхпеременных (множителей Лагранжа). При этом предполагается, что все матрицы в квадратичных формах ограничении (1.21) и (1.22) неотрицательно определены. Тогда (теорема 5.16) для ^ -отображе.

•? ний 9 вектор Р^Н*) определяется набором значений своих двойственных переменных б. В ситуации невырожденности этот набор являетоя максимальным (в смысле отношения частичного порядка < в А**) решением системы уравнений.

ЫШ-О, (1.23) где соС&У^со (фу*^) — некоторая явно заданная т-мерная в. ч$.

—мерного. аргумента 9 — при этом Р*- <*>{9*) # координатные функции В.-4. иазываютоя характеристически «ункциями, а уравнения системы (1*23) — характеристическими уравнениями для Ф^-отображения?. Аналогично определяются характеристические функции и характеристические уравнения для второгоотображения. .

Любая ЛОЗ с помощью некоторого линейного преобразования где рГ, Р'&Я* т'^т может быть приведена к виду, когда, матрицы /3. всех квадратичных форм в ограничениях системы (1.21) в совокупности линейно. независимы* Такое представление ЛОЗ названо минимальным. Например* для ЛОЗ размерности с системой ограничений (1.18) в случае минимального представления име*> ем: 1, аи^ = I. Задача — -параметризации названа однородной* если любая ЛОЗ для критерия Ф* дмеет минтададь-. ное представление, з котором Из сказанного выше следует,. что в однородных, задачахотображения, определяются скаля" рными характеристическими функциями и являющимиея в каждой (неособой) точке максимальньвш вещественнымикорнями соответствующих характеристических уравнений.

В 5.6 получены нелокальные необходимые условия для решений однородных задач с критерием Ф. Пусть щ Рассмотрим однородную ЛОЗ минимизации функционала ЧГ*(Р) приограничении.

Г+ КР) о+ (р Р, Р) о — о у.

Положим А=А*($-'>Х) у, величины А. и аЛр^Х) определены в соответствии с (5.23), Обозначим через К0 С-ЯП* собственное подпространство матрицы /3 для ее нулевого собственного значения (возможно, Й<>е{0}), через Я — его орто-тональное дополнение в Й., а через Р*г0 и Ръ — операторы проектирования из £т соответственно в и А. Положим.

А-ЛМ, Ао = Р^*А.

Предполагается, что оператор, А о на имее®обратный, который обозначается через А0. Пусть «(Л),.

— Л Л" А.. V .

А." А. А. А,), где? — сужение матрицы уз на подпространство К # Рассмотрим собственные числа матрицы V" и соответствующую им ортонормированную систему собственных векторов Х/^Д-^З*).

Ш = (Л •), и. шА*}, 1=.

Все введенные величины, кроме с «являются функциями точки х и зависят от параметра — в.-ф. $ • Определим функцию Y7 вещественной пер пленной 0 равенствами чс&-)—c9+c0+zz: с. y^+z: r?, i el ' &-Г9 i,*l j СAf-WCAf-*) 4 1 7 4 i y 1 1 j±i v i >

Обозначим через ^ максимальный вещественный корень уравнения.

VWa (1.25).

Очевидно, при выполнении любого из двух условий.

V.

С >Оу, ^ Л (1.26) уравнение (1.25) имеет вещественный корень в интервале.

0> /L=A л. * я ¿-ы с и, следовательно, %> ^ * В дальнейшем предполагается выполненным одно из условий (1,26). Положим.

9*= 9*(f>, x) = m"oc i j*) } и определим функцию к (р*) для наборов равенствами.

А (р*)= 2 X с*>* -е- 2 Ъ ^ VFЛ.

Пусть теперь. Определим класс. в.-ф. i^L^l: принадлежит классу в том и только том случае, если для любого neX проекции p^-p^ Upc.) и />©—вектора удовлетворяют следующим условиям.

24) * .*.

1. Если 9 то для любого выполняется равенство л ^ в противном случае это равенство выполняется при, а координаты р*~(р>/^ вектора/) при удовлетворяют равенству к (р*)+ О, (1.28).

2. />.Г^о<* + ?^•.

В случае замены условия (1*28) на равенства р*" - я? с*9 <<�Ч Л * с*)* >0, (1.29) где * «• положительно определенная матрица, класс становится, одноточечным множеством». Порождающую его. в.*ф. будем обозначать через 40. Аналогично, для любой в.*"ф. определяется класс и в.~ф* .В 5.6 доказана справедливость следующего утверждения (см. теоремы 5Л7−5.20)... Теорема 1.3. .Пусть в однородной задаче фпараметризации при сделанных Ефвдположениях в."-ф*^в ^/м гявляютсяотображениями. Тогда: I) имеет место сштема включений .

2) если 1фоме того для а.в. осе СХ^уиУ, локальные оптимизационные задачи для критерия, порождаемые отображениями 3 и 4 соответственно-в точках хёХ и имеют единственные решения, то имеет место система равенств Йроинтерпретид/ем теперь необходимое условие минимальности критерия, сформулированное в виде теоремы 1.1, о позиций изложенного выше подхода, основанного на биквадратических представлениях Ф-моделей (теорема 1.3).

I. Однозначное определение ^ -отображения в каждой точке X скалярной величиной — значением характеристической функции ч^Ос) объясняется тем, что соответствующая 1фитерию задача #'-параметризации является однородной.

2. Простота задания в.-ф. (см. равенства (1.13).и .

СГ-. 12)) по сравнению с аналогичными формулами (1.27), (1.29),.

А .

1.24), задавдимн в.-ф. * связана предо всего с тем, что в общем случае при определении векторакх) — ?0 в каждой точ-? ке рассматривается своя система координат пространства Ят9 определяемая спектральными характеристиками матриц.

А/.

V «V # в задаче же с критерием и, следовательно, матрица V и система одни и. те же для всех, точек хеХ. Кроме того более громоздкий способ задания в.-ф. а р.. оцределяется также и темг что теорема. 1.3 объединяет, по существу, две принципиально, различные ситуации: положительной определенности: матрицы р и лишьнеотрицательной ее определенности (ом.5.6, теоремы 5.21−5.26),. Заметим, что в случае мат? рица, А (§) является корреляционной матрицей для в.-ф.? :

3* Необходимость выбора в качестве значения ^(х) характерна отичеокой. функции. ^-«отображения^. в точке хименно максимального. корня. характеристическ ого. уравнения (1.12) теперь. находит естественное объяснение, поскольку с точностью до аддитивной константы величина мЛх) совпадает со значением двойственной переменной для глобального минимума некоторого квадратичного функционала при одном квадратичном органичении типа равенство** (ЛОЗ для симметричного? -критерия, порожденного ^-критерием).

4. Равенство если в (1.13) является следствием условия единственности решения ЛОЗ" образующих сопряженные семейства ЛОЗ для Ф'-критерия. Для критерия это. ус~ ловие доказано в 5.4 (теорема 5.14). В общем случае. при. выполнении условия единственности имеет место равенство (1.29). Для порождаемой 1фитерием^{-задачи} равенство сГ-0. обусловлено видом ее квадратичного ограничения: О ., а матрица /5 -диагональна. В случае, если нарушено хотя бы одно яз этих условий, 0.

Вернемся еще раз к вопросу о характере нелокальности необходимого условия минимума 2<, сформулированного в виде теоремы 1.1. Рассмотрим представленную, на рис. 1.1 структуру задачи минимизации функционала ., которая может быть выявлена с помощью биквадрат ичных представлений для критерия На рис. 1.1 через у Сръ) х и р^, обозначены интегральные операторы соответственно из пространства ь.

Х,/и) в 1* (У,*) и из в СХ, ук), определяемые следующим образом:

Р*4Зс*)* | (р у * X У.

Ср* | рс*,^ о^бс). X.

Тогда задача шнимизашщ критерия имеет следующую структуру: на магистральную задачу поиска интегральных характеристик.

I., lfi t-ЩеY i t i J.

L.yJ^^y).

А. Л ч f* (i, x>P) С.

РисД"1. Структура задачи минимизации критерия в."ф* ^ «нанизывается» семейство локальных оптимизационных задач с критериями. Каждая из этих задач является задачей минимизации квадратичного функционала.

Р) — (А*(ру?)о.

От А* + на некотором квадратичном многообразии вК # Параметры, А ж, а этого функционала определяются интегральными характеристиками.

В результате получается следующее расслоение исходной задачи минимизации критерия: на базовую задачу глобальной минимизации этого критерия по некоторой^ набору интегральных характеристик в Н?. д и на оптимизационные. задачи слоев: для каждого набора интегральных характеристик в.-ф. (матрицы, А С^-рс) и вектора <**(}*>х)) рассматривается семейство (слой) задач поиска глобального минимума функционалов семейства Р)]^х • Каддая оптимизационная задача этого семейства сравнительно проста и для нее может быть порчено точное решение, однако количество этих задач может быть весьма велико* л.

Обозначим для любого осеX через Р^С") решение ДОЗ в точке ас * т. е. точку глобального минимума^{нкдаонала} (при соответствующих ограничениях) и положим.

Тогда, обеспечив решение в полном объеме всех локальных оптимизм ционных задач, мы тем сашм получаем сведение исходной задачи к базовой задаче минимизации редуцированного критерия. При этом нахождение глобальных минимумов для всех ЛОЗ обеспечивает нелокальный характер этой операции, а с учетом того, что количество ЛОЗ весьма велико, естественно ожидать что в редуцированном критерии глобальные, существенные структуры исходной задачи представлены более выраженно, контрастно" По-видимому, именно этим обстоятельством можно объяснить подтвержденную экспериментально, высокую степень. нелокальности критерия теоремы 1,1 (в общем случае — теоремы 1*3)".

Обратим внимание еще на одно обстоятельство. Сложность базовой задачи минимизации критерия в значительной степени определяется сложностью ядер интегральных операторов, В случае, если для весовой функции р и для функции предпочтения 1 существуют конечные билинейные представления (Ч г.

Т^^ыу.ц), ъсъу)* X а" .%¦(*)^ а. зо) то параметры критерия ЛОЗ У^С^х^р) задаются следующими величинами г у с1) [ 9 г и при этом ^ сч.. Л *.

Таким образом, в рассматриваемом случае редуцированный критерий. является функцией^т (т^) параметров. Эту характе-. рис тику в случае (1.30) естественно рассматривать как. оценку сложности исходной задачи^{-параметризации.} В общем слу чае эта величина определяется скоростью аппроксимации функцийр и* конечными билинейными рядами (1.30).

В основе всех разработанных в диссертации вычислительных схем минимизации функционала 2Ц лежат параметрические представления И^ -отображений, при построении которых используется возможность представления функции близости в виде билинейного ряда.

Т. (1.31).

Из включения Ъб-^ОС^/и1) следует существование такой орто-, нормальной системы ^ функций ^ ^?.Н&р) и такой последовательности вещественных, что имеет, место представление (1.31), в котором Р—, , и при атом ряд -(1.31) сходится в1, Л^О и ^т-ЦъЦ^. функция близости. называется вырожденной, — если для нее существует билинейный, ряд (1.31), состоящий из конечного числа членов". В частности, функция евклидовой близости в т-мерном евклидовом пространстве вырождена и для нее при любом положительном имеет место следующее конечное билинейное представление:

Вопросы параметризации^{-отображений} с помощью билинейного пре* дставления (1.31) функции, близости? рассматривались в [76,1161. Приведенное ниже решение этой задачи было подучено в [77 $ 80″ гл.4].. ... — -. .. Будем предполагать, что для функции близости** имеет местобилинейное лрадотавлеяие (1.31), где {¡-^¿-¿-х^ - сиетемаортонорма-льных функций,.Р*ж0. -При ^'^ Гъ л * Обозначим через л. — ^ ^ пространство суммируемых последовательностей. Пусть <�г Е1. Определим наборы. и>с*}, i бО, к, равенствами ?"/Р=сос., с' г* ¿-г ш±- > где Имеет место включение Х1л * * «о.

Для любой последовательности определим вектор-функцию и следувдим образом: для любых и к СО).

X* где -,//>.

Для любых и асегХ рассмотрим следующее уравнение относительно вещественного их ас- 2 ' /.. (1.32) а через несомое) обозначим его максимальный вещественный корень. Положим.

Л. л. .¦?. .7 V.

А оо.

Определим отображение следящим образом: для любого ъ положим ^(го)".^, где к-мерная определяется на X равенством.

О, если чг.(&->•")=£;

В силу (1.32) определение в.-ф.^ корректно и выполняются неравенства ^.

1с"?!*)!1* **(«•>*), ^ ом. теорему 6.10), где 21 ~. г * г к.

7) М+1, 1 ] ] л.

Таким образом, отображение? переводит любое ограниченное в множество в множество в.-ф., ограниченное в 1к, Положим ^ - Л* +С2>* ¦+ **) ¦^ ] з.

С1Г {со {йооЦ^Д)* }.

Л, А лГ. и. рассмотрим множество ^ - - ^ • в 6.2 показано, что в"" ф*. этого множества кусочно непрерывны и равностепенно непрерывны на множествах непрерывности. Отображение $ параметризует в.-*.-? ь^: > Л* •.

Определим для любой в.-ф. (*>/*) последовательность о (Я равенствами.

В 6.2 показано, что при естественных предположениях относительно связи, функции близости *г и вероятностной меры /и имеет место следующее утверждение об сопараметризации отображений ¿-«-шкалировадия.. Теорема 1.4. Если центрированная ортогональная в.-ф. Ьявляет» ся Zк-oтoбражением, то в.<�н?. ^? (со), где оЭ=сд (?) эквивалентна? и, следовательно, также является^{-отображение} ем. .,————————————- —————. —————-. .

Так как для вырожденных функций близости г пространствоО.* состоит из последовательностей" количество элементов которых конечно и равно величине, где % = - количество отличных от нуля членов в билинейном ряде (1.31)" то теорема 1.4 задает конечно-параметрическое представление «-отображения в случае. вырожденности рассматриваемой функции близости. В частности» при рассмотрении евклидовой близости размерности т имеем Таким образом" для врожденных функций близости ъ сложность задачипараметризации (сложность представления ее решения) определяется количеством, ненулевых элементов .в билинейном ряде функции г. В общем еду чае, как следует из 6.3″ сложность задачи параметризации определяется скоростью сходимости к нулю величин Л • в представлении (1.31) с попарно ортогональными и нормирова.

С.. иными функциями. Р£ и с функциями = МРс *.

Из теоремы 4.1 также следует, что задачапараметризации (2-" -шкалирования) эквивалентна задаче минимизации функционала на подмножестве последовательностей .О.* ^ Л'^, определяемом равенством А.

При этом глобальный минимум функционала 2 СФ является решеии-ем (в Л ^) следующего уравнения: ?0, ^ (1.33) где оператор л определяется равенством — 00 Таким образом, любая минимизирувдая функционал последовательность является неподвижной точкой оператора? в. пространстве. В случае вырожденности функции. близости-уравнение (1.33) является системой нелинейных уравнений, состоящей из кр уравнений, где — число ненулевых членов в билинейном представлении.

Вопросы устойчивости моделейпараметризации рассмотрены в 6.3* Обозначим через множество точек мишщума функционала Z>(н в пространстве 1. Устойчивость (структурная устойчивость) моделипараметризации понимается как грубость множеотва относительно малых возмущений структурных параметров ^ и ^ в рассматриваемой модели. Как и для любой модели анализа эмпирической информации, ее структурная устойчи-. вость является необходимым условием возможности применения модели в прикладных областях. Кроме того, вопросы устойчивости ^С",^*. отображений при малых изменениях функции близости % возникают в связи со следующими обстоятельствами. Ниже для вырожденных функций близости, т. е. для функций, допускающих конечное представление г>

21 Р, <*)некоторый отрезком, билинейного ряда. .(1*31)•-. .

При исследовании вопросов структурной устойчивости рассматривается совокупность. И. всех вероятностных мер. Этому множеству, в &bdquo-частности, принадлежат меры, сосредоточенные в точках множества X «а также их взвешенные суммы. Рассмотрим так называемую слабую (широкую) топологию в пространстве мер» которая может быть задана с помощью следующей метрики. Пусть — некоторый ортогональный базис пространства X, ум). для любой меры положим 2.

РсС/и)= у, Г Г^,/-]*}, ь Я. ." «.. где? У-)ум]= - рс —неотрицательный функционал, удовлетворяющий неравенству треугольника. Кроме того, сходимостьРс (уц^)-т О при для последовательности? м-^еМ. означает, что для любого I имеет место сходимость? У^ун/у-гО откуда в силу фундаментальности следует, что для любой функции.

Согласно 6.3.1, модель (^^-параметризации топологически р-устойчива в точке, если для любого ?>0 существует такое ?>0, что для любой функции близости, ъ' из неравенства II8 следует существование такой в.-ф. Т^уи * что имеет место неравенство.

1.35).

Модель^{-параметризации} статистически слабо рустойчива в точкек&Тъ^и «если для любого ?> 0 существует такое что для любой меры, /н'бМ из неравенства рсСу%ун).

1.36) а меру у?" - равенством К и — д-д-, (1.3?) '"-¦?.. где /м- - вероятностная мера, сосредоточенная в точке /и.{х (1 1 «а неотрицательные Д удовлетворяют равенству 2: Д- *. Пусть теперь? указать такие у, и /У'* чтобы сущее» твовала в."ф. * удовлетворяющая неравенству.(1+35)". В 6.3.2 и.6.3.3 подучены, достаточные условия топологической устойчивости., согласна которым для в.-ф. при выполнении некоторых условий невыразденности при достаточно малой величине? = 1* И ^ имеет место неравенство где С — некоторая положительная константа — ^ - некоторая в.-ф. множества .} - некоторый ограниченный оператор простра" яства % а в.-ф. л определена равенствами.

6*)в1 ^~ л^(У}> ?* & •.

Таким образом, если в билинейном представлении (1.31) имеют место равенства Ц-Ох) ^У^сх), А — с*), а значения фу" кций ограничены в совокупности:

Цел*)!**, хех то для любого натурального у, при ъ =, где функция определяется равенством (1*36), имеют место неравенства где С — некоторая положительная константа* Тем самым, доказано высказанное выше утверждение о том, что сложность задачи? кпараметризации определяется скоростью сходимости к нулю. величин Д-.

При исследовании вопросов структурной слабой устойчивости за счет использования условий топологической устойчивости достаточно ограничиться случаем вырожденности функции близости Т, т. е. случаем существования билинейного представления (1.34)" В этой ситуации для точек множества Т^у"* имеет место указанное выше, конечно-параметрическое представление,. зависящее от к^. параметров. С помощью этого представления в 6.3.4 для любой в.-ф. -ЬТ^у* указаны в явном виде такие две конечные системы функций и Г^), состоящие соответственно из элементов, что при вы* полнении — некоторых условий невырожденности модель, 2^{-параметризации} статистически слабо рустойчива (при р е 2) в точке гГ 2.

При этом, если обозначить через и полуметрики в М:^га то указаны, такие, величины с0> О, что для любого £>.Р. и для любой вероятностной меры, удовлетворяющей неравенствам существует. такой набор параметров <0*, что (Щ* €, а для вектор-функции имеютместо вклетения.

Воспользуемся этими результатами в случае конечной выборки Х^и мери $ вида (1.37). Тогда получаем., что при решении задачи.

— параметризации выборка Ху? -представительна, если для меры ^ имеют место неравенства (1.38), т. е. достаточно близки. средние и выборочные средние значения для функций конечной системы Р. И).. В этом случае, зная, например, вероятностные порождающие правила для элементов выборки, можно отроить статистические оценки для распределения величины // «о*- со (ИII.

Из полученных в 6.3 результатов о структурной устойчивости моделей (теорема 6.14, 6. Г7, 6.18) следует, что функциональная. модель 2Кпараметризации при выполнении некоторых условий невырожденности может с любой степенью точности аппроксимироваться некоторой дискретной с вырожденной функцией близости. Это позволяет при рассмотрении вычислительных аспектовпараметризации ограничиться лишь случаем дискретных пространств Хи^СХ^^уй) с конечным множеством Xи функцией близости ввда (1.34) или (1.36).. .. .

В рамках традиционного, точечного подхода (см. (1.1), (1.2)) решение задачишкалирования (-отображение ?) представляется в видематрицы {^¿-Л. , 4,, где к-мерный вектор «является образом, объекта эс*, при искомом /^-отображении. $:. Функциональный подход позволяет^{получить} для пространств принципиально. отличную от точечной, параме трическу ю форму представления «отображения в виде вектора ^ в пространстве параметров размерности «<(.?+?)¦ Переход от точечной формы к параметрической и обратно осуществляется с помощью преобразований.

В 6.4 рассмотрены предложенные в [77,79 | 80, группы алгоритмов, основанных на параметрическом представлении.

2 котображений* К первой относятся алгоритмы, основанные на решении системы уравнений (1.33), которая с учетом условия цент-, рированности и ортогональности, состоит из к (у,+ (к-1)/г) нелинейных уравнений для нахождения кпараметров и решается методом наименьших квадратов с помощью различных итеративных схем: наискорейшего спуска, метода сопряженных градиентов, оврагов, квазиньютоновских методов и т. п. При этом решается оптимизационная задача (минимизации) размерности к<�р, а для проведения одной итерации достаточно затратить кгу, 1п элементарных операций. Для сравнения укажем, что в традиционных точечных вычислительных моделях необходимо решать оптимизационные задачи размерности км, а для проведения одной итерации необходимо затратить порядка кги1 элементарных операций. Таким образом, преимуществом предлагаемых алгоритмов перед традиционными является независимость размерности решаемой оптимизационной задачи от объема выборки (она определяется лишь сложно* стью решаемой задачи шкалирования), и более слабая (линейная вместо квадратичной) зависимость вычислительной трудоемкости. реализации одной итерации от объема рассматриваемой выборки. Особенное-!* тью предложенных алгоритмов является то, что оператор ^ в уравнении (1.33) не является" вообще. говоря, дифференцируемой. футе-цией вектора й> и может иметь разрывы 1-го рода на п явно заданных гиперплоскостях пространства параметров... .

Замечание 1.3. Результат о том, что множество разрывов градиента оператора ^ исчерпывается этими гиперплоскос. тями, принадле-жит А. Б. Хмельницкой [II8,с.284] и является уточнением аналогичного утверждения в. (80, с.160],. .- -. .. .

Ко второй группе параметрических методов относятся алгоритмы л прямой минимизации, основанные на минимизации функционала который в сделанных предположениях является функцией конечного числа переменных — координат вектора при условии Применяя для решения этой задачи градиентные схемы, получаем итеративные алгоритмы решения оптимизационной задачи размерности требующие для. реализации одной итерации элементарных операций. Так же, как и выше, градиент функционала куоочно непрерывен.

Использование нелокальных (параметрических) итеративных методов построения^{отображений} снижает остроту проблемы построения начального приближения, ко не лишает ее актуальности. В 6.5 (разделы 6.5.1 и 6.5.2) предложен метод построения начальных при" ближений.^-отображений, реализующий идеи динамического программирования. В рамках этого подхода, названного квазидинамическим программированием (КЩ), осуществляется последовательное по объектам (точкам х{ конечного множества) построение их образов при ^^-отображении (координат объектов в пространстве, А). Метод ВД1 был предложен в [64−663 и применялся при решении ряда задач дискретной оптимизации: различные обобщения задачи коммивояжера, задача покрытия, квадратичная задача назначения и др. ВГ?9 — 80, с. 157−161] КДП было применено для задач многомерного шкалирования, что. позволило. построит ь для них хорошо интерпретируемые правила приближенного решения, обобщающие известные Сло-кальные.иХ.эвриетики,.и в рамках которых, сочетаются «тактические» (локальные), и &bdquo-" стратегические.", (глобальные) аспекты. Полученные правила допускают, простые вычислительные реализации, порядка.

9 3.

К 4-п элементарных операций для различных, реализаций в случае,.

1 ъ х если данные.представлены.в зиде матрицы близостей, и ^Иг^ п. элементарных операций, если для функции близости ъ известно билинейное представление (1*34)" В 6.5*3 приведены алгоритмы построения различных сизтем КДП-приближений (ом. теоремы 6.19 и 6*21)* В (13, с.25−27 — 63] проведено сравнение эффективности использования различных систем начального приближения для итеративных схем ¿-^-параметризации* Полученные результаты свидетельствуют о том, что сочетание нелокального необходимого условия^{-параметризации} в сочетании с КДП^приближениями позволяет существенно снижать. степень шогоэкстремальнооти получаемых вычислительных моделей, доводя в ряде случаев ситуацию до моноэкстремальной*.

Программное обеспечение разработанных функциональных методов многомерного шкалирования (2 к-параметризации) включено в состав пакета прикладных программ регрессионно-типологического ана^. лиза, который является подсистемой общей системы анализа. социально-экономических данных (САСЭД) ИСЭП АН СССР [48 — 46, с*124-.

135], реализованной на ЭВМ БЭСМ-6. Методические вопросы применения, этих методов в прикладных исследованиях освещены в работах [47,44 — 46, с.117−124]*. Разработанный комплекс, математического обеспечения. использовался при решении ряда прикладных задач [45,2,85,1,36,44,83,84, 3?] * В 7 приведены результаты анализа. закономерностей развития отраслевой структуры народного хозяйства крупных городов РСФСР.

Г83]. .

Исходная информация, была, представлена матрицей «объект-признак», в которой каждому городу сопоставлялись значения, выраженности его отраслевых функций (ВОФ) — данные для: каждого города. были представлены .на несколько дат г 1959, 197(1 и 1979. гг* В исс-. ледоваюга. использовалась динамическая трактовка, пространства, состояний. (фазового, пространства). В этом пространстве каждый. объект (город) представлялся несколькими точками — его состояниями в соответствующие моменты времени. Упорядоченная по времени последовательность состояний объекта образовывала траекторию его развития в фазовом пространстве изучаемого процесса. Снижение размерности фазового пространства процесса развития отраслевой структуры народного хозяйства и построение нового фазового пространства агрегированного описания меньшей размерности осуществлялись за счет выявления и учета взаимосвязи исходных переменных (индикаторов ВОФ), При решении этой задачи использовалась функциональная модель 2^-шкалирования. Наряду сотображением * использо-валавь матричная функшя См^С^, С. уС*^*./^ (Ч ющая естественную содержательную интерпретацию.

При описании построенной модели применялись средства машинной графики, программно реализованные в САСЭД, и выполнялись следую* щие этапы: .

— интерпретация главных направлений С*) построенного фазового пространства V* /(X) *.

— описание построенного пространства V как многомерной шкалы: интерпретация «крайних» положений в V — выделение в V. содержательно, интерпретируемых зонисследование виртуальных перемещений изучаемых объектов в" И с помощью векторов. локального влияния ¿—й отрасли в рамках построенного описания проводилась, с тру кту рно-фу нкциональная типологизация. Ис*> следование траекторий-развития изучаемых. объектов в фазовом пространстве V позволило: выявить основные тенденции развития как для. всей, совокупности объектов в. делом, так и для отдельных., отру*? ктурно-функциональных .типов I получить, динамические характеристики для построенных ранее типологических группировок объектов.

1. Агафонов Н. Т., Демьяненко АЛЬ, Перекрест В. Т. Типы крупных и крупнейших городов СССР// Структурно-функциональная типология крупных городов СССР. — Л.: ЙСЭП АН СССР, 1986. — С.29−48.

2. Агафонов В. Т., Жихаревич Б. С., Перекрест В. Т., Каныгин Г .В ., Лебедева Й. А. Динамика отраслевой структуры народного хозяйства в крупных городах СССР. Л.: ЙСЭП АН СССР, 1985. — 56 с.

3. Айвазян С. А. Многомерный статистический анализ в социально-экономических исследованиях// Экономика и математические методы.-1977. Т.13. — Вып.5. — С.968−985.

4. Айвазян С. А., Бакаева З. И., Староверов О. В. Классификация многомерных наблюдений. М.: Статистика, 1974. — 239 с.

5. Айвазян С. А., Енюнов И. С., Мешалкин Л. Д. Прикладная статистика: Основы моделирования и первичной обработки данных. М.: Финансы и статистика, 1983. — 471 с.

6. Айвазян С. А., Еяюков И. С., Мешалкин Л. Д. Прикладная статистика: Исследование зависимостей. М.: Финансы и статистика, 1985. — 486 с.

7. Айвазян С. А., Римашевская Н. М., Бежаева З. Й. Типология потребления. М.: Наука, 1978. — 168 с.

8. Айзерман М. А., Браверман Э. Н., Розоноэр Л.й. Метод потенциальных функций в теории обучения машин. ВН.: Наука, 1970. -384 с.

9. Алгоритмическое и программное обеспечение прикладного статистического анализа/ Под ред. С. А. Айвазяна, Й. С. Еникова. М.: Наука, 1980. — 422 с.

10. Алексеев О. Г. Комплексное применение методов дискретной оптимизации. М.: Наука, 1987. — 248 с.

11. Анализ нечисловой информации, в социологических исследованиях/Под ред. ВЛ'.Андреенкова, А Л. Орлова, Ю. Н. Толстовой. М.: Наука, 1985. — 221.с.

12. Береснева И. Б., Маслякова Т. В., Минина Т. Р., Нисанова Е. В., Перекрест В. Т. Применение методов квазвдинамического программирования в задачах снижения размерности. Препринт научного доклада.-Л.: ИСЭП АН СССР, 1986. — 70 С.. .

13. Дурбаки Н. Интегрирование. Меры. Интегрирование мер. М.: ' Наука, 1967. — 396 с. Л5. Е^рбаки Н. Общая топология. Основные структуры. М.: Наука, 1968. — 272 с.

14. Вазан М. Стохастическая аппроксимация. М.: Мир, 1972. -295 с. .

15. Вайнберг МЛ. Вариационный метод и метод монотонных операторов, в теории нелинейных уравнений. М.: Наука, 19.72. 415 с.

16. Васильев ФЛ. Методы решения экстремальных задач. Задачи минимизации в. функциональных пространствах, регуляризация, аппроксимация. М.: Наука, 1981. — 400 с.

17. Васильев Ф. П. Численные методы решения экстремальных задач. М.: .Наука, 1980. — 520 с.. .

18. Вопросы.кибернетики. Экспертные оценки/ Ред. Литвак БД1., Тюрин Ю. Н, М.: Науч., совет по комплексной пробл. «Кибернетика» АН СССР, 1979. — 199.с.. ... .

19. Гантмахер Ф. Р. Теория матриц. М.: Наука, 1966. — 576 с.

20. Гренандер У. Лекции по теории образов: Синтез образов. -М.: Мир, 1979. 383 с.

21. Гренандер У. Лекции по теории образов: Анализ образов. -М.: Мир, 1981. 448 с.

22. Данфорц Н., Шварц Дж.Т. Линейные операторы. Спектральная теория. М: Мир, 1966. — 1063 с.

23. Дидэ Э. и др. Методы анализа данных (Подход, основанный на методе динамических сгущений). М.: Финансы и статистика, 1985.-357 с.

24. Дмитриев АЛ., Журавлев Ю. И., Кренделев Ф. П. О математических принципах классификации предметов и явлений// Дискретный анализ. Новосибирск: ИМ СО АН СССР, 1966¦ - Вып.7. — С.3−15.

25. Дорофеюк A.A. Алгоритмы автоматической классификации// Автоматика и телемеханика. М., 1971. — № 12. — C.78-II3.

26. Дрейнер Н., Смит Г. Прикладной регрессионный анализ. М.: Статистика, 1973. — 392 с.

27. Дуда Р., Харт П. Распознавание образов и анализ сцен. -М.: Мир, 1976. 511 с.

28. Дэйвисон №. Многомерное шкалирование. М.: Финансы и статистика, 1988. 254 с.. .

29. Дюран Б., Оделл П. Кластерный анализ. М.: Мир, 1977. -128 с.

30. Куравлев Ю. Й. Непараметрические. задачи распознавания образов//. Кибернетика* т Киев, 1976. & 6. — С.93−103.

31. Журавлев Ю. И. Корректные алгебры над множествами некорректных (эвристических) алгоритмов IП, 1 //.Кибернетика. -1977. -№ 4. C. I4−2I — W — С.21−27 — - 1978. — Л 2. — С.35−43.

32. Журавлев Ю. И. Об алгебраическом подходе к решению задач. распознавания или классификации// Пробл. кибернетики. М.: Hayка, 1978. Вып.ЗЗ. — С.5−68.

33. Заболотный A.M., Плинер В. М. Дискретные представления в задачах метрического шкалирования// Изв. АН СССР, Техн.кибернетика.¦ М., 1986. Л I. — С.197−200.

34. Заболотный A.M., Королев А. Н. Проблемы комплексного градостроительного зонирования Севера// Изв. Всесоюз.географ.о-ва. -Л. 1988, — № 5.. .

35. Заторуйко Н*Г. Методы распознавания и их применение. М.: Сов. радио, 1972. — 208 с.

36. Интерпретация и анализ. данных в социологических исследованиях/ Отв.ред. В. Г, Андреенков, Ю. Н. Толстова. М.: Наука, 1987. -255 с.

37. Иосида К. Функциональный анализ. М.: Мир, 1967. — 624 с.

38. Иоффе АД., Тихомиров В. М. Теория экстремальных задач. -М.: Наука, 1974. -.480 с.. .. .

39. Каменский B.C. Методы и модели неметрического многомерного шкалирования// Автоматика и телемеханика. 1977. — В 8. -С. 118-^156.43*Канторович I, В., Акилов ГЛ. Функциональный анализ в нормированных пространствах. М.: Физматгиз, 1959. — 684 с.

40. Каныгин Т. В. Человеко-машинные методы. типологического. анализа социально-экономических данных: Дис.. канд.экон.наук. -Л.: ИСЭП АН СССР, 1987. 177 с.

41. Каныгин Г .В., Мерсон АЛ, Комплексная оценка социальноэкономической эффективности труда инженеров// Социологические исследования. M.-I983. — & I, — С.98−105.. .

42. Каныгин Г .В., Минина Т. Р., Перекрест В. Т. и др. Человеко-машинные методы анализа социально-экономических данных// Человеко-машинные системы обеспечения социально-экономических исследований. Л.: Наука,-1987. — С.92г-135.

43. Каныгин Г. В., Перекрест В. Т., Сивашинский C.B., Хачатуро-ва Т. В. Система анализа социально-экономических данных. Препринт науч.докл. 1.: ЙСЭП АН СССР, 1985. — 49 с.

44. Карманов В. Г. Математическое программирование. М.: Наука, 1975. — 272 с. .

45. Классификация и кластер/ Ред. Дж. Вэн Райзин. М.: Мир, 1980. .- 389 с.. .. .

46. Колмогоров АЛ., Фомин C.B. Элементы теории функции и функционального анализа.^.М.: Наука, 1972. 496 с.

47. Краонощеков П. С., Петров A.A. Принципы построения моделей. -г М.: Изд-во МГУ, 1983. 264 с.

48. Крускал Дж. Взаимосвязь между многомерными. шкалированием и кластер-анализом// Классификация и кластер. М": Мир, 1980. -С.20−41.

49. Крускал Дж. Многомерное шкалирование и другие методы поиска структуры// Стат. методы для ЭВМ. М.: Наука, 1986. — С.301−347... —. ,. ,. .

50. Куратовский К. Топология. T.I. М.: Мир, 1966. — 594 с.

51. Лоули Д., Максвел А. Факторный анализ как статистический метод. М.: Мир, 1967. — 144 с.

52. Лоэв М. Теория вероятностей. М.: Изд-во ин.лит., 1962. -712 с.

53. Люстерник Л. А., Соболев В. И. Элементы функционального анализа. М.: Наука, 1965. — 520 с.59* Мальцев АЛ. Основы линейной алгебры. М.: Наука, 1970. -400 с.

54. Матештика в социологии: моделирование и обработка информации/ Ред. Аганбегян А., Епейлок X., Бородкин Ф. М.: Мир, 1977. — 551 с.

55. Матештические методы в распознавании, образов ж дискретной оптимизации. М.: ВЦ АН СССР, 1987. — ИЗ с.

56. Методы сбора и.анализа.информации в физиологии и медицине. -М.: Наука, 1971. 319 е.,. .

57. Минина Т. Р., Перекрест В. Т* Об одаом. способе аппроксимации решений задачи. коммивояжера// Докл. АН СССР. 1975. — Т.20,I. -г С.31−34.

58. Минина Т. Р., — Перекрест В. Т. Аппроксжация решения задачи коммивояжера С-циклашз// Автоштика и телемеханика. 1975. J§ 10. С.79−89. .

59. Минина Т. Р., Перекрест В. Т. Алгоритмы аппроксимации решения задачи коммивояжера с помощью С-цихяов. Деп. ВИНИТИ308.75. 67 с.

60. Маркин Б. Г. Анализ качественных признаков и структур. -И.: Статистика, 1980. 319 с.. .

61. Михлин С. Г. Курс ватематической физики. М.: Наука, 1968. 575 с. .

62. Михлин.С. Г. Лекции по линейным интегральным уравнениям. -М.: Физматгиз, 1959. 232 с. .

63. Моисеев H.H., Иванилов Ю. П., Столярова Е. М. Методы оптимизации. М.- Наука, 1978. — 351 с.

64. Морен К. Методы гильбертова пространства. М.: Мир, 1965. — 576 с. .

65. Моцкус И. Б. Многоэкстремальные задачи в проектировании. -М.: Наука, 1967. 215 с.73* Орлов А. И. Устойчивость в социально-экономических моделях М.: Наука, 1979. -.296 с.

66. Перекрест В. Т. Об. одной адаптивной схеме глобального поиска// Успехи матем.наук. М., 1974. — Т.29. — Вып.3(177).С.223−224.

67. Перекрест В. Т. Об одном подходе к задачам дискретной оптимизации// Первая между нар. конф. молодых ученых «Проблемы проектирования и применения дискретных систем в управлении». Тез. докл. -Минск, 1977. ,-С.318−320.

68. Перекрест В. Т. Об одной модели одномерного шкалирования// Автоматика и телемеханика. 1980.-й 2. — C. I73-I8X.

69. Перекрест В. Т. Параметрическая вычизлительная модель многомерного шкалирования// I Всесоюз. совещание по статистическому и дискретно^ анализу нечисловой информации, экспертных оценкам и дискретной оптимизации. Тез.докл. М.-Алма-Ата, I98I. — С.76−78.

70. Перекрест В. Т. Рекурсивные вычислительные модели метрического шкалирования// П Всесоюз. научно~техн#кон$# «Применение многомерного статистического анализа в. экономике и оценке качества продукции». Тез.докл. Тарту, 1981. — С.294−298.

71. Перекрест В. Т. Проблема многоэкстремальности в оптимизационных моделях метрического шкалирования// П Всесоюз. школа-семинар «Программно-алгоритмическое обеспечение прикладного многомерного статистического анализа». М., 1983. — С.272−274.

72. Перекрест В. Т. Нелинейный типологический анализ социально-экономической информации (математические и вычислительные методы). Л. :Наука, 1983. -176 с.

73. Перекрест В. Т. Применение квазидинамического программирования в задачах классификации// Теоретические и метод. проблемы построения базы социологических данных, Вильнюс: Ин-т философии, социологии и права АН Лит. ССР, 1984. — С.129−143.

74. Перекрест В. Т. Функциональный подход в метрическом многомерном шкалировании// Анализ нечисловой информ. в социологическом исследовании. М.: Наука, 1985. — С.113−132.

75. Перекрест В. Т. Исследование структуры народного хозяйства крупного города методами анализа данных// Крупный социалистический город: структурный аспект развития. Л.: Наука, 1987.С.115−135.

76. Плинер ВЛ. Об одном классе моделей метрического шкалирования// Автоматика и телемеханика. 1984. — № 6. — C. I22-I28.

77. Плинер В. М. Регрессионно-типологические оптимизационные методы анализа данных: Дис. .канд.физ.-мат.наук. Л.: ЙСЭП АН СССР,.1987. — 156.с. .

78. Поляк Б. Т. Методы минимизации функции многих. переменных// Экономика. и математические методы. М. — 1967. — Т. З, & 6. -С.881-Г-902″ .

79. Попечителев ЕЛ., Романов С. В. Анализ числовых таблиц в биотехнических системах обработки экспериментальных данных. Л.: Наука" 1985. — 148 с.

80. Программно-алгоритмическое обеспечение анализа данных вмедико-биологических исследованиях. М.: Наука, 1987. — 137 с.

81. Рохлин.ВД. Об. основных понятиях теории меры// Матем.сб.-М., 1949. Т.67, I. — С.107−150.

82. Стронгин Р. Г. Численные методы в многоэкстремальных задачах. М.: Наука, 1978. -.239 с.

83. Су плес П., Зин ее Д. Основы, теории измерений// Психологические измерения. М": Мир, 1967. — С, 9−120.

84. Таганов И. Н. Об экстремальном. принципе измерения, в социологии// Социологические исследования. М., 1975. — № 3. — С .85−97.

85. Терехина А. Ю. Анализ данных методами многомерного шкалирования.- М.: Наука, 1986. 168 с.

86. Терехина АД). Анализ структуры эмпирических данных методами многомерного. шкалирования: Дис.. канд.техн.наук. М.: ИЛУ АН. СССР, 1975. -.147 с.

87. Терехина А. Ю. Метрическое многомерное шкалирование. М.: ИЛУ АН. СССР, 1977.-.76 с.

88. Терехина А. Ю. Многомерные модели анализа предпочтений// Многокритериальный выбор при решении. слабоструктурированных проблем. М.: ВШИСИ АН. СССР, 1978. — С.30−37.

89. Терехина А. Ю. Сравнительный анализ метрических и неметрических методов многомерного шкалирования// Анализ нечисловых данных в системных исследованиях. М.: ЕНШСИ АН СССР, 1982.С.55−61. .

90. Типология. и классификация в социологических исследованиях. М.: Наука, 1982. т 296 е.,.

91. Торгерсон У. С. Многомерное шкалирование. Теория и метод.// Статистическое измерение качественных характеристик. М.: Статистика, 1972. — С.95−118.

92. Третьяков A.A. .Теорема о неявной функции в вырожденных задачах// Успехи матем.наук. М.: 1987. — Т.42. — Вып.5(257). -С.215−216.

93. Ту Дж., Гонсадес Р. Принципы распознавания образов. -М.: Мир, 1978. г- 410 с.

94. Тюрин D.H. Экспертная классификаций/ Экспертные методы, в системных исследованиях. М.: ННЙИСИ АН СССР, 1979. — С.5−15.

95. Уиллиамс У. Т., 1анс Дж.Н. Методы иерархической классификации// Статистические методы для ЭВМ. М.: Наука, 1986.С.269−300. .ПО. Фиакко А., Мак-Кормик Г. Нелинейное программирование. Методы последовательной безусловной минимизации. М., Мир, 1972.-240 с.

96. Фу К. Структурные методы в распознавании образов. М.: Мир, 1977. — 319 с.

97. Фуку нага. К.

Введение

в. статистическую теорию распознавания образов. М.: Наука, 1979. — 367 с. .113* Харман Г. Современный факторный анализ. М.: Статистика, 1972. ^ 486 с.

98. Хартданн В. Дистанционные модели анализа метрических и порядковых данных// Анализ нечисловых данных в системных исследованиях. М.: БЙШСИ АН СССР, 1982. — С.62−69.115. .Химмельблау Д. Прикладное нелинейное программирование. -М.: Мир, 1975. 534 е.

99. Хмельницкая A.B. Об оптимизационных моделях многомерного инвариантного. шкалирования// Математическое моделирование и применение вычислительной техники в. социологических исследованиях.-М.: ИСИ АН СССР, 1980. С.55−68.

100. Хмельницкая А. Б. О совокупности цроекционных моделей инвариантного шкалирования// I Всесоюз. совещание по статистическому и дискретному анализу нечисловой информации, экспертным оценкам и дискретной оптимизации. Тез.докл. М.-Алма-Ата, 1981. — С.87−89.

101. Ходзинский А. Н. Последовательный алгоритм решения задач комбинаторной оптимизации. на перестановка^/ Кибернетика. -1985. № 6. — С.56−60,76.

102. Шилов Г. Б., Гуревич БЛ. Интеграл, мера и производная. -М.: Наука, 1968. ^ 220 с. .

103. Эдварде Р. Функциональный анализ. М.: Мир, 1969. -1001 с.

104. Arable Р" Bandот versus rational strategies for initial configurations in nonmetrio multidimensional scaling// Psychomet-rika. 1978. — Vol, — H° 1. — P.111−113.

105. Bechtel G.G. Multidimensional Preference Scaling. Mon-ton: The Hague, 1978.

106. Carroll J.D. Models and methods for multidimensional preference analysis// Multidimensional scaling Workshop. University of Pensilvania, 1972.

107. Carroll J.D., Arable Ph. Multidimensional scaling// Annual review of psychology. 1980. — V.31. — P.607−649.

108. Charles C. Regression typologique// INRIA. Laboria. Con-ference annuaire des formes. Paris, 1977″ - 41 p.

109. Cliff N. Scaling// Annual review of psychology. 1973.-V.24. — P.473−506.

110. Coombs C.H. A theory of data. N.Y.j John Wiley, 1974. -137 p.133* Cooper L.G. A review of multidimensional scaling in marketing research// Applied Psychological Measurement. 1983* -V.?. — P.427−450.

111. Green A. K, Rao V.R. Applied multidimensional scaling.-N.Y.: Holt, Rineharb & Winston, 1972. 240 p.

112. Hartmann W. Geometrische Modelle zar Analyse Empirischer Daten. Berlins Akademic Verlag, 1979. — 255 p".

113. Heiser W.J., Meulman J. Analysing rectangular tables by joint and constrained multidimensional scaling// J. of Econometrics. 1983. — V.22. — P.139−167.

114. Krouse B, Skalierungmodelie in der Psychodiagnostik. -Ztschr. Psychol. 1977. — Bd.185, H.2. — S.257−287.

115. Kruskal J.B., Wish M. Multidimensional scaling. Beverly HillsJ Sage Publications, 1978. — 95 p.

116. Lee S., Bentler P.M. Functional relations in multidimensional scaling// Brit, J. Math. a. Statist. Psychol. 1980. -V.33. — № 2. — P.142−150.

117. Romney A.K. et al. Multidimensional scaling, v.2: Applications. N.Y.j Seminar Press, 1972. — 323 p.150″ Roskam E.E. Metric analusis of ordinal data in. psucholo-gy. Niemegen: University of Leiden Press, 1968.

118. Qammon J.W. A nonlinear mapping for data structure analysis// IEEE trans, on comp. 19&9. — V.18. — N° 5. — P.401−409.

119. Shepard R.N., Romney A.K., Nerlove S.B. Multidimensional scaling, v.1: Theory. N.T.: Seminar Press, 1972, — 458 p.

120. Shepard R.N. Multidimensional scaling, tree-fitting and clustering// Sien.ce. «1980. — V.210. — № 4468. — P. 390−398.

121. U.S.-Japan seminar: theory, methods and applications of multidimensional scaling and related techniques. California, 1975. — 691 p.159″ Uchida T. On the structure of visual similarity// Jap. J. Psychol. 1978. — V.49. — № 1* - P.48−51.

122. White G.P., Sweeney D.J. Using multidimensional scaling to solve travelling salesman and machine scheduling problems// Computers and operations res. 1980. — V.7. — № 3. — P.177−184.

123. Weeks D.G., Bentler P.M. Restrictal multidimensional scaling model for asymmetric proximities// Psychometrika. 1982. -V.47. — № 2. — P.201−208.

124. Wish M., Carrol J.D. Multidimensional scaling and its applications// Handbook of statistics. Amsterdam: North-Hol-land, 1982. — V.2. — P.317−345.

125. Young F.W. Scaling// Annual review of psychology. -1984. V.35. — P.55−81.

126. Zolezzi T. On stability in mathematical programming// Math. Programming Study. 1984. — V.21. — P.227−242.